CC BY
17
№ 6 - 7 червень - липень 2011
НАУКОВІ ДОСЛІДЖЕННЯ
УДК 519.21
ОБ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФАКТОРОВ НА АДЕКВАТНОСТЬ МОДЕЛИ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ
В. И. Большаков, д. т. н., проф., Ю. И. Дубров, д. т. н., проф.
Ключевые слова: случайные факторы, функция отклика, экспертная оценка
Высказывание «учет случайности» звучит несколько парадоксально, поскольку если это случайность, то можно ли ее учесть? Оказывается, случайность учесть можно, если рассматривать процесс функционирования каждого элемента сложной системы (СС) как случайного. Это возможно, если действие каждого элемента СС задать как некоторую совокупность случайных величин {Y}tej- Каждая случайная величина Y может быть задана своим распределением вероятностей, т. е. совокупностью вероятностей вида Ft(B) = P(Yt є B),B с V (подмножества B и V не произвольны, а принадлежат определенному классу измеримых подмножеств). Однако, чтобы задать совокупность {Yt}t^r, недостаточно задать распределение Ft для каждой из величин, Yt,t єТ., поскольку в общем случае эти величины зависимы.
Поэтому для того, чтобы задать случайную величину, необходимо задать всю совокупность так называемых конечномерных распределений. Другими словами, для каждого конечного набора величин tt є Т, i = 1,2,...,k, k = 1,2,...,задать P{Yt є B1,...,Yt є B^},Bi с V,i = 1,...,к.
Такой подход к учету случайности является чрезвычайно громоздким и трудоемким, более того, иногда просто неосуществимым, поскольку не каждая случайная величина может быть задана своим законом распределения из-за того, что по некоторым объективным причинам невозможно его установить. В этой связи часто, при моделировании технологий, закон распределения вероятностей тех или иных величин не устанавливается, например, экспериментально, а задается интуитивно1 * * * 5.
Следуя идеям, изложенным в работе [1], моделирование случайности может происходить за счет включения в модель чего-то вроде генератора случайных чисел, случайным образом изменяющих систему аксиом и правила вывода. В биологической эволюции такой генератор реализуется достаточно часто. Например, в виде жесткого излучения, действующего на гены и вызывающего мутации [2]. Природа также нашла способ автоматического соединения многих миллионов рецепторных и эффекторных нейронов с теми специфическими пунктами в головном мозге человека, которые предназначены для связи с огромным множеством входных и выходных устройств. Этот способ заключается в том, что растущие кончики аксонов в ходе эмбрионального развития блуждают более или менее случайным образом, что дает им шансы приблизиться к любому нейрону, с которым должна быть установлена связь [3].
В работе [4] было показано, что моделирование влияния помех на СС может быть реализовано ГСЧ. Так, например, если генерировать, в заданном диапазоне, случайные приращения к коэффициентам функции произвольно вида (модели), то это приводит к тому, что через конечный промежуток времени численное значение этой функции будет сходиться с ее заданным значением в пределах заданной точности. Если действия случайных помех снова «уводят» модель из области сходимости, генератор случайных приращений включается вновь и генерирует приращения коэффициентам модели до тех пор, пока снова не будет достигнута необходимая сходимость. Такой способ «движения» модели напоминает полет фототропного насекомого. Непреодолимо привлекаемое пламенем свечи, это насекомое на первый взгляд
1 Ниже, при обсуждении понятия «информационная энтропия», мы покажем, что степень неопределенности объекта
идентификации тем выше, чем более равновероятными являются его состояния. Поэтому, если нам неизвестен закон
распределения случайной величины, для максимизации правдоподобия мы можем его задать как «равновероятный», поскольку
равная вероятность возникает при абсолютной случайности выбора того или иного, например численного значения некоторой величины. В этой связи возникает задача осуществления такого выбора, который бы обеспечивал равновероятный закон распределения.
