CC BY
11
УДК 681.5
ОБ УПРОЩЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ОПЕРАЦИОННОГО УСИЛИТЕЛЯ
© 2017 А. М. Фрумкин
доцент кафедры электроснабжения, канд. техн. наук e-mail: frumkinam a mail. ru
Юго-Западный государственный университет
Предлагаются по возможности простые динамические модели операционного усилителя в форме дифференциального уравнения с разрывной правой частью. С помощью них исследуются процессы изменения выходного напряжения в типовых схемах инвертирующего масштабирующего звена и неинвертирующего триггера Шмитта.
Ключевые слова: операционный усилитель, схема питания, точка отсчета сигналов, статическая характеристика, дифференциальное уравнение с разрывной правой частью, масштабирующее звено, триггер Шмитта
1.
Введение
В преподавании электронной схемотехники возникает методическая задача упрощенно описать динамику операционного усилителя в схемах с обратной связью. Точная модель сложна, потому что каждый транзистор во внутренней схеме усилителя [Алексенко 1985] обладает собственными накопителями заряда. С другой стороны, основная цель моделирования - показать устойчивость равенства потенциалов на входах усилителя в схемах с отрицательной обратной связью и неустойчивость этого равенства в схемах с положительной обратной связью. Для этой цели желательно предложить по возможности простые модели изменения выходного напряжения усилителя в случае рассогласования входных напряжений. В книгах по схемотехнике [Алексенко 1985, Достал 1982] обычно приводится большой набор параметров усилителя, характеризующих его отличия от идеального устройства. В частности, рассматривается его конечный коэффициент усиления. В данной статье предлагаются две простейшие модели операционного усилителя, которые используют один параметр, служащий для описания изменения во времени выходного сигнала устройства в зависимости от дифференциального входного сигнала (рассогласования). В остальном усилитель считается идеальным устройством, в частности, его коэффициент усиления бесконечен. Модели строятся в форме дифференциального уравнения с разрывной правой частью [Филиппов 1985]. С использованием моделей свойства схем на базе усилителя могут формулироваться в виде математических утверждений. Формулировки и доказательства таких утверждений могут быть использованы при изучении элементов схемотехники студентами специальности «прикладная математика» или при изучении элементов теории динамических систем студентами электротехнических и приборостроительных специальностей. Доказательства утверждений, представленные в статье, помещаются между значками 3 ► . Противоречия, возникающие в доказательствах от противного, обозначаются значком И.
2. Общий подход к моделированию На рисунке 1 показана достаточно распространенная схема питания усилителя с двумя источниками напряжения. Источники имеют одинаковые э.д.с. E. Для этой схемы будет строиться модель. Рассматриваемые при ее построении переменные - это напряжения между некоторыми точками схемы и точкой отсчета сигналов.
Рис. 1. Схема питания операционного усилителя
Будем считать, что усилитель обладает следующими идеализированными свойствами.
1) Входные токи равны нулю.
2) Выходное напряжение может изменяться в промежутке [-Е,Е] и не зависит от нагрузки.
3) Если напряжения на прямом и инверсном входах усилителя неизменны во времени и находятся в промежутке [-Е,Е], то установившееся выходное напряжение связано с разностью между этими напряжениями
статической характеристикой, изображенной на рисунке 2.
|У
£ _
О
-Е
dx
Рис. 2. Статическая характеристика операционного усилителя. Переменная dx - разность между напряжением на прямом входе и инверсном, переменная y - напряжение на выходе
Нам необходимо дополнить рассмотренные свойства описанием изменения напряжения на выходе в случае ненулевой разности входных напряжений так, чтобы для установившихся процессов сохранилось свойство 3). Будем считать, что скорость изменения выходного напряжения усилителя является функцией этого напряжения и дифференциального сигнала, то есть разности напряжений на входах. На рисунке 2 эта разность обозначена как dx. Далее будем ее обозначать также Ьх. При описанных предположениях изменение выходного напряжения описывается дифференциальным уравнением:
у = ü(y> □*). (1)
Функцию ф будем определять во всей плоскости ЯхЯ так, чтобы зависимость у от у обеспечивала ограничение выходного напряжения. Согласно каждому из приводимых далее определений функция ф будет обладать следующими свойствами:
1)она не убывает по 6х;
2)ф непрерывна при у>Е, причем при у>Е и 6х>0 Ц(у, |]х) = 0;
3)ф непрерывна при у<Е, причем при у<Е и 6х<0 Ц(у, |]х) = 0. Существует несколько вариантов определения решения уравнения с разрывной
правой частью. Для решения рассматриваемых далее уравнений воспользуемся следующим определением.
