Об устойчивости боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении жидкости из ячейки Хеле-Шоу Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 532.517.532.546

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКИХ ПАЛЬЦЕВ, ОБРАЗУЮЩИХСЯ ПРИ ВЫТЕСНЕНИИ ЖИДКОСТИ ИЗ ЯЧЕЙКИ ХЕЛЕ-ШОУ

О. А. Логвинов

1

Показано, что на боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении жидкости из ячейки Хеле-Шоу, развивается неустойчивость, вызванная силами инерции, а силы вязкости, действующие в плоскости ячейки, наоборот, стабилизируют поверхность.

Ключевые слова: ячейка Хеле-Шоу, вязкие пальцы.

It is shown that instability develops on the lateral surface of the viscous fingers formed when a fluid is displaced from a Hele-Shaw cell. This instability is caused by the inertia forces. On the contrary, the viscous forces acting in the plane of the cell stabilize the surface.

Key words: Hele-Shaw cell, viscous fingers.

Введение. В работе рассматривается процесс вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу, которая представляет собой две параллельные пластины, разделенные малым зазором. На вход ячейки, заполненной вязкой жидкостью, подается менее вязкая. Фронт вытеснения жидкостей неустойчив. Вытесняющая жидкость прорывается через слой вытесняемой, образуя в ней каналы, называемые вязкими пальцами. В настоящее время подробно исследована неустойчивость плоского фронта вытеснения, движущегося по своей нормали, в ячейке Хеле-Шоу. На нем развивается неустойчивость Саффмана-Тейлора [1]. Дестабилизирующим фактором являются вязкие силы трения, действующие поперек пластин ячейки и приводящие к образованию отрицательного градиента давлений, нормального к фронту вытеснения. Аналогичная ситуация возникает, когда тяжелая жидкость налита поверх легкой. Градиент давления, обусловленный в этом случае силой тяжести, приводит к развитию неустойчивости Рэлея-Тейлора [2]. Известны два механизма стабилизации плоского фронта: для несмешивающихся жидкостей это силы поверхностного натяжения [3], а для смешивающихся — диффузия. Критерием подобия для процесса неустойчивого вытеснения из ячейки Хеле-Шоу является отношение стабилизирующего фактора к дестабилизирующему. Для несмешивающихся жидкостей это модифицированное капиллярное число, представляющее собой отношение сил трения к силам поверхностного натяжения [4], а для смешивающихся — число Пекле [5].

Существуют эксперименты по скоростному неустойчивому вытеснению водоглице-риновой смеси водой [6], в которых ни один из известных механизмов стабилизации не срабатывает: эффекты диффузии не успевают проявиться из-за высокой скорости вытеснения (числа Pe > 1000), а поверхностное натяжение отсутствует, так как вода и глицерин смешиваются. В работе [7] было показано, что стабилизирующим фактором в этих и подобных им экспериментах служат силы вязкости, действующие в плоскости пластин ячейки, а критерием подобия — отношение зазора между пластинами к ширине ячейки.

Согласно экспериментальным данным работы [6], на боковой поверхности вязких пальцев также развивается неустойчивость, со временем приводящая к их разрушению и образованию вязких пузырьков (рис. 1).

Рис. 1. Неустойчивость, развивающаяся на боковой поверхности вязких пальцев, в экспериментах работы [6]: ширина ячейки — 100 мм, длина — 200 мм, высота — 1,2 мм; вытесняющая жидкость — вода, вытесняемая — водоглицериновая смесь; средняя скорость и о = 5 см/с, отношение вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкости М = 84 в моменты времени ¿1 = 0,4 с (а) и ¿2 = 1,6 с (б)

1 Логвинов Олег Анатольевич — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

В работе [7] была высказана гипотеза о том, что наблюдаемая неустойчивость аналогична неустойчивости Кельвина-Гельм-гольца [2], которая развивается за счет инерции жидкости, обтекающей поверхность раздела. Решалась следующая задача. Пусть в ячейке установилась регулярная структура фронта вытеснения, состоящая из чередующихся пальцев, заполненных вытесняющей жидкостью 1, и промежутков между ними, в которых находится вытесняемая жидкость 2. Жидкость в пальцах движется со скоростью П\, а жидкость в промежутках — с меньшей скоростью и2 (рис. 2). Таким образом, возле границы раздела реализуется сдвиговый поток, когда скорости обеих жидкостей параллельны поверхности раздела (рис. 3, а).

