Об оценке максимальной возможности параметров модели измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Об оценке максимальной возможности параметров модели измерений

Б. Юаньa, А. И. Чуличковb

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет,

кафедра компьютерных методов физики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: [email protected], b [email protected]

Статья поступила 06.04.2015, подписана в печать 11.06.2015.

Рассмотрена задача оценивания параметров модели измерительного эксперимента по результатам измерений, выполненных с погрешностью. Математическая модель погрешности измерений формулируется в терминах теории возможностей; распределение возможностей на множестве значений погрешности задает порядок, указывающий, какие значения погрешности более предпочтительны (имеют больше шансов на реализацию при измерении), а какие — менее. Считается, что малые значения погрешности измерения более предпочтительны, чем большие. Математическая модель эксперимента зависит от неизвестных параметров. Задача состоит в уточнении значений этих параметров выбором их оценки, при которой разность между результатами эксперимента и предсказанием модели была наиболее возможной; эта оценка названа оценкой максимальной возможности. Приведен пример оценивания параметров мёссбауэровского спектрометрического эксперимента.

Ключевые слова: математическая модель измерения, теория возможностей, оптимальные оценки параметров модели, линейное программирование, спектрометрия.

УДК: 519.7. PACS: 02.60.Gf.

Введение

В современных экспериментальных исследованиях значения изучаемых параметров g объектов или явлений не удается измерять непосредственно, их приходится оценивать из результатов £ измерений величин, зависимость которых от g дается математической моделью.

Примером таких экспериментов является измерение спектра электромагнитного излучения с помощью спектрометра [1]. В этом случае входным сигналом g является спектр электромагнитного излучения g(•), выходной сигнал q = Ag спектрометра формируется согласно соотношению

q(E ) =

a#(E, E)g(E) dE, E e [0, то). (1)

Здесь a^(•, •) — аппаратная функция спектрометра; ее смысл состоит в том, что при подаче на вход спектрометра монохроматического потока гамма-квантов единичной интенсивности энергии E на выходе спектрометра получим спектр a#(E, E), E е [0,то). Аппаратная функция, возможно, зависит от неизвестного параметра е в.

Один из широко распространенных подходов к решению задачи интерпретации измерений состоит в решении интегрального уравнения Фредгольма 1 рода (1) на основании аппаратной функции a(•, •), заданной с известной точностью, и данных измерений функции q(•), выполненных с аддитивной погрешностью V; погрешность V при этом считается либо ограниченной по норме [2], либо обладающей известными стохастическими свойствами [3, 4]. Однако, как показано в работах [2, 5, 6], такая за-

дача может оказаться некорректно поставленной по Адамару, в частности, может оказаться неразрешимой, либо иметь неединственное решение, либо ее решение (псевдорешение [5], если уравнение Ag = £ неразрешимо) обладает неустойчивостью по отношению к возмущению функции q(•) или математической модели измерений. Для решения некорректно поставленных задач были предложены методы регуляризации, основная идея которых состоит в наложении дополнительных ограничений на класс решений, в результате решение регуляризованной задачи оказывается единственным, и стремится к точному при стремлении погрешности измерения V к нулю [7-10]. Несмотря на значительные успехи в создании методов решения таких задач, интерес к ним не угасает и в настоящее время [11, 12].

В отличие от методов регуляризации в теории измерительно-вычислительных систем оценка неизвестных параметров g строится из требования ее максимальной точности [13]. Формально в этих задачах считается, что результат £ измерительного эксперимента получен по схеме

Z = Ag + v,

(2)

где £ интерпретируется как искаженный шумом V результат регистрации выходного сигнала Ag измерительного преобразователя A, на вход которого подан сигнал g от измеряемого объекта. Интерес представляет наиболее точная оценка либо g, либо результата Ug преобразования g заданным оператором U. При этом, как правило, обеспечивается и стремление оценки к точному значению оцениваемых параметров g (или Ug) при стремлении погрешности измерений V к нулю. В приведенном

примере (1) математическая модель измерительного преобразователя A дается интегральным оператором. В случае когда о параметрах математической модели измерений известно, что они могут принимать любое значение из некоторой области, используются оценки, минимизирующие максимальную ошибку [14, 15]. В этом случае оценки вычисляются при максимально неблагоприятных условиях, и, как правило, их погрешности оказываются неприемлемо велики. Уменьшить ошибки оценок можно учетом дополнительных сведений о модели измерений.