Определение 1. Пусть ф^хЯ^Я, и:[0,<)^Я - кусочно-непрерывная функция, х:[0,«)^Я - непрерывная функция. Момент 1Е(0,«) назовем не особым, если функция Г : хЕ[0,<) ^ ф(х(х),м(х)) непрерывна в точке 1;, и особым - в противном случае. Функцию х:[0,«)^Я назовем решением уравнения у = Ц(у, и), если
1) она непрерывна;
2) в каждой не особой точке 1£(0,«) функция х дифференцируема и выполняется равенство х(1:) = П(х(0> u(t)).
Утверждение 1. Пусть функция 6х - непрерывна, у - решение уравнения (1) и у(0) е [-Е, Е]. Тогда Чге[0, го) у(О Е [-Е, Е\
◄ Предположим, что существует 10>0: У (¿о) > Е. Найдем ^ = т/{t £ [0, *;0]: у(^ > Е}. В силу непрерывности у у(= Е. Так как 6х непрерывна и ф непрерывна при у>Е, каждая точка интервала (11, - не особая. Согласно свойствам 1) и 2) функции ф в интервале (11, 1;0) y(t) < 0. С другой стороны, в силу у(*:0) > у(, по теореме о среднем [Шилов 1969] найдется ^Е(11, 1;0): у(П) > 0, И. Аналогично анализируется предположение о существовании 10>0: у(*;0) < —Е. ►
С использованием (1) мы будем формально описывать процессы при непрерывном входном сигнале в схемах масштабирующего звена и триггера Шмитта [Титце 1982], изображенных на рисунках 3 и 4 соответственно.
Вход (х) О—[
Сигнал рассогласования (т)
Выход (у)
Рис. 3. Инвертирующее масштабирующее звено
Далее при моделировании каждой схемы будем обозначать время буквой I, входной сигнал - буквой х, - выходной сигнал - буквой у, а сигнал в средней точке между резисторами, подключенной к операционному усилителю, - буквой г. Согласно теории цепей в каждой из этих схем связь между г, х и у дается формулой
2 = •! (2)
!2 + !1
При анализе схем, изображенных на рисунках 3, 4, формальные рассуждения можно проводить, считая, что 2 может принимать произвольные значения. В реальных
схемах х и у должны меняться так, чтобы величина 2 изменялась в ограниченном
промежутке I, включенном в промежуток [-Е,Е]. Свойство 3) устанавливает
промежуток допустимого изменения ъ максимально возможным, то есть 1=[-Е,Е]. Для
выполнения включения ъ£[-Е,Е] при любом у£ [-Е, Е] необходимо и достаточно, ! !
чтобы х Е [— (— + 1)Е, (—1 + 1 )£"]. Будем говорить, что величина х допустима, если она
удовлетворяет последнему условию.
С учетом равенства (2) уравнение масштабирующего звена имеет вид
ф.
У = V(y>- d .R )
а уравнение триггера Шмитта имеет вид
У = ^ Rhif).
