Об основных уравнениях магнитостатики

Макаров А.М.; Лунёва Л.А.; Макаров К.А.

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 05. С. 122-139.

1Э5М 1994-040В

Б01: 10.7463/0516.0840425

Представлена в редакцию: Исправлена:

02.04.2016 16.04.2016

УДК 531.1, 531.8

Об основных уравнениях магнитостатики Макаров А. М.1*, Лунёва Л. А.1, Макаров К. А.1

апшак2009@гашЫег.ги

:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Важнейшими физическими объектами магнитного поля в сплошной среде являются молекулярные токи Ампера, дипольные магнитные моменты элементов тока и намагничение среды. В работе проведено исследование физической взаимосвязи между этими объектами и уточнены соотношения между ними на двусторонней границе рассматриваемой ограниченной области пространства с использованием методологии математической физики, в которой краевые задачи рассматриваются как предельные. В результате проведённого анализа получено новое условие замкнутости токов намагничения и строго установлена соленоидальность векторного потенциала стационарного магнитного поля.

Ключевые слова: магнитостатика, токи намагничения, дипольный магнитный момент элемента тока, намагничение среды

Введение

Проблема построения теории электромагнитного поля, в частности, магнитостатики, имеет давнюю историю [1]. К настоящему времени основные понятия, определения и уравнения макроскопической магнитостатики можно считать установленными [2]-[5]. Целью настоящей работы является уточнение основных понятий классической магнитостатики и основных соотношений между физическими величинами, в частности, при формулировке условия замкнутости токов намагничения и свойства соленоидальности поля векторного потенциала.

В научной и учебной литературе [6-14] чаще всего изложение основных закономерностей магнитостатики начинается с утверждения справедливости закона Био-Савара-Лапласа как результата обобщения опытных фактов. Современное изложение теоретических основ электродинамики содержится, в частности, в работах [17-21]. Работы [22-25] посвящены исследованию общих проблем классической электродинамики специфическими (нестандартными) методами. Монография акад. Н.Е. Кочина [26] послужила математическим основанием настоящего исследования. Работы [27-32] содержат результаты исследований авторов по классической электродинамике, в частности, работа [32] по свойствам

электрического поля в диэлектрической среде в методическом плане является идейной предшественницей настоящего исследования.

Основные дифференциальные уравнения теории стационарного магнитного поля в изотропной среде с эффектами намагничения с равным успехом могут быть установлены либо в рамках исходной гипотезы о существовании векторного поля намагниченности среды, либо в рамках исходной гипотезы о существовании токов намагничения [7]. Существует метод вывода основных уравнений магнитостатики с использованием непосредственного определения магнитного дипольного момента единицы объёма среды как функции токов намагничения [4]. Известны примеры вывода закона Био-Савара-Лапласа из постулированных дифференциальных уравнений магнитостатики [12-14]. Ключевым моментом построения замкнутой теории стационарного магнитного поля в среде с эффектами намагниченности является выявление свойств векторного потенциала A = A(r ) , в частности, его соленоидальности. Этот момент имеет место, как при индуктивном, так и при дедуктивном методе построения теории. Практически во всех перечисленных в списке литературы работах тем или иным способом возникающий в процессе рассуждений (интегральная форма теоремы Гаусса-Остроградского) некоторый интеграл по замкнутой поверхности принимается равным нулю. Заметим, что контрольная замкнутая поверхность проводится при этом вне рассматриваемого тела или в бесконечности (в последнем случае считается, что источники поля находятся в области конечных размеров). Остаётся открытым вопрос, что будет происходить с объёмом конечных размеров, который выделен замкнутой контрольной поверхностью из изотропной магнитной среды.

По-видимому, требует обсуждения понятие «условие замкнутости токов намагничения» J Jm • dV = 0 , где векторное поле jm является объёмной плотностью токов намагничения, интеграл вычисляется по объёму тела (по объёму магнетика) [4]. Это условие, как принято считать, необходимо для обеспечения независимости магнитного дипольного момента системы токов намагничения от выбора начала координат.

Важным моментам, на наш взгляд, является обсуждение вопроса о физически более обоснованных зависимостях для векторных полей, описывающих физические явления в области конечных размеров, по сравнению с аналогичными зависимостями, справедливыми для бесконечного пространства.

