Об уравнениях кинематики твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГИ

Том XXXII

2001

№1—2

УДК 629.7.015

ОБ УРАВНЕНИЯХ КИНЕМАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассматриваются связи матрицы направляющих косинусов, характеризующих ориентацию тела в пространстве, и вектора конечного поворота (ВКП), использование которого в ряде случаев упрощает техническую реализацию необходимой ориентации летательных аппаратов. Приводится вывод кинематического уравнения связи угловой скорости вращения тела и производной от ВКП, причем рассматривается несколько видов нормировки ВКП.

С привлечением свойств кососимметрических матриц выводится формула сложения конечных поворотов без применения геометрических построений, позволяющая отчетливее выявить связь между различными описаниями конечных поворотов. Предложена модификация кинематических уравнений для углов курса, тангажа и крена, удобная при стендовом моделировании углового движения летательного аппарата.

Вопросы описания кинематики твердого тела при движении в пространстве имеют богатую историю, но практические аспекты использования известных теоретических построений заставляют иногда возвращаться к ним. В настоящих заметках представлены некоторые результаты сравнительного анализа и методических подходов, которые могут быть полезны при освоении учебного материала и при решении некоторых практических задач динамики управляемых летательных аппаратов, но к сожалению, как правило, выпадающих из базовых курсов теоретической механики.

1. О кинематическом уравнении для вектора конечного поворота. Ориентация тела в пространстве характеризуется матрицей направляющих косинусов между связанными с телом осями координат и базовой системой координат 01тп:

А. А. Шипов

ІХ (у ^2

А= тх ту тг , где йеіА = 1.

пх пу п2

(1)

Матрица позволяет вычислять проекции вектора на базовые оси, если известны проекции на подвижные (связанные) оси координат, например, умножая вектор г {гх, гу, г2) на матрицу Л, получим значения проекций

вектора на оси Оітгг.

Напомним известные положения. Если существует вектор Я, проекции которого Ях, Яу, Я2 численно равны Л/, Ят, Яп, то это означает, что

вращая тело вокруг Я, можно добиться совпадения осей Ох, Оу, Ог с осями

1,т,п соответственно, или, другими словами, перевести тело в заданное положение одним поворотом вокруг соответствующего вектора Я. При заданной матрице А вектор Я определяется из уравнения АЯ = ХЕЯ, где X — масштабный множитель, а Е — единичная матрица [1], [2].

Отсюда получаем:

X3 - Х2ТгА + ХТгА -1 = 0, (2)

где ТгА = 1х + ту + п2, т. е. ■

Х,=1; Х22=-(ТгА-\)±і-ті4-(ТгА-і)2 .

2 2

Поскольку модули корней X 2 3 равны единице, то их можно представить в виде:

^-2,3 =с°8ф±/8тф; 2со$у = ТгА-\, откуда следуют соотношения:

4эщ2 ф = (тх-1у)2 + {12 -пх)2 + (т2 -пу)2; \ + ТгА = 4соз2(ф/2). Существование корня ^і = 1 позволяет записать:

АЯ — Я; АТЯ = Я\ (АТ-А)Я = 0;

0 -1у+тх

1у-тх 0 -т2 + пу Я = 0; (3)

~пх+12 -пу+т2 0

сЫ|| А1 -А 11 = 0.

Определяя компоненты вектора Я из последнего уравнения, можем обнаружить, что любой вектор вида

Я = С(-т2 + пу, 12-пх, тх-1у)Т

является решением однородной системы (3), где С — произвольная кон-

I -* I 2 7

станта. В частности, можно принять Л = 4вт ф; <7 = 1.

Известно, что векторное произведение вида ВхЯ может быть записано в виде произведения кососимметрической матрицы 0.(В) на вектор Я:

0 -В3 в2

П(£) = *3 0 -вх

-в2 Вх 0

; П(В)Я = ВхЯ!

причем вектору Я сопоставлена матрица

П (Я) = А-А1.