(3)
(4)
Для изучения решений этих уравнений необходимо конкретизировать функцию
Вход (х) О—[
R1
Сигнал рассогласования (z)
Выход (у)
Рис. 4. Неинвертирующий триггер Шмитта
3. Модель с постоянными скоростями изменения выходного сигнала
Будем считать, что если разность 6х (на рис. 2 она обозначена как йх) положительна, то выходное напряжение монотонно растет с постоянной скоростью V > 0, пока не достигнет уровня Е, а затем рост прекращается. Если разность 6х отрицательна, то выходное напряжение монотонно убывает со скоростью V, пока не достигнет уровня -Е, а затем убывание прекращается. При 6х=0 выходное напряжение сохраняет свое значение. Параметр V > 0 приблизительно соответствует параметру «скорость нарастания выходного сигнала», приводимому в книгах [Алексенко 1985]. Согласно проведенному описанию функция ф в уравнении (1) задается следующей формулой:
V, если 8х > 0 Л —Е < у < Е П(у, □*) = ■ 0, если (Зх = 0) V (Зх > 0 Л у > £) V (5х < 0 Л у < —Е) . (5)
—V, если 8х < 0 Л —Е < у < Е Далее в данном пункте модель усилителя задается парой уравнений [(1), (5)]. Утверждение 2. В схеме, изображенной на рисунке 1, для любого и, удовлетворяющего неравенству |и| • — < Е , и любого у0 £ [—Е, Е] существует
единственный выходной процесс у: [0, го) ^ [-Е, Е] с начальным значением у(0)=у0, соответствующий постоянному входному напряжению х=и. В зависимости от у0 этот процесс задается следующими формулами:
если у0 > - ^ и, то у(t) = <
R7 Уо+!-и
у0 — vt, если 0 < t < -—
!
, r2 ; --и, если t > -—
(6)
R1 v
если у0 = - ! и, то y(t) == - ! и; (7)
!! !!
Я2 У0+!4"
у0 + vt, если 0 < t < -—
если у0 < - ! и, то у(t) = <
(8)
--и, если t > -—
V !
◄ Выходной процесс есть решение уравнения (3) с начальным условием у(0)=у0. Пусть такое решение у (в смысле определения 1) существует и г - соответствующий сигнал на инвертирующем входе усилителя, задаваемый равенством (2).
Предположим, что существует 10>0: у(^) = Е. Тогда, в силу неравенства |и| — < с, имеет место неравенство z\<^ =-=-> 0. В силу
непрерывности у это неравенство сохраняется в некоторой окрестности 1;0. Следовательно, согласно (5), в данной окрестности у = —V, поэтому при 1, близком к ^ слева, у(^ > Е, что противоречит утверждению 1. Поэтому функция у не достигает значения Е в интервале (0,<). Аналогично, функция у не достигает значения —Е в интервале (0,< ).
!
Пусть у0 > —- и <=Ф ^(0) > 0 . Предположим что событие «значение г достигло
R
!
нуля» не происходит. Так как в промежутке (0,<») y(t) G (—E,E) , то ф(у, —z) = —v,
каждая точка tE(0,<») - не особая и у(t) = у0 — vt. Следовательно, в момент t1 =
. R2 !о+!7!
—^"^>0 имеет место равенство z( 0) = 0, g.
Обозначим t2 = inf [О > 0: z= 0}. Очевидно, t2<ti. В промежутке (0,t2) ф(у, —z) = —v, каждая точка tE(0, t2) - не особая и у(t) = у0 — vt. Если t2<t1, то У(f2) = Уо — vt2 > Уо — vti = У(fi)^ z(t2)>z(ti)=0, И. Следовательно, t2=ti.
Пусть найдется ts>ti : z(ts)>0. Обозначим t4 = inf (Щ>1, : ^D e \Л,zffl) > 0}. Так как VxE(t4,t3] z(x)>0, то все точки промежутка (t4,t3] - не особые, и потому при te(t4,t3]
у(0 = У(- v(t - t3) = у(t3) + v(t3 - 0 > y(t3)=> z(0> z(t3) > 0 .
Следовательно, в силу непрерывности функции z, z(t4) > z(t3) > 0. Поэтому t4>t1. С другой стороны, по определению момента t4, в любой его левой окрестности содержатся моменты t: z(t)<0. Поэтому, в силу непрерывности функции z, z(t4) < 0, И. Следовательно, точек, в которых z>0, промежутке [t1,^) не существует. Аналогично получим противоречие, если предположим, что найдется t3>t1: z(t3)<0. Таким образом,
!
VtE[t1 ,œ) z(t)=0^ у(t) — —- и, и имеет место формула (6). Непосредственно проверяется, что эта формула задает решение уравнения.
В случае у0 <--и рассуждения проводятся аналогично. В случае у0 =--и
проводится только часть рассуждений, показывающая невозможность отклонения у(t)
R2 ^
от постоянного значения--и. ►
Ri
!