Перейдём к рассмотрению существа дела. Проведённые ниже выкладки справедливы в условиях магнитостатики в отсутствие токов проводимости в рассматриваемой среде. Следуя в методическом плане известной работе Я.И. Френкеля [7], рассмотрим последовательно вариант построения теории, принимая «a priori» гипотезу о первичности понятия «намагниченность среды», и вариант построения теории с гипотезой о первичности «молекулярных токов» (токи Ампера, токи намагничения).

Гипотеза 1. Намагниченность

Пусть в изотропной, не обязательно однородной среде имеется векторное поле намагниченности М = М (г), что позволяет определить магнитный дипольный момент элементарного объёма в окрестности точки наблюдения:

сРт = М ■ ау. (1)

Соотношение (1) фактически является определением понятия «намагниченность среды».

Если г' - радиус-вектор рассматриваемого элементарного объёма среды, а г - радиус-вектор точки наблюдения, то вектор Я = г - г' является вектором с началом в точке расположения источника поля и с концом в точке наблюдения. В предположении Я >> г' справедливы известные выражения для элементарного векторного потенциала магнитного поля, образованного магнитным моментом элементарного объёма

1

An dP'm х R M(r') х R - ( i . --dA =——ъ— = —-dV = M(r') х grad '—I-dV . (2)

Mo R R VR)

Вектор dA соотношением (2) определён в точке наблюдения как часть векторного потенциала A = А(Г), образованная рассматриваемым дипольным магнитным моментом элементарного объёма среды в окрестности точки расположения элементарного источника поля. Ниже штрих у символа переменной векторной величины M' = M (r' ) в последовательности выражений (2) подчёркивает условие вычисления отмеченной величины в точке расположения источника поля. Штриховой верхний индекс у операции grad означает, что операция выполняется по координатам источника поля, это обозначение будет использовано и в последующих выкладках. Полная величина векторного потенциала магнитного поля определяется интегрированием зависимости (2) по произвольному объёму среды (интегрирование по координатам точек расположения источников поля):

An -г - ( 1 Л rfOt'M' г (M' Л

— ■ A = f M' х grad' - - dV' = f rJ°iM-. dV' — f rot' — - dV'

Mo I Vr j I R I

V R )

Второй из интегралов правой части полученного соотношения можно преобразовать с использованием известной теоремы Гаусса-Остроградского:

An - с rot' M' rn' х M'

--A =1--dV — f--dS . (3)

Mo V R S R

Здесь S - замкнутая поверхность, ограничивающая рассматриваемый объём среды,

n - единичный вектор нормали к элементу поверхности dS , внешней по отношению к рассматриваемому объёму.

Соотношение (3) сравнивается с известным соотношением для векторного потенциала магнитного поля, обусловленного токами проводимости в среде без эффектов намагничения:

А = - + § г- - <ж>

Мо § я § я

где ]' = ] (г') - объёмная плотность токов проводимости, г' = г (г' ) - поверхностная плотность токов проводимости. В итоге приходят к зависимости

А - ¿V + § % - (4)

М0 Vя Б я

Следующим шагом вводятся как постулат (в рамках рассматриваемой гипотезы) объёмная плотность

Тт = гоМ (5)

и поверхностная плотность токов намагничения

гт = —п х ММ . (б)

Соотношение (5) справедливо в произвольной точке рассматриваемого объёма среды, а соотношение (6) в строгой постановке должно рассматриваться как предельное соотношение, справедливое при стремлении точки рассматриваемого объёма к соответствующей точке поверхности, т.е. изнутри объёма. Можно говорить, что определённая соотношением (6) поверхностная плотность токов намагничения является «внутренней» поверхностной плотностью токов намагничения. Заметим, что в рамках рассматриваемой исходной гипотезы реальный физический смысл имеет понятие «намагниченность среды», токи намагничения являются результатом формальных определений. Обратим внимание читателя на глубокую связь векторного поля объёмной и поверхностной плотностей токов намагничения. В учебной литературе встречается соотношение (4), но при этом, как правило, поверхностная плотность токов намагничения г рассматривается как некоторая самостоятельная величина, которую можно рассматривать независимо от объёмной плотности токов намагничения, т.е. как стороннюю величину, определяемую внешними условиями.