В настоящей работе априорные данные о модели измерений формулируются в рамках варианта теории возможностей, разработанных Ю. П. Пытьевым в работе [16]. В этой работе мера возможностей P() построена на алгебре F всех подмножеств пространства элементарных событий Q так, что для каждого A £ F значение P(A) определяет относительное предпочтение, шансы на наступление события A: если P(A) > P(B), то событие A имеет больше шансов реализоваться, чем событие B. Содержательными в теории возможностей являются утверждения «A более возможно (менее возможно), чем B», «A и B равновозможны», поэтому меры возможностей P(■) и P'(■) эквивалентны, если существует такая строго монотонно возрастающая функция j(^): R1 ^ R1, что для любого A £ F выполнено равенство P(A) = y(P'(A)) . Фундаментальным понятием в этом варианте теории возможностей является нечеткий элемент v нормированного пространства R, который по аналогии со случайным элементом в теории вероятностей задается распределением возможностей nv(■): nv(x) = p0 есть возможность равенства v = x. Если nv(x) = 0, равенство v = x невозможно, если nv(x) = 1, равенство v = x вполне возможно, если nv(x) > nv(y), равенство v = y менее возможно, чем v = x.

В настоящей работе считается, что большие значения погрешности измерения менее возможны, чем малые. Это утверждение формализуется заданием распределения nv(■), монотонно убывающим при увеличении нормы погрешности v. Оценка максимальной возможности параметров модели измерения (2) в простейшем случае определяется из следующих соображений. Пусть g — некоторая оценка входного сигнала g, тогда x = £ — Äg — погрешность измерения, которая объясняет отличие результата измерения £ от Agg, ее возможность равна nv(£ — Agg). Оценка g, выбранная из условия

g = arg sup nv(£ — Agg), называется оценкой макси-

1

мальной возможности. В этой работе считается также, что модель измерительного прибора A зависит от неизвестного параметра & £ 0, где 0 — заданное ограниченное множество, и наложены априорные ограничения на значения входного сигнала g .

Получена оценка (?, ?) максимальной возможности. Проведено сравнение оценки максимальной возможности с оценкой, минимизирующей максималь-

ную погрешность в условиях, когда погрешность V в (2) может принимать любое значение из заданного ограниченного множества. Эффективность оценок максимальной возможности демонстрируются на примере решения задачи оценивания мёссбауэров-ского спектра по данным измерений, выполненных на спектрометре с аппаратной функцией, зависящей от двух скалярных параметров, принадлежащих известным интервалам.

1. Модель измерения и формулировка задачи оценивания параметров модели

1.1. Сведение модели измерения элемента £2(Х) к конечномерной модели измерения

На практике результатом измерения обычно является конечный набор чисел. Так, в примере, рассмотренном во введении, спектр ц(-) в (1) есть непрерывная функция энергии излучения Е £ [0, то), и в эксперименте регистрируются ее значения в точках Е1,..., Еп. Результатом измерения спектра являются числа £1,...,£п, интерпретируемые как искаженные шумом значения спектра на выходе спектрометра для заданных значений энергии.

Запишем результат измерения £, I = 1,..., п, в виде

£i = q(xi) + vi =

a&(xi, x)g(x) dx + vi, x £ X, (3)

считая, что g(■) £ С2(Х) задан своим представителем, непрерывным на X, а а$(^, ■) £ Ь2(Х хX) — своим представителем, непрерывным на X х X. Тогда, обозначив $ а#(х1, x)g(x) dx = (а$^, g), где (■, ■) —

., п. (4)

a&i = a&i (■) = , п, зависят от

скалярное произведение в С2^), перепишем (3) в виде

£ = (а$,1, g) + Vг, I = 1,

Здесь использованы обозначения = а$(х1, ■) £ С2^) и , I = 1,. параметра $, значение которого априори неизвестно, но задано множество 0 его возможных значений.

Обозначим С$ с С2^) линейную оборочку элементов а$,1 £ С2^), I = 1,..., п, и Р$ — ортогональный проектор в С2^) на С$. Тогда (I — Р$) есть ортогональный проектор на ортогональное дополнение С$. Кроме того, обозначим ~К.п арифметическое линейное пространство, элементами которого являются наборы из п чисел (координат): £ = (£1,..., £п),

V = ..., Vn) , / = ([1,..., ¡п) .

