Об упорядоченных полугруппах отношений с операцией идентивикации неподвижной точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.4

Д.А. Бредихин, А.В. Попович ОБ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУГРУППАХ ОТНОШЕНИЙ С ОПЕРАЦИЕЙ ИДЕНТИВИКАЦИИ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Находится базис тождеств многообразия, порожденного классом упорядоченных полугрупп бинарных отношений с дополнительной операцией идентификации неподвижной точки.

Алгебры отношений, полугруппы, многообразия, базис тождеств

D.A. Bredikhin, A.V. Popovich ON ORDERED SEMIGROUPS OF RELATIONS WITH THE FIXED POINT DESKRIPTOR

The basis of identities for the varieties generated by ordered semigroups of relations with the descriptor of fixed points is found.

Algebras of relations, semigroups, varieties, basis of identities

Актуальность темы. Множество бинарных отношений Ф, замкнутое относительно некоторой совокупности П операций над ними, образует алгебру (Ф,П), называемую алгеброй отношений. Всякая такая алгебра может быть рассмотрена как упорядоченная (Ф,П,с) отношением теоретикомножественного включения с. Современный этап развития теории алгебр отношений был заложен в работах А. Тарского [1,2]. Одной из важнейших операций алгебр отношений Тарского является операция умножения отношений о . Достаточно отметить, что рассмотрение именно этой операции побудило Пирса ввести в логику понятие квантора существования. Алгебры отношений вида (Ф, о) и

(Ф, о, с) образуют соответственно полугруппу и упорядоченную полугруппу бинарных отношений.

Общеизвестно, что всякая полугруппа изоморфно представима полугруппами бинарных отношений. Однако не все важные свойства бинарных отношений могут быть выражены с помощью операции умножения. Это приводит к необходимости рассмотрения алгебр отношений, в сигнатуру которых наряду с операцией умножения входят и другие операции над отношениями. Указанному направлению принадлежат работы многочисленных авторов (см. обзор [3]).

Сосредоточим свое внимание на операции произведения отношений о и унарной операции V, определяемой следующим образом. Для всякого бинарного отношения р положим

V(p) = {(x, x) :(Ely) (y, y) ер}.

Заметим, что V(p) совпадает с тождественным отношением А, если отношение р содержит неподвижную точку, и V(p) есть пустое отношение 0 в противном случае. По этим соображениям, операция V может быть рассмотрена как операция идентификации неподвижной точки.

При рассмотрении алгебр отношений одной из центральных задач является задача изучения их свойств, выраженных с помощью тождеств, что приводит к необходимости рассмотрения многообразий, порожденных соответствующими классами. В свою очередь, одной из центральных задач теории многообразий алгебр является задача нахождения их базисов тождеств. Именно этим вопросам и посвящена настоящая работа.

Формулировка и доказательство основных результатов

Обозначим через .К{П} (.^{П, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных алгебрам (упорядоченным алгебрам) отношения с операциями из П. Пусть V{П} (V{П, с}) - многообразие, порожденные классом ^{П} (^{П, с}.

Базис тождеств многообразия V{о, V} был найден в [4]. Следующая теорема дает решение соответствующей проблемы для многообразия упорядоченных алгебр V{о, V,с}.

Теорема. Упорядоченная алгебра (A, •, *, <) типа (2,1) тогда и только тогда принадлежит многообразию X, когда она удовлетворяет следующим тождествам:

✓ * ч 9 * * * х ч * х ч *

(ху)г = х(уг) (1), (х ) = X (2), ху = ух (3), (ху) = (ух) (4),

/ * \ * * * * ^ / п \ * *

(ху ) = ху (5), х < (х ) для любого простого числа п (6), ху < х(7).

Из сформулированной теоремы и следствия 2 [5] непосредственно вытекает следующее следствие.

Следствие. Алгебра (А,-, V, * ) типа(2,2,1) тогда и только тогда принадлежит многообразию К{о, и, V}, когда (А, V ) - полурешетка, выполняются тождества (1) -(6) и тождества:

х + ху* = х (8), (х + у)* = х* + у* (9), х(у + г) = ху + хг (10), (х + у)г = хг + уг (11).

Доказательство теоремы. Доказательство теоремы основывается на результатах [5]. Разобьем его на ряд последовательных шагов.

Шаг 1. Приведем ряд определений и обозначений, используемых в дальнейшем изложении, и сформулируем необходимый результат из [5].

Пусть Ке1(И) - множество всех бинарных отношений на V. Всякая формула ф(г0, г1) логики предикатов первого порядка с равенством, содержащая т бинарных предикатных символов г1, г2, ..., гт и г0, г1 - две свободные индивидуальные переменные г0, г1, определяет т-арную операцию ^ф на Ке1(И):

р9( ^ ^,.-К) ={(х у ):ф( Zо, ^ К )}>

где ф( г0, г1, К1..., Ят) означает, что формула ф выполняется, если свободные переменные г0, г1 интерпретируются как х, у и г1, г2, ..., гт интерпретируются как отношения К1, ..., Ят из Ие1(И).