В силу определения (5) имеет место условие:

= 0 . (7)

Интегральный аналог условия (7) имеет вид:

Тш - п - = 0 . (8)

§ ^ т Б

Следует заметить, что для произвольной замкнутой поверхности, ограничивающей некоторый объём конечных размеров в рассматриваемой среде, справедливо интегральное условие (8), а локальное условие

Тт ' п = 0 на Б

может не иметь места. Поверхностная дивергенция объёмной плотности токов намагничения имеет вид:

= П • От2 - Зтд = 0 ,

которое следует рассматривать в качестве условия непрерывности нормальных компонент векторов объёмной плотности токов намагничения на поверхности раздела двух сред (нормаль п к поверхности раздела проводится из области 1 в область 2). Соотношение (7) и его интегральный аналог (8) составляют основные условия магнитостатики: электрические заряды не накапливаются в рассматриваемой физической системе с течением времени.

Векторное поле намагниченности среды в рассматриваемом объёме предполагается непрерывным вплоть до границы. Для произвольного векторного поля в условиях непрерывности справедлива теорема Гаусса-Остроградского. Из формального соотношения

|гогы • (IV = ^п х М • dS

V S

с необходимостью следует физическое условие «замкнутости токов намагничения»:

/Ут • (V + $ 1т • dS = 0 . (9)

V S

Обратим внимание читателя на отличие условия (9) от обычно используемого условия замкнутости токов намагничения [4]:

/ 1т • (V = 0 .

V

На произвольной поверхности раздела двух сред имеет место условие

Яогм = п х (М2 - м1) = 1т1 + т = С . (10)

В записанном условии нормаль п к поверхности раздела проводится из области 1 в область 2. Вектор П является «внешней» нормалью по отношению к области 1 и одновременно «внутренней» нормалью по отношению к области 2. Скачок вектора М х п на поверхности раздела двух сред определяется суммой поверхностных плотностей токов намагничения, текущих по одной и другой стороне поверхности раздела. Суммарная поверхностная плотность токов намагничения 1т8 обычно воспринимается как поверхностная плотность токов намагничения, текущих по поверхности раздела двух сред. Заметим, что условие (10) чаще записывают в форме

м 2/- м =т *,

где / - произвольный единичный безразмерный вектор, лежащий на поверхности раздела, м 2/ и м 1/ - проекции соответствующих векторов намагниченности среды на направление / , вспомогательный вектор V определён соотношением: У = $ х П, где £ - единичный безразмерный вектор, совпадающий по направлению с вектором поверхностной плотности токов намагничения .

Если постулировать, что токи намагничения существуют наравне с токами проводимости, то известная зависимость для магнитной индукции, обусловленной токами проводимости в вакууме, преобразуется к виду:

го№ = Мо ■ (] + ]т ) = Мо ■ (] + гоМ) ,

что позволяет ввести вектор напряжённости магнитного поля:

- В -

Н =--М . (11)

Мо

Для соотношения (11) справедливо одно из основных уравнений магнитостатики:

гоН = ] . (12)

В силу уравнения (12) по аналогии с условием (10) имеет место соотношение между касательными компонентами напряжённости магнитного поля на границе раздела двух областей

Яогн = п х (Н - Н) = ч + ч = г.

Эквивалентная форма записи рассматриваемого условия имеет вид:

Ни - Нм = г V ■ - .

В этом соотношении величину поверхностной плотности токов проводимости г формально можно рассматривать как сумму поверхностных токов проводимости, текущих по одной и другой стороне поверхности раздела:

J гоН ■ ау = £ п х Н ■ аБ ^ /.и = — п х Н на Б.

У Б

Определение ортов V и I аналогично разобранному выше случаю.

Фактически введение величины (или /омг.) является только удобным обозначением

специфического касательного к рассматриваемой поверхности вектора Н х п, хотя величина г имеет вполне определённое физическое содержание.

Уравнение (12) можно рассматривать как следствие условия отсутствия накопления электрического заряда в произвольном элементарном объёме среды при наличии объёмной плотности токов проводимости

агуу = о.

Интегральный аналог приведённого уравнения

| у ■ п ■ аБ = о

Б

и условие непрерывности нормальных компонент объёмной плотности токов проводимости на поверхности раздела двух областей

в™] = п ■ (] — у) = 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

аналогичны полученным выше зависимостям для токов намагничения.

