CC BY
0
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 2.
УДК 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-2-214-227
Об оценках Быковского для отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток1
А. Н. Кормачева, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский
Кормачева Антонина Николаевна — Швейцария (г. Цюрих). e-mail: juska789@mail.ru
Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: chebQtspu,.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Добровольский Николай Михайлович — профессор, доктор физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovolMtsput.ru,
Аннотация
Данная работа посвящена получению оценок типа оценок Быковского для отклонения обобщённой параллелепипедальпой сетки. В ней продолжены исследования аналогичные тем, что ранее мы выполнили для оценок меры качества и количественной меры паралле-лепипедальной сетки.
Основная идея, используемая в данной работе, восходит к работе В. А. Быковского (2002 год) об оценке погрешности приближенного интегрирования по параллелепипедаль-ным сеткам и её обобщению в работе О. А. Горкуши и Н. М. Добровольского (2005 год) на случай гиперболической дзета-функции произвольной решётки. Центральное место в этих работах играет множество Быковского, состоящее из локальных минимумов второго рода, и суммы по этим множествам.
Как и в работе «Об оценках Быковского для меры качества оптимальных коэффициентов» был обнаружен эффект, что в оценках отклонения появляется множитель с логарифмическим порядком роста, который стал входить в определение модифицированной суммы Быковского.
Методом работы является объединение подходов из работы «Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток» (1984 год) с подходами 2005 года.
Намечены дальнейшие пути для получения уточнения полученных оценок.
Ключевые слова: функция качества, обобщённая параллелепипедальная сетка, множество Быковского, сумма Быковского, локальные минимумы решётки, минимальные решения сравнения.
Библиография: 18 названий. Для цитирования:
А. Н. Кормачева, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Об оценках Быковского для отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 2, с. 214-227.
1 Исследование выполнено РНФ № 23-21-00317 по теме «Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе».
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 2.
UDC 511.9 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-2-214-227
On Bykovsky estimates for deviations of generalized parallelepipedal grids2
A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii
Kormacheva Antonina Nikolaevna — Switzerland (Zurich). e-mail: juska789@mail.ru
Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: cheb@tspu.tula.ru, nikolai.dobrovolsky@gmail.com
Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: i_rebrova@mail.ru
Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru,
Abstract
This paper is devoted to obtaining estimates of the type of Bykovsky estimates for the deviation of a generalized parallelepipedal grid. It continues the studies similar to those that we previously performed to assess the quality measure and the quantitative measure of the parallelepipedal grid.
The main idea used in this paper goes back to the work of V. A. Bykovsky (2002) on estimating the error of approximate integration over parallelepipedal grids and its generalization in the work of O. A. Gorkusha and N. M. Dobrovolsky (2005) for the case of a hyperbolic zeta function of an arbitrary lattice. The central place in these works is played by the Bykovsky set, consisting of local minima of the second kind, and sums over these sets.
As in the work "On Bykovsky estimates for a measure of the quality of optimal coefficients the effect was found that a multiplier with a logarithmic order of growth appears in the deviation estimates, which began to include the definition of the modified Bykovsky sum.
The method of work is to combine the approaches from the work "Estimates of deviations of generalized parallelepipedal grids" (1984) with the approaches of 2005.
Further ways to obtain clarification of the received estimates are outlined.
Keywords: quality function, generalized parallelepipedal grid, Bykovsky set, Bykovsky sum, local lattice minima, minimal comparison solutions.
Bibliography: 18 titles. For citation:
A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2023, "On Bykovsky estimates for a measure of the quality of optimal coefficients", Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 2, pp. 214-227.
Посвящается 65-летию Виктора Алексеевича Быковского.
2 Acknowledgments: The reported study was funded by the RSF No. 23-21-00317 on the topic "Number geometry and Diophantine approximations in the number-theoretic method in approximate analysis".
1. Введение
Метод оптимальных коэффициентов появился в 1959 году и первые публикации Н. М. Коробова [12] и Н. С. Бахвалова [1] были сделаны в 4 выпуске Вестника Московского университета.
Параллелепипедальные сетки М<а,р), состоящие из точек
М, = ) <* = 1.2,....,), (!)
