Об упрощении интегрального выигрыша в дифференциальных играх со случайной продолжительностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2011. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.977.8+517.977.5

С. Ю. Костюнин, Е. В. Шевкопляс

ОБ УПРОЩЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ВЫИГРЫША В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СО СЛУЧАЙНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ

Введение. В большинстве приложений дифференциальных игр используются два подхода к тому, на каком временном промежутке рассматривать игру. Согласно первому, игра развивается во времени при t G [to,T], причем момент окончания игры T фиксирован и известен заранее. Игры такого типа называют дифференциальными играми с предписанной продолжительностью. Согласно второму подходу, игра рассматривается на бесконечном временном промежутке t G [to, ж), а функция мгновенного выигрыша дисконтируется при помощи экспоненциальной функции.

В работах [1-3] применялся другой подход, а именно, описывалась дифференциальная игра, оканчивающаяся в случайный момент времени T, для которого предполагалась заданной функция распределения F(t),t G [to; ж). Игры такого типа были названы дифференциальными играми со случайной продолжительностью. Таким образом, дифференциальные игры со случайной продолжительностью являются обобщением дифференциальных игр с предписанной продолжительностью [3].

Отметим, что параллельно в теории оптимального управления рассматривались неигровые модели со случайной продолжительностью, начиная с работы [4], посвященной теории страхования жизни потребителя при неопределенном времени его смерти.

В задачах со случайной продолжительностью как в игровом, так и неигровом контексте под объектом максимизации, как правило, понимается математическое ожидание функционала интегрального или смешанного типа [2, 3, 5, 6]. Это означает, что ожидаемые выигрыши игроков (функционалы) имеют вид повторных интегралов, что представляет определенную сложность для дальнейшего применения стандартных методов оптимального управления для нахождения решений в тех или иных классах стратегий.

Как оказалось, при некоторых дополнительных предположениях повторный интеграл при помощи перестановки соответствующих интегралов может быть приведен к стандартному для динамического программирования виду, что существенно упрощает дальнейшее решение задачи со случайной продолжительностью. Однако

Костюнин Сергей Юрьевич — аспирант кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

проф. Л. А. Петросян. Количество опубликованных работ: 2. Научные направления: теория игр. E-mail: isg23@yandex.ru.

Шевкопляс Екатерина Викторовна — доцент кафедры математической теории игр и статистических решений факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 24. Научное направление: дифференциальные игры. E-mail: ekaterina.shevkoplyas@gmail.com.

© С. Ю. Костюнин, Е. В. Шевкопляс, 2011

в большинстве зарубежных работ по оптимальному управлению этот факт используется по умолчанию и корректность применения интегрального функционала в упрощенном виде никак не проверяется. Стоит отметить работы [5, 6], в которых указываются некоторые условия для справедливого использования интеграла в преобразованном виде.

В области дифференциальных игр первая попытка изучения этого вопроса была предпринята в [3]. В данной статье развивается это исследование, результаты которого могут быть использованы и для задач со случайной продолжительностью неигрового типа.

В п. 1 рассмотрена постановка дифференциальной игры со случайной продолжительностью. В п. 2 содержатся основные теоретические результаты и исследована корректность перестановки интегралов для повторного интеграла, представляющего собой ожидаемый выигрыш игрока. В конце п. 2 приводится пример, когда интегральный функционал не может быть представлен в упрощенной форме. В п. 3 изучается пример дифференциальной игры, а именно, теоретико-игровая модель управления вредными выбросами [7] при условии случайной продолжительности игры. В данном примере задача сводится к стандартному виду, а решение ищется в классе программных стратегий.

1. Постановка задачи. Рассмотрим дифференциальную игру п лиц Г(хо) со случайной продолжительностью Т — Ьо и начальным состоянием хо [2, 3]. Динамика игры задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений в векторной форме с начальными условиями

Х = д(г,х,п1,...,пп), (1)

х(Ьо) = хо, (2)

где д(Ь,х,и1,...,ип) - вектор с координатами

д (Ь, Х, ul, . .., ип) , д (Ь, Х, ul, . .., ип) , . ..,д (Ь, Х, ul, . .., ип).