В простейшем случае линейной изотропной среды материальное уравнение среды записывается в форме локального линейного однородного соотношения между вектором намагниченности среды и вектором напряжённости магнитного поля:

м = %• Н = о-1) • Н. (13)

Здесь / - магнитная проницаемость, а % - магнитная восприимчивость среды.

С помощью уравнения (13) определяется недостающий скалярный объёмный источник векторного поля намагничения среды:

<Сгл?М =--—-. (14)

/о /

Итог: принимая гипотезу о существовании векторного поля намагниченности среды, с помощью которого однозначно определяется магнитный дипольный момент элементарного объёма среды, приходят к заключению о том, что источниками векторного поля намагниченности среды являются векторная объёмная ( ) и векторная поверхностная плотность токов намагничения (п X М = — 1т ), которые связаны между собой условием замкнутости токов намагничения (9) в произвольном объёме среды. Кроме того, в неоднородной изотропной среде при отличном от нуля скалярном произведении векторного поля магнитной индукции на векторное поле градиента магнитной проницаемости среды имеет место скалярная объёмная плотность источника поля намагниченности среды (14). Непрерывное векторное поле намагниченности среды обусловлено не только объёмными, но и поверхностными источниками векторного поля.

Вычислим величину индукции магнитного поля в рамках рассматриваемой исходной гипотезы

—>• —>■ ^О___ Г Jm лт/

, /о /к т

В = тоА = / тог Г • ¿V + и тогX т • ¿Я = 4п I Я 4п \ Я

- /0 / Ут Х 1 • сV| ^ Х 1 • =

4п V Я 4п Я Я (15)

—> ———

= /Г • ¿V + /X • СЯ.

4п X Я3 4п X Я

Легко видеть, что полученная зависимость (15) совпадает по форме с формулировкой закона Био-Савара-Лапласа для индукции магнитного поля, образованного стационарными объёмными и поверхностными токами проводимости.

В заключение раздела в рамках рассматриваемой исходной гипотезы вычислим ротор векторного поля магнитной индукции. Предварительно убедимся в том, что поле векторного потенциала является соленоидальным:

— — л

4^. * г М'хЯ _ А Я Я

—= | аV—-— (V = Л — • го/м' - м' • тог

(V = 0.

Мо Vя V VЯ Я У

Из полученного результата непосредственно следует

го/В = го/гоА = -ЛА,

— • ЛА = Л А • (V + ЛЛ -т • dS = Л1 Л - • (V + Л Гил - • dS, М0 Л Я Л Я Ут Я Iт Я

- 4^1 У'тб(г - Г) • (V - 4^Л -т • ё(г - Г( = -4п • j - -и • д(г - Г(.

V S S

Поэтому для внутренних точек области г г , имеет место уравнение

Го/В =

- ожидаемый результат в отсутствие токов проводимости.

Гипотеза 2. Токи намагничения

Рассмотрим произвольный объём V изотропной среды. Пусть достаточно гладкая замкнутая поверхность £ является поверхностью, ограничивающей рассматриваемый объём. Пусть в объёме V имеется объёмная плотность токов намагничения , а на внутренней боковой поверхности £ - поверхностная плотность токов намагничения . Предположим в качестве основной гипотезы, что упомянутые физические величины связаны между собой условием «замкнутости»:

Л 1т • (V + Л 4 • dS = 0. (16)

V S

В условиях магнитостатики должно выполняться уравнение

= 0 (17)

с известным физическим содержанием. Поскольку уравнение (17) имеет место, можно

формально ввести (неявным образом) некоторое векторное поле м , которое назовём векторным полем намагниченности среды:

Ут = го/м . (18)

Если токи намагничения связаны между собой условием замкнутости в форме (16), то с учётом постулата (18) имеем:

Л го/м • (V + Л -т • ds =Л (п X м + -т ) • dS =0 . (19)

V S S

Соотношение (19) справедливо для произвольной замкнутой поверхности, поэтому имеет место определение:

/ж = -п х М на поверхности 8. (20)

Выпишем зависимость элементарного векторного потенциала магнитного поля, образованного рассматриваемыми токами намагничения:

п ¿А = а • сV + £ • ся = 'м • ¿v - • ¿я (21)