5
Вісник ПДАБА
движется беспорядочно, однако его случайные движения содержат постоянную составляющую, направленную к источнику света: « ...как бабочка, я на костер лечу и огненность целую...» (С. Есенин).
Таким образом, моделирование случайности, возникающей из-за так называемого «проклятья размерности», может осуществляться посредством применения метода случайного поиска.
Чаще всего метод случайного поиска применяется для отыскания экстремума функции (функционала) многих переменных при любых ограничениях, накладываемых на эти переменные. Этот метод так же применим к любым функциям даже тогда, когда их не удается записать (например, при имитационном моделировании).
Различают следующие разновидности случайного поиска:
1. Последовательный поиск, основанный на последовательном улучшении решения. При этом случайный шаг формируется только с учетом информации о поведении исследуемой функции на текущем шаге. В этом случае вся информация исчерпывается определением удачности или неудачности шага.
2. Адаптивный (самообучающийся, приспосабливающийся) поиск, отличающийся тем, что случайный шаг формируется с учетом информации о поведении исследуемой функции на всех предыдущих шагах.
3. Слепой поиск (метод сканирования), предусматривающий последовательный перебор всех возможных численных значений исследуемой функции.
Многие исследователи метода случайного поиска показали, что он дает скорейшую сходимость в задачах большой размерности по сравнению с итерационными, релаксационными и другими методами (см. например [5 - 7]). Однако логичного объяснения этого феномена мы в литературе не встречали. Попытаемся сделать это, прибегая к мысленным опытам2.
Для этого исследуем в пространстве Еп две разновидности слепого поиска с возвратом при неудачном шаге:
а - поиск с постоянным по величине и случайным по направлению шагом; б - поиск со случайным по величине и направлению, но ограниченным по величине шагом.
Естественно предположить, что для случая, представленного в пункте а, при относительно большом числе испытаний, вектор D = 1, имитирующий шаг при поиске указанном в пункте а, своим концом метит точки пространства, в пределе представляющего кривую поверхность сферы (рис. 1).
Вероятность попадания конца вектора D = 1, генерируемого из точки O на кривую поверхность некоторого сегмента S , для случая а, может быть интерпретирована как вероятность выхода, например, броуновской частицы из сферы B через круглое отверстие радиуса R (на рис. 1 заштрихованная область). При большом числе испытаний и случайном выборе направления, в котором выбрасывается вектор D = 1, принимаем, что эта вероятность пропорциональна отношению площади S шаровой поверхности сегмента к площади S всей поверхности сферы B .
Докажем это. Натянем на сферу B сетку с равными ячейками. Допустим, что кривая поверхность сферы B , ограниченная одной ячейкой, равна кривой поверхности сегмента S . Вероятность попадания конца вектора D на кривую поверхность сферы B , ограниченную одной ячейкой сетки (при использовании случайного механизма выбора направления), будет
N -1, где N - общее число ячеек, перекрывающих кривую поверхность всей сферы B .
Аналогично рассуждая, можно показать, что вероятность попадания конца вектора D в некоторый объем шара определится как отношение объема заданной части шара к полному его объему. 2
2 Напомним, что пространство переменных может быть интерпретировано как абстракция некоторого технологического процесса (см. например 15).
6
№ 6 - 7 червень - липень 2011
Рис. 1. Геометрическая интерпретация случайного поиска
Для того чтобы показать характер изменения этой вероятности как функции числа измерений, выведем соответствующие уравнения и исследуем их. Для этого обозначим через
S„- площадь кривой поверхности части п - мерной сферы, которой представлена целевая область, заключенная между плоскостями = арс1 = b;Sn — площадь кривой поверхности всей п - мерной сферы R=1.