Рис. 2. К постановке задачи об устойчивости боковой поверхности вязкого пальца

Рис. 3. Профили скоростей в задаче об устойчивости боковой поверхности вязкого пальца:

а — без учета сил вязкости, б — с учетом

Для описания сдвигового течения в [7] была использована система осредненных по зазору ячейки уравнений движения, учитывающая малые силы инерции:

(ди ди ди\ др 12 ц

11 дх ду) дх 82 Ь'

ду

ду

ду

+ и + V ' ' I + ^ — У

ей 11 дх ду) ду 82 1'

ди ду ^

дх ду '

(1) (2) (3)

где и, у — компоненты вектора скорости; р — давление; ¡, р — коэффициент динамической вязкости и плотность жидкости; 5 — зазор (высота) между пластинами ячейки.

Согласно дисперсионному анализу, проведенному в [7], имеет место следующее соотношение между безразмерной интенсивностью роста возмущения Л (декрементом затухания) и безразмерной длиной его волны Л:

К еМ^±1р +

12(М + 1) - 2 Ие

М + I) г

Ъ л

НЛ

Ие

Б + М2 1

где

- М - Л

- IV

м Ш.

Ие =

Б

Р2Щ5

+24^ Л2 Л

г2 = -1.

0,

¡1 Р1 ¡2

Оно представляет собой квадратное уравнение, действительная часть одного из корней которого все^ гда отрицательна, тогда как второго всегда положительна и имеет вид

6 М + 1 Б

Ие [Л] = Нх =

Ие Б + 1 М

+ у \/К2 + Л2 + К

где

К =

18

(М + 1 )Б (Б + 1 )М

1

+ тт

Б

2Л2 (Б + 1)2

М - 1 М

Л

6 М - 1 (Б - М)Б

Л Ие М (Б + 1)2М'

2

2

Зависимость интенсивности роста возмущений Нх от длины волны Л показана на рис. 4 кривой 1 при М = 84, Б =1, Ие = 1,2. Выбранные значения безразмерных параметров соответствуют экспериментам [6]. Видно, что возмущения бесконечно малой длины неограниченно возрастают, следовательно, боковая поверхность пальцев начинает разрушаться сразу же при их формировании.

Таким образом, удалось выделить дестабилизирующий фактор — силы инерции, но фактор, стабилизирующий боковую поверхность вязких пальцев, указан не был. Им могли бы быть силы поверхностного натяжения, но они отсутствуют в смешивающихся жидкостях. Поэтому, как и в задаче о неустойчивости плоского фронта вытеснения, движущегося по своей нормали, была выдвинута гипотеза о том, что стабилизирующим фактором являются силы вязкости, действующие в плоскости пластин ячейки.

Решение задачи об устойчивости боковой поверхности вязкого пальца с учетом малых сил вязкости, действующих в плоскости ячейки. Исследуется устойчивость плоской границы раздела жидкостей в ячейке Хеле-Шоу при сдвиговом течении (рис. 3, б). В систему уравнений (1)-(3) добавляются малые силы вязкости, действующие в плоскости

Рис. 4. Зависимость темпа роста возмущений от длины волны при М = 84, Б = 1: кривая 1 — без учета сил вязкости (решение (4)) для Ие = 1,2; кривые 2-4 — с учетом сил вязкости (неявное решение) для Ие = 0,1; 0,7; 1,2 соответственно

пластин ячейки:

Р

ди ди ди \ др сМ дх ду) дх

( ду

ду

ду

^ ^ дЬ дх ду

др ду

ди ду ^ дх ду

12ц (д2и, д2и,\

12ц /д2у д'2у 82 1 дх2 ду2

(5)

(6) (7)

Граничные условия на поверхности раздела у = £(х,Ь) представляют собой условия равенства векторов скоростей и напряжений вытесняющей и вытесняемой жидкостей:

у = ((х,г): %Л\ = гЛ2, ё\и = Л2„. (8)