Операция над отношениями называется диофантовой [5, 6] (в другой терминологии примитивно-позитивной [7]), если она может быть задана с помощью формулы исчисления предикатов первого порядка с равенством, содержащей в своей записи лишь операцию конъюнкции и кванторы существования.

Примитивно-позитивные операции могут быть описаны с помощью графов [7]. Пусть N -множество всех натуральных чисел. Помеченным графом назовем пару 0=(У, Е), где У=У(0) -

конечное множество, называемое множеством вершин, и Е=Е(в) с V х N х V - тернарное отношение. Тройку (и,к,у) 6 Е будем называть ребром графа, идущим из вершины и в вершину V, помеченным меткой к.

Под двухполюсником мы понимаем помеченный граф с парой выделенных вершин, то есть систему вида О=^,Е,Ш,ои0 , где (У,Е) - помеченный граф; т=т(0) и оШ;=оШ;^) - две выделенные вершины (не обязательно различные), называемые входом и выходом двухполюсника соответственно.

Пусть ^ - диофантова операция, задаваемая формулой ф. С этой операцией может быть

ассоциирован граф 0=0(Б)=0(ф), определяемый следующим образом: V(G) - множество всех индексов индивидуальных переменных, входящих в формулу ф; т^)=0, ои1;^)=1; (1,к,^) 6 Е^) тогда и только тогда, когда атомарная формула 1^^^) входит в ф; если формула ц = I] входит в ф, то вершины [ и ] отождествляются.

Пусть G=(V,E,Іn,OUt) и Gk=(Vk,Ek,ink,OUtk) (к=1,...,т) - двухполюсники с попарно непересекающимися множествами вершин. Назовем композицией этих двухполюсников новый двухполюсник G(G1,..., Gm) , определяемый следующим образом: возьмем двухполюсник G и заменим

каждое его ребро (i,k,j) 6 Е^) на двухполюсник Ок, отождествляя при этом вершину тк с вершиной и и вершину ОШк с вершиной V .

Рассмотрим множество примитивно-позитивных операций над отношениями ^={Рф,..., ^ } и пусть Л=(Л, ^,..., ^) - универсальная алгебра соответствующего типа. Положим

G1=G(ф1),...,Gn=G(фn) . Для всякого терма р алгебры А определим следующим индуктивным образом двухполюсник G(p)=(Vp, Ер, in(p), OUt(p)) :

1) если р = хк , то G(p) представляет собой двухполюсник вида ({1,2},{(1,2,к)},1,2) ;

2) если p=fk(p1,...,pm) , то G(p) есть композиция Gk(Gpl,..., Gp ) .

54

Обозначим через pr(E) множество всех вершин помеченного графа, которые инцендентны хотя бы одному ребру. Пусть G1=(V1,E1,in1,out1) и G2 =(V2 ,E2 ,in2,out2) - двухполюсники. Отображение f из pr(E2) в pr(£1) называется гомоморфизмом из G2 в G1, если f(in2) = in1, f(out2) = out1 и (f(u),k,f(v)) е E1 для всякой тройки (u,k,v) е E2. Мы будем писать G1 Р G2, если существует гомоморфизм из G2 в Gj, и G1 — G2, если G1 Р G2 и G2 р G1.

Обозначим через Eq{П} (Eq{П,с }) эквациональную теорию класса ^{П} (^{П, с}. Следующий результат из [5] дает описание этих эквациональных теорий.

Тождество p = q (p < q) принадлежит эквациональной теории Eq{П}(Eq{П,с }) тогда и только тогда, когда G — G (G Р G ).

p ~ q p q

Шаг 2. Обозначим через £ эквациональную теорию упорядоченных алгебр (A, •, *, <) типа

(2,1), удовлетворяющих тождествам (1)-(7), и пусть S множество термов алгебры (A, •, *) типа (2,1).

Для термов p1 и p2 из £ будем писать p1 — p2 или p1 Р p2, когда тождество p1 = p2 или p1 < p2 принадлежит £.

Пусть Л - множество всех непустых слов над алфавитом {x1, x2, ..., xn, ...}, 0 - пустое слово и

А+=Аи {0}.

Лемма 1 (см. [5]). Для любого терма p е £ существуют такие a0, a1,..., (Хп (n > 0), что p — а0( «!)*...( an )*, где а0, a1,..., an е А+.