/ Я Я Я Я

Здесь, как и в первой части работы, вектор СА определён в точке наблюдения как часть векторного потенциала А = А(Т), образованная рассматриваемыми элементарными источниками поля - непосредственно током намагничения в элементе объёма ¿V ' в окрестности точки расположения последнего и током намагничения в элементе поверхности ¿Я в точке расположения этого элемента поверхности. Полная величина векторного потенциала магнитного поля определяется интегрированием зависимости (21) по произвольному объёму среды V и по замкнутой поверхности Я (интегрирование по координатам точек расположения источников поля):

4п Г стог'М' сп' Х М'

--А =--dV — ф--¿Я =

и Г Я Г Я

и0 Vя Я Я

ГП' Х М' С ( 1 Л Г СП' Х М' = X--СЯ — I §таС I — х М • СV — X--СЯ

Я Я V VЯ) Я Я

После очевидных преобразований (поверхностные интегралы сокращаются, штрихи у величин, связанных с положением источников поля опущены) получаем:

4п г гМ Х Я

• А = !МХЯ • ¿V . (22)

/о X Я3 Сравнивая полученное выражение с известным выражением

4п г ЫРт х Я

А = /■

/о ^ Я3 •

убеждаемся в справедливости физического определения

СРт = М • ¿V . (23)

Итог: принимая гипотезу о существовании токов намагничения (объёмная плотность токов намагничения и поверхностная плотность токов намагничения связаны между собой условием замкнутости (16)), приходим к заключению о том, что токи намагничения порождают векторное поле намагниченности среды, которое однозначно определяет величину магнитного дипольного момента элементарного объёма среды в пересчёте на единицу объёма в соответствии с локальной зависимостью (23).

Вычисление дивергенции поля векторного потенциала (22) проведено выше, результат этого вычисления: поле векторного потенциала А является соленоидальным (СгхА = О) . В рамках рассматриваемой гипотезы не представляет труда получить остальные основные соотношения магнитостатики.

Таким образом, гипотезы 1 и 2 являются эквивалентными в том смысле, что результаты одной из гипотез приводят к исходным положениям другой гипотезы.

Гипотеза 3. Магнитный дипольный момент произвольного объёма среды

Рассмотрим произвольный объём V конечных размеров в изотропной среде. Пусть £ является боковой поверхностью рассматриваемого объёма. Если в объёме V существует

объёмная плотность токов намагничения 1т , а по боковой поверхности £ течёт ток намагничения с поверхностной плотностью ¡т , то выражение для магнитного дипольного момента объёма в целом имеет вид:

Р = 1 ^ 1 • ¿V + 1 ■$ Г ' X £ • ' . (24)

2 V 2 8

Здесь Г' - радиус-вектор соответствующего элемента объёма или элемента боковой поверхности. Выражение (24) как физическая величина, характеризующая определенную физическую систему, не должна зависеть от выбора начала координат. Легко проверить, что это требование выполняется, если выполнено условие «замкнутости токов намагничения» (16)

Г1 ■ ¿V' + Г У • ' = 0 .

Г ^ т Г т

V 8

—»• —*•

Вспомним, что в рассматриваемом объёме справедливо уравнение 1т = гогМ, а на

—» —»

его боковой поверхности справедливо уравнение ¡т = —П X М :

Рт = 1 ■ Г У' X гог М' ■ ¿V' —1 ■Г У' X (п' X М') ■ '. (25)

2 V 2 8

Здесь П' - единичный вектор нормали к элементу поверхности ', внешней относительно рассматриваемого объёма. Для непрерывного векторного поля М интеграл по объёму в выражении (25) можно преобразовать [4]:

Г У X (V X М ) ■ ¿V = Г У X (п X М ) ■ ¿Я — Г (М XV) X У ■ ¿V . (26)

V V

Если заметить при этом [4], что

(М XV) X У = — М ■ ¿¡лг + М = —2М, (27)

то, подставляя тождество (27) в тождество (26), а результат подстановки - в выражение (25), при этом поверхностные интегралы просто сокращаются, выражение (25) можно привести к виду:

Рт =Г М ■ ¿V. (28)

V

Из соотношения (28), очевидно, следует локальная зависимость:

¿Р = М ■ d V .

