CC BY
377. Селиванова, М.Н. Оптимизация процесса получения силикагеля по золь-гель методу // Проблемы теоретической и экспериментальной химии. Тез. докл. ХУ Российской молодежной научной конференции, посвящ. 85-летию Уральского Государственного Университета им. А.М. Горького, Екатеринбург 19-22 апреля, 2005 г. / М.Н. Селиванова, А.И. Рыкова. - Екатеринбург: Изд-во Урал. Ун-та, 2005 г. - С. 157.
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА С ОТНОСИТЕЛЬНО ОГРАНИЧЕННОЙ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЕЙ
Сагадеева М.А. - к.ф.-м.н., доцент ЧОУ ВПО «Южно-Уральский институт управления и экономики»
нестационарное операторно-te J (1)
(2)
Введение. Пусть U и F - банаховы пространства. Рассмотрим на промежутке J действительной оси R дифференциальное уравнение
LU(t) = Mtu(f),
и задачу Коши для него при t0 е J
u(t0) — и0.
Здесь оператор LeL(U;F) (т. е. линейный непрерывный оператор, действующий из банахова пространства U в банахово пространство F), причем ядро оператора L нетривиально, а оператор-функция Mt при каждом t е J задает линейный непрерывный оператор, действующий из банахова пространства U в банахово пространство F.
Уравнения вида (1) с вырожденным оператором при старшей производной впервые встречаются в работе А. Пуанкаре [33] в 1885 г., позднее в работах C.W. Oseen [32], J. Leray [16] и других в связи с исследованиями системы Навье - Стокса: ut -vAи + Vp = О, V • и = О, описывающей динамику вязкой несжимаемой жидкости, прообразом которой может выступать нефть. Начиная с работ С.Л. Соболева [26, 27, 28] такие уравнения стали изучаться систематически, и поэтому уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, носят его имя. Далее всюду мы считаем термин «уравнения соболевского типа» синонимом терминов
325
«уравнения не типа Коши - Ковалевской» [4], «псевдопараболические уравнения» [9], «уравнения типа Соболева» [24].
Уравнения соболевского типа возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках [30, 36]. К виду (1) редуцируются уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, моделирующее динамику вязко-упругой жидкости в трещинновато-пористой среде [1], уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [6], уравнение волн Россби [11], система уравнений Соболева [26], линеаризованная система уравнений Навье - Стокса [15] и многие другие системы уравнений из гидродинамики [10, 19, 20]. Тем самым исследования разрешимости уравнений вида (1) не только представляют теоретический интерес, но и, безусловно, интересны с практической точки зрения.
Уравнения соболевского типа являются частью обширной области неклассических уравнений математической физики. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает период бурного расцвета, о чем свидетельствует большое количество вышедших в последнее время монографий [1, 7, 11, 23, 30, 31, 35].
Целью данного исследования являются вопросы качественной теории для решений нестационарных уравнений соболевского типа. Наиболее глубокие результаты по проблеме существования ограниченных решений лежат в области обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной. Эта теория развивалась столь интенсивно, что уже в 1959 г. в известном обзоре Л. Чезари [29] список литературы составил 140 страниц. Отправной точкой здесь являются работы А.М. Ляпунова [17]. Наиболее полно результаты по устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений изложены Ф. Гантмахером [2], Б. Демидовичем [5], Э. Коддингтоном и Н. Левинсоном [8].
М.Г. Крейн [13] впервые рассмотрел вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах. Подробно эти исследования изложены им в тексте лекций [14] 1964 г. Классическими работами в области исследования ограниченных решений стационарных уравнений вида (1) и экспоненциальных дихотомий решений однородного уравнения (4) стали монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [3], Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффера [18], где рассматривались уравнения с ограниченным оператором.
326
Используя результаты Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [3] для нестационарных операторно-дифференциальных уравнений первого порядка разрешенных относительно производной, а также результаты о разрешимости уравнений вида (1) и задачи Коши (2) для них [21], в данной работе исследуется устойчивость генеральных показателей решений.
Относительно о-ограниченные оператор-функции. Результаты этой и следующей части более подробно разобраны в статье автора [22]. Пусть U и F -банаховы пространства, J - промежуток в R, оператор L eL(U;F) (причем ядро оператора L нетривиально), а оператор-функция Mt eL(U;F) при каждом t е J.