Функции дЗ (Ь, х, и1,..., ип) определены при х € Нт и щ € и. С сотрДг.

Одним из интересных вопросов теории дифференциальных игр является вопрос точного определения множества стратегий игроков. Однако цель данной работы -не строгое решение игр, а лишь вывод условий приведения функционала выигрыша игрока к более простой форме. Поэтому будем полагать, что множества допустимых стратегий игроков заданы таким образом, что для любых допустимых стратегий игроков существует единственное непрерывное, по крайней мере, кусочно-дифференцируемое решение задачи Коши (1)-(2), продолжимое на [Ьо, ж).

Игра начинается в момент Ьо из состояния хо, однако момент ее окончания не фиксирован заранее, а есть реализация некоторой случайной величины Т. Будем полагать, что для случайной величины Т задана функция распределения Г(Ь), которая определена при Ь € [Ьо, ж) и удовлетворяет условию нормировки

СЮ

У (Г (Ь) = 1.

to

Функцию мгновенного выигрыша игрока г в момент времени т, т € [Ьо, ж), будем обозначать как к.(т,х(т),и1,... ,ип). Будем предполагать, что при любом возможном

выборе стратегий игроками функция мгновенного выигрыша игрока г является ограниченной кусочно-непрерывной функцией времени т (кусочная непрерывность понимается в том смысле, что на каждом отрезке функция Н^(т) может иметь лишь

конечное число разрывов первого рода), для краткости будем обозначать ее Нг(т). При сделанных предположениях функции Н^(т) интегрируемы по Риману на любом отрезке [£0,£], т. е. для каждого £ € [£0, ж) существует интеграл /(д Н(т)йт. Целью каждого игрока является максимизация своего ожидаемого выигрыша, который задается интегралом Лебега-Стилтьеса [8]:

Ki(t0, x0, ul, ... :

СЮ t

J J Ы(т)dтdF(t),

i = —,...,n.

(З)

to to

2. Перестановка интегралов в интегральном функционале.

2.1. Случай неотрицательной функции мгновенного выигрыша. Предположим, что при любом выборе стратегий игроками мгновенный выигрыш игрока г удовлетворяет условию неотрицательности

hi(r, х(т), ui, ...,un) > 0, Ут е [to, ж). Рассмотрим множество A С Д2, заданное следующим образом:

A = {(t,T)|t е [to, ж],т е [to, t]} .

(4)

Введем обозначения

At = {т 1(^т) Є A} , At = {Ф,т) Є A} .

На полупрямой [£о, ж] рассмотрим меру Лебега-Стилтьеса , отвечающую функции Г [8], а также линейную меру Лебега щ. Равенство (3) в введенных обозначениях можно записать так:

Ki(to,xo,ui,...,un)= J J Ьн(т )dj

[to,^]

djF, i = —,. ..,n.

(5)

Будем считать, что интеграл в правой части (5) существует, тогда при выполнении условия (4) справедлива теорема Тонелли [9]

(6)

/ / hi(т)djd djF = 1 F )d ()т hi 1 djT, i = —, ...,n

J [to,то] J At J [to,to] .a,

Преобразуем далее правую часть равенства (6):

/ / hi(т)djF djT = / hi (т )jf (At )] djd, i =—,...,n.

J [to,то] J La, J [to,to]

В результате имеем

J [ Ы(т)^Р(Ат)] й^т = J Ні(т)(1 - ^(т))&

Іт, і = 1,...,п.

[4о,то]

*0

Причем существование последнего интеграла при условии (4) влечет за собой существование интеграла в правой части (3).

