ОБ ОЦЕНКЕ МОНОМОВ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОЧЛЕНОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Б01 10.24412/с1-37235 -2024-1 -38-41

ОБ ОЦЕНКЕ МОНОМОВ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОЧЛЕНОВ

Г.Г. Казарян, В.Н. Маргарян, Г.Г. Тоноян

Российско-Армянский (Славянский) университет haikghazaryan@mail.ru, vachagan.margaryan@yahoo.com, jolisourire@yandex.ru

АННОТАЦИЯ

В данной работе рассматривается задача: для данного многочлена Р(¿) , £ е Я", с постоянными коэффициентами описать множество

тех V е Я"'+ , для которых с некоторой постоянной С > 0 выполняется следующая оценка

|г|< С - (1 + |Р (¿)|) Я". (1)

Получено необходимое и достаточное условие, при котором N * ( Р ) = N ( Р ) .

Ключевые слова: Л - однородный многочлен, характеристический многогранник.

Введение

Пусть Я" я—мерное эвклидово пространства точек £ := £;,,..., , + := е Я",>0,7=1.....лг} , Г ° := е Я",£ •... • ф о} , N - множество натуральных чисел, N := N '{0} , Ы" п -мерное множество муль-тииндексов, т.е. точек а .= (ах,...,ап) , й е N , j= 1,. .," ,

^ := {л е Я", |Л :=7Л2 +... + Л = 1} . Для ¿,,е Я", йе Ы0п и vе ^ обозначим :=£, +... + , ¿й :=С...е и £:=£ ... £ . Для конечного набора А с Я"'+ через N (А) обозначим выпуклую оболочку множества А и {0} и назовем «характеристическим многогранником» (х.м.) набора А . Через Р обозначим множество всевозможных конечных наборов А с Я"'+, характеристические многогранники которых являются " -мерным многогранником, и для них введем следующие обозначения:

йА (Л) := тах (V, Л) , ^ (Л) := тах (V, Л) , Л е , N0 (А) - множе-

ство вершин N ( А) , Л" 1 (N ) множество единичных внешних (относительно N ) нормалей (п — 1) -мерных некоординатных граней N ( А ) .

Для грани Г многогранника N (А) через Л(Г) обозначим множество тех Ле ^, для которых (а,Л) = (р,Л) Vа,РеГ и (а,Л)>(р,Л) при аеГ и Ре N (А) \ Г . Из определения Л(Г) следует, что ^ (Л) = (а,Л) для а еГ , Ле Л(Г).

Определение 1. (см. [1]) Грань Г характеристического многогранника А^Р , называется главной, если существует л е Д(Г) и индекс

у',1 < / < //. такие, что Л : > 0 .

Определение 2. Скажем, что грань Г характеристического многогранника (А), А(Ц Р, существенная, если существует л е Л(Г). для которого

^(Л)> 0.

Очевидно, что любая существенная грань является главной гранью. Определение 3. (см. [1], [2]) Многогранник N с Я",+ называется полным, если 1) N имеет вершину в начале координат и 2) отличную от начала координат вершину на каждой оси ординат.

Лемма 1. Грань Г характеристического многогранника АеР,

существенная тогда и только тогда, когда она не содержит начала координат.

Лемма 2. Для того чтобы все главные грани характеристического многогранника N(А), А £ Р , были существенными, необходимо и достаточно,

чтобы N (А) был полным многогранником. Предварительные результаты

Пусть Р(£) = многочлен с постоянными коэффициентами, где

сумма распространяется по конечному набору мультииндексов (Р) := а;аЕ Ы", "г| ^ О .В дальнейшем будем предполагать, что (Р) <Е Р.

Для любого Л е представим многочлен Р в виде суммы Л -однородных многочленов

М А М А

]=о ]=0

Е

а,А =<1] А

где 4о(Л)>••• >4м(л)(л), 4о(Л)=4(р)(л).

Для многочлена Р через N (Р) обозначим множество тех у е Яп +, для

которых существует постоянная С > 0 такая, что выполняется оценка (1).

Определение 4. (см. [1]) Грань Г характеристического многогранника 91 (Р) многочлена Р называется Р -невырожденной, если Рт £ ^ О

У ^ е Яп,° . В противном случае, грань Г называется « Р -вырожденной».

Если все главные грани многогранника N (Р) многочлена Р невырожденные, то многочлен Р называется регулярным.

В.П. Михайловым в [1] доказано, что если Р регулярен, то N * (Р ) = N (Р ).

Аналогичный результат в терминах устойчивости многочлена получен в

[2].

Г.Г. Казаряном в [3] для одного класса многочленов описано множество тех у е Яп,+, для которых выполняется оценка (1).

Лемма 3. Для любого многочлена Р с постоянными коэффициентами N (Р )с N (Р ).

Основной результат

Теорема. Пусть Р , (Р) Е Р , многочлен с постоянными коэффициентами. N (Р) = N (Р) тогда и только тогда, когда все существенные грани многогранника N (Р) Р - невырожденны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Михайлов В.П. О поведении на бесконечности некоторых классов многочленов. ДАН СССР. Т. 164, № 3, 1965. СС. 499-502.

2. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Об одном классе гипоэллиптических полиномов // Матем. сб.. Т. 75 (117), № 3, 1968. СС. 400-416.

3. Казарян Г.Г. О добавлении младших членов к дифференциальным полиномам // Изв. АН Арм. ССР, т. IX, № 6, 1974. СС. 473-485.

ON ESTIMATING MONOMIALS FOR ONE CLASS OF POLINOMIALS

H. Ghazaryan, V. Margaryan, G. Tonoyan

Russian-Armenian (Slavonic) University

ABSTRACT

In the paper the following problem is considered: for a given polynomial

P , Ç £ R", with constant coefficients describe the set of re R" '+ ,

for which with some constant C > 0 the following estimating is performed

\?\< C-(1 + |P(£)|) VÇe R". (1)

Some necessary and sufficient condition for N ( P) = N ( P) is obtained.

Keywords: X -homogenious polynomial, characteristic polyhedron.