Принимаем Ті2іЗ. Тогда для четных п, т. е. для п = 21 при I = { 1,2,...,},
П-1
Sn=2J
Х1 +- + ХП-1<1
■41+(8t)2+~+<lt^)dXl
,dx
-n_j ,
(1)
^n-2l =
2nl
(2)
После интегрирования (1) определяем вероятность попадания конца вектора D в целевую область, заданную кривой поверхностью Sn, заключенной между плоскостями X/ = о,х1 =Ь как
(3)
Аналогично выводятся уравнения для определения вероятности попадания конца вектора D в заданную целевую область при нечетном числе измерений, т. е., когда п = 21+1.
С учетом того, что Sn = Vn 2 и Sn = Vn 2 , можно принять, что исследование уравнения (3) позволит также оценить вероятность попадания конца вектора D в целевую область, заданную объемом Vn.
Характер изменения вероятности попадания в область, заключенную между плоскостями
Xj = а, Х} = Ь при увеличении числа измерений от 3 до 100, представлен на рисунке 2 . На этом
рисунке по оси абсцисс отложено количество переменных, а по оси ординат - вероятность попадания в заданную область И-сферы с учетом условий (4).
7
Вісник ПДАБА
Рис.2. Вероятность попадания в заданную область при случайном поиске в зависимости
от числа измерений n
Из рисунка 2 видно, что
при
(кривые (1 т-10))
при
Prob(d є Sn) =^- 0
при
(кривые 11 Т- 16)
Prob(d ^Sn)=> OJ>
Prob( d є Sn)^> 1
(4)
(кривые (17-т 25)).
Например, если ограничить двумя параллельными гиперплоскостями очень тонкий шаровой слой так, что каждая гиперплоскость будет отстоять от центра шара, например на OfiOOOOJR, то в трехмерном пространстве соответствующий слой будет иметь очень небольшой объем и поверхность ограничивающей его части сферы также будет очень малой.
Если, однако, число измерений пространства Е" перманентно увеличивать до больших значений, то объем такого слоя так же перманентно будет возрастать, и при очень больших П окажется незначительно отличающимся от полного объема шара. Также и часть поверхности сферы, заключенная между этими плоскостями, при относительно больших п будет по величине почти совпадать с площадью всей поверхности. Этот феномен, присущий многомерным сферам, объясняет тот факт, что случайный поиск, при определенных условиях, способен обеспечить скорейшую сходимость в задачах большой размерности по сравнению с итерационными, релаксационными и другими методами поиска.
Из приведенных исследований следует ряд особенностей и - мерных шаров и сфер, которые резко отличают эти геометрические фигуры от привычных для нас трехмерного шара и двумерной сферы. Эти особенности проявляются в том, что объем гиперсферы с ростом ее размерности сосредотачивается в области гиперплоскости ортогональной заданной оси [8].
Данный факт трудно объясним с позиций нашего опыта, вероятно потому, что, как мы это уже отмечали выше, наши представления о пространстве и времени есть нечто врожденное, не зависящее ни от какого опыта, поэтому врожденным является и понятие трехмерного -Е3, двухмерного - Е2 и одномерного -Е1 евклидова пространства Интерпретируя пространство
8
№ 6 - 7 червень - липень 2011
состояний технологических процессов как некоторую поверхность в пространстве En(n > 3)
мы делаем наглядной их геометрическую интерпретацию. Это позволяет исследователю эффективно осуществлять поиск субоптимальных значений независимых переменных, подбирая и обосновывая тот или другой метод поиска.
Хотелось бы еще раз отметить, что случайный поиск является эффективным при исследовании только многопараметрических технологий, а также при имитации действия на эти технологии помех или факторов, относимых к случайным. При этом, по нашему мнению, практически все существующие в настоящее время технологии являются многопараметрическими.