Утверждение 1. При любом $ £ 0 результат измерения (4) не зависит от составляющей (I — P$)g. Значение составляющей P$g £ С$

в любой точке х £ X можно задать в виде лип

нейной комбинации P$g(x) = ^ [¡а$,1 (х) значений

1=1

а$,1 (х) непрерывных функций , I = 1,..., п.

Коэффициенты [1,..., [п являются координатами

вектора / е*Я-п, измеряемого в эксперименте по линейной схеме

£ = + V, (5)

где £ = £п) , V = "п) , =

= (ад,', ад^), k = 1,..., п. Вектор и, координаты которого суть значения Р^(^) в точках x1,..., xN е X, связан с вектором / линейным соотношением

и = Щ/, (6)

где = ад'(х'), ' = 1,..., п, ' = 1,..., N.

Доказательство. Пусть Рд — ортогональный проектор в С2(Х) на Сд. Тогда существуют коэффициенты /1,..., /п такие, что

P&g(x) = fka$Ax)> x G X.

(7)

k=i

u

■j,mm ^ Uj = ^ /ka&,k(Xj) < Ui m

k=1

(8)

Так как (ад,1, g) = (адл, + (I — P#)g) = (а^, , то, подставляя в (4) вместо (ад^, g) выражение (ад',Pдg) и учитывая (7), получим (5). Подставляя в (7) значения х = х1,..., xN, получим (6).

Смысл утверждения 1 состоит в том, что в рамках заданной модели измерений при отсутствии априорных знаний об (I — Pд)g из измерений (4) можно оценить лишь составляющую Р^ элемента g, и оценка значений этой составляющей в точках х1,..., xN может быть получена из конечномерной схемы измерений (5), (6).

Далее будем считать, что в (4) е С2(Х), ' = 1,..., п, — линейно независимы, тогда размерность линейной оболочки Сд равна п. Кроме того, зададим априорные ограничения на значения координат (и1,..., ^) вектора и в виде линейных неравенств

погрешностей малые значения \vi\ более возможны, чем большие, если распределение возможностей nVi (•) задано соотношением

\по(, И < £i, nvi (z) = I \£ij (9)

[о, \z\ > £i,

где n0(•) строго монотонно убывает на интервал [0,1], п(0) = 1.

Поскольку координаты вектора v независимы, то их совместное распределение возможностей с учетом (9) дается формулой nv(2) = mm{nv1 (z1),... . . . , nVn (z„)} = П0( max ^).

1.3. Оценки максимальной возможности

Пусть выбрана некоторая оценка / /1,..., /п значений параметра & и коэффициентов /ь ..., fn в (5), тогда, предположив, что /1,...,/п есть истинное значение этих параметров, получим, что измерение (5) проведено с погрешностью

n

vi = £i — (a51, a5 k)/k. Возможность таких значений

k=1 '

погрешности определяется значением функции nv(•) в точке v = £ — Bf. Согласно возможностной модели погрешности измерений (9) это значение равно

П0

1 max 1 7

I г = 1.....n I £i

£i — BdiJk

k=1

(10)

и/,шш ^ и],тах < ТО, ] = 1, . . . , N.

Решение системы неравенств (8) определяет множество Т, задающее априорные ограничения на координаты /1,..., /п вектора /.

1.2. Возможностная модель погрешности измерений

Как уже упоминалось во введении к настоящей статье, естественно предположить, что в каждом измерительном эксперименте (3) малые значения более возможны, чем большие. Для формализации этого утверждения будем считать V!,..., нечеткими элементами ^ с заданными распределениями возможностей пп (■):

^ [0, 1]. Совместное распределение возможности нечетких элементов у1,..., определяется формулой (гь ..., гп) = тт{пщ (г1),..., п"п(гп)}, которая формально выражает независимость нечетких элементов у1,..., [16].

Если п"'(г) = 0 при \г\ > £', то погрешность VI измерения в (4) по модулю не может быть больше, чем £', ' = 1,..., п. Для ограниченных по модулю

Естественно так подобрать значения оцениваемых параметров # е & и / е Т, чтобы возможность (10) соответствующей им погрешности измерений V = £ — В#/ была максимальной.