Согласно утверждению 2, если входной сигнал u схемы постоянный и |и| •— < Е, при любом начальном значении у0 выходной сигнал принимает постоянное, не
2Е
зависящее от у0 значение в течение времени, не превышающего —. Это означает, что
постоянное выходное значение, соответствующее каждому входному значению, устойчиво в целом. Если пользоваться терминологией событийного моделирования [Фрумкин 2013], то можно сказать, что в условиях утверждения 2 событие «выходной сигнал достиг значения Е или значения -Е после начала наблюдения» не происходит, а
событие «выходной сигнал достиг значения — — и» происходит всегда, и его значение
2Е
не превышает —.
! !
Утверждение 3. Пусть у0 Е [-Е, Е] и и Е [—(— + 1)Е, (— + Т)Е] - допустимое значение.
!
Если у0 Ф--- и, то в схеме, изображенной на рисунке 4, существует
единственный выходной процесс у: [0, го) ^ [-Е, Е] с начальным значением у(0)=у0, соответствующий постоянному входному напряжению х=и. В зависимости от у0 этот процесс задается следующими формулами:
Е-Уо
если у0 > - ^ и, то у(t) =
если у0 < - ! и, то у(t) = •
у0 + vt, если 0 < t <
! • (9)
Е, если t > ^ ' ()
V V
С !_!
у0 — vt, если 0 < t < --
W V ! . (10) -Е, если t > ! "Уо
!
Обозначим формулу (9) для вычисления y как H(yo,t), а формулу (10) - как !
L(y0,t). Если у0 =--- и, то в схеме, изображенной на рисунке 4, существует
бесконечное множество P выходных процессов у: [0, го) ^ [-Е, Е] с начальным значением y(0)=y0, соответствующих постоянному входному напряжению x=u. Если y&P, то либо y=y0, либо найдется т>0:
| у0, если 0 < t < т
у{<V = \Н(у0, t - т), если t > т , (11)
либо найдется т>0:
„(ГЛ _( Уо' если 0 ^ f < т (12)
У U(yo, t - т), если t > т ( )
◄ Техника доказательства в случаях у0 > — — и и у0 < — — и похожа на
технику доказательства утверждения 2. Поэтому рассмотрим только случай у0 =
— — и. Непосредственно проверяется, что каждая из приведенных формул задает
решение. Пусть y - некоторое решение. Если это решение не является константой, положим т = inf (t > 0: z(t) Ф 0}. Предположим, что существуют t0>r: z(t0)>0 и t1>r: z(t1)<0. Тогда при />max(i0,i1) y(t)=H(y(t0),t-t0) и y(t)=L(y(t1),t-t1). Но при достаточно больших t Н(у(t0), t — t0) = —Е и L(y(t-J, t — tj = —E, H. Следовательно, при t>T величина z(t) может быть только одного знака. Пусть z(t)>0. Обозначим в = sup (t > т: z(t) = 0}. В силу непрерывности z(6)=0 ^ y(0)=y0. При t>6 у(t) = Н(у0, t — в). Если 6>т, то найдется ^е(х,6): z(0)>0^ y(6)>y0. Но тогда у(0) = Н (y(D), О-> у(0) > Уо = У(, H. Следовательно, т=6 и формула для y имеет вид (11). Если предположить, что при t>T z(t)<0, то будет иметь место формула (12). ►
Утверждение 3 определяет следующие закономерности при постоянном входном сигнале u схемы.
! !
Если и удовлетворяет одному из неравенств: и < —-Е или и > —-Е, то при
!2 !2 2Е
любом начальном значении у0 в течение времени, не превышающего —, выходной
сигнал принимает постоянное, не зависящее от у0 значение. Это значение есть - Е, ! ! когда и < —- Е, и Е, когда и > —- Е. В обоих случаях установившееся значение
устойчиво в целом.
! !
Если и удовлетворяет неравенству —- Е < и < — Е, то, в зависимости от у0,
!! !!
!
выходной сигнал может принять в общем случае три значения - Е, Е и —- Е. Но
!
значения - Е, и Е - локально устойчивы, а значение —- Е - неустойчиво.