Следуя терминологии, используемой в работах [21, 36], назовем множества следующего вида pL(Mt)={peC: (pL-Mt)_1eL(F;U)} и
oL(Mt)=C\pL(Mt) соответственно L-резольвентным множеством и L-спектром оператор-функции Mt. Очевидно, что если ker Lfl ker Mt Ф {0} при некотором te
J, то pL(Mt)=0.
Определение 1. Оператор-функция Mt:J^L(U;F)) называется спектрально ограниченной относительно оператора L (или просто (L,o)-ограниченной), если
3ateC(J;R+) VteJ шах{|ц|: peoL(Mt)} < at< oo. Определение 2. Оператор-функции (pL-Mt)_1, R'u Ш,) = (pL-Mt)-1L,
L%Mt) =L(pL-Mt) 1 комплексного переменного с областью определения pL(Mt)
будем называть соответственно L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператора Mt.
Пусть оператор-функция Mt (Ь,о)-ограничена, а контур yt={peC: p|=2atJ. Рассмотрим интегралы
Р, = К <М, )Ф , в, = ф- \LL„ (М, )ф,
и ft U Tt
В работе11 показано, что при фиксированном teJ операторы Pt:U —>U и Qt:F ^F являются проекторами.
Положим U ? =ker Pt, F ? =ker Qt; U| =im Pt, F1 =im Qt для всех teJ. Обозначим через Lt,k, Mt,k сужение операторов L, M на Uk k=0,1.
Теорема 1. Пусть оператор-функция MteC(J;L(U;F)) сильно дифференцируема по te J, а также (Ь,о)-ограничена. Тогда
(i) имеет место действие операторов Ltk:U^ Fk, Mtk: U^ Fk, k=0,1, для всех teJ;
327
(ii) существуют операторы М~\ eL(F?;U^), teJ, причем оператор-функция
L(F;U?) сильно дифференцируема по teJ, а при условии сильной непрерывности оператор-функции ^Mt оператор-функция 14С < - 01 ^ также является сильно непрерывной по te J;
(iii) существуют операторы Ц\ gL(F{;U{), teJ, причем оператор-функция
L~lQt gL(F;U{) сильно непрерывна по teJ;
(iv) оператор-функция MtlPt е L(U;F|) сильно непрерывна по teJ.
При условии (Ь,о)-ограниченности оператор-функции Mt в условиях теоремы 1 имеем операторы Я, = АД('Д(| еЦи1/) и У, = /Д/Ц, е L(U[), используя
которые можно разложить L-резольвенту оператора Mt в ряд Лорана
= 1 < - а > J]pksrL-\Qt
к=0
к=1
в кольце |p|>at.
Определение 3. Бесконечно удаленную точку назовем устранимой особой точкой, полюсом порядка peN или существенно особой точкой L-резольвенты оператор-функции Mt, teJ, если соответственно VteJ Ht= 0; 3t()eJ 0, H j‘11 =
0; н?4 0 VqeN.
Теорема 2. Пусть оператор-функция MteL(U;F) (Ь,о)-ограничена, при этом бесконечность является устранимой особой точкой оператор-функции (pL-Mt)_1. Тогда ker L=U?, im L=Fl для всех te J.
Доказательство. Для фиксированного teJ доказательство приведено в работе12.
В дальнейшем будем обозначать ker L=ker Pt=U0, ker Qt=F°; im Pt=Ut, im L= im Qt=F1; через L0 обозначим сужение оператора L на U0, Lt1 - сужение оператора L на Ut1; Mtk, k=0,1, как и прежде, есть сужение операторов Mt на U0 и U1 соответственно, te J.
Существование решений. Здесь и далее предполагаем, что операторфункция MteC(J;L(U;F)) сильно дифференцируема по teJ и оператор-функция dtMt сильно непрерывна.
Определение 4. Решением уравнения (1) будем называть вектор-функцию Li(t)еС1 (J;U), удовлетворяющую этому уравнению на J.
Подействуем на уравнение (1) проектором (I-Qt) и получим
328
для всех te J, поэтому
< - Q, 3»(0 = < - Q, Ж“(0
Поскольку im(I-Pt)=ker L, то
и в силу обратимости оператора Mt,0 (см. теорему 1) имеем
и0 {t) = С — Pt~ji(t) = 0.
Теперь сделаем замену Lu(t)=f(t)eF1 для всех teJ в уравнении (1). Представим u(t) в виде u(t)=u0+Ptu(t), тогда
/(t) = Lu(t) - Lu°(t) + LPtu(t) - 0 + LPtu(t) - Lt xPtu(t).