Определение. Оценками д*, /*,..., /Щ максимальной возможности назовем значения переменных д, /1,...,/п, доставляющие максимум функционалу (10) при д е & и /1,...,/п, удовлетворяющих (8).

Заметим, что если д*, /* — оценки максимальной надежности параметров д, /, то значения

и = Щд./* (11)

имеют ту же возможность, что и д*, /*, и тем самым являются оценками максимальной возможности значений искомого вектора и.

Утверждение 2. Пусть в схеме измерений (4) ад'(■): X ' = 1,..., п — непрерывные функ-

ции, квадрат которых интегрируем на X; V', ' = 1,..., п, — независимые нечеткие элементы с распределением возможностей (9). Тогда оценками максимальной возможности значений параметра д и значений ортогональной проекции Pдg(■) функции g(■) на линейную оболочку Сд функций ад'(): X ^ 'Я.1, ' = 1,...,п, в точках {х1,..., xN} е X при условии (8) являются -д = д*,

п

Рдё(х1) = Рд*g(xj) = ^2 /*ад*Ах]), 1' = 1,..., N, где

k=l

д*, /*, ' = 1,..., п, — решение задачи (д*, /*,..., /**) =

= аге тт

Ь$,/ь...,/,

и,

у,тт

1 таХ \ £

I 4=1.....^ I £

п

^ и

А=1

$ е в,

/,тах)

У = 1.....N У (12)

к=1

н ($*, /*) = тах

и — ^ и$* ¡к/ь к=1

V \ < £4, 4 = 1,

(13)

в виде скалярного произведения

п

иу = ^2 и$* / = (/, йу),

(14)

к=1

Если значение минимума функционала в (12) больше единицы, то математическая модель измерения (4) не согласуется с его результатом.

Доказательство. Задача максимизации возможности (10) при выполнении условий (8) эквивалентна задаче (12) в силу монотонности функции п0(-). Если значение минимума в (12) больше единицы, то возможность такой оценки равна нулю, что и означает несогласованность модели и результата измерения (4).

Если задача (12) имеет не единственное решение, то каждое из них будет оценкой максимальной возможности параметров ($, /), а каждое из значений и* = и$*/* — искомой оценкой вектора и максимальной возможности. Для сужения множества оценок вектора и следует воспользоваться дополнительными соображениями.

При фиксированном значении $ минимум в задаче (12) по /1,...,/п сводится к задаче линейного программирования [13, 18]. Минимизация по $ е в далее проводится численно. Заметим, что если значение минимума функционала в (12) больше единицы, то возможность такой оценки равна нулю, что свидетельствует о неадекватности используемой математической модели.

1.4. Минимаксные оценки координат вектора и

Недостатком оценок, предложенных в предыдущем пункте, является то, что погрешность

где (йу)ь = а$*,к(ху). Найдя минимальное и максимальное значение этого скалярного произведения при линейных ограничениях (8), (13), записанных в виде

,т

I = 1,..., N;

6 — X в$* ¡к/к

к=1

< £4, I = 1, . . . , П,

(15)

оценивания значений и4 = P$g(x¡), I = 1,..., N, не является минимальной, так как эти оценки получены из принципа максимальной возможности, а не из принципа минимизации максимальной погрешности. В связи с этим интерес представляет задача, в которой оценка $ = $* параметра $ модели измерительного преобразователя выбирается из принципа максимальной возможности, а значения Р$*g(x¡), I = 1,...,N, при $ = $* определяются из принципа минимизации максимальной погрешности оценки. При этом считается, что погрешности , I = 1,..., п в (4) удовлетворяют ограничениям

как решения соответствующих задач линейного программирования, получим интервал, которому принадлежит искомое значение иу , тогда минимаксная оценка иу есть середина этого интервала, а ее погрешность - половина его длины. Минимальное и максимальное значение есть решение задач на минимум и максимум линейного функционала (14) при линейных ограничениях (15).

Сформулируем полученные результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 3. Величина (х1тах + 2;,тш) /2 минимизирует максимальную погрешность значения ортогональной проекции P$g(■) функции g(■) на С($) в точке х4 е X с погрешностью

(г1,тах — %1,т\п)/2, где XI,тах и 2;,тт — минимальное

и максимальное значения линейного функционала (/, а4), определенного в (14), с ограничениями (15), I = 1,..., N. Если система неравенств (15) несовместна, математическая модель измерений (4) неадекватна.