(4)

Учитывая, что ЯТЯ =

Я12+Я22+Я32

ЯЯТ =

Я\Я[ Я\ /?2 ЗД Я2Я\ Я2Я2 я2я$

Я^Я\ Я3Я2 Л3Л3

| І? | ,получим:

п2(К)+е(ятя).

Непосредственно выполняя перемножение двух матриц О с учетом (3), можем получить

П2 (Я) = (А + А- 2 Е) (1 + ТгА),

где

П(Я)--

0 Іу-™Х 12~пх

тпх-1у 0 т2 -пу

пх~1г Пу-т2 0

и учтены соотношения между векторами I =тхп; т = пх1;п=1хт.

т

Имея выражения для суммы и разности матриц А и А , получим:

2^ = 2£ + -^~иО(Д), 2АТ = 2Е+° &-П(Я)

1 + ТгА

1 + ТгА

(5)

или с учетом величины модуля вектора R

А = Е + (1- cos ф) Q2 (й) + sin ф О(ы),

т 7 ^

А =£’ + (1-созф)П (м)-зтфО(ы); и=ргу.

R

Таким образом, зная матрицу А, можно определить вектор R и соответственно и и вычислить угол ф, и наоборот, зная вектор и и угол ф, вычислить матрицу А. Отличие существенное — матрица А вычисляется, а вектор R составляется из компонент матрицы А.

Следующая задача состоит в том, чтобы составить дифференциальное уравнение для вектора конечного поворота.

Известно, что уравнения для матрицы направляющих косинусов имеют вид

А = АПа, АТ + ПШАТ=0, (6)

где Qm — кососимметрическая матрица, соответствующая вектору угловой скорости тела со. Почленное дифференцирование уравнения связи матриц и вектора (4) дает A-AT=Q (R).

Умножая выражение А через Q(R) (5) на Ош справа и выражение для Ат на Пш слева, получим:

П(й)Ош П2(Л)ПШ .т Л ЦоОД QmQ2(R)

А = Па+----------+---------; -А1 =Ош--------------+---------,

2 2(1 + ТгА) 2 2(1 + ГгА)

откуда следует, что

™ Q(^)Q(0-Q(0Q(^) Q2(R)nw^n(0Q2(R)

j+------------------+--------------------. (7)

2 2(1+ TrA)

Дифференцируя соотношение 2cos ф = TrA- 1, получим важное следствие:

- 2втфф = lx + my+nz= -{R • ё) = -2зтф (м ■ ю), т. е.

ф = (м • 5). (8)

Дифференцируя соотношение Q(R) = 2зтфО(м), найдем

Q (Л) = Q (м) 2 sin ф + 2Q (м) (й • й) cos ф. (9)

Приравнивая два выражения (7) и (9), получим уравнение для й, но непосредственно из него получить и нельзя, так как определитель матрицы Q(и) равен нулю. Домножая полученное матричное уравнение на произвольный вектор В (см. [3]), можем получить следующее векторное уравнение:

(и х В) 2 sin ф + 2 (й х В) (й ■ со) cos ф =

= 2(йх5) + (мх(йхВ)-йх(мх В)) Бтф +

+ (1 - cos ф) (и х (м х (со х В)) + ш х (м х (и х В))) =

= 2 (й х В) + (В х (со х и)) sin ф - (1 - cosф) (бэ х В + (со ■ и)(и х В)).

Учитывая, что векторное уравнение справедливо при произвольном векторе В, окончательно получим

и 2 sin ф = (и х ю) sin ф - (1 + cos ф) (их (их ю)) (10)

в дополнение к уравнению ф = (й • со).

Этот же результат можно получить и не вводя произвольный вектор

В, а используя тождество й-(йх(йх и)) = С1(й)С1(и)й, но для этого придется привлечь некоторые свойства произведений кососимметрических матриц, отмечающиеся далее при выводе формулы сложения конечных поворотов (см. второй раздел статьи).