имеют простой вид, но требуется не только условие взаимной простоты коэффициентов сетки (<Оу,р) = 1 <] = 1, 2,..., «)), но и выполнение принципиального условия оптимальности, которое формулируется в терминах основной меры качества ..., а3) набора коэффициентов <а\,..., а3). вр<^,..., г3) выражается через сумму3
Р2 с- / \
8Р<г ь..., гв)= У"' + ••1_+ ^^, (2)
т1,...,та=-р 1
' Р-1
(а, д^Ц г::=^ ^
где zi, . .., zs - произвольные целые, т, = max(1, |m|) для любого вещественного т, р\ = р2 = [|] и символ Коробова öp(b) задан равенствами
г /,ч Г 0, если Ь = 0 (mod р),
5р(Ь) = i 1 (3)
[ 1, если b = 0 (mod р).
В работе [5] было дано следующее определение обобщённой параллелепипедальной сетки. Пусть s > 1 и Л произвольная s-мерная решётка. Если Ai = (Ai1,...,Ais), •••, As = (Xs i,...,Xss) — базис решётки Л, то взаимную решётку Л* можно задать взаимным базисом Л* = (Л* 1,...,Л* J, ..., Л* = (Л* 1,...,Л* J, который однозначно характеризуется соотношениями
1, если V = ß, 0, если V = ц,.
Определение 1. Параллелепипедальной сеткой I типа или просто обобщённой параллелепипедальной сеткой решётки Л будем называть сетку М(Л), состоящую из точек взаимной решётки Л*, лежащих в s-мерном единичном полуоткрытом кубе Gs = [0; 1)s.
Рассмотрим характеристическую функцию х(ж, а) прямоугольной области П(Й) = [0; а{) х ... х [0; а:.,). Локальным отклонением D(M(Л), а) называется величина
N -1
D(M (Л), а) = ^ х(хк, а) - N ■ а1 ■ ... ■ as, к=о
где N = |М(Л)| - количество точек обобщённой параллелепипедальной сетки решётки Л. Отклонением сетки М(Л) называется величина
DS(M (Л)) = sup ID(M (Л),Й)|.
a e[0;1]s
В работе [5] была доказана теорема об оценке величины отклонения сетки М(Л) через детерминант решётки Л и величину её гиперболического параметра д(Л). Напомним, что гиЛ
q(A) = min x1.. .xs,
xeA\{0}
где для вещественных х величина х = max(1, |ж|).
З3десь и далее У]' означает суммирование по системам (mi,... , ms) = (0,... , 0).
Теорема 1. Пусть для решётки Л справедливо неравенет,во q(K) > 1, тогда для отклонения обобщенной параллелепипедальной сетки М(Л) решётки Л справедливо неравенство
DS(M (Л)) < 2 ^4S-1 + 2d|f(n + 5 ln(2 det Л))^ ' (5)
N = det Л + 0(Л) (V-1 + 2detЛ(11 + 5ln(2detЛ))^ , (6)
где N — количество точек обобщенной параллелепипедальной сетки М (Л) решётки Л и
1*(Л)| < 1
Данная теорема является аналогом обобщённой теоремы Н. С. Бахвалова об оценке сверху гиперболической дзета-функции произвольной решётки [4].
В работе [2] В. А. Быковский получил принципиально новые оценки для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования с помощью квадратурных формул с параллелепипедальными сетками на классе Ef. Фактически В. А. Быковский получил оценки сверху и снизу для гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения через сумму по конечному множеству минимальных решений, которое мы в своих работах называем множеством Быковского. В работе [3] оценки Быковского были перенесены на случай гиперболической дзета-функции произвольной решётки.
Цель данной работы — получить аналог оценок Быковского для отклонения обобщенной параллелепипедальной сетки М (Л) решётки Л с det Л > 1 и д(Л) > 1.
2. Множество Быковского и вспомогательные леммы
Рассмотрим в s-мерном вещественном арифметическом пространстве R произвольную решётку Л = Л(Аь ..., As) с базис ом Ai,..., Xs, который является линейно независимой системой векторов:
Л = Л(А1,... ,XS) = |m1A1 + ... + msXs т1,... ,ms € Zj .
Ненулевая точка x = (Ж1,... ,xs) € Л называется локальным минимумом второго рода, если не существует другой ненулевой точки у = (у1,..., ys) € Л, для которой
у! ^ X1,...,y~s ^ X~s] У1 + ... + Ts <Xi + ... +
Минимальным множеством решётки Л назовем множе ство В (К), состоящее из всех локальных минимумов х второго рода.