Покажем это на примере простейшей, на наш взгляд, технологии по производству дистиллированной воды (рис. 3). В этой технологии переменными могут быть выбраны количество воды, поступающей в аппарат за единицу времени, и температура нагревателя. Функцией цели может являться количество дистиллята, получаемого за единицу времени при заданной степени его чистоты. При внимательном изучении данного технологического процесса оказывается, что есть факторы, которые необходимо учитывать для того, чтобы целевой продукт отвечал определенным качественным показателям. Например, содержание легколетучих веществ в поступающей в аппарат воде, количество и температура хладагента, поступающего в рубашку холодильника, стоящего на выходе пара из аппарата, и т.д. На этом очень простом примере мы убеждаемся, что технологии, у которых количество параметров не превышает трех, являются сильной идеализацией, или, пользуясь терминологией ряда известных учених, «оглуплением» действительности.
Рис. 3. Пример применения метода случайного поиска для настройки математической модели на адекватность объекту идентификации
При неполном знании механизма исследуемых явлений аналитическое выражение функции отклика нам неизвестно. В этом случае, как правило, строится вспомогательная функция, которая должна быть положительно определена, и иметь минимум в тех точках, в которых рассогласования в условиях задачи равны нулю, а также эта функция должна иметь непрерывную производную по рассогласованиям во всей области изменения искомых переменных.
Представим эту функцию полиномом наиболее общего вида:
Р-Р, + +1 і І-f^Dxp*, + 3 і v Z-^di—Dxp xflx, + j > i, (5)
i=idx, 2 i=ij=idxidx, 3 i=ij=ik=idxidxidxb.
‘ ‘ .! ‘ .! k
где p0 - числовое значение функции при заданных значениях переменных,
9
Вісник ПДАБА
(t>x1n>x2n>->Xn0)>Dxi>->Dxk -
приращения искомых переменных,
а производные
dp
dxi ’
коэффициенты.
Определение коэффициентов для функции (5) часто производится решением системы линейных алгебраических уравнений, полученных на основании активного или пассивного экспериментов [9].
В том случае, когда эксперимент произвести невозможно и нет достаточной информации для формирования вспомогательной поверхности, оценку влияния каждого фактора часто производят методом экспертных оценок [10].
Если же задаваемая информация - это просто множество наборов (п +1) чисел
(xlt... ,Xn,p), то для решения этой задачи в теории аппроксимации существует много превосходных процедур, например, метод наименьших квадратов. Однако эта информация, задаваемая вместе с формой оценивающей функции, часто поступает в виде множества явных и неявных предпочтений, что затрудняет решение.
Для определения вида функции, описывающей сложный процесс, можно предложить следующую эвристическую процедуру.
Допустим, что для описания некоторого процесса нами выбрана функция цели ф и
независимые переменные Xi и X2 . Также, допускаем, что единственной информацией о рассматриваемом процессе является рабочий режим, который характеризуется некоторым числовым значением функции цели ф с соответствующими числовыми значениями независимых переменных x^x2 . Допустим также, что вид функции ф = ф(Xi,X2) неизвестен
и определить его невозможно ни на основании изучения, например, физико-химических закономерностей, ни на основании статистических или экспериментальных данных3.
Зададим вид искомой функции произвольно, например как:
ф= ф0 + b1x1 + b2x2 + b12x1,x2 (6)
где bp b2, b12 - числовые коэффициенты.
Пусть Po, Pp P12 - фиксированные натуральные числа. Мы будем интересоваться
количеством приближенных решений уравнения (6), удовлетворяющих следующим неравенствам:
0 <ф0< Po
0 < b^Xj < Рф. <ф<ф.
1 12
0 < b x < P i = 1,2,...,п 2 2 2 ’ ’ ’
0 < b x ,x < P 1,2 1 2 1,2
(7)
Генератором случайных чисел будем продуцировать последовательность независимых случайных чисел с заданным дискретом Dx и изменяющихся в заданных пределах
'min < 'ij < ''max .
Определим вероятность того, что прибавление этих величин к каждому из коэффициентов полинома (6) при фиксированных значениях переменных (xi,x2) приведет к тому, что при его решении получится число ф , удовлетворяющее заданным ограничениям
(7).