Выполняя необходимые операции, получим

.Л 9-* — — — _

2зтф и + 2Q (и)(й-со) совфм =20.(й)Паи +

+ sin ф(Q2(й)Qmu - Q(и)ОщО(и)й) +

+ 28т2(ф/2)0(м)(02(м)0ш + ОшП2(м))ы.

Учитывая, что Q2(u)Qa + Q№Q2(w) = -Q(m)(®m)-Q(0; м2=1 и

П(м)Пш -ОшО(г7) = ймт -мшт, получим:

1 + СОвф

2й = мх5----------(йх(ихю)). (10')

втф

Коэффициент перед двойным векторным произведением при ф —> 0 стремится к бесконечности, и это делает использование полученной системы уравнений (9), (10) проблематичным.

Производная вектора и получена в связанных осях. Легко получить

du du

производную вектора в неподвижной системе координат: — =------+ со х й.

dt dt

Из дифференциального уравнения й2sin((> = ••• можно получить соотношение

(ы х и) 2sin ф = (ю - и (и ■ со)) sin ф + (1 + cosф) (со х и).

Исключая с помощью последнего соотношения из исходного дифференциального уравнения (10) член (мхи), получим

со = фм + мзтф + (1-со8ф)(мхй). (11)

Это выражение позволяет вычислять угловую скорость при задании конечного поворота через параметры ф, ф, й, й.

В самом начале рассматривался вектор конечного поворота, имеющий модуль 2зтф. Теперь можем написать дифференциальное уравнение для изменения R:

R = u2s'm<p + 2(u-(b)ucos(p.

После подстановки и учета нормировки получаем: j. Rx оз 1

/? = ю2созф +-----------х------(Rx(Rxo))), (12)

2 8cos (ф/2)

1 - 1-СОЗф _ 1-СОЗф Л -

ю = -R+---------фД +------г— (RxR). (13)

2 2зшф 4sin ф

Очевидно, что форма и достоинства уравнения для вектора конечного поворота зависят от способа нормировки.

Можно поставить задачу в общем виде. Известны дифференциальные уравнения для угла ф и вектора й, требуется выбрать такую функцию /(ф)

для нормировки F = /(ф) и, чтобы вместо уравнений

ф = (и •©); м2зтф = (м хсо) зтф-(1 + созф)(м х(и хй))

получить уравнение F = •■•, содержащее только устранимые особенности. Учитывая, что F = /'(ф) фи + /(ф) г7, получим

j. 2зтф Fхш 2/'зтф

F--------=--------втф + со----------+

/(Ч>) /(Ф) /

2/'втф 1 + совф

7~.

(Fx(Fx6)). (14)

Отсюда следует, что при /'(ф) = 1,/(ф) = Ф искомое уравнение (14) приобретает вид

д 1 /- Ч ( 1 1 + COS ф ^ - - \

F = ®+-(Fx5)+ —---------------- (FxCFxco)). (15)

2 ^Ф 2фзтф>)

Множитель перед последним членом в силу тождества 1 + COS ф sin ф

--------=--------- может быть представлен в виде, приведенном в работе

ЭШф 1 — COS ф

[3]:

ф2 2фсозф

Ф2

1-

ч 2(1-С05ф)у

При ф -> 0 этот коэффициент имеет конечный предел, при ф = ± 71 особенность отсутствует, а при ф —> 2л — сохраняется.

Если полученное уравнение дважды умножить векторно на Р, то можно получить выражение, приведенное в [3]:

Л 1 — СОвф /— л\ 1 ( вШф^/- - - ^

Ю = ^------_Л(/Гх^+-Т 1------------М/’х^х^)]. (16)

2 V / 2

9 Ф

V Ф

Выбор функции неоднозначен, и можно рассмотреть другие варианты. Для исключения особенности при ф = 0 можно принять:

Fi = 2Ї? sin (ф/2) или Р2 = 2и tg (ф/2).