Из дискретности решётки и теоремы Минковского о выпуклом теле следует, что для произвольной решётки её минимальное множество В (Л) конечно и не пусто, при этом Щ < det Л (3 = 1,...,s).
Пусть Xj = (®1 j,...,xsj) (1 ^ j ^ г, г = г(Л)) есть все локальные минимумы второго рода из минимального множества В (Л) решётки Л. Так как для любого локального минимума второго рода х точка —х также является локальным минимумом второго рода, то г(Л) — чётное натуральное число. Через В* (Л) обозначим множество локальных минимумов второго рода, где из каждой пары х и —х взят ровно один. Таким образом
в (Л) = в* (Л) у —В* (Л). (7)
Если г*(Л) = |5*(Л)|, то г(Л) = 2г*(Л). Будем предпологать, что нумерация локальных минимумов согласована с разбиением (7): Xj € Б*(Л) (j = 1,...,r*^ Xj+r* = —Xj € —Б*(Л) (j = 1,... ,г*). Ясно, что для гиперболического параметра решётки справедливо равенство
о(Л) = min x1 j.. .xSj.
Обозначим через П(а, х) ирямоугольный мерный полуоткрытый параллелепипед вида
^ Уи < + х„ при аи ^ 0
П(а, х) =
( „ ^ уи < аи + хи при аи ^ 0 1
\У _ = 1,..., ?
[ [аи < Уи ^ аи + хи пр и аи < 0 ]
а через Жд( а,х) — количество точек решётки Л, лежащих в этом параллелепипеде.
Полагаем 1 = (1,..., 1) С3 = [0,1)я — полуоткрытый единичный з-мерный куб, К3 = [-1,1]я — §-мерный куб объёма 2я, N (Л) — количество ненулевых точек решётки Л, лежащих в этом кубе. Следующая лемма в другой формулировке была доказана в [4].
Лемма 1. Если гиперболический пара,метр решетки д(Л) > 1, то ёе1Л > 1м для точки а и для, любого локального минимума х^ € В (Л) справедливо неравенство
Жд( а,х,) < 1. (8)
Доказательство. См. [4]. □
Для доказательства теоремы 1 в работе [5] использовались следующие леммы.
Лемма 2. Пусть гладкая, функция f (х) обращается, в ноль вместе со своими производными д"™+'дх™в /(х (0 ^ пх,... ,пя ^ 1) на границе 8-мерного прямоугольного параллелепипеда [ах; Ъ\] х ... х [ая; Ь3] и обращается, тождественно в ноль вне его.
Тогда для, погрешности приближенного интегрирования квадратурной формулы
vI ьа
[** - ! ^ (х) = £ {(х) — Ки) (9)
хел*
«1 ае
справедливо равенство
Ь1
Д(/) = I Лхх - I (х)е~(Ю)
ХР л
х «1 аа
□
Пусть 0 < А < 0, 25 и а = (а\,... ,а3), Р = (Р\,..., рз) произвольные фиксированные точки из §-мерного куба [—1 — ^; 1 + такие, что А < Рз — аз < 1 + А (^ = 1,..., з). Положим 5 = А/2. Для каждого ] = 1,..., 8 определим функции фо з(х), фз(х) следующими соотношениями
Г 1 пр и а^ < х < , , -
Фоз(х) = 1 п И ! п < (И)
^ 0 приж€ (щ;^),
о
-о
Лемма 3. Для каждой функции фз(х), определенной равенством (12) справедливы соотношения,
1 при х € (а.] + 5; Рз — 5),
0 при х € (аз — д; Рз + 5),
Фз (Х) = { х+о-а г , . л (13)
3 2о 3 пр их € [аз — д; аз + о],
0+12о х пр и х € [Рз — 5; Рз + .
Доказательство. Действительно, при х е + 5; ^^ — 5) имеем:
6 х+6
Фз№ = 2^ /^<х + г)г1г = 25 I Ыг = 1'
—6 х—6
При х е — 5; ^ + 6) имеем:
6 х+6
Фз<х) = -1!ф0]<х + г)йг = J 0с!г = 0.