Модель операционного усилителя, задаваемая уравнениями [(1), (5)] может оказаться некорректной при изучении реакции масштабирующего звена на изменяющийся во времени входной сигнал.
Утверждение 4. Пусть х: [0, го) ^ й - ограниченная непрерывно дифференцируемая функция с ограниченной производной, удовлетворяющая условиям:
Уъ>0 |х(0| • — < Е и У1>0 |х(0| < О— V (ц<1). Пусть множество
Т = 0, го): 0} неограниченно. Если такую функцию рассмотреть как
входной процесс в схеме, изображенной на рисунке 3 и описываемой уравнением (3),
то для нее не найдется выходного процесса при любом начальном значении у.
! •! ! ! •!
◄ Если функции х и у дифференцируемы, то й = —-—. Если при этом г > 0,
!2 + !1
то г = <--1 - д) < 0. Если г > 0, то г > 1 - м) > 0.
Используя эти неравенства, по аналогии с рассуждениями из доказательства утверждения 2 доказываем, что если у - выходной процесс, то по истечении конечного времени т должно установиться равенство = 0. В промежутке (х,<») все моменты не особые и потому у = 0. Но мы можем найти 6>т: х(б) 0. Тогда
У(б) = -!х(в) * 0, ■. ►
Если рассмотреть реакцию схемы триггера (рис. 4) на процесс изменения
!
функции х, описанной в условии утверждения 4 (сняв ограничение |х(^| ■— < Е), то
противоречий не возникнет, потому что выходной процесс в общем случае будет состоять из переходов величины у к значениям -Е или Е. Можно приблизить входной процесс для масштабирующего звена кусочно-постоянными функциями и
показать, что при увеличении параметра V выходной процесс будет приближаться к !
процессу —- х(Ь). Однако при развитии этой теории возникнет следующая проблема
приближения процессов в типовой схеме интегрирования. Рассуждения с приближениями с методической точки зрения являются сложными. Поэтому целесообразно усложнить модель так, чтобы обеспечить существование в рамках модели выходных процессов при любых допустимых входных сигналах.
4. Модель со скоростью изменения выходного сигнала, зависящей
от рассогласования Предположим, что скорость изменения выходного напряжения операционного усилителя при 6x^0 зависит от 6х. Простейший вид такой зависимости - линейный. В этом случае функция ф задается формулой
0, если у < —Е Л 8х < 0 П(У, = • 8х, если (у = -Е Л 8х > 0 ) V (-Е < у < Е) V (у = Е Л 8х < 0) . (13)
0, если у > Е Л 8х > 0 Далее в данном пункте модель усилителя задается парой уравнений [(1), (13)]. Утверждение 5. В схеме, изображенной на рисунке 3, для любого и,
!
удовлетворяющего неравенству |и| •— < Е, и любого у0 £ [—Е, Е] согласно модели
[(1),(13)] существует единственный выходной процесс у: [0, го) ^ [-Е, Е] с начальным значением у(0)=у0, соответствующий постоянному входному напряжению х=и. Этот процесс задается формулой
У(0 = (уо + |и) е^^ - |и. (14)
◄ Пусть у: [0, го) ^ [-Е, Е] - решение уравнения (3) при функции ф, определяемой формулой (13), с начальным условием у( 0) = у0.
Пусть у0 = Е. Возьмем произвольное Т>0. Предположим, что Vt £ [0, Т) у(О = Е. Тогда любая точка промежутка (0,Т) - не особая и у(О = 0, то есть ф(у, —2-—) = 0. Согласно (13) при у = Е это равенство возможно только, если
Ип^иИ^^Е ^ п __ г* II г* ■
--> 0, то есть и — < —с, но по условию утверждения |и| — < £,■.
Следовательно, всегда найдется 1;0Е[0,Т): у(t0) £ (—Е, Е). Аналогичная точка 1;0 найдется в случае у0 = —Е. Следовательно, точка 10£[0,Т): у(£ (—Я, Е) найдется при любом у0 £ [-Е,Е].