В первом случае / = 2 sin (ф/2):

Fj = — (Fj хй)+йcos (ф/2), если со8(ф/2)*0. (17)

Как и ранее, дважды умножая это уравнение векторно на Р\, получим два

соотношения, из которых выразим (Fj хш) через/], Fj, что в результате дает:

йсоз (ф/2) = A -COS(2CP/2)(f1 X Д)+i (f, X (Рх X /?,)). (18)

Рассматривая второй вариант, соответственно получим:

Р2 = й + — (Р2 хй) +—Р2(Р2 • й), если сов(ф/2)^0.

В последнем выражении знак второго члена не совпадает со знаком в уравнении, приводимом в книге [1], так как производная здесь получена

в связанных осях. Если учесть, что Р2 = Г2а6с ~“х ^2» то получим в полном соответствии с [1]:

Ьабс =ю + -(юхР2абс) + -р2абс{^2 абс ’“)» ^2абс ~ (-^2абс х ^2абс) =

1 + —Я

что соответствует в связанных осях выражению

(20)

(21)

ю

1 + —

= ^2 —— (^2 х ^2)-

(22)

Проведенный сравнительный анализ уравнений для вектора конечного поворота показывает, что наиболее простой вид уравнение имеет при нормировке /*2 =2и tg (ср/2), что исключает устранимую особенность в уравнении, приводимом в статье [3], и не вызывает затруднений при формировании матрицы направляющих косинусов:

А = Е +

1

1+

(23)

4

2. О сложении конечных поворотов. Выше было рассмотрено применение кососимметрических матриц для описания кинематики твердого тела. Этот же математический аппарат может быть применен при выводе формулы сложения конечных поворотов для единообразной записи кинематических задач.

Если рассмотреть два вектора и их матричные произведения

(24)

то непосредственными вычислениями можно получить важное соотношение:

VI Ъ\С2 Ъ\съ

Ьтс = {Ь-с)-, Ьст = ^2С1 Ь2С2 Ь2СЪ

Ьзс\ Ъъс2 ^3

С1(Ь)£1(с) = сЬт -Е{р -с), где Е =

1 0 0

где Е = 0 1 0

0 0 1

На основе этого соотношения, привлекая тождество П (а)Ь = - О (Ь)а (стрелки опускаем), можно получить ряд следствий:

1. О (а) О (Ь) - О (Ь) П (а) = Ьа г - аЪт = О (а х 6),

О ((Ь х а) х а) = О (а х Ь) О (а) -С1(а)П(Ьха),

2. П((Ьха)ха) = (а-Ь)П(а)-а2С1(Ь),

3. О (а) О (Ь)С1 (а) = ЬатО, (а)~Е-(а-Ь)С1 (а) = - (а • Ь) О (а),

4. О2(а)О(Ь) = П(а)(О(ахЬ) + П(Ь)П(а)),

С1(а)П2(Ь) = (П(ахЬ) + Пф)П (а)) Пф),

5. П(а)П2(Ь) = П(а)(ьЬт-ЕЬ2)=-С1(Ь)аЬт-П(а)Ь2 = (25)

= -П2(Ь)П(а)-П(Ь)(а-Ь)-П(а)Ь2,

П(а)П2(Ь) + П2(Ь)П(а) = -Ь2П (а) -(а-Ь)П (Ь),

6. О2 (а) П2 (А) = (а■ Ь)(О(ДО(а) +Е(а ■ Ь)) - а2П2 (Ь) - Ь2аат,

П2 (а) О2 (Ь) - О2(Ь) О2 (а) = (а-Ь)С1(Ъха),

7. О?(а) = -а2С1(а); П*(а) = а2П2(а); 0.5(а) = а2а2П(а).