Шаг 3. Согласно определению, двухполюсник G(p) = (Vp, Ep, in(p), out(p)), для p е2 может быть построен следующим образом:

Пусть p=a=0. Тогда V =Va={v0}, Ep =Ea =0 и in( p) = in(a) = out( p) = out (a) = v0.

Пусть p = a = x_ xh...xn . Тогда Vp = Va = {v!,..., Vn+1 } , Ep = E a = {(vk , ik , Vk+1): k е [1, n]}

и in(p) = in(a) = Vj, out(p) = out( a) = vn+1.

Пусть p = a*= xi1 xi2...xn , где a*= x. xi2...xin . Тогда Vp = V* = {Vp V1,..., vn},

Ep = E a = {(V,ik,Vk+1): kе [1,n]}u{(v,in,О} и in(p) = in(a) = out(p) = out( a) = v>.

nn

\ *

Пусть p = a0(a1)*...(an)*и n > 0. Мы будем предполагать, что множества V , V *, •••,

a° a1

V * попарно не пересекаются. Тогда V = V a U pr(V *) U... U pr(V *),

an p 0 a1 an

E = Eau E * U... U E * и in(p) = in(a0), out(p) = out( a0). Заметим, что в этом случае

0 a1 an

G( p) содержит n + 1 связную компоненту.

Лемма 2 (см. [5]). Если G( a) Р G(P), то a = Р.

Лемма 3 (см. [5]). Пусть E a Р Ep и f - гомоморфизм из Ep в Ea. Тогда существуют такие

Х, л е А+, что a = Х/л и в = (Х для некоторого натурального k , и для каждой верши-

ны V е pr (E *) выполняется условие f _1(v) = k .

Рассмотрим произвольное тождество р1 = р2. Согласно лемме 1 мы можем предположить, что

p = a0(aj\..(an)* и p2 = ДХД)*-(Д)*

Лемма 4 (см. [5]). Пусть G(px) Р G(p2) . Тогда a0 = в0 и существует такая функция g из {1,...,m} в {1,...,n}, что (ag(1 ))* — (agd))*(в)* для l = 1,...,n.

Лемма 5 (см. [5]). Пусть G(p2) Р G(px) . Тогда a0 = в0 и существует такая функция q из

{1,...,n} в {1,...,m}, что (Pq(i))* — (pg(i))*(ai)* для 1 = 1,...>m.

Шаг 4. Непосредственной проверкой легко убедиться, что упорядоченная алгебра отношений (Ф,о, V,с) удовлетворяет тождествам (1)-(7), то есть £с Eq^,V,с}. Покажем, что

£ с Eq^, V, с} . Предположим, что тождество p1 < p2 принадлежит Eq^, V, с} . Тогда, согласно

сформулированному выше результату из [5], имеем G(p1) Р G(p2) . Следовательно, используя леммы 4, 5, и тождества (2), (3) и (7) получаем

p = a0( a1)*...( an )* Р в0( ag (1))*...( ag (m))* — P0( ag (1))* (P1)*...( ag (m))* (Pm ) Р

Р P0(P1)*...(Pm)* = p2. Следовательно, тождество p1 < p2принадлежит £.

Таким образом, £ = Eq^, V,с} . Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Tarski A. On the calculus of relations / A. Tarski // Symbolic Logic. 1941. Vol. 6. P. 73-89.

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations / A. Tarski // Symbolic Logic. 1953. Vol. 18. P. 188-189.

3. Schein B.M. Relation algebras and function semigroups / B.M. Schein // Semigroup Forum. 1970. Vol. 1. P. 1-62.

4. Бредихин Д.А.Об алгебрах отношений с операцией индентификации неподвижной точки / Д.А. Бредихин // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Саратов: Изд-во СГУ, 2010. Вып. 6. С. 90-98.

5. Бредихин Д.А. Эквациональная теория алгебр отношений с позитивными операциями / Д.А. Бредихин // Известия вузов. Математика. 1993. №3. С. 23-30.

6. Бредихин Д.А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями / Д.А. Бредихин // Доклады Российской академии наук. 1988. Т. 360. С. 594-595.

7. Boner F. Clones of operations on binary relations / F. Boner, F.R. Poschel // Contributions to general algebra1991. Vol. 7. P. 50-70.

Бредихин Дмитрий Александрович - Dmitry A. Bredikhin -

доктор физико-математических наук, профессор Dr. Sc., Professor,

кафедры «Математика и моделирование» Department of Mathematics and Modeling,

Саратовского государственного технического Yu. Gagarin Saratov State Technical University

университета имени Гагарина Ю.А.

Попович Алексей Владимирович - Aleksey V. Popovich -

аспирант кафедры «Математика Postgraduate

и моделирование» Саратовского Department of Mathematics and Modeling,

государственного технического университета Yu. Gagarin Saratov State Technical University

имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 24.10.11, принята к опубликованию 15.11.11