Пусть существует Т£(0,<»): у(Т)£{-Е,Е}. Возьмем ^[0,Т): у(*;0) £ (-Е, Е) и определим ^ = > : у(Д) = —Е V у(О) = Е }. В силу непрерывности у имеет
место одно из равенств: у(^) = —Е или у(^) = Е. В промежутке (10,1^) все точки не особые и согласно формуле (13) имеет место равенство
у = -^ поэтому у(0 = (у(^о) + е --2 и. В силу
непрерывности у значение у(^) вычисляется по этой формуле.
При 1>10 величина = е а!1+«2(! !о) £ (0,1), следовательно,
1у(01 = О • у(^) + (К0 -1) I«I < К0 • )1 + (1 - К0) • 1N.
Так как |y(t0)| < Е и
Кг
— U
Ri
< Е, то
К0 • ly(to)1 + (1 - К0) • ? N < ^0 • E + (1 - к0) • E = E ^ |у(01 < E.
!!
В частности, < Е, И. Это противоречие показывает, что при любом 1>0
|у(01 < Е, и потому имеет место формула (14). С другой стороны, непосредственно проверяется, что она задает решение. ►
Утверждение 5 является аналогом утверждения 2. Здесь выходной сигнал также не достигает граничных значений Е или -Е после начала наблюдения. Функция у в
общем случае не достигает и целевого значения — и, но имеет место равенство
у(0 =--- и, и параметр а определяет скорость сходимости. Предельное
постоянное выходное значение у, соответствующее каждому входному значению, устойчиво в целом.
!
Утверждение 6. Для каждого у0 £ [-Е, Е] и допустимого значения и £ [—(— +
!
Т)Е, (— + Т)Е] в схеме, изображенной на рисунке 4, в рамках модели [(1),(13)]
!2
существует единственный выходной процесс у: [0, го) ^ [-Е, Е] с начальным значением у(0)=у0, соответствующий постоянному входному напряжению х=и. В зависимости от у0 этот процесс задается следующими формулами:
У( 0 =
если у0 >--и, то
Уо + —и) е !1+!2 --2и, если 0 < t < ——! 1п —-—
V0 / Й! аЯг К1у0+К2и •
£", если t > !1+Й2 1п
аЙ! !1у0И2и
если уо = - !и, то у(0 = Уо;
к о =
если Уо <--и, то
\уо + и) - ?и, если 0 < t < ^^ 1п-
! а! К1у0+К2м
-Е, если t > !1+Й2 1п-
аЙ! К1у0+!2М
◄ Пусть у: [0, го) ^ [-Е, Е] - решение уравнения (4) при функции ф, определяемой формулой (13), с начальным условием у( 0) = у0.
!
Рассмотрим случай у0 > —- и. Предположим, что У1£(0,<») у( Ь) £ (-Е, Е). Тогда любая точка промежутка (0,Т) - не особая и согласно формуле (13) имеет место
равенство у = а ! Ц+Й1Следовательно, у определяется формулой !2 + !1
У(0 = (у0 +1«) б - | и . (15)
Согласно этой формуле при т = !1+!2 1пК1Уо+К2М у(т) = £, и наше
предположение неверно. Обозначим т0 = ^ ^ > 0: у(^ = £). Очевидно, т0<т. В
промежутке (0, т0) каждая точка не особая и выполняется формула (15). В силу
монотонности функции, задаваемой этой формулой, из предположения т0<т следует,
что у(П0) < Е, что противоречит непрерывности функции у. Следовательно, т0=т и в
промежутке [0,т) верна формула (15).
Предположим, что существует 1:0>г: у(^) £ (-Е, Е). Найдем ^ = sup{t £
[т0, ¿о!: У(О = Е). В силу непрерывности у найдется 6>0, что в промежутке (1^,6)
! •! !! •!
у(^ £ {—Е, Е). Тогда при 1^(14,6) у(1) есть решение уравнения у = а —-— с
!2 + !1
начальным условием у(^) = £", то есть
у(0 > Е, ■ .
Поэтому у(^ = Е при t > т0.
Случай уо <--и рассматривается аналогично.
Й-
В случае у0 = —- и и |у0| < Е предполагаем, что значение у достигает Е или -Е, и рассматриваем т = inf {t > 0: у(^ = Е V у(^ = — Е}. В промежутке (0,т) у удовлетворяет линейному уравнению и по теореме единственности = — — и, то есть
—Е < у(т) < £, ■. Поэтому при всех I y(t) = —- и.