— х—
При х е [а.з — 5; а.^ + имеем:
6 х+6
Фз№ = 2^ / + х)(1х = 2^ / Ыг = ^ + 2- а3 —
Наконец, при х е [@з — 5; + ¿] имеем:
6 X]
У Фоз<х + г)Аг = ^ J 1йг =
— х—
Ь I Ф°3<Х + * = 25 I Ыг = ^ + 22<5 ^-
□
Лемма 4. Для любого действительного а и интеграла
х+Д
^<а) = I ^з <х)е—2™хйх (14)
—1—Д
справедливы соотношения
3з <а) = — (1з при а = 0, (15)
= е—та{х] +а]) 8 щ — аз) пруа = о_
2пао жа
Доказательство. Пусть
X] +6
(16)
! Фз <*)е—™»**.
Тогда Зз<а) = ]<о), так как + 5 = + Д ^ 1 + Д, а^ — 5 = а^ — Д ^ —1 — А и -фу<х) = 0 при х е — + 5). Далее имеем
X]+6
= [ 'фз<х)е—2™хйх =
+ I е—2™(тхйх = — I фа3<г)
2И / 7 25
^—26
X] +6 / 6 \ Хх +26 / ш1п(Х] +¿,.2+6) \
1 ' 1 ' ■ "I /
\Шах(«] — 6,2—6) у
X] / ш1п(Х] +6,2+6) \ X] /2+6
/( / е—... ..
\шах(«] — 6,2—6) / N2-6
^ =
1 26
Лг = 11 II е—2™хЛх I Лг.
а3 —6
При а = 0, очевидно, имеем ^<<7) = Р] — а^. При а = 0 получаем
X] X]
1 , е—2^а(.+6) — е—2^а(.—6) е2^аИ — е—2^а6 , ^<2^ а§)
1 йх =-Г7-;- е 2та2<1г =
= Ь /
—2ттг а 25<2ж1 а) 7 26па
^e—2жiaX] — е—2т™] = 8т<2тг^)+а.) — а3)
—2ттг а 25тта жа
□
Заметим, что
Ит вт^е—^^^ вт^ — = р — (17)
ст^о 2ттао ка
В работе [3] доказана принципиальная лемма:
Лемма 5. Пусть — произвольный локальный минимум второго рода, из В<А). При а> 1 для суммы
) = У 7-(18)
Л <') д <ш... ш)а к 1
У е Л,
у1 ^ хГЦ,..., у2 ^ %7]
справедливо неравенство
23 (1 + -Гг'
<■^13 . . . з)
Рассмотрим сумму
?) =
ёе1Л
К<а, Д) = ^е^л ^ ^1<ж1) ■ ■ ■ — <(3\ — а{)... <(38 — а3), (19)
ел*
тогда, применяя леммы 2 и 4, получим
К<а,Р) = П
ВШ^Ж, Д) — (X] +«]) в1п^хз <13з — аз)
ДжХп жхп
хел з=1 -1 -1
здесь при х^ = 0 неопределенность вида 0 раскрывается с помощью равенства (17).
в1п(х)
Пользуясь неравенством
х
< шах(|х|,1) ' ПОЛУЧИМ
, = 1 ДКХз • КХ^ — Щ)
Рассмотрим сумму, соответствующую локальному минимуму х„,
Рз — аз
К<а,Р,х„ )= £ Ц
¡д е Л, ¿=1 Уз Уз <Рз — аз)
уГ ^ хг; ,..., у; ^ хы
Следующая лемма является аналогом леммы 5 применительно к оценке К<а,/3,х„).
Лемма 6. Пусть хи — произвольный локальный минимум второго рода, из В (Л). Для суммы К(а, /3, хи) справедливо неравенство
т хи) < _ ^' _ II (ь (+ 4).
'КяХ'и . . . Х8и .
з = х
Доказательство. Положим х'и = (х'1и,...,х'и), где хзи = щи (] = 1,...,«). Будим использовать покоординатное умножение двух точек: х • у = (х\ • у',... ,х3 • у2).