Таким образом, было доказано следующее утверждение:

Утверждение 1. Пусть функция мгновенного выигрыша Н^(Ь), г = 1,...,п, удовлетворяет свойству неотрицательности УЬ € [Ьо, ж) и является ограниченной кусочнонепрерывной функцией времени Ь. Тогда ожидаемый выигрыш игрока г (3) представим в виде

Причем интегралы в (3) и (7) существуют или не существуют одновременно.

2.2. Общий случай. Пусть теперь на функцию мгновенного выигрыша Н не накладывается требование неотрицательности. Будем рассматривать интегралы в правой части (3) как интегралы Римана (в том числе и как несобственные интегралы Римана). При этом правая часть (3) представляет собой ожидаемый выигрыш игрока г в случае абсолютной сходимости внешнего интеграла. Иными словами, для существования математических ожиданий в (3) необходимо и достаточно, чтобы следующие интегралы существовали в смысле несобственных интегралов Римана:

непрерывными, то Щ(Ь) непрерывны и кусочно-дифференцируемы. Также будем предполагать существование непрерывной плотности распределения момента окончания игры ](Ь) = Р'(Ь) на всем множестве [Ьо, ж). При выполнении условий (8) ожидаемые выигрыши задаются таким образом:

Отдельно рассмотрим интеграл в (9), разбив его на сумму интегралов по отрезкам непрерывности функции Н^(Ь):

где в0 = Ьо, в^т+1 = Т, а в2,] = 1,..., , - точки разрыва функции Н^(Ь) на интервале

(Ьо,Т). На каждом интервале интегрирования воспользуемся формулой интегрирования по частям:

*0

Обозначим через Н() = /0 Н^(г)(1т. Так как функции Нъ(Ь) предполагаются кусочно-

т

(10)

Мт °к+1 Мт

]Г / И()ЗГ(Ь) = £

к=0 X к=0

&к+1

Щ(вк+1)Г(вк+1) - Щвк)Г(вк) - ( Ы(Ь)Г(Ь)ЗЬ

Подставим это представление в равенство (10) и после преобразований получим т т т

I И(Ь)ЗГ(Ь) = И(Т)Г(Т) -1 ы(ь)г(Ь)ЗЬ = ! Ы(Ь) [Г(Т) - Г(Ь)] зь,

Ьо Ьо Ьо

и далее

т т т

I Н() [Г(Т) - Г(Ь)] ЗЬ = I ЬН(Ь) [Г(Т) - 1] зь +1 Ы(Ь) [1 - Г(Ь)] ЗЬ.

Ьо tо £о

Таким образом, справедливо равенство

т / т т

Ит J Щ(Ь)ЗГ(Ь) = Ит I I Н^(Ь) [Г(Т) - 1] ЗЬ + I Нг(Ь) [1 - Г(Ь)] ЗЬ

Ьо \Ьо Ьо

Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение:

Утверждение 2. При выполнении условий (8) ожидаемый выигрыш может быть представлен в виде (7), если

т

Ит (Г(Т) - 1) ( Н()ЗЬ = 0. (11)

т —™ .)

Ьо

Доказательство. Действительно, выполнение условий (8) влечет за собой существование предела в (9). Заметим, что при выполнении равенства (11) это приводит к существованию Ит Г Н^(Ь)[1 - Г (Ь)] ЗЬ. Кроме того, данный предел равен

т —о

пределу в (9). Последнее и означает, что ожидаемый выигрыш может быть получен по формуле (7).

Итак, если вычисление ожидаемого выигрыша по формуле (3) представляет некоторую трудность, но можно гарантировать выполнение условий (8) и (11), то ожидаемый выигрыш может быть найден по более простой формуле (7).

2.3. Пример. Приведем пример, когда существование ожидаемого выигрыша в форме (3) не влечет за собой возможность его представления в виде (7). В основе его лежит пример из [10].