При |у0| = Е, наоборот, предполагаем, что у(попадет в интервал (-Е, Е), и снова используем теорему единственности. ►
Утверждение 6 является аналогом утверждения 3. Установившиеся значения выходного сигнала и их устойчивость здесь подчиняются тем же закономерностям, но достигаются эти значения асимптотически.
Лемма. Пусть х: [0, го) ^ И - ограниченная непрерывная функция, у - решение на [0,о>) неоднородного дифференциального уравнения у = —ау + Ъх, где а, Ь -константы (а>0). Пусть существует положительная константа С: |у0| < Си Vt >
0 х(0| < С. Тогда Vt е [0,го) |у(^| < С.
◄ Решение задается формулой [Шилов 1970]
у(0 = е (у0 + Ъ /о! ех(т)йт). (16)
Следовательно,
|у(0| < е_а"1 Уо1 + еСа е= е_а"1 у! + еСа (£!" - = = е"а"|у0| + С( 1 - е< еС + С( 1 - е"а0 = С. ►
Лемма поможет показать, что модель [(1), (13)] корректна при изучении реакции масштабирующего звена на изменяющийся во времени входной сигнал.
Утверждение 7. Пусть х: [0, го) ^ й - ограниченная непрерывно дифференцируемая функция с ограниченной производной, удовлетворяющая условиям !
У1>0 |х(0| • — < Е и У1>0 |х(0| < V, где V > 0. Если такую функцию рассмотреть как
входной процесс в схеме, изображенной на рисунке 3, то для нее и для любого начального значения у0 найдется единственный выходной процесс у. Для значений у справедлива оценка
V* > 0 |у(0 +1 х(01 < |у0 +1 х(0) | е+ | (1 + !.
◄ Решение уравнения (3), соответствующее функции х, - это решение
уравнения у = —а-. Рассуждения аналогичны рассуждениям из доказательства
!2 + !1
утверждения 5, но используют результат леммы.
! ! Решение имеет вид (16), причем а = а—!—, Ъ = —а—-—.
!
Для оценки отклонения у(0 от —- х(Ь) преобразуем интеграл в выражении (16) с помощью формулы интегрирования по частям:
£ е«"х(т)йт = - ^ - !/о! е«х(т)йт. Тогда
у(0 = е Уо + ! х(о - е ! *(0) - е! /0! е*(т)йт), или у(0 - !х(о = е(Уо - ! *(0)) - е~а"!/0! еат Интеграл справа оценивается так: |/О еатх(т)< — Поэтому
И о -! *с о| < |у. -! *( .+ |!| »с -!).
! !
С учетом соотношений - = —- и
^ а
g —at
! р -1) = 5! Л + ! а - е< 1 + !
получаем требуемую оценку. ►
Анализ точности реализации идеализированного триггера Шмитта схемой, изображенной на рисунке 4, - более объемная задача, которая может быть рассмотрена в отдельной статье. Согласно модели [(1),(5)] переход триггера, например, из состояния
-Е в состояние Е происходит в течение ограниченного времени (не превышающего —), если входной сигнал х превышает величину — Е на как угодно малую величину.
!
Согласно модели [(1),(13)] время перехода зависит от разности х--- E. При строгом
равенстве х--- E = 0 переход длится бесконечно. Но так как вторая модель может
корректно использоваться для анализа более широкого класса схем и сигналов, ее изучение предпочтительнее.
Библиографический список
Алексенко А.Г. Коломбет Е.А. Стародуб Г.И. Применение прецизионных аналоговых микросхем. М.: Радио и связь, 1985. 256 с.
Достал И. Операционные усилители. М.: Мир, 1982. 512 с. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. М.: Мир, 1982. 512 с. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
Фрумкин А.М. К определению понятия события при описании процессов в системах управления // Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2013. №1. URL: http://scientific-notes.ru/pdf/029-01.pdf (дата обращения: 29.04.2013).
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. М.: Наука, 1969. 528 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3. М.: Наука, 1970. 352 с.