Проведем оценки сверху, разбивая область суммирования с помощью прямоугольных параллелепипедов П( а • х'и,хз) с а € ^ ', аз = —1, 0(1 < ] < в):
К(а,Р,х„ )= П а
р € Л, з=х Ат • т — аз) ух ^ ххи, ...,у~з ^
= ^^ ^ П — аз_<
а € уещах', ) з=х • — аз) а„ = —1,0 (1 < V < &)
< У МА(а • х'и ,хи) П _ —^ _ <
п ', з=1 ™п(К|, К + 1\)хзи • — аз) т!п(|аз|, К + 1|)ж^
а„ = —1, 0 (1 < V < 8)
< А/' у2 Рз — аз + ^_Рз — аз \
< з-=Ла=-те + 11щи • ^(Рз — аз)\аз + Цщи «=х • ^ — аз^Щ,)
Рассмотрим сумму
-2 1 1
8 (А, ж) = V , ^ 1 м <1|_ + £ 1
^^ Аж\а + 1|ж • — аз)|а + 1|ж «=1 Ажах • — аз)ах
1
2
0=1 Ажах • — аз)ах Нетрудно видеть, что, так как А < — аз, то
5 (А, ж) = 2
( \
1
1 + 1 ^ 1 ^ — аз)ах + ^ А*2(& - аз)а2х2
к 1<а<^-1 ч _ уд-1 ч _ <а< д^ /
у ^ ( ¡5А —<^2 х ( ¡ЗА ^ А ^ х ^ А -кх /
<
<2
1 1 +1п(^)+1 /
— аз)кх ' — аз)х ' ж2А(^з — аз)х2 У а3
\
^ А кх '
2 / / — аз'
— аз )х
Отсюда следует, что
<
К +4)
□
Суммой Быковского называется выражение вида
* 1
БВМ <Л) = £
=1
Назовём модифицированной суммой Быковского выражение вида
<Л;Д) = £ П'=1 К ^ +4) .
1 ' ' гр л . гр ,
=1
Лемма 7. Пусть х^ = <хГ ],..., х3 ^ <1 ^ ] ^ г) — все локальные минимумы из В<Л); причём, х^ е В*<Л) <] = 1,..., г*) и х^+г* = —х^ е —В*<Л) <] = 1,..., г*). Тогда, справедливо неравенство
2s
\R(d,f3)\ < - ■SB*N(Л; А). (20)
Доказательство. Действительно,
\r(«,f)\<£адf*v)<e2.s.., n^А1)+4) =I■SBn(Л;А).
.7 = 1 .7=1 V sV .7 = 1
□
3. Оценка отклонения
Следующие рассуждения являются видоизменением аналогичных из работы [5].
Лемма 8. Пусть 7 и и — две произвольные точки из s-мерного куба [—1; 1]s т,акие, что 0 ^ ш. — jj ^ 1 (j = 1,..., s) и Z (7, ш) — количество точек решётки Л* в области [71 ;ш\) х ... х [7S; ws). Тогда, при д(Л) > 1 и det Л > 4 справедливо равенство
Z(7, и) = (det Л)(и —7i) ■ ... ■ (us — 7s)+
+9(7, и)((4) det Л ■ (ln(detЛ +1)+4)s ■ SBn(Л) + 4s(21)
где \в(7,ш)\ < 1.
Доказательство. Пусть для к = 1,... ,s + 1
Rk = sup \Z(7,ш) — (de^)(wi — 7i) ■ ... ■ (us — 7s)\; (22)
2Д<^-7j- <1 (j = 1,...,fc-1), 0<^j-7j <1 (j=fc,...,s)
Qk = sup \Z (7, и) — (de^)(wi —71) ■ ... ■ (Us — 7s) \ (23)
2Д<^-7j- <1 (j = 1,...,fc-1),
°<"fc-7fc<2^ 0<^j-7j <1 (j=fc+1,...,s)
и
R = sup \Z (7, U) — (det Л)(и —7!) ■ ... ■ (us — 7s)\, (24)
-Jj <1(j=1,...,s)
тогда
R = max Rk, Rk = max(Qk ,Rk+1) (k = 1,..., s). (25)
k=1,..., s+1
Пусть 1 ^ к ^ в и для точек 7 и ш выполнены неравенства
2А ^ шз — ^ 1 при = 1,... ,к — 1),
0 < шк — 1к < 2А (26)
0 ^ Ш] — ^ 1 при (] = к + 1,..., в).
Пусть % = (71^ ,...,Ъи) ^ = ,...,шзи) (и = 1,2) и 7^ = 7^ = Шз Ц = к, 1 ^ ^ ^ в, V = 1, 2), а 7к^ и определены следующим образом:
1. Если ^к < 2А — 1, то ^к 1 = ик 1 = Шк + 2А, 1к2 = ЗД, Шк2 = Ык + 2А;
2. Если 7к > 2А — 1, то 7к 1 = 7к — 2А, Шк 1 = 1к2 = 7к — 2А, Шк2 = 7к-Так как шки — ^ 2А (и = 1,2), то
(■>) — (ёе1Л)(^1и — 71 и) ■... ■ (^ — Ъи)1 ^ 1 (^ = 1,2).