На бесконечном удалении от поверхности ставятся условия постоянства скоростей:

у ^ +ю: щ = , Уг = 0; у ^-сю: П2 = И, У2 = 0. (9)

Стационарное распределение скоростей, давлений и касательных напряжений имеет следующий вид:

п** = Иг

М- 1 { г- у

1 ~ мТТехр(~ I

др\ = 12щ дх О2

(1и\ и л/12 М -1 ( г-у

п2 = И

М-1 1 + , г , , ехр

Т-2 = №

М + 1 йп%

о

м

дх

12^2

И2,

тт \/12 М - 1 №-'2 —р- ,Г , . ехр

йу ^ О М + 1 Линеаризуем уравнения (5)-(7) и граничные условия (8), (9):

>/12 | о

( дп'

дп'

, дп*

дх ^1 ду

+

др' дх

12 ци' {д2и' д2и' 82 ^ \ дх2 ду2

! ду' * ду'^ ^ др' 12цу'

V дг

дх

+

ду

о2

(д2у' д2у' дх2 ду2

У = 0:

du' dv' dx dy

, dv' , dv'2

Hi

/сЦ V дУ

+ <K\ fdu2 ! ! dT2 t

dx) dy dy dx J dy '

Л дУ д£ d£

, Д d£

Vl=V>=dt+U^=dt+U^> t du* i du*

y ^ +ж: ul = v' = 0; y ^ —ж: u'2 = v2 = 0.

Введением функции тока и' = ——, v1 = —— из полученной линеаризованной системы исключается

dy dx

давление, что приводит к дифференциальному уравнению четвертого порядка

д3ф д3ф д3ф д3ф

dtdy2 dtdx2

dx3

12 ц(д2ф д2ф

+ H

dxdy2 V&r4

52 \ дх2 ' ду2

Решение этого уравнения ищется в виде бегущей волны

+ 2

d2u* дф dy2 дх

д4 ф

dx2dy2

дАф\ + WJ'

(10)

ф = S (y) exp

ht- 2п

ix

т

(11)

Подставляя решение (11) в уравнение (10), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции 5

<£S d?

+

4п2 р

H 2ni

Р (и 2ni * — [ п--— и

А

8тг2 12 + ¿2

dSS

dy2

+

Л2 ц, A U ) ¡1 \ dy2

р 2ni d2u* 16п4 12 4п

+

Л4

+ £2 Л2

S=0

с четырьмя граничными условиями при y = 0:

(12)

Hi

d3Si

12п2 12hi Л , 2ni\\ dSi du* 2ni „

= H2

Hi

dy3

12n2 12H2 , Л * 2ni -Д2- + ""¿Г" + P2 U - U2 —

dy

du* 2ni ^

/ d2Si 4n2

\dy2

Л2

dr*

id2 S2 4n

dy

+ ^NlSl =

\dy2

+ +

dS 1 dy ' dy

dS2 du*

dy

Si = S2,

+

dy

Л2

N2S2,

dy

N2S2,

(13)

(14)

(15)

где

Ni =

N2 =

— h — -ut 2ni i

-h — u%

2ni 2

р

2

2

1

1

и условиями на бесконечности

у — : 51 = 0; у — —ж: 52 = 0.

Подставляя в уравнение (12) стационарные профили скоростей, приходим к уравнениям для каждой из жидкостей. После обезразмеривания они принимают следующий вид:

(1% + в.3. ± ,,. ехр(±^12 у) х

йу

1гА

й2Б

1

<7/2

= 0, 3 = 1,2,

(17)

где

Л1 = Ие М и И) ( +12 + 2 А2' В1 = 1 А2

Л2 = Ие (» 1 Л м лу ( +12 + 2 Л2' В2 = 1 А2

П1 = Ие

ММ- 1 г

Б М + 1 Л'

П2 = Ие

М Л А 12 1

1 А 12 1

~ М X + Л2 + Л1'

1 М- 1 г

ММ + 1 Л

у = у/5 — безразмерная координата, причем для 3 = 1 вместо знака " ±" берется знак " —", а для 3 = 2 — знак " +".

Общие решения уравнений (17) представляются суммой двух частных решений:

б! (у) = Е1 в1(у) + Езвз(у), ^2(у) = Й2«2(у) + ^4«4(у),

(18)

где Яа, а = 1,... , 4, — комплексные константы.