В силу непрерывной обратимости оператора Ltд (теорема 1) Ptu(t) = P,\fU), следовательно, уравнение (1) на подпространстве F1 примет вид
Lii{t) - Cw(?) j= / (t)—Mtu(t)-Mtu°(t) +MtPtu(t) = 0 +MtFt\f (t),
т. е.:
m=MtL-^m. (3)
Лемма 1. Пусть оператор-функция MteC(J;L(U;F)) (Ь,о)-ограничена. Тогда оператор-функция Tt =МаЦ\ gC(J;L(F1)).
Решение задачи Коши
f(t0)~foе F1 (4)
для уравнения (3) согласно результатам Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [3] имеет вид f(t) = F(t)f0, где оператор F(t) еЦР1) при t, toeJ задается следующим образом
1 со 1 l2
F(,) = I„, + jW+Y. TJ,n_ ... Ttd,, ...din
и называется оператором Коши уравнения (7). Для него справедлива оценка
F(t) < exp
i
\\т?¥т
Vlo
Определение 6. Семейство множеств {Dt<=U: teJ} назовем
конфигурационным пространством уравнения (1), если
(i) для любого решения u(t) уравнения (1) VteJ u(t)eDt;
329
(ii) для любого uo^D , существует единственное решение задачи (2) для уравнения (1).
Теорема 4. Пусть оператор-функция MteC(J;L(U;F)) (Ь,о)-ограничена и бесконечность является устранимой особой точкой оператор-функции (pL-Mt)-1. Тогда конфигурационным пространством уравнения (1) является семейство множеств {^[F1]: teJ}.
Доказательство. В силу результатов [18] Vf()e F1 задача (3), (4) имеет единственное решение из F1. Подействуем на подпространство F1 оператором (teJ), получим семейство множеств {L,\ [F1]: teJ}, которое и будет
конфигурационным пространством уравнения (1). Теорема доказана.
Определение 7. Оператор U(t,r) = Ц\Р(t)F(r)LTlPT назовем эволюционным
(разрешающим) оператором уравнения (1).
Утверждение 1. Эволюционный оператор обладает следующими фундаментальными свойствами:
(1) U(t,t)=Pt;
(ii) U(t,s)U(s,i)=U(t,i);
(111) u(t,i)iu;=(U(T,t)lut1) h
(t
(iv) \\U(t,T)\\ <Kexp
\T
(t < t).
Генеральные показатели нестационарных уравнений. Для простоты будем в дальнейшем рассматривать уравнение (3) как однородное дифференциальное уравнение
и(t) = Au(t), 0 < t <+<х> (5)
в некотором банаховом пространстве B.
Если оператор-функция At ограничена: ||Д || < К или интегрально
ограничена:
t+1
sup jArdr < К,
0 < t < +оо
(6)
t
t
то в силу леммы 2.4 его решение подчиняется оценке33 u(t)<eK{t+1)u(0) и
Ч|п(о|
(верхний) показатель экспоненциального роста равен 3 = lim —-—— для
^+=° f
каждого решения уравнения (5) удовлетворяет условию 3<к.
330
Для того, чтобы все решения уравнения (5) имели конечные показатели экспоненциального роста (или даже были ограниченными), вовсе не обязательно, чтобы выполнялось условие (6). Не предполагая выполненным условие (6), рассмотрим множество £ показателей экспоненциального роста всевозможных решений уравнения (5), среди которых могут оказаться и равные + оо. Это множество £ назовем спектром показателей уравнения (5).
Определение 8. Старшим показателем уравнения (5) назовем величину 3S - sup$
Теорема 5. Старший показатель уравнения (5) совпадает с показателем экспоненциального роста оператор-функции U(t), U(t) = U(t,0) и равен
|пИо||
3, = lim
*->■+*> t
Аналогично можно ввести нижний показатель экспоненциального роста решения
ЧИо1
Э>= Вт
*->-ко t
и далее младший показатель 3\ уравнения, представляющий собой
3' = -lim
точную нижнюю грань нижних показателей
‘-'-w i
Пусть u(t) = U(t)u0 - какое-нибудь решение нашего уравнения (5).
Определение 9. Верхним генеральным показателем 3g(u0) решения u(t) = U(t)u0 уравнения (5) называется точная нижняя грань всех чисел ет е R, для которых существуют числа Nm> 0, такие что ||м(/)|| < Nwem(t'т)||м(г)|| 0 < г < t.