Из равенств
г (7ъ = Я ш) + Я Й2), 1 — л 1) = ЦК — Ъ) + П(шз 2 — Ъ 2)
3 = 1 3 = 1 3 = 1
следует, что
(7, ш) — (ёе1Л)(^1 — 71) ■ ... ■ (ша — 7,)| < 2Дк+1.
Отсюда вытекает, что к ^ 2Ек+1 и, значит, Кк ^ 2Кк+1 (к = 1,..., в), что влечет за собой неравенство К ^ 2 8Е8+ь
Пусть 7 и ^ произвольные точки такие, что 2А ^ — 7^ |73-1, |ш3-1 ^ 1 (] = 1,..., в). Положим Й1 = (ац,...,а31) = (71 + 2,...,^8 + ^), Д1 = (Ри,...,Р81) = (^1 — ^,...,ш3 —
Й2 = («12, . . .,а3 2) = (71 — f ,...,7з — ^), Д2 = (Р12, . . .,Рз 2) = (^1 + f ,...,ш3 + 2). В силу леммы 3 и равенства (19) имеем:
(ёе1Л)(Е(Й1,Д1) + (^11 — ап)... (&1 — а, 1)) < 2 (^,ш) < < (ёе1Л)(Е(Й2 ,&) + (£12 — «12)... (& 2 — а, 2)).
Отсюда следует, что
— (ёе1Л)(^1 — 71) ■ ... ■ (^ — 7,)| < (ёе1Л) ( тах , Ри )| +
\ и=1,2
( 8 8 8 8
П(шз — 1з) — П (шз — ъ — П (шз — ъ + А) — П (шз — ъ) =1 =1 =1 =1
Так как А ^ — аз* ^ 1 + А —1 — 2 ^ ^ 1 + ^ (з = 1,... и = 1, 2), то применима
лемма 7, из которой вытекает, что
28Не|Л
(7, й) — (ёе1 Л)(^1 — 71) ■ ... ■ (^8 — 78)| < -вВ*м(Л; А) +
ж8
+(ёе1 Л) тах (1 — (1 — А)8, (1 + А)8 — 1) < < 28 БВ*М(Л; А) + А
Из произвольности 7 и ш следует, что
К3+1 < 28(ёе1 Л^-18БВ*(Л; А) + а)
и, значит,
К < 4 8(ёе1 Л)(1 БВ*М(Л; А) + А^ . Полагая А = де1л> П0ЛУЧИм А < 0,25, БВ*М(Л; А) ^ (1п(ёе1Л + 1) + 4)8БВМ(Л) и
Я < 4'(<к*Л) ((1п(Де>Л^ 1)+4)' V 1 + -±А
что и требовалось доказать. □
Теорема 2. Пусть для решётки Л справедливы неравенства д(Л) > 1, ёе!Л > 4; тогда для отклонения обобщённой параллелепипедальной сетки М (Л) решётки Л справедливо неравенство
™ <-'(«Л) I "n(detAj+ 1) + 4)' É + I- <">
~ = detA + W4s(detA) |^ 1) + 4)' £ ^ + I - M
где N — количество точек сетки M (Л) и |#(А)| ^ 1.
Доказательство. По определению отклонения
DS(N ) = sup |Z ( 0,w) - Nui ...us |. ш eG3
Так как N = Z( 0, 1), то применяя леммы 7 и 8, находим
Ds(N) < sup |Z ( 0, ш) - (detA)wi ...Ws| + IN - detA| <
ш €GS
(ln(detA +1) + 4)s A 1 1
< 2 • 4 s(det Л) I (in(de^ + 1)+4^— 1 — +
ns "—' xij.. .xsj detA '
]=i J J
r*
, .. ,s/1 I (ln(detA + 1) +4)s ^ 1 1
W - det A| < 4 s(det Л) | ^-—J-L £ +
к8 ¿-^хц...х34 ёе1Л
□
4. Заключение
Оценки теоремы 2, по-видимому, можно усилить, так как суммы, задающие величины К(а, Р, х„) имеют бесконечные области пересечения. На наш взгляд, перспективно для улучшения этой оценки использовать подходы из работы [10].