Без ограничения общности будем полагать Ьо = 0. Предположим, что функция распределения момента окончания игры имеет вид Г(Ь) = 1 - е-Ь, Ь ^ 0. Это соответствует экспоненциальному распределению с параметром Л = 1. Распределения такого типа часто используются в математической статистике и теории надежности для описания отказов системы. Тогда на всем множестве [0, ж) существует плотность распределения

I (Ь) = е-Ь.

Будем считать, что в результате выбора стратегий игроками в игре сложилась ситуация, при которой функция мгновенного выигрыша игрока г имеет следующий вид:

к*(Ь) = вг(1 + соб(п(Ь — п)п2)) — вг вт(п(£ — п)п2)пп2,

Уі Є

1 1 '

П------------П Н--------------ТГ

П2 П2

п = 2, 3,4,... .

При остальных і из множества [0, ж) положим кі(і) = 0.

При непосредственной проверке нетрудно убедиться, что таким образом определенная функция кі(і) непрерывна на (0, ж). Таким образом, данная функция интегрируема по Риману на любом отрезке [0,і]. Очевидно, что кі(і) не является неотрицательной функцией.

Рассмотрим функцию Ні(і) = /0 Ні(т)йт. Легко можно убедиться, что она имеет

вид

Ні (і) = в1(1 + сов(п(і — п)п2)), Уі Є

п-----------------~

п2 п2

п =2, 3, 4,

Для остальных Ь из множества [0, ж) функция Щ(Ь) = 0.

Нетрудно убедиться, что для таких функций Г(Ь) и Щ(Ь) интеграл в правой части

ОО

(3) абсолютно сходится. Ожидаемый выигрыш для данного случая равен 2 У~]

п=2

Однако условие (11) для этих функций не выполняется, и, следовательно, интеграл в (7) не сходится. Таким образом, в этом примере ожидаемый выигрыш игрока (3) не может быть представлен в виде (7).

3. Дифференциальная игра управления вредными выбросами.

3.1. Модель игры. В качестве примера рассмотрим теоретико-игровую модель управления вредными выбросами [7]. В игре принимают участие п игроков, каждый из которых имеет промышленное производство на своей территории. Предполагается, что объем производства прямо пропорционален вредным выбросам в*. Следовательно, стратегией игрока является выбор объема вредных выбросов в* € [0; Ь*]. Будем искать решение в классе программных стратегий в*(Ь).

Доход игрока г в момент времени Ь определяется по формуле

я(вг(г)) = в* (г)(ь* — 1/2вн(г)).

Динамика изменения общего уровня загрязнения Р задается уравнением

Р

і=1

Єі(і), Р(іо

Ро.

Каждый игрок имеет расходы, связанные с устранением загрязнений. Мгновенный выигрыш (полезность) игрока г равен К(в*(Ь)) — !*Р(Ь), > 0.

Без ограничения общности будем предполагать, что момент начала игры Ьо = 0. В отличие от модели [5] примем, что игра имеет случайный момент окончания Т, где Т - случайная величина с известной функцией распределения Г(Ь) = 1 — в-г , Ь ^ 0, что соответствует распределению Вейбулла с параметром масштаба А = 1 и параметром формы 5 = 2. Значению 5 = 2 соответствует возрастание функции интенсивности отказов А(£) = что можно интерпретировать как износ оборудования на произ-

водстве. Предполагаем, что в данной игре ее окончание вызвано сбоями и авариями

1

1

при функционировании производства. Выбор закона Вейбулла для задач такого типа обоснован в работе [3].

3.2. Преобразование интегрального выигрыша. Ожидаемый выигрыш игрока г имеет вид

Кг(0, P0, вl, . ..,вп

(Е*(в*(т)) — !*Р(т))!т 2Ьв *

о о

при условии, что сходится интеграл

(Яг(вг(т )) — ! Р (т ))!т

4-2

2Ьв!Ь.

