Об универсальных проективно-планарных автоматах Текст научной статьи по специальности «Математика»

b) находим следующее приближение из соотношений

?(r+1)W = q{x) - 28Q W.A(r+1) = * + е0(0).^(г+1) - Я - е0(я), so(*) = £ I —ф(*ДяГ-Ф^Ая ЫХ>К)[ •

я=о[«и ап }

Для прекращения итераций можно использовать любой из общепринятых критериев.

Заметим, что при вычислении Eq(x) можно избежать применения формул численного дифференцирования, если воспользоваться, например, соотношением

х

ср'(*Л) = -psinpx + Acospx + Jcosp(jc —• t)cj(t)ty(t, p2 =X,

о

где <p{x,X) - решение задачи Коши (7).

Проведенные численные эксперименты показали, что метод сходится достаточно быстро (для широкого класса задач при выборе 5 < N < 25 для достижения хорошего качества восстановления оказалось достаточно 5-10 итераций).

В заключение отметим, что приведённый метод идейно близок итерационному алгоритму, предложенному W. Rundell [2], но не использует оператора преобразования, что даёт возможность для его обобщения на уравнения произвольных порядков.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов, 2001.

2. Chadan К., Colton D., Paivarinta L., Rundell W. An Introduction to Inverse Scattering and Inverse Spectral Problems. SSSIAM, Philadelphia, 1997.

УДК 519.4

С. И. Ишина

ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПРОЕКТИВНО-ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТАХ*

В статье изучаются алгебраические свойства проективно-планарных (сокращенно, Р-планарных) автоматов. Под Р-планарным автоматом понимается автомат без выходных сигналов А=(Х, Г, 5) с множеством состояний X, наделённым структурой проективной плоскости П ={Х, L) (где X -множество точек и L - множество прямых, удовлетворяющих известным аксиомам проективной плоскости [1]), полугруппой входных сигналов Г и

Работа выполнена при поддержке INTAS, грант № 99-1224.

54

функцией переходов 5. При этом для любого уеГ функция переходов 5у(х) = 8(х,у) является эндоморфизмом проективной плоскости, т.е. преобразованием точек этой плоскости, сохраняющим её прямые.

Пара отображений /=(/ь/2) называется гомоморфизмом Р-планарного автомата А =(П, Г, 8) в Р-планарный автомат А\ = (Пь Гь 61), если П->П] и /2: Г->Г, - такие гомоморфизмы проективных плоскостей и полугрупп соответственно, что для любых (х, у) е ХхГ выполняется равенство: /1(5(ж, у)) = б^/^х), /2(у)). Если /1 - тождественное преобразование плоскости П, то / называется гомоморфизмом по входным сигналам.

В общем случае при отсутствии равнодействующих сигналов в автомате Л=(П,Г,5) полугруппа Г изоморфно вкладывается в полугруппу эндоморфизмов Епс1П, т.е. можно считать, что Гс Епс1П. В случае Г = ЕпёП, автомат А, следуя [2], будем называть универсальным Р-планарным автоматом и обозначать АгтП. Автомат АйпП является универсальным притягивающим объектом в категории Р-планарных автоматов (7, т.е. обладает следующим универсальным свойством: для всякого Р-планарного автомата А =(П, Г, 5) существует и притом единственный гомоморфизм по входным сигналам этого автомата в автомат АипП.

Основной результат настоящей статьи даёт решение задачи конкретной характеризации универсальных Р-планарных автоматов: здесь приводится перечень условий, при которых на множестве состояний автомата А =(Х, Г, 5) можно так определить структуру проективной плоскости П, что полугруппа входных сигналов Г будет равна полугруппе эндоморфизмов плоскости П,

Пусть X - произвольное непустое множество и Г - полугруппа преобразований множества X. Тогда Г определяет на множестве X следующие канонические отношения:

X г = и{ф3: феГ}, где ф3(х, у, г) = (ф(х), ф(>), ф(г)) для (х, у, г) е X3,

£>г= {(XI, х2, х3)еХ3: X3 с ХГ(хь х2, х3)},

Я г = {(*ь х3)еХ3: Х3\А х3 г~'(*ь х2, *з)}> где X г-1 - обратное отношение и

Дх3 = {(хь х2, х3)еХ3 : х, = х] для некоторых 1 < г Ф] < 3}.

Алгебраическую систему М= (X, Я г) будем называть каноническим релятивом полугруппы Г.

Полугруппу Г будем называть 3-ограниченно замкнутой, если она содержит все такие преобразования ф множества X, которые на любом трехэлементном подмножестве УаХ совпадают с некоторым преобразованием феГ.