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та,
1959. № 4. С. 3-18.
2. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышев-ский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27-33.
3. О. А. Горкуша, Н. М. Добровольский. Об оценках гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник, 2005, т. 6, вып. 2(14), С. 130-138.
4. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6090-84.
5. Добровольский И. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089-84.
6. И. Н. Добровольский, М. И. Добровольский, И. Ю. Реброва, И. М. Добровольский. Конечное отклонение и основная мера качества для сеток Коробова // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23, вып. 2, С. 56-73.
7. Добровольский Н. \!.. Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е. Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 1. Тула, 1999. С. 51-71.
8. Добровольский Н. \!.. Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф. Тула, 1998.
9. Добровольский Н. \!.. Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для решёток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 3. Тула, 1999. С. 38-51.
10. Н. М. Добровольский, И. М. Коробов. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сб., 2002, Т. 3, вып. 1, С. 41-48.
11. А. Н. Кормачева, И. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. О гиперболическом параметре двумерной решётки сравнений // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 4, с. 168-182.
12. Коробов И. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19-25.
13. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР 132.
1960.№ 5. С. 1009-1012.
14. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
15. Михляева А. В. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3. С. 241-256.
16. Михляева А. В. функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 1. С. 307-312.
17. Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 193 — 201.
18. Серегина И. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1, 2015. С. 22-29.
REFERENCES
1. Bakhvalov, N.S. 1959, "On approximate computation of multiple integrals", Vestnik Moskov-skogo universiteta, no. 4, pp. 3-18.
2. Bvkovskij, V.A 2002, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27-33.
3. O. A. Gorkusha, N. M. Dobrovolskv, 2005, "On estimates of hyperbolic zeta function of lattices" // Chebyshevskv Collection, vol. 6, issue 2(14), pp. 130-138.
4. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "The hyperbolic Zeta function of lattices", Dep. v VINITI, no. 6090-84.
5. Dobrovol'skii, N. M. 1984, "Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids", Dep. v VINITI, no. 6089-84.
6. N. N. Dobrovol'skii, M. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "The final deviation and the main quality measure for Korob ov grids Chebvshevskii sbornik, vol. 23, no. 2, pp. 56-73.
7. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R., Pikhtil'kov, S.A., Rodionova, O.V. к Ustvan, A.E. 1999, "On a single algorithm for finding optimal coefficients", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 1, pp. 51-71.
8. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. к Rebrova, I. YU. 1998, "On a recursive algorithm for lattices", Teoriva priblizhenij i garmonicheskij analiz: Tezisv doklada Mezhdunarodnoj konferentsii (Approximation theory and harmonic analysis: proceedings of the International conference), Tula, Russia.
9. Dobrovol'skii, N. M., Esavan, A.R. к Rebrova, I. YU. 1998, "On a recursive algorithm for lattices", Izvestiva TulGU. Seriva Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 5, no. 3, pp. 38-51.
10. Dobrovol'skii, N. M. к Korobov, N. M. 2002, "On the error estimation of quadrature formulas with optimal parallelepipedal grids", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 1(3), pp. 41-48.
11. A. N. Kormacheva, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2021, "On the hyp erb olic parameter of a two-dimensional lattice of comparisons", Chebvshevskii sbornik, vol. 22, no. 4, pp. 168-182.
12. Korobov, N.M. 1959, "The evaluation of multiple integrals by method of optimal coefficients", Vestnik Moskovskogo universiteta, no. 4, pp. 19-25.
13. Korobov, N.M. 1960, "Properties and calculation of optimal coefficients", Dokladv Akademii nauk SSSR, vol. 132, no. 5, pp. 1009-1012.
14. Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovve metodv v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.
15. Mikhlyaeva, А. V., 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer lattices and rational nets", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241-256.
16. Mikhlyaeva, A. V., 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 307-312.
17. Seregina N. K., 2013, "Algorithms of numerical integration with the stopping rule" , TulSU extraction. Natural sciences. Issue 3. pp. 193 — 201.
18. Seregina N. K., 2015, "On the quantitative measure of the quality of optimal coefficients" , Izvestiya TulSU. Natural sciences. Issue 1, pp. 22-29.
Получено: 21.04.2023 Принято в печать: 14.06.2023