Для проверки существования интеграла (13) приведем следующие оценки:

(12)

(13)

Ь2

Р(т) < Р0 + = Р0 + Вт, а Д*(е*(т)) < у,

где В = £ Ь*.

1=1

Оценим интеграл (13)

сю *

J У(К*(в*(т)) — !*Р(т))!т

2Ьв * ^ / / КК^в^т)) — !*Р(т))| !т 2Ьв * !Ь ^

+2

0 0 0 0 сю * сю / * *

!(КК^в^т ))1 + 1!*Р (т ))1)!т 21в~-2 !Ь | у* К (в* (т ))!т + J !*Р (т )!т | 2Ьв~ * !Ь.

0 0 0 \0 0

Окончательно получим оценку

* сю

(Яг(ег(т)) - <1гР(т))с1т 21е~г сМ ^ ^ ) ) 21е~1 сМ.

0

Последний интеграл является абсолютно сходящимся, а, следовательно [11], интеграл (13) сходится. Таким образом, установлено, что при любом выборе игроками своих управлений выражение (12) определяет математическое ожидание выигрыша игрока г.

Проверим выполнение условия (11):

т т

Иш (Г (Т) — 1) [ Нг (Ь)а = Иш в-т [ (Кг(вг(т)) — !*Р (т ))!т.

Т ——ю J Т —►ю J

Применяя полученные ранее оценки, имеем

СЮ I

*

ЭО *

T

T 2

e J (Ri(ei(T)) - diP(т))dr

0

I I ~^d'T + di{P0 + Br)dT

Ov

Заметим, что

г1т,'^(|Г + ">(РоТ+^)

следовательно, верно и следующее:

т

T2

^lim^e J (Ri(ei(т)) - diP(т))dT = 0.

0

Таким образом, условие (11) выполняется и выигрыш (12) может быть записан в виде

сю

Ki (0, Po, e1,...,en) = J (Ri(ei(t)) - diP (t)) e-t2 dt. (14)

0

При форме интегрального выигрыша (14) решение игры упрощается.

3.3. Равновесие по Нэшу. Найдем равновесие по Нэшу в программных стратегиях. Для этого будем использовать принцип максимума Понтрягина [12]. Далее рассматриваем случай n = 2, т. е. игру двух лиц.

Для каждого игрока i = 1, 2 требуется максимизировать функционал

сю

max Ki(Po, 0,ex,e2)= [ (Ri(ef (t)) - diP (t)) e-*2 ds. eiE[0;bi] J

0

В данном случае гамильтониан имеет вид

Hi(A(t), P(t), ei(t)) = (ei{t) (^bi - !«(*)) -diP(t)j e-t2 + Л y^ej(t).

i=l

Необходимо найти максимум гамильтониана: max Hi(K(t),P(t),ei).

eiE[0;bi]

В дальнейшем будем опускать аргументы функций для сокращения записи и наряду с обозначениями ei(t), Xi(t), A(t) использовать ei, Xi, Л.

Воспользуемся условиями Куна-Таккера. Рассмотрим функционал

L(ei) = -Hi + Xi(-ei) + X2(ei - bi).

Для оптимальности управления eN необходимо выполнение следующих условий:

1) стационарность: minLi(ei) = Li(eN);

ei

2) дополняющая нежесткость: Xi(-eN) = 0; X2(eN - bj,) = 0;

3) неотрицательность: Xj ^ 0, j = 1, 2.

Поскольку = — (jbi — e*)e_t + Лj — Ai + A2, то из условия стационарности

2

получаем

— ((Ь% — вГ)в * + Л — А1 + А2 =0. (15)

Рассмотрим возможные случаи:

1. А2(Ь) = 0. (Из условий неотрицательности вытекает А2(Ь) > 0.) Следовательно, по условиям дополняющей нежесткости (вГ(Ь) — Ь*) = 0. Таким образом, вГ(Ь) = Ь* и, как следует из условий дополняющей нежесткости, А1 = 0. Тогда уравнение (15) примет вид А2(Ь) = Л(Ь). Как будет показано далее, Л(Ь) ^ 0, что противоречит предположению положительности А2(Ь). Поэтому данное предположение неверно.

