Об особенностях моделирования излучения при пожарах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63, 536.46

Д.А. Масленников, Л.Ю. Катаева, И.Е. Белоцерковская

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ ПОЖАРАХ

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Проведено численное моделирование распространения излучения на основе нескольких моделей. Выполнена аналитическая оценка диффузионного приближения излучения, а также анализ излучения от точечного источника на основе метода Рунге. Проведён сравнительный анализ динамики лесного пожара при использовании различных моделей излучения. Сделана оценка запаздывания распространения излучения для предложенного авторами диффузионного приближением в зависимости от параметров вычислительной сетки и оптических свойств среды.

Ключевые слова: радиационный теплоперенос, лесные пожары, диффузионная модель излучения, численное моделирование.

Введение

Для эффективной борьбы с пожарами необходимо понимать их поведение на различных этапах развития, с учётом характера процессов, протекающих в ходе пожара. Для моделирования данного явления используются модели различной степени подробности. Полуэмпирические модели [1, 2] позволяют моделировать пожар с достаточной для оперативного прогнозирования скоростью, но не всегда достаточно точно. Физические модели [3, 4] слабее подвержены данному недостатку. Они основываются на физических законах, хотя и с некоторыми упрощениями, такими как группирование химико-физических процессов, пренебрежение зависимостью процесса от вертикальной координаты, постоянная скорость ветра, приближённые модели излучения.

Процессы выделения тепловой энергии в результате процессов горения, поглощения в ходе процесса сушки, а также переноса путём конвекции, кондукции и излучения характеризуют динамику лесных пожаров и являются наиболее важными. Как известно, [5] радиационный теплоперенос преобладает над конвективным уже при температуре 400 К. Однако моделирование излучения является более сложной задачей, вследствие того, что лучистая энергия от нагретой поверхности распространяется на расстояние нескольких метров, при этом конвективный и диффузионный теплообмен может иметь место только в непосредственной близости от нагретой среды.

Анализ существующих моделей излучения

Существуют различные подходы к моделированию излучения. Наиболее простой заключается в использовании априорной модели для формы факела пламени, с параметрами, зависящими от фактической реализации динамики пожара, например, в работе [6] рассматривается цилиндрическая форма факела пламени. Такой подход обеспечивает низкие вычислительные затраты на моделирование излучения, но при этом игнорирует фактическую форму факела пламени, которая может существенно деформироваться под действием неоднородного рельефа. Подобные модели излучения целесообразно использовать при рассмотрении динамики пожара в горизонтальной плоскости.

Другой подход при моделировании излучения основан на внесении различных упрощений в закон распространения излучения [7-8]. Так, в работе [7] интенсивность переноса излучения представляется в виде двух первых членов соответствующих рядов по сферическим функциям, а в работе [8] получена зависимость для интегральной степени черноты

© Масленников Д.А., Катаева Л.Ю., Белоцерковская И.Е., 2012.

слоя. С другой стороны модель излучения также может быть упрощена путём представления излучения как диффузионного процесса [9], скорость которого пропорциональна кубу температуры. Такой способ учёта излучения, будем называть локально-диффузионной моделью излучения. Уравнение сохранения энергии, учитывающее данную модель, имеет следующую форму:

((з Л Л

д

Ер» Ф»ср»+

уу»=1

Р5ср5

\Т

дг

■ +

д(р5Ср5ит) | д(р5Ср5Жт)

дх

ду

(1)

дх

\дТ Л д (( \дТ ^

+окТ)— | + — +окТ)— - д2Я2 + д3Я3 + ^5^5,

дх ) ду у ду )

где ср5, р5 - удельная теплоемкость, истинная плотность и объемная доля газовой фазы; q¡, ^ - удельная теплота и массовая скорость реакций (/=2 - испарения влаги, /=3 - горения конденсированных продуктов пиролиза, /=5 - горения летучих продуктов пиролиза); р, ф^ -плотность и объёмные доли (/=1 - сухое органическое вещество РГМ, /=2 -влага, /=3 - конденсированные продукты пиролиза); Т - температура среды; - коэффициенты динамической вязкости, турбулентной теплопроводности и турбулентной диффузии соответственно; Са - массовые концентрации компонентов газовой фазы (а=1 - кислород, а =2 - горючие компоненты продукта пиролиза, а =3 - инертные компоненты газовой фазы, не реагирующие компоненты продукта пиролиза и водяного пара); и ,Ж - проекции скорости по осям х, г соответственно; к - спектральный коэффициент поглощения; а - постоянная Стефана-Больцмана.