Если таких чисел т не существует, положим 3g(u0) = +оо.
Определение 10. Нижним генеральным показателем 3'g(u0) решения u(t) = U(t)u0 уравнения (5) называется точная верхняя грань всех чисел R, для которых при некотором N^> О выполняется неравенство ||м(/)|| >N||м(т)|| 0 <т <t.
Если 3(и0) показатель экспоненциального роста решения, то
-со < ,9'g (и0) < 3(и0) < 3g(u0) < +оо
Интервал [3'g(u0),3g(u0y\ назовем интервалом генеральных показателей рассматриваемого решения u(t) = U(t)u0.
331
Справедливы формулы
9g (u0)= lim
— ln|\u(t |u^)||
&g (uo)= lim
ini |u(t u^-)||
t — T t—T —>+X> t — T
Пусть P - проектор в пространстве B, BP=P[B] - соответствующее ему подпространство. Рассмотрим совокупность решений u(t) = U(t)u0 уравнения (5), начинающихся в подпространстве ВР: и0 еВР.
Определение 11. Верхним (соответственно нижним) генеральным показателем рассматриваемой совокупности решений назовем величину 3g(P) (
3'g (Р)), равную точной нижней (верхней) грани показателей ш е R, при которых формула (8), ((9)) справедлива для всех решений u(t) = U(t)u0 с и0 еВР и числом Nm > 0, не зависящим от и0.
Будем называть показатели 9g(P), 3'g(P), и интервал [5'g(P),^(P)]
верхним и нижним генеральными показателями и интервалом генеральных показателей уравнения (5), соответствующими проектору P (подпространству ВР).
В частности, при Р=1 генеральные показатели обозначаются 9g(P) = 3g,
&AP) = *'g.
При расширении подпространства BP соответствующий интервал генеральных показателей может лишь расшириться 3'g < 3'g (Р) < 9g(P) < >9,
Теорема 6. Для того, чтобы верхний (нижний) генеральный показатель уравнения (5) был конечным: ,9g<+<» ($(,>-<») необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось условие
К - sup ||[/(?,г)|| < +оо (К — sup ||[/(гД)|| < +оо) .
0</-г<1 0</-г<1
Рассмотрим подпространство BP(t)=U(t)[BP]. Оно является областью
значений проектора P(t) = U(t)PU~l(t).
Определение 12. Если выполняется условие
m
P- sup
0< t<oo‘
U (t)PU\t)
то будем говорить, что подпространство BP (проектор P) регулярно поворачивается эволюционным оператором уравнения (5). Это условие очевидно при P=I.
Теорема 7. Для того, чтобы выполнялась оценка 3g(P)< + со (3'g(P)>-оо),
достаточно, а для регулярно поворачиваемых оператором U(t) проекторов P и необходимо, чтобы
332
Теорема 8. Если оператор-функция A(t) интегрально ограничена (6), то все генеральные показатели уравнения (5) конечны.
Устойчивость генеральных показателей нестационарных уравнений. Выясним, как изменяются генеральные показатели при некоторых преобразованиях уравнения (5).
Определение 13. Будем говорить, что уравнение (5) обладает свойством B (у, У), где kgR, а N>0, если все его решения подчиняются оценке
\u{t)II < Ne v(t r)||w(r)||, t > x или, что одно и то же IIU{t, r)|| < Ne
-V(t-T )
t> X .
Заметим, что выполнение свойства B (0, N) с каким-нибудь N>0 равносильно равномерной устойчивости вправо уравнения (5).
Рассмотрим два свойства генеральных показателей нестационарных уравнений, вытекающие из определений.
1) Вся совокупность показателей уравнения
u(t) = (At + cd)u(t)
получается из соответствующей совокупности показателей уравнения (5) при помощи сдвига на величину Re а вправо.
2) При любом £ >0 старший и верхний генеральный показатели уравнения
“(0 = 4+М0
совпадают с соответствующими показателями уравнения (5).
Рассмотрим наряду с уравнением (5) уравнение
ii{t) = A^uif) + Btu{i). (7)
Лемма 2. Пусть уравнение (5) обладает свойством В (у,У) и при некотором 50 > 0 выполняется условие
suPy \\4dT = K^ <
00
Тогда уравнение (7) обладает свойством В(у',У), где v'=v-NKSo, N' = N exp(NKSo s0) .