Как было видно из анализа возможных вариантов нормирования вектора конечного поворота, наиболее компактное кинематическое уравнение получается при й> = 21% (ф/2)и . Исходя из этого, будем выводить формулу для сложения векторов конечных поворотов

а = 21ё(а/2)йа; р = 2tg(p/2)и р ,

которым соответствуют матрицы

соз2(а/2) 0 , ч

А = Е-\------------------------------- -О (а) н-сов (а/2)0(а),

сое2(Р/2) - - »

В = Е +-------^-^а2(р) + соз2(р/2)П(р).

Будем считать А первым поворотом, а В — вторым, тогда матрица суммарного поворота будет равна ВА. Для вычисления вектора суммарного

поворота 0 нужно еще вычислить матрицу (ВА)Т, поскольку

ВА-(ВА)Т ...

9 2 сое2 (0/2)

Тогда, для краткости обозначая О (а) = Па; О(Р) = Ор, получим: ВА-(ВА)Т =2 сое2 (р/2) Пр +2 сое2 (а/2) Оа +

+ -£?-2.(а/2)С052.(Р/2) + 020а +дао2 + П2а^ +

+

cos2(a/2)cos2(p/2) / - , - 4

--------------— (ofo2 -Q2Q2)=2cos2(0/2)fi0.

4 ' *

Используя приведенные выше соотношения (25), получим: ВА - (ВА)Г = 2 cos2 (P/2) Qp +2cos2(a/2)Qa +

"2

,2л„ _2

7

-cos

(a/2)cos (ft/2) ( ^ .(a.p)-nag2 -П„ .(а Д-П[,аг) +

= cos2(a/2)cos2(P/2)

1-

(ap)'

+ Qp +-fl(pxa)

Величина вектора суммарного поворота 0 вычисляется согласно соотношению 1 + ТгВА = 4 cos2 (0/ 2).

Учитывая, что

ТгП = 0; 7VQaQp = -2 (ol - р);

TrQaQpQY =p(a-y); 7>Q2f2g = (а • р)2 + а2р2,

получим

1 + ТгВА = 4cos2(a/2)cos2(P/2)

Г Ч- nY\2 1-

(а-р)’

Разделив ВА -(ВА)Т на 2cos2(0/2), получим

^na+fip+-Q(pxa)\

=-

1

(а-Р)

Сравнивая компоненты матриц, получаем формулу сложения векторов конечных поворотов

0 =-----* - (а + р + — (рха)

(а ■ Р) I '

1

в полном соответствии с формулой (3.3.13) в книге [1].

Полезные результаты приведенного вывода следующие: при выводе формулы продемонстрировано использование свойств кососимметрических матриц, мало употребляемых в учебной литературе и монографиях, но весьма поучительных;

формальность вывода без других комментариев устанавливает связь

между вектором конечного поворота Р и матрицей В;

применение матричных операций удобно при организации вычислений с помощью ЭВМ.

В качестве примера вычислений с кососимметрическими матрицами можно привести вывод формулы вычитания конечных поворотов. Используя последнюю формулу, вычислим по известным 9, Р величину а. Умножая скалярно формулу сложения на р, получим

(ё-Р)=-

1

(а-Р)

(|р-о)+(М));

1 +

(0-Р)

1 +

(а-Р)

>+£

1 +

(0-Р)

Записывая в формуле для 0 векторное произведение через кососимметрическую матрицу, получим:

£0 =

£ + -Ор \а + Е$

1 +

(0'Р)

1+*-

А-, й=(£ + 1£2р

, + Е '

-Р

(0-3)

Необходимая обратная матрица существует, и ее можно найти непосредственными вычислениями:

' 1 л Е л—Оп 2 р

4 Р^

1 + —

а =-

1 +

Р2

Qi

2 4 j

1 +

Р2

1 +

(9-Р)

1 +

-4-=- 0-(0-Р)

что соответствует результату поворота тела вначале на 9, а потом на - Р и

формуле сложения поворотов.