При использовании такого подхода дальность распространения излучения ограничивается расстоянием, равным размером шага расчётной сетки. Таким образом, погрешность, вносимая данным способом моделирования излучения, будет расти при измельчении сетки, но при использовании достаточно грубой сетки, влияние описанного недостатка на динамику пожара становится достаточно слабым.

Более полно излучение моделируется при помощи дифференциальной модели [3].

(( 3

д

ЕРгФ гСрг +

УУ г =1

дг

д (. дт Л д (. дт Л

: -\ ^- \+---

дх у дх ) ду у ду )

рСр5 )Т) | д(р5срЦт) | д(р5ср^т)

дх

ду

(2)

- q2R2 + qзRз + q5^ + к, (и - Лат?)

д ( с ди„ Л и Л

ду \ 3къ ду

дх

у 3къ дх )

+ -

- к, {сик - 4аТЛ)= 0,

(3)

где ил - плотность потока излучения; кЕ - коэффициент ослабления; с - скорость света.

Физический смысл уравнения (3) заключается в мгновенном распространении излучения, что является обоснованным с учётом соотношения скорости света, масштабов пространства и времени, в которых рассматривается процесс. Согласно [10], основным источником погрешности данной модели является неточность коэффициента ослабления и спектрального коэффициента поглощения для конкретной среды.

Хотя описанная модель позволяет рассчитывать распространение лучистой энергии с достаточно высокой точностью, она требует большого объёма вычислений в связи с необходимостью использования итерационного процесса на каждом временном шаге. Таким образом, выбор модели сводится к компромиссу между количеством вычислений и точностью результата моделирования.

Модификация дифференциальной модели излучения и анализ её свойств

Авторами предлагается диффузионное приближение, получаемое путём дополнения уравнения (3) фиктивной диффузией следующим образом:

dUR _ д

dt дх

с dUK

v

дх

+-

д_

ду

с dUK

v

ду

- ks (oUr - 4аГ

ll

(4)

где V - величина обратно пропорциональная скорости диффузии.

При V ^ 0 решение уравнения (4) сходится к решению уравнения (3). Однако с ростом V увеличивается время запаздывания распространения лучистой энергии. Погрешность от использования искусственной диффузии, как было показано в уравнении (4), ограничивается запаздыванием распространения лучистой энергии, тогда как её пространственное распространение остаётся практически неизменным.

Ввиду линейности уравнений (3) и (4), излучение от источника любой конфигурации сводится к суперпозиции излучений точечных источников. Используя этот факт, можно исследовать влияние диффузионного приближения на излучение точечного источника при нулевых начальных условиях без учёта граничных условий. Действие мгновенной точечной вспышки эквивалентно начальному условию в виде дельта функции, поэтому рассмотрим задачу Коши в следующей форме:

dUR dt

д

дх

dUn

+ -

д

дх J ду

ду

W

JJ

Г3k2ks

U

Ur (t = 0, х, у) = 5(0, х, у). Решение поставленной задачи Коши будем искать в виде:

Ur (х, у, t) = W(х, у, t)exp I -

3kvk

s

(5)

(6)

(7)

что приводит к уравнению

dW 1

Г д ( dW) д f

Ы v

дх

и его решению:

дх J ду (

W v ыу j j

W (х, у, t) =-exp

4^t

- v

2 2 Л х2 + у2 A

4t

(8)

(9)

подтверждающему консервативность уравнения, то есть J J Wdxdy = const

—то —то

Из уравнения (2) видно, что kscUR - мощность нагрева среды за счёт потока лучистой

энергии - пропорциональна его величине, тогда как из дифференциальной модели излучения (3), также как из её диффузионного приближения (4) следует, что поглощение лучистой энергии средой пропорционально его величине. Таким образом, в задаче Коши (5)-(6) суммарный поток излучения по всей рассматриваемой плоскости на любой момент t0>0, пропорционален энергии, в распространении которой имела место задержка на время не меньшее чем t0, долю которой можно найти с помощью следующего соотношения:

то то / то то

D(t) = J Jur (х, у,tddyl J Jur (х,yfi^ddy

(10)

Учитывая (7) и консервативность уравнения (8), выражающуюся соотношением вида

тото

ои J J Wdxdy = const, путём несложных преобразований получим:

—то —то

v

v

v

t

v

1

Щ) = ехр

ГГ^

Г'" х

(11)

Таким образом, для минимизации задержки в распространении излучения следует выбирать минимальное V. Авторы предлагают находить его значение на основе критерия устойчивости по Куранту использованной явной схемы:

ив.. , = и

}

}

+ А и^-^-^-^-^^ - 3кЛ

Г"- х

ив.. . -4-

аГ

4 Л

}

V

(12)

где тильда относится к переменным, определяемым на следующем шаге по времени. Критерий устойчивости позволяет использовать следующее соотношение для определения коэффициента фиктивной диффузии

V = —Г • (13)

Ах2

При моделировании лесного пожара использовались следующие значения величин, влияющих на запаздывание распространения излучения кГ = 0.05, кх = 0.6, Ах = 1, Аt = 0.0005 .

В табл. 1 показана доля лучистой энергии, в распространении которой имела место задержка на заданное время.

Задержка в распространении лучистой энергии, в зависимости от времени

Таблица 1

Время от момента вспышки 0,05 0,1 0,15 0,25 0,35

Доля запаздывающей лучистой энергии 0,165 0,027 0,0045 1,23 • 10-4 3,372 • 10-6

Из данных, показанных в табл. 1, следует, что диффузионное приближение даёт приемлемую, в рамках масштабов рассматриваемых задач, задержку при определённых ранее параметрах.

Для оценки погрешности схемы (12) был использован метод сгущающихся сеток, основанный на измельчении сетки в три раза по каждой из координат. Погрешность рассчитывается как модуль разности между значением искомой функции каждой ячейки исходной сетки и среднеарифметическим значением на соответствующем ей блоке 3*3 ячеек измельчённой сетки. Число шагов по времени выбиралось таким образом, чтобы можно было пренебречь эффектами запаздывания, с учётом соотношений (11), (13). В качестве оцениваемой величины использовалась сумма плотности потока излучения по времени в каждой точке

расчётной области Е ^ = Хи?П7-, которая с точностью до постоянного множителя соответ-

ствует плотности энергии от вспышки. Здесь нижние индексы г, j соответствуют дискретным пространственным координатам, верхний индекс п соответствует дискретному времени. Для оценки доли тепловой энергии, распространившейся не в ту ячейку расчётной области,

Л К Л

^АЕг. . ^ Е] , где А£г-,^ - погрешность, определён-

используется соотношение 5Е = —

} / ^ 1,} V1,1 Л V i, 1 У

ная по методу сгущающихся сеток в блоке. В проведённом численном эксперименте она составляет 1,4%, причём ячейка, в которой произошла вспышка, вносит наибольший вклад в погрешность.

На рис. 1 представлена зависимость относительной мощности излучения от расстояния до источника. За единицу принята мощность излучения в самом источнике. На рис. 2 по-

с

У

п

казана оценка погрешности, определяющая вклад каждого блока в общую погрешность, и

выражающаяся с соотношением ег- . =

AE,

j

j, j

Рис. 1. Зависимость относительной мощности Рис. 2. Распределение вклада блоков в общую излучения от расстояния до источника погрешность энергии излучения

Исследование структуры погрешности показывает, что наибольшая погрешность имеет место в начале отсчёта, также наблюдается преобладание погрешности в диагональных направлениях. Неточность распространения под углом к направлению сетки описана в работе [11], однако погрешность данного эффекта в приемлемых пределах.

Проведённый анализ тестовых примеров диффузионного приближения и его численной реализации показал, что используемая модификация модели излучения, а также численная схема, реализующая её, обеспечивают приемлемый уровень точности.