2. Оценки максимальной возможности параметров мёссбауэровского спектрометрического эксперимента

Метод, предложенный в предыдущем разделе, применялся для интерпретации результатов мёссбауэровского спектрометрического эксперимента, в котором спектр поглощения g(■) измеряется по схеме [1]

6 = С —

т(и — VI )g(v)dv + VI, I = 1,..., п. (16)

и нет предпочтения появления малых ошибок перед большими.

Для постановки и решения задачи минимаксного оценивания заметим, что при фиксированном $ = $* искомое значение иу = Р$*g(xу) может быть записано

Здесь = (1 — а)т^, Г) + ато&, Г) — ап-

паратная функция мёссбауэровского спектрометра, на вход которого подан сигнал g(v);

V е П1 — доплеровская скорость; функции Г) и ш>с(■, Г) заданы следующими соотношениями ^ Г) = ПГ wG(v, Г) = ^в-2/(2Г2),

V е (—ж, ж); параметры а и Г неизвестны, но известны пределы их изменений: а е [0,1], Г е [Гтш, Гтах]. Измерения проводятся при п = 400 значениях доплеровской скорости в окрестности нуля, от —1.879 до 2.109 мм/с с равномерным шагом. Константа С в (16) есть интенсивность падающего

¡,ГГ1Ш

п

излучения, ее значение принадлежит заданному интервалу [Стш, Стах] .

Входной спектр неотрицателен при всех V и ^ 0 при VI ^ го. Последнее соотношение позволяет заменить в (16) бесконечные пределы интегрирования конечными, совершая при этом ошибку, сравнимую с погрешностью измерений:

6 = С —

т^ — vi)g(v)dv + VI, I = 1,..., п. (17)

Далее будем искать оценку проекции входного спектра в тех же точках VI,..., vn, в которых проводились измерения (16). Тогда, считая, что в (5)

0 = (а, Г) е 0,0,1 (V) = т(V — Vi), v е (—го, го),

1 = 1,..., п, переписывая (5) с учетом (17) в явном виде

п

& = С — (о&,1, о&,1 + VI, I = 1,..., п, (18)

¡=1

аппроксимируя с точностью, сравнимой с погрешностью измерений, скалярное произведение в С2(—го, го) суммой

п

(о&,1, о&,1) = ^2 т^к — Vi)т(vk — v¡)

и=\

и учитывая, что при такой замене переменных (5) запишется в виде

п

Щ = = ^ т^к — Vi)fk,

к=1

получим, что вместо (16) можно записать

п

6 = С — — VI )щ + VI, i = 1,..., п, (19)

¡=1

или, более кратко, £ = С е — и и + V, где е = (1, 1,..., 1) еКп; щ — искомое значение оценки входного спектра в точке VI, | = 1,..., п; и е Кп ^ Кп — конечномерный оператор, заданный симметричной матрицей Щ = т^ — VI), i, I = 1,..., п. Соотношение (17) теперь можно переписать в виде

6 = (е (—и))

Си

+ V,

(20)

а вектор g0 =

е Кп+1; матричные элемен-

ра 0 = (а, Г), а е [0, 1], Г е [Гтш , Гтах] . На координаты вектора $0 наложены ограничения g01 = С е [Стш, Стах] , g0k = ик-1 ^ 0, к = 2,..., п+ 1 .

Таким образом, задача оценивания входного спектра свелась к задаче, рассмотренной в предыдущем пункте, заменой матрицы В в (5) на А = (е (—и)), а матрицы и в (6) на единичную матрицу.

Для оценки спектра использовались данные мёссбауэровской спектроскопии, любезно предоставленные старшим научным сотрудником Института физики твердого тела РАН В. Д. Седых. График измеренного спектра в точках V!,...,vn изображен на рис. 1, п = 400.

На первом этапе методом были получены оценки параметров (а, Г, щ1,... ип). Для этого решалась задача на минимакс (12). С учетом обозначений, используемых в данном разделе, эта задача переписывается следующим образом:

Ф(а*, Г*,$*0) = тт тах

{1

g0¿

< g0¿ < g0¿,

п+1

& — ^0 к

к=1

I = п

(22)

здесь (е (—и)) — блочная матрица размера (п+1) х п, ее первый блок е — столбец, состоящий из п единиц, а второй — матрица и с обратным знаком.