Другой пример касается вывода кинематического уравнения. Если

в качестве второго поворота рассматривать [3 = 5>с1!, то получим а + с/а =

1 Г 1 - ^

-0 =-------------- а+ №*// +—(ск//ха)

1-

(а-ш dt)

откуда, приводя к общему зна-

менателю, получаем

d®- - 1 / 1

— = <» +—(юха) +—(а-со)а. При этом надо заме-dt 2 4

тить, что оба вектора и производная в этом уравнении считаются известными в базовой неподвижной системе координат.

3. Об уравнениях кинематики при стендовом моделировании. При стендовом моделировании пространственного движения летательных аппаратов приходится использовать трехстепенные кардановы подвесы и управлять положением тела по заданным командам. В существующих системах кинематических уравнений используют переменные курс, тангаж, крен, параметры Родрига — Гамильтона, кватернионы. Каждый из этих способов обладает своими достоинствами и недостатками, которые связаны или со сложностью вычислений, или с наличием особенности в некоторой точке пространства параметров. Но можно отметить еще один недостаток, заключающийся в неудобстве формирования сигналов рассогласования при реализации работы следящих систем. При использовании кинематических уравнений в переменных курс, тангаж, крен достоинство состоит в том, что трехстепенной подвес имеет именно эти степени свободы. Если заданы командные углы S, vj7, у, то формирование рассогласований y-vj7, у-у или требует громоздких вычислений или не-

удобно при широком диапазоне изменения этих углов.

Один из способов обхода этих трудностей состоит в формировании рассогласований вида sin (ф-ф). Если управляющий момент, прикладываемый к рамке карданова подвеса, будет пропорционален такому рассогласованию, то следящая система будет иметь при отрицательной обратной связи лишь одно устойчивое и одно неустойчивое положение равновесия по каждому каналу.

Если в некоторый момент по ходу движения произойдет технический сбой или встретится особая кинематическая точка, то после сбоя и восста-

новления управляющего сигнала (приемов, обеспечивающих это, достаточно много) следящая система выведет тело в положение, при котором 9 -> 9, у -* у, у —> У, т. е. сбой будет ликвидирован.

В технике широко распространены синусно-косинусные датчики углов поворота. Поэтому при использовании цифровых вычислителей в контурах управления не представляет трудностей формирование сигналов вида:

Остается привести в соответствие форму кинематических уравнений, попутно сократив затраты на вычисления.

Введем переменные:

М5=совЭ; г/2=зіп&; из=сов^; = віп\|/; М5=со8у; новілу, которые после подстановки в известные кинематические уравнения

"4 (

«3=-----1“ум5-

Щ

«4 ( Щ =------

щ

“5 = ~ахЧ +

Щ

й6=ахи5-

Щ

и\Щ + «2^2 = иЗЩ + м4“4 = м5“5 + М6“6 =

віп (ф - ф) = БІп <р сов ф - віп ф соэ ф.

& = 0)г сову + (0^ БІПу ,

ф =-------(со,, сое у - сог віп у),

соэЭ

у = слх ^((о^ сову-со., эту)

дают

С очевидностью имеем

и согласно начальным условиям

и\ + м2 = м3 + и4 = «5 + = 1 •

Последние соотношения легко используются для периодической нормировки, необходимой вследствие ограниченности разрядной сетки вычислителя.:

Если, кроме координат необходимо для проектирования век-

тора из неподвижной системы координат в связанную с телом дополнительно иметь матрицу направляющих косинусов, то можно воспользоваться равенством

(V щщ и2 -щи 4 ' а1'

аУ щщ-и2Щи5 щи5 и2щи5 + и3и6 ат

«4«5 + ЩиъЧ -щи6 и3и5-и2щи6 К“п)

ЛИТЕРАТУРА

1. Л у р ь е А. И. Аналитическая механика,— М.: Физматгиз.— 1961.

2. Климов Д. М. Инерциальная навигация на море.— М.: Наука.—

1984.

3. Бортц Дж. Е. Модификация кинематических уравнений для бес-платформенной инерциальной навигации//Вопросы ракетной техники.— 1972, №5.

Рукопись поступила 15/Л 1999 г.