Общее число возможных решений уравнения (6) определим как
(ф max фтт)
4(п+1)-
ф
Число благоприятных исходов ограничено отрезками
(ф,2 -фи) ,
Вф ’
3 Например, это может происходить по причине нерепрезентативности выборки.
10
№ 6 - 7 червень - липень 2011
откуда следует, что вероятность благоприятного исхода находится в границах:
Prob (фє [ф.^ф^]) ^ min(l,
n
ОфП (ф2 ~фп)
_______i=1_____
4(Вф)(п + Щфтах
ф ■ )
min
(8)
Таким образом, представляется возможность получения конечного числа уравнений, из которых можно выбрать наилучшее в том смысле, что из всего множества уравнений оно даст минимальное отклонение от всех точек предыстории:
S
min 2
i = l
l r фг~фг
lll l Г Г 1
где фг, ф2,---, фв - точки предыстории, фг, Ф2,..., фв — числовые значения функции,
полученные подстановкой в уравнение (6) значений переменных из точек предыстории.
Таким образом, в качестве меры близости математического описания к реальности может быть выбрано расстояние по Хеммингу [11].
Неожиданным является тот факт, что выбор произвольно взятого уравнения с включением механизма настройки, основанного на применении ГСЧ, дает положительный результат. При этом полученная описанным выше способом математическая модель вероятнее всего будет нелогичной с точки зрения здравого смысла и в то же время может являться относительно хорошей моделью, используемой для прогнозирования4 [12].
Таким образом, экспериментально, в уменьшенном масштабе времени, можно вияснять, к каким результатам приводят различные управления, с тем чтобы выбрать наилучшее из них.
Этот факт хорошо согласуется с известным утверждением о том, что успех, например, в научном исследовании, сопутствует тому, чье мышление не сковано традиционными методами решения проблем, т. е. тому, чье мышление не предубеждено. Освобождение от предрассудков - первое требование не только для познания истины [13], но и для отыскания более новых оригинальных путей достижения цели с учетом заданных ограничений.
Таким образом, точность и дальность предсказания будущей ситуации с использованием математической модели зависит не только от степени ее адекватности реальности, но и от механизмов экстраполяции или интерполяции, производимых с использованием этой модели. Если математическая модель получена на основании детерминированного анализа исследуемого явления, то естественной является экстраполяция традиционными классическими методами [14].
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Эйнштейн А. О методе теоретической физики // Сб. науч. тр. - М., 1967. - Т.4. - 184 с.
2. Heisenberg W. Der Teil und das Ganze. Munchen, 1969, 212 р.
3. Шредингер Э. Что такое жизнь с точки зрения физики. - М.: Изд-во иностр. лит., 1947. -С. 50.
4. Нгуен Тхук Лоан О некоторых методах синтеза самонастраивающихся систем управления с эталонной моделью // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. - 1971. - № 2. -С. 206 - 215.
5. Вулдридж Д. Механизмы мозга. М.: Мир, 1965. - 465 с.
6. Растригин Л. А. Статистические методы поиска. М.: Наука, 1968. - 387 с.
7. Растригин Л. А. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига.: Знание,1965. - 279 с.
8. Brooks S. H. A Discussion of Random Methods for Seeking Maxims, Operations Research, March - April, 1958. - 245 с.
9. Дубров Ю. И., Ковальчук Д. С. К вопросу об автоматической адаптационной оптимизации объектов со стохастическим дрейфом функции цели // Кибернетика. АН УССР. -1971. - № 4. - С. 112 - 119.
4 Как мы это уже отмечали, такую модель можно рассматривать как “модель мутант”, поскольку ее нелогичность, с точки зрения здравого смысла, не согласуется с ее «прогнозоспособностью». Для снижения вероятности возникновения «модели мутанта», т. е. такой модели, которая, будучи адекватной исследуемому явлению, не отражает, например, его физические закономерности, в нее необходимо включить блок обучения, отсеивающий нежелательные ее варианты. Как это делается, мы рассмотрим ниже.