Оценка эффективности диффузионного приближения

Для оценки характера влияния модели излучения было проведено сравнение результатов расчётов, выполненных на основе модели локальной диффузии, модели диффузионного приближения, а также без учёта излучения. Источником пожара являлся очаг, размером в одну ячейку расчётной области (квадрат со стороной 1 м), в котором в течении 5 с поддерживается температура 1200 К. На рис. 3 показано распределения температур для этих моделей на моменты времени 3, 10, 14, 18, 25 с соответственно. Для каждой модели построены изолинии на уровнях 1000 К, 1500 К, 2000 К, для каждой модели используется свой тип линии. Внешняя изолиния для каждой модели соответствует температуре 1000 К, а внутренние, если они есть, соответствуют температурам 1500 К и 2000 К в порядке вложенности. Из рис. 3, а видно, что отсутствие излучения в модели приводит к быстрому распространению изначального источника в первые секунды пожара за счёт конвекции. На рис. 3, б показано, что отсутствие излучения приводит к более быстрому распространению пожара. При использовании диффузионной модели скорость распространения и температура во фронте пожара ниже, что связано с более адекватным расчётом оттока тепла посредством излучения. На рис. 3, в наблюдается формирование заднего фронта пожара при использовании локально-диффузионной модели. Такого эффекта не наблюдается, если не учитывать излучение. При использовании более точной модели, задний фронт также не формируется вследствие распространения излучения на расстоянии нескольких ячеек, в отличие от модели локальной диффузии. На рис. 3, г-д видно, что быстрее всего пожар распространяется по подветренному слою при моделировании диффузионного приближения, а наиболее медленно в отсутствии теплопереноса посредством излучения. Описанный эффект связан с формированием вихря с подветренной стороны, направляющего потоки нагретого газа вверх.

д

Рис. 3. Распределение температур в различные моменты времени. Сплошная линия соответствует диффузионному приближению, пунктирная - локально-диффузионной модели, штриховая - модели, не учитывающей излучение:

а соответствует моменту времени (=3 с; б - (=10 с; в - (=14 с; г - ¿=18 с; д - ¿=25 с

На рис. 4 показаны контуры температуры и мощности излучения. Пунктирные линии соответствуют температуре, причем внутренний контур построен для 1000 К, внешний для

700 К. Сплошная линия показывает контур мощности излучения, цифрами указаны значения этой величины в кВт/м2. В момент Т=3 с, мощность излучения достаточно низкая в связи с сравнительно низкой температурой источника и его малых размеров. Видно, что контур излучения несколько отличается от контура температуры. В момент Т=14 с, можно видеть, что в центральной части фронта пожара достигается большая мощность излучения, чем по краям, несмотря на сопоставимый уровень температур.

Данные отличия обусловлены особенностью диффузионной модели излучения, учитывающей распространение лучистой энергии от нагретой поверхности на расстояние.

Рис. 4. Распределение мощности излучения (кВт/м2) (сплошная линия) и температур (пунктирная линия) на различные моменты времени

На рис. 5 показано распределение кислорода для диффузионного приближения и локально-диффузионной модели. Локально-диффузионная модель показывает несколько большее поглощение кислорода за счёт меньшего оттока тепла.

На рис. 6 показано распределение концентраций инертных газов для диффузионного приближения (а) и локально-диффузионной модели (б).

а

б

Рис. 5. Распределение концентраций кислорода на различные моменты времени:

а - диффузионного приближения; б - локально-диффузионной модели

Согласно рис. 5 расчёты по локально-диффузионной модели показывают большую ширину фронта при большей высоте области низкой концентрации. Начиная с 18 с, на рис. 5, б, видно формирование фронта пожара с тыльной стороны, связанное с меньшим рассеиванием тепла за счёт излучения.

Форма линий уровня концентрации инертных газов на рис. 6 с незначительными отличиями повторяет форму линий уровня концентрации кислорода. Это связано с низкой концентрацией летучих продуктов пиролиза, и как следствие близкой к единице суммарной концентрации кислорода и инертных газов.

Рис. 6. Распределение концентраций инертных газов на различные моменты времени:

а - диффузионного приближения; б - локально-диффузионной модели

Выводы

В настоящей работе дан количественный и качественный сравнительный анализ влияния учёта излучения на основе различных моделей на динамику лесного пожара. Показано, что диффузионное приближение, предложенное авторами, с одной стороны качественно и количественно правильно отражает процесс распространения излучения от точечного источника, а с другой стороны, по сравнению с полной моделью, является более простым в реализации и во много раз менее затратным по времени счёта. С другой стороны, согласно проведённым численным экспериментам, вычислительные затраты на расчёт плотности потока излучения и его влияния на температуру среды составляют 7% от затрат на расчёт всей модели.