Теорема 9. Верхний генеральный показатель 9,, уравнения (5) обладает
следующим свойством устойчивости: каково бы ни было число е > о, существует число 5 > о, зависящее только от s и уравнения (5), такое что, если
t+s
t> 0
333
t+s
lmij ||fi,||rfr<<J, (8)
t,s-> CO J" 11 t
то справедлива оценка 3g < Sg + s, где 3g - генеральный показатель уравнения (7).
Аналогичным свойством обладает нижний генеральный показатель.
Следствие. Если спектр а(А) лежит внутри левой полуплоскости, то при условии (8) с достаточно малым S > о уравнение (7) обладает отрицательным верхним генеральным показателем.
Уравнения, коэффициенты которых отличаются слагаемым, стремящимся к нулю на бесконечности, называют асимптотически сравнимыми. Таким образом, верхние (нижние) генеральные показатели интегрально сравнимых или асимптотически сравнимых уравнений совпадают.
Список литературы:
1. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт // ПММ. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.
2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1967. -
576 с.
3. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий. - М.: Наука, 1970. -536 с.
4. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко. - Новосибирск: Научная книга, 1998. -438 с.
5. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1967.- 472 с.
6. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР. - 1972. - Т. 202, № 5. -С.1031-1033.
7. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров. - Новосибирск: Наука, 2000. - 336 с.
8. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон. - М.: ИЛ, 1958. - 474 с.
334
9. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. - Новосибирск: Новосибир. гос. ун-т, 1990.
- 132 с.
10. Копачевский, Н.Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи / Н.Д. Копачевский. - М.: Наука, 1989. -416 с.
11. Корпусов, М.О. Разрушение в неклассических волновых уравнениях / М.О. Корпусов. - М.: Книжный дом Либроком, 2010. - 240 с.
12. Корпусов, М.О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов // ЖВМ и МФ. - 2000. - Т. 40, № 8. - С. 12371249.
13. Крейн, М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М.Г. Крейн. - Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1964. - 186 с.
14. Крейн, М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М.Г. Крейн // УМН. - 1948. - Т. 3, № 3. -С.166-169.
15. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1970. - 288 с.
16. Лере, Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения / Ж. Лере. -М.: Наука, 1984. - 208 с.
17. Ляпунов, А.М. Собрание сочинений. Т. 2. / А.М. Ляпунов. - М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 473 с.
18. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. - М.: Мир, 1970.
- 456 с.
19. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройда / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1988. - Т. 179. - С. 126-164.
20. Осколков, А.П. О нестационарных течениях вязкоупругих жидкостей / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1983. - Т. 159. - С. 101-130.
21. Сагадеева, М.А. Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа: дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.А. Сагадеева. - Челябинск, 2006. - 119 с.
335
22. Сагадеева, М.А. Разрешимость нестационарной задачи теории фильтрации / М.А. Сагадеева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 27. - 86-98.
23. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников [и др.]. - М.: Физматлит, 2007. - 736 с.
24. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Сиб. мат. журн. - 1995. - Т. 36, № 5. - С. 1130-1145.
25. Соболев, С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С.Л. Соболев // ДАН СССР. - 1952. - Т. 82, № 2. - С. 205-208.
26. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче для систем уравнений частных производных / С.Л. Соболев // ДАН СССР. - 1951. - Т. 81, № 6. - C. 1007-1009.
27. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче для систем уравнений частных производных / С.Л. Соболев // ДАН СССР. - 1951. - Т. 81, № 6. - C. 1007-1009.
28. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. математика. - 1954. - Т. 18. - С. 3-50.
29. Чезари, Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. - М.: Мир, 1964. -480 с.
30. Demidenko, G.V., Uspenskii, S.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative. - New York-Basel-Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003. - 239 p.
31. Demidenko, G.V., Uspenskii, S.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative. - New York-Basel-Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003. - 239 p.
32. Oseen, C.W. Hydrodynamik. - Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., 1927. - 353 p.
33. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation // Acta Math. - 1885. - vol. 7. - pp. 259-380.
34. Pyatkov ,S.G. Operator theory. Nonclassical problems. - Utrecht-Boston-Koln-Tokyo: VSP, 2002. - 353 p.
35. Sidorov, N., Loginov, B. Methods in Nonlinear Analysis and Applications. - Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. - 548 p.
36. Sviridyuk, G.A., Fedorov, V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. - Utrecht, Boston: VSP, 2003. - 216 p.
336