Итак, схема измерений свелась к конечномерной схеме

£0 = А$0 + V, (21)

в которой оператор ) задан матрицей А = (е (—и)), С

ты оператора А зависят от двумерного парамет-

При фиксированных а, Г задача минимизации (22) по сводится к задаче линейного программирования [13, 18]. Обозначим $**(а, Г) ее решение, далее минимизация функции Ф(а, Г,$**(а, Г)) по а, Г проводится численно.

График функции Ф(а, Г,$0(а, Г)) для а е е [0,0.4], Г е [0.14,0.19], представлен на рис. 2. Видно, что при Г ^ 0.14 функция Ф(а, Г,$*(а, Г)) резко растет с ростом Г и практически не зависит от (а, Г) при Г <0.14. При а <0.2, Г <0.14 получаются результаты, не имеющие физического смысла, при априорных ограничениях а ^ 0.2, Г ^ 0.17 минимум функции Ф(а, Г,$**(а, Г)) достигается на границе области допустимых значений, при а* = 0.2, Г* = 0.17. При этих значениях оценка константы С равна 5 867 450. График аппаратной функции, соответствующий параметрам (а* = 0.2, Г* = 0.14), приведен на рис. 3, а график оценки входного спектра, вектор и* , изображен на рис. 4.

Для исследования информативности эксперимента была получена минимаксная оценка значений проекции спектра при тех же значениях длин волн. Ограничения на шум £i в (15) были выбраны пропорциональными у7^, I = 1,..., п. Интервалы [^шп, г-11тах\, I = 1,..., п, изменения значений координат спектра (усл. ед.) показаны на рис. 5. Для построения этих оценок, как следует из разд. 1.4 настоящей статьи, следует вычислить минимальное и максимальное значение каждой координаты щ вектора и, I = 1,..., п. Их среднее арифметическое дает минимаксную оценку координаты соответствующей координаты, а полуразность — погрешность оценки. Минимальные значения каждой

и

Рис. 1. Результат регистрации мёссбауэровского спектра для доплеровских скоростей от —1.879 до 2.109 мм/с с шагом 0.001 мм/с. По вертикальной оси отложено число зарегистрированных фотонов

Рис. 2. Значение функционала Ф(а, Г, ¿*(а, Г)), минимизируемого в (22) как функция аргументов (а, Г)

координаты и в анализируемом эксперименте оказались практически равными нулю для каждого I = 1,..., п, они изображены точками, лежащими на оси абсцисс. Максимальные значения координат и4, I = 1,...,п, изображены на рис. 5 как верхнее основание криволинейной трапеции. Минимаксная оценка дается «средней линией» этой трапеции. Из рис. 5 видно, что в измерении содержится недоста-

точно информации для того, чтобы уверенно обнаружить шесть линий поглощения. Учет же дополнительной информации о том, что большие ошибки измерений менее возможны, чем малые, приводит к существенно лучшему результату, изображенному на рис. 4.

Столь резкое отличие результатов минимаксного оценивания и оценивания максимальной возмож-

Рис. 3. График аппаратной функции мёссбауэровского спектрометра, шаг 0.01 мм/с

Рис. 4. Оценка входного спектра методом максимальной возможности, усл. ед.

ности в общей постановке обсуждается в работе [14], где показано, что минимаксные оценки могут соответствовать ситуации, в которой реализация измерительной погрешности имеет максимально допустимую норму. Такая ситуация для исследователя является мало правдоподобной, поскольку эксперименты, как правило, ставятся так, чтобы измерительные погрешности были бы как можно меньше. Учет этого обстоятельства, как видим из

сравнения рис. 4 и 5, существенно улучшает результат решения задачи интерпретации измерений. Кроме этого в рассмотренной задаче существенную роль играет ограничение на неотрицательность координат входного спектра: как видно из результата (рис. 4), значительное число координат оценки равно нулю, т. е. лежит на границе разрешенной области, что свидетельствует об активности этих ограничений.