В работе продемонстрировано применение диффузионного приближения для решения задачи о динамике пожара. На основе полученных результатов численных расчётов можно утверждать, что выбор модели оказывает существенное влияние на основные характеристики динамики пожара, такие как скорость его распространения, ширина и направление движения фронта пожара. Численные расчёты показали недостатки локально-диффузионной модели и преимущества диффузионного приближения.

Найдена зависимость погрешности, вносимой диффузионным приближением, от со-

отношения временного и пространственных шагов и оптических свойств среды. Анализ погрешности диффузионного приближения показал его эффективность при достаточно мелком шаге по времени.

Библиографический список

1. Richards, G.D. The properties of elliptical wildfire growth for time dependent fuel and meteorological conditions. Comb. Sci. Tech. 92:145-171, 1993.

2. Finney, M.A. FARSITE: Fire Area Simulator model development and evaluation. Res. Pap. RMRS-RP-4, Ogden, UT: US Department of Agriculture, Forest Service, Rocky Mountain Research Station, 1998.

3. Гришин, А.М. Математическое моделирование лесных пожаров и новые способы борьбы с ними / А.М. Гришин. Новосибирск: Наука, 1992.

4. Clark, T.L. Description of a coupled atmosphere-re model / T.L. Clark, J. Coen, and D. Latham // International Journal of Wildland Fire, 13(1):4963. 2004.

5. К.Ю. Литвинцев. Совершенствование методов моделирования лучистого теплообмена и оптических свойств среды применительно к высокотемпературным технологическим процессам и пожарам: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2012.

6. Клейменов, А.В. Моделирование характерных зон пожаротушения для произвольного направления факела пламени / А.В. Клейменов, А.В. Глухов // Успехи современного естествознания. 2010. № 9 С. 211-212.

7. Пилюгин, Н.Н. Динамика ионизированного излучающего газа / Н.Н. Пилюгин, Г.А. Тирский М.: Изд.-во МГУ, 1989. - 312 с.

8. Перминов, В.А. Математическое моделирование возникновения верховых и массовых пожаров: дисс. ... докт. физ.-мат. наук. Томск, 2010.

9. Русин, С.П. Об использовании диффузионного приближения переноса тепла излучением при экспериментальном исследовании частично прозрачных пористых сред / С.П. Русин, В.Э. Пелецкий // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. №3.

10. Зигель, Р. Теплообмен излучением: [пер. с англ.] / Р. Зигель, Дж. Хауэлл. - М.: Мир, 1975. - 934 с.

11.Рыжов, A.M. Применение полевого метода математического моделирования пожаров в помещениях. Методические рекомендации / A.M. Рыжов. - М.: ВНИИПО, 2003.

Дата поступления в редакцию 20.05.2012

D.A. Maslennikov, L.Yu. Kataeva, I.E. Belotserkovskaya FEATURES OF RADIATION OF FOREST FIRES

Nizhny Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alexeev

Purpose: Radiation determines considerable part of total heat propagation during forest fires; however propagation of radiant energy is not limited to close proximity to heated areas in contrast to the convection and diffusion. Existing models of radiation are not enough precision or have high computational complexity. The purpose is designing radiation model, providing adequate results with acceptable computational time.

Design/methodology/approach: The main idea of this paper is modification of the model of radiation propagation by adding fictive term, which sown in the left part of equation (1)

dUR д v- R -

dt dx

с dUR у 3kE dx

+---R - ks (u - 4ctT4 ) (1)

d_

5y ^ 3£z 5y

As a result of adding fictive component, the iterative process is no longer necessary for equation (1) solution, but delay in radiation propagation was introduced. This model was named as diffusion approximation of radiation. Findings: Analytical evaluation of the diffusion approximation of radiation performed, as well as analysis of the radiation from a point source. Dynamics of forest fire in depends of chosen radiation model done. The estimation of the delay spread of radiation based on the parameters of grid computing, and optical properties of the area obtained. Research limitations/implications: The present study provides a starting-point for further researches in the modeling of radiation.

Originality/value: Obtained radiation model is suitable to physical models of forest fires, those include hydrodynamics.

Key words: radiative heat transfer, forest fires, radiation diffusion model, numerical simulation.