Частные решения ва, а = 1,..., 4, с учетом условий на бесконечности ищутся в виде экспоненциальных рядов:

8к=^2ст>кехр -(дк + л/\2т)у , с0,к = 1, А; = 1,3;

т=0 оо

^ =^2 йт,1 ехр

т=0

(ф + ^12т)ф (¿0)г = 1, / = 2,4,

где дк, к = 1, 3, — положительные корни характеристического уравнения д4 — Л^2 + В1 =0:

1

Я1

Л'

М г 1

а д1, I = 2, 4, — положительные корни характеристического уравнения д4 — Л2Ц2 + В2 = 0:

Коэффициенты ст%к, йт%\ удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

1

ст+1 , к ст,к П1

йт+1, I = йт, 1П2

(дк + ^Д2(т-1))2 - + (дк + \/12т)4 - Аг{дк + ^12 т)2 + В1'

(<Й + ^12(т-1))2- (12 + ^) {дг + л/12 т)4 - + л/12 т)2 + Д2'

к = 1, 3;

I = 2, 4.

Подставив решения (18) в граничные условия (13)-(16), получаем алгебраическую систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными для определения констант Ка:

в3 81 ( 3 „ М Л 2 г

„ М М - 1 г— %

—!- - Ие--л/12 ■=■ в!

<1у Б М +1 Л

Й1 -

в 82

+

у

ву3 (1334

ву3 1

А2

3 „ (Л 2 А\в82

1 м- 1 ,— г

М1Н1 I4

3 „ М Л 2 г — + 12 + Ие — [Н---

Л2 £> V М + 1А

^ мм-1 ,

(1у Б М +1 Л

йу М М + 1 А

Й1 -

Л2

М

+

в2 83

+ Т- + 12(М-1)Ж Ь3

Л2

Й3 —

в 84

+

МК2 +

^3 —

МЯ4 = 0,

МЙ2 +

МЯ4 = 0,

в8

- - л/У2(М - 1)ЛГв1

Й1 —

+

ву Е3 —

81^1 — 82^2 + 83Я3 — 84Я4 = 0,

Я2 +

^ - л/12(М - 1)ЛГв3

^ - л/12(М - 1) -1- Л/в4 [_ <1у У >М

Я4 = 0,

1

где ТУ = — ,

2 + (М + 1)А/м

Нетривиальное решение данной системы существует только при условии равенства нулю ее определителя. Это равенство приводит к дисперсионному соотношению / (Л, Л) =0 в неявном виде, где / — комплексная функция. Вместо нее вводится действительная функция ¥ = [Ие(/)] + [1т(/)] , принимающая нулевые значения при тех же значениях параметров, что и комплексная функция /. Поэтому вместо уравнения /(Л, Л) = 0 рассматривается уравнение ¥(Л, Л) = 0. Поиск корней последнего осуществлялся с привлечением средств MATLAB. Параметры Л, Ие, М, Б фиксировались, а затем строилась трехмерная поверхность ¥(Лх, Лу) =0, Л = Лх + гЛу, минимумы которой определялись методом наискорейшего спуска. При всех рассмотренных значениях параметров существует только один минимум с положительной действительной частью.

Анализ полученного решения. Зависимость интенсивности роста возмущений Лх от длины волны Л при М = 84, Б = 1 и Ие = 0,1; 0,7; 1,2 представлена на рис. 4 кривыми 2-4 соответственно. Выбранные значения безразмерных параметров соответствуют экспериментам [6]. Видно, что учет сил вязкости, действующих в плоскости пластин ячейки, привел к стабилизации коротковолновых возмущений. Существует критическая длина волны Л*, интенсивность роста которой наибольшая. Это позволяет оценить характерную длину образующихся вязких пальцев величиной I* = Л* ■ 2п5. Для условий экспериментов [6] эта длина оценивается несколькими миллиметрами, что намного меньше длины ячейки. Поэтому наблюдается непрерывное разрушение образующихся вязких пальцев.

Таким образом, силы вязкости в плоскости пластин ячейки оказывают стабилизирующее действие, но при условиях экспериментов [6] оно настолько мало, что не приводит к образованию пальцев с устойчивой боковой поверхностью.