Рис. 5. Минимальные, максимальные и средние значения оцениваемого входного спектра. Минимальные значения спектра для каждого значения Vi, 4 = 1,..., 400, практически равны нулю, график их значений совпадает с осью абсцисс. График максимальных значений спектра в зависимлости от vi показан символами « *», он образует верхнее основание изображенной криволинейной трапеции. Минимаксная оценка спектра дается «средней линией» этой трапеции, изображенной символами « + »

Заключение

Построены оценки максимальной возможности значений параметров модели измерений конечного числа линейных функционалов исследуемой функции, даны методы их вычисления. Возможность оценки определяется нечеткой моделью погрешности измерений функционалов, в которой считается, что большие значения погрешности меньше, чем малые. Эффективность метода иллюстрируются на примере оценки параметров мёссбауэровского спектрометра и значений измеренного спектра для заданного набора длин волн. Полученные оценки значений спектра сравнены с минимаксными оценками, при построении которых считается, что погрешность измерений линейных функционалов ограничена и произвольна внутри заданного интервала. Показано, что предположение о большей возможности малых значениях погрешности измерений позволяет получить адекватное представление об измеряемом спектре, в то время как минимаксные оценки свидетельствует о том, что без этого предположения информации в измерениях недостаточно для получения адекватных оценок спектра.

Авторы благодарны профессору физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова В. С. Русакову за обсуждение модели эксперимента и результатов оценивания, а также ст. науч. сотруднику Института физики твердого тела РАН В. Д. Седых за предоставленные экспериментальные результаты.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 14-07-00409).

Список литературы

1. Русаков В.С. Основы мёссбауэровской спектроскопии. М., 2011.

2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979.

3. Федотов А.М. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск, 1990.

4. Турчин В.А., Козлов В.П., Малкевич М.С. // Успехи физ. наук. 1970. 102, № 3. С. 345. (Turchin V.F., Koz-lov V.P., Malkevich M.S. // Sov. Phys. Usp. 1971. 13. P. 681.)

5. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978.

6. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962.

7. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Яго-ла А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М., 1990.

8. Ягола А.Г., Ван Янфей, Степанова И.Э., Титарен-ко В.Н. Обратные задачи и методы их решения. Приложения к геофизике. M., 2014.

9. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М., 2009.

10. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М., 1979.

11. Eichstadt S., Schmahling F., Wubbeler G. et al. // 16th Int. Congr. of Metrology. 2013. P. 14005.

12. Silva Neto A.J., Cella N. // Comput. Appl. Math. 2006. 25. N 2-3.

13. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. М., 2004.

14. Чуличков А.И., Юань Б. // Машинное обучение и анализ данных. 2014. 1, N 9. С. 1246.

15. Чуличков А.И., Копит Т.А. // Интеллектуализация обработки информации: 9-я международная конференция. 2012. С. 648.

16. Пытьев Ю.П. Возможность как альтернатива вероят-

ности. Математические и эмпирические основы, применение. М., 2007.

17. Чуличков А.И., Юань Б. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2014. № 3. С. 15. (Chulichkov A.I., Yuan B. // Moscow University Phys. Bull. 2014. 69, N 3. P. 218.)

18. Кириллов К.В., Чуличков А.И. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1999. № 2. С. 62. (Kirillov K.V, Chulichkov A.I. // Moscow University Phys. Bull. 1999. 54, N 2. P. 83.)

On the estimation of the maximum possibility for the parameters of a measurement model Boyuan Yuana, A.I. Chulichkovb

Department of Computer Methods of Physics, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], b [email protected].

The problem of estimating the parameters of the model of a measurement experiment using the results of measurements with an error is considered. The mathematical model of the measurement error is formulated in terms of the theory of possibilities; the distribution of the possibilities on the set of error values determines the order that indicates which error values are preferred (that more probably occur during measurement) and which are less preferred. It is assumed that small error values are preferable to large ones. The mathematical model of the experiment depends on unknown parameters. The problem is to specify the values of these parameters by choosing their estimate for which the difference between the results of experiment and the model prediction is the most possible; this estimate is called the estimate of maximum possibility. An example of estimating the parameters of a Mossbauer spectrometric experiment is given.

Keywords: mathematical measurement model, theory of possibilities, optimal estimates of the model parameters, linear programming, spectrometry. PACS: 02.60.Gf. Received 6 April 2015.

English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2015).

Сведения об авторах

1. Юань Боюань — аспирант; тел.: (495) 939-41-78, e-mail: [email protected].

2. Чуличков Алексей Иванович — доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495) 939-41-78, e-mail: [email protected].