Для некоторого тернарного отношения К на множестве X множество КсА'называется Л-связным, если

Отношение ЯсХ3 называется эквивалентностью на множестве X, если оно удовлетворяет следующим условиям: (Т1) (х, х,х) е Я для любого х е X, (Т2) (х,, х2хъ) е Я => (х2, хи хг), (хь х3, х2) е Я;

(ТЗ) для любых попарно различных элементов х\х2 е Хи любых х, у е X

(х, Хи х2), (х2, хь у) е Я => (х, хиу) е Я. При этом Я называется нетривиальной квазиуниверсальной эквивалентностью, если выполняются условия: (Т4 )Я*Х3;

(Т5) для любых х\,х2 € Xнайдется такой элемент х3 е X, что (хь х2, х3) е Я.

Для произвольной проективной плоскости П ={Х, Ь) определим на множестве Xотношение коллинеарности Вп по следующей формуле:

Вп ~ {(*ь х2, хъ) е X], х2, х3 е 1, для некоторой прямой 1еЬ}

ЛЕММА 1. Для любой проективной плоскости П =(Х, 1.) каноническое отношение Я г полугруппы эндоморфизмов Г = Епс1П удовлетворяет следующим условиям:

1) отношение Я г является нетривиальной квазиуниверсальной эквивалентностью на множестве X;

2) множество УЬХ в том и только том случае является прямой плоскости П, если оно является максимальным Я ¡--связным множеством;

3)для любого преобразования множества .АГ условие уеГ равносильно тому, что г)сЯг-

ЛЕММА 2. Пусть Х- произвольное непустое множество и Я - нетривиальная квазиуниверсальная эквивалентность на множестве X. Тогда для множества всех максимальных /?-связных множеств Ь алгебраическая система П =(Х, Ь) является проективной плоскостью и для отношения 5П коллинеарности её точек выполняется равенство 5П = Я.

ТЕОРЕМА. Пусть А ={Х, Г, 5) - произвольный автомат, полугруппа входных сигналов которого рассматривается как полугруппа преобразований множества X. Тогда А в том и только том случае является универсальным Р-планарным автоматом АйпП для некоторой проективной плоскости П =(Х, Ь), если Г является 3-ограниченно замкнутой полугруппой, каноническое отношение К г которой является нетривиальной квазиуниверсальной эквивалентностью и канонические отношения Я г и удовлетворяют следующим условиям:

(Т6)Лги£г = *3;

(Т7) для любых X,, х2, х3, х4 еХ найдется такой х е X, что (хи х2, х), Х4, х)&Я р.

Причем в этом случае существует единственный универсальный Р-планарный автомат с множеством состояний X, для которого полугруппа Г является полугруппой входных сигналов.

Доказательство. Пусть Г - полугруппа входных сигналов некоторого универсального Р-планарного автомата АйпП с множеством состояний X, т.е. Г = Епс1П. Тогда по лемме 1 полугруппа Г совпадает с множеством всех эндоморфизмов своего канонического релятива М = (X, Я г) и каноническое отношение Я г полугруппы Г является нетривиальной квазиуниверсальной эквивалентностью на множестве X, т.е. выполняются свойства (Т1) - (Т5). Кроме того, Я г удовлетворяет условию (Т7), так как согласно аксиоме проективной плоскости, через две точки проходит одна и только одна прямая.

Убедимся, что Яг и Q г удовлетворяют условию (Т6). Пусть для некоторых точек а\, а2, а3 е X выполняется условие (а,, а2, аз) гйг. Тогда из условия 2) леммы 1 следует, что множество У={а\, а2, а3} не содержится ни в какой прямой. Так как в проективной плоскости П каждое двухэлементное множество определяет одну прямую, то множество {аь а2, а3} состоит из трех точек, которые одновременно не принадлежат никакой прямой плоскости П, но все собственные подмножества этого множества содержатся в некоторых прямых плоскости П. Для произвольных точек х\, х2, е X можно определить преобразование у множества X, которое является эндоморфизмом проективной плоскости П. Тогда {аь а2, а3} е г- Это доказывает (Т6),

Очевидно, что полугруппа Г является 3-ограниченно замкнутой.

Обратно, пусть полугруппа Г является 3-ограниченно замкнутой полугруппой преобразований множества X и канонические отношения Я г и ()[ удовлетворяют условиям (Т1) - (Т7). В силу леммы 2 отношение К г определяет проективную плоскость П = (X, Ь), множеством прямых которой является множество всех максимальных Я р-связных множеств.

Для построенной с помощью 3-ограниченно замкнутой полугруппы Г плоскости П выполняется Г= ЕпбП. Таким образом Г является полугруппой входных сигналов некоторого универсального Р-планарного автомата.

Отметим также, что построенная проективная плоскость, удовлетворяющая условию Г=Еп(1П, однозначно определяется рассматриваемой полугруппой преобразований с помощью ее канонического релятива Я р . Это означает, что в данном случае существует единственная проективная плоскость П, для которой выполняется равенство Г=Еп<1П. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 .ХартсхорнР. Основы проективной геометрии. М.: Мир, 1970.

2. Плоткин Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994.