Заключение. Решение задачи о сдвиговом течении двух вязких жидкостей в ячейке Хеле-Шоу показало, что на границе раздела жидкостей может развиваться неустойчивость, аналогичная неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. С помощью осредненных по высоте ячейки уравнений движения, включающих малые силы инерции и вязкости в плоскости пластин ячейки, установлено, что дестабилизирующим фактором являются силы инерции. Выделен стабилизирующий фактор — вязкие силы, действующие в плоскости пластин.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 08-08-00222-а.

2

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Saffman P.G., Taylor G. The penetration of a fluid into a porous medium or a Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid // Proc. Roy. Soc. London. A. 1958. 245. 312-329.

2. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947.

3. Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Show flows // Phys. Fluids. 1985. 28, N 6. 1583-1585.

4. Tanveer S. Surprises in viscous fingering //J. Fluid Mech. 2000. 409. 273-308.

5. Hill S. Channelling in packed columns // Chem. Eng. Sci. 1952. 1. 247-252.

6. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Maximenko A., Thiercelin M., Vedernikov A., Scheid B, Istasse E, Legros J. C. Microgravity investigations of instability and mixing flux in frontal displacement of fluids // Microgravity Sci. Technol. 2004. 15, N 2. 35-51.

7. Звягин А.В., Ивашнев О.Е., Логвинов О.А. О влиянии малых параметров на структуру фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2007. № 4. 27-37.

Поступила в редакцию 05.11.2008

УДК 536.25:537.36:538.4

ЭЛЕКТРОТЕПЛОВАЯ АНАЛОГИЯ В ЗАДАЧАХ ТЕРМО- И ЭЛЕКТРОКАПИЛЛЯРНОГО ДРЕЙФА ЖИДКИХ КАПЕЛЬ

А. А. Суворов1, Е. В. Тимохин2, А. А. Чайка3

Рассматривается аналогия в задачах о стационарных термокапиллярном дрейфе при малых числах Пекле и электрокапиллярном дрейфе капли одной вязкой жидкости в другой безграничной вязкой жидкости при наличии постоянных градиентов температуры или электрического потенциала на бесконечности.

Ключевые слова: термокапиллярный дрейф, электрокапиллярный дрейф.

The paper concerns an analogy in the problems of a steady thermocapillary drift with low Peclet numbers and with the electrocapillary drift of a viscous drop in an unbounded viscous liquid. The motion is considered to be caused by the constant temperature gradient or by the electrical gradient at infinity.

Key words: thermocapillary drift, electrocapillary drift.

1. Постановка задач. Будем считать, что все параметры жидкостей (плотность р, коэффициенты динамической вязкости п, теплопроводности А, электропроводности а вне капли и соответствующие величины р, П, А', а' для жидкости внутри капли) постоянны, кроме коэффициента поверхностного натяжения 7. Тогда обе рассматриваемые задачи относятся к классу капиллярных движений [1], а интегральным итогом решения этих задач является нахождение формул для скоростей электрокапиллярного дрейфа (ЭКД) Ve и термокапиллярного дрейфа (ТКД) V7 капли. Для задачи ЭКД 7 зависит от скачка электрического потенциала {р} = р — р' на границе раздела фаз и величины плотности поверхностного заряда q двойного электрического слоя (ДЭС), которая определяется термодинамическим соотношением Гельмгольца—Липпмана—Гиббса [1]: q = —dj/d{p], а для ТКД 7 зависит от локального значения температуры T поверхности раздела: 7 = 7(T).

В собственной системе отсчета, связанной с центром масс капли, обе задачи обычно сводят к стационарному обтеканию капли однородным на бесконечности потоком с неизвестной заранее скоростью Uo (направленной по оси Oz и равной —Ve для электрической задачи и —Vj для тепловой) и в случае малых чисел Пекле (чтобы в первом приближении можно было пренебречь конвективным переносом тепла)

1 Суворов Александр Александрович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: suvorov. [email protected].

2 Тимохин Евгений Владимирович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

3 Чайка Александр Александрович — вед. специалист ЗАО "Голлард", e-mail: [email protected].