11
Вісник ПДАБА
10. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III, М.: Физматгиз, 1963. -C. 393.
11. Федотов В. В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. - 437 с.
12. Нейлор К. Как построить свою экспертную систему. М.: Энергоатомиздат, 1991. -280 с.
13. Паск Г. Модель эволюции // Принципы самоорганизации. М.: Мир, 1966. - С. 284 - 314.
14. Ивахненко А. Г. Свободу выбора вычислительной машине ! Эргатические системы управления. К.: Наукова думка, 1974. - С. 17 - 22.
УДК 620.179.112:621.43
РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ВСПЫШКИ ПРИ МНОЖЕСТВЕНННОМ КОНТАКТЕ И ГРАНИЧНОЙ СМАЗКЕ
В. Г. Заренбин, д. т. н., проф.
Ключевые слова: температура вспышки, граничная смазка, множественный контакт, поршневое кольцо, цилиндр, двигатель внутреннего сгорания
Проблема. Обеспечение противозадирной стойкости в диапазоне рабочих режимов машин является одним из важнейших условий при выборе основных форм и размеров деталей, а также их общей конструктивной компоновки. Это предопределяет необходимость расчета допускаемых нагрузок с учетом температур, возникающих на микроконтакте сопряженных поверхностей. Поэтому проведение дальнейших исследований температур на контакте пар трения с последующим уточнением теплового расчета на заедание деталей машин остается актуальной теоретической и прикладной задачей.
Максимальная температура на скользящем контакте зависит от температурной вспышки на неровностях поверхностей, и ее оценки известны уже давно [1; 2]. Немногочисленные эксперименты по непосредственному измерению величин вспышек температуры приведены в работах [1; 3]. Температура определялась путем подключения измерительной аппаратуры к естественной термопаре. Так, в работе [3] температура вспышки находилась в паре трения: неподвижная игла из хромеля - полированная пластина из алюмеля, которая двигалась возвратно-поступательно без смазки. Однако естественные термопары неприменимы для большинства материалов трибосопряжений и микроконтактов со смазкой, кроме того остается открытым вопрос определения погрешности замера температуры.
Из-за сложности экспериментов большинство существующих работ посвящено теоретическим исследованиям с использованием различных моделей контактного взаимодействия поверхностей. Обычно рассматривается модель, когда единичный микровыступ скользит по гладкому полупространству в условиях трения со смазкой или без нее, т. е. без учета особенностей контактного взаимодействия шероховатых тел. В действительности, как известно, область контактного взаимодействия дискретна, состоит из множества пятен фактического контакта, характеризуемого средним диаметром пятна контакта и средним расстоянием между пятнами контакта [1; 4]. Важным свойством дискретности фрикционного контакта является то, что при скольжении неровность испытывает циклическое воздействие со стороны неровностей контртела и на их поверхностях возникают температурные вспышки длительностью от 10-9 до 10-2с.
Модели множественного контакта использованы в работах [1 - 3], но в них не рассмотрено трение со смазкой и с изменением теплофизических характеристик от времени.
Приведенные решения задачи при наличии конвективного теплообмена и
нестационарности тепловых потоков, распределенных между микровыступами, имеют громоздкий вид и требуют применения специально разработанных приближенных методов расчета [3].
В инженерных задачах подобные усложнения вряд ли оправданы, учитывая невысокую точность экспериментального определения параметров случайного профиля микрогеометрии поверхности, например, радиусов закругления вершин микровыступов.
Цель работы. Предложить расчет температурной вспышки при множественном контакте и граничной смазке, а также применить его для решения конкретной задачи в трибосопряжении гильза цилиндра (ГЦ) - поршневое кольцо (ПК) двигателя внутреннего сгорания (ДВС).
12