2. А2(Ь) = 0. В этом случае уравнение (15) примет вид

— — вГ(Ь))в - +л(ь)^ — А1 (ь) = 0.

Предположим, что А1(Ь) = 0. По условию дополняющей нежесткости вГ(Ь) = 0. В этом случае из уравнения (15) получаем А1(Ь) = — (Ъгв-1 2 +Л(Ь) ^ .В случае А1(Ь) = 0 из уравнения (15) имеем вГ(Ь) = (Ьгв-1 +Л(Ь)^ в* . Таким образом, справедливо следующее равенство:

, bi + Л(t)et2, если (bie f2 + Л()) ^ 0,

eN (t) = { ) 2 .

если [bie t +Л^)\ < 0.

Сопряженные переменные Л(t) находим из уравнения Л = Выводим дифферен-

циальное уравнение Л(t) = die-t , решение которого имеет вид Л(t) = ai f0 e-s ds + c. Задача рассматривается на бесконечном временном промежутке, поэтому условие на Л(t) выглядит так: lim Л(t) = 0.

t——ю

Запишем выражение для Л(t), используя erf(-) - функцию ошибок:

Л (t) = di^Y~eri(t) + с,

t 2

где erf(t) = f e-s ds.

о

Так как lim erf(t) = 1, то lim Л(t) = di^- + с = 0 и, следовательно, с = —di^~

t—>-оо t—>-оо

и Л(t) = (erf(t) — 1).

Получаем, что равновесные по Нэшу выбросы игроков имеют вид

ef(t) = h + A(t)ef2 = di^(eri(t) - l)et2 + bi, i = 1, 2,

если это выражение положительно, и eN(t) =0 - в противном случае.

Заключение. В статье были сформулированы условия, при которых интегральный функционал, представляющий собой математическое ожидание интегрального выигрыша игрока, может быть сведен к бесповторному интегралу путем перестановки интегралов.

Теоретические результаты иллюстрируются на интегральном выигрыше игрока в дифференциальной игре управления вредными выбросами при условии, что игра имеет случайную продолжительность с конкретной функцией распределения.

1. Петросян Л. А., Мурзов Н. В. Теоретико-игровые проблемы в механике // Литовский математический сборник. 1966. Т. VI-3. С. 423—433.

2. Петросян Л. А., Шевкопляс Е. В. Кооперативные дифференциальные игры со случайной продолжительностью // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2000. Вып. 4. С. 18-23.

3. Шевкопляс Е. В. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана в дифференциальных играх со случайной продолжительностью // Математическая теория игр и ее приложения. 2009. Т. 1, вып. 2. С. 98-118.

4. Yaari M. E. Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer // The Review of Econimic Studies. 1965. Vol. 32, N 2. P. 137-150.

5. Boukas E. K., Haurie A., Michel P. An Optimal Control Problem with a Random Stopping Time // J. of Optimizationa theory and Applications. 1990. Vol. 64, N 3. P. 471-480.

6. Chang F. R. Stochastic Optimization in Continuous Time. New York: Cambridge Univ. Press, 2004. 326 p.

7. Breton M., Zaccour G., Zahaf M. A Differential Game of Joint Implementation of Environmental Projects // Automatica. 2005. Vol. 41, N 10. P. 1737-1749.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

9. Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 688 с.

10. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе / пер. с англ. Б. И. Голубова; под ред. П. Л. Ульянова. М.: Мир, 1967. 234 с.

11. Зорич В. А. Математический анализ: в 2 ч.: учебник. Изд. 4-е, испр. М.: МЦНМО, 2002. 664 c.

12. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теoрия оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 19 мая 2011 г.