Таким образом, можно считать, что непосредственно установлено физическое содержание и взаимосвязь понятий намагниченность среды и токи намагничения.

В курсе «Теоретическая физика. Т.8. Электродинамика сплошных сред» Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица [4] магнитный момент произвольного объёма магнетика фактически введён следующим образом:

Pm = 1 J j' x Jm ■ dV' = 1 J j x rot M' ■ dV'.

2 V 2 V

Это определение неудовлетворительно, поскольку из него следует утверждение, что магнитный момент объёма магнетика с постоянной величиной вектора намагниченности (при этом токи намагничения в рассматриваемом объёме отсутствуют) должен равняться нулю. Результат [4]

Pm = 1 J J X jm ■ dV ' = J M ' ■ dV ' (29)

2 V V

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

не следует из предыдущего определения, поскольку интеграл по замкнутой поверхности J J X (n X M)dS остаётся в результирующем выражении. Авторы [4] фактически использо-

S

вали методический приём классической монографии Абрагама-Беккера [6], предположив, что можно провести контрольную поверхность не внутри магнитной среды (как это следовало бы сделать), а вне магнетика, где по условию вектор намагниченности равен нулю. Этот же приём в том или ином варианте использован в ряде монографий и учебников по классической макроскопической электродинамике [8], [9]-[11].

Соотношение (29) может породить ошибочное заключение, что вектор намагниченности среды M в рассматриваемой точке пространства является следствием наличия объёмной плотности токов намагничения в той же самой точке пространства. Наиболее ярко эта возможность проявилась в учебнике «Классическая электродинамика» В.Пановского и М.Филипс [11]:

«Эти токи (имеются в виду объёмная плотность токов намагничения, курсив наш) выразим через магнитный момент единицы объёма, или намагниченность

1 X jm )'

М = -Л£Х 2

Г

где ^ - радиус-вектор точки с плотностью тока Ут . Магнитный момент некоторого объёма в целом будет равен

т = \М • dv = 1 •!(! х Ут )• dv».

В результате довольно сложных вычислений авторы приходят к заключению: «Если намагниченность равна М , то векторный потенциал имеет вид

4ж у с- 1V «-V 'X М^ с (М V — А = Г М XVI — = Г-¿V — ^'ж — ¿Г. (7.52)

Мо Vг

Но так как

ГМЛ

V г у

•М X

г

V г У

то второй член в соотношении (7.52) можно обратить в нуль, если поверхность интегрирования выбрать вне области, где имеются токи» (курсив наш). По этому поводу надо сказать следующее. Во-первых, не токи, а намагниченность, которая может иметь место и

в отсутствие токов (в этом случае намагниченность удовлетворяет уравнению гоМ = 0 и

совсем не обязательно выполняется соотношение М = 0), хотя вне магнетика, очевидно,

М = 0 на любой поверхности. Во-вторых, остаётся вопрос, что произойдёт с результатом, если контрольную поверхность провести внутри рассматриваемого объёма?

4. Объём конечных размеров в среде с непрерывными физическими

свойствами

Вывод дифференциальных уравнений магнитостатики в проводящей немагнитной среде из закона Био-Савара-Лапласа состоит из следующих последовательных операций: введение векторного потенциала магнитного поля, вычисление вихря векторного потенциала, доказательства соленоидальности векторного потенциала и, наконец, использование известных свойств математической теории потенциала. Выполнение обратной последовательности рассуждений с необходимостью включает в себя доказательство соленои-дальности векторного потенциала магнитного поля. Аналогичное положение дел имеет место и в случае непроводящей магнитной среды.

В учебном пособии А.А.Власова [14] на основании принципа градиентной инвариантности векторного потенциала магнитного поля утверждается принципиальная возможность обеспечения условия соленоидальности векторного потенциала магнитного поля,

—► —»

постулируется выполнение этого условия, после чего из уравнения Пуассона АА = — /л01

следует известное выражение для векторного потенциала магнитного поля А = 11ШV.

Обратим внимание читателя на два обстоятельства. Во-первых, в выкладках [14] использовано решение уравнения Пуассона для бесконечной области, оно не в полной мере описывает поле в области конечных размеров. Во-вторых, «исправленное» и «исходное» поля векторного потенциала эквивалентны только по отношению к вычислению вихря, эквивалентность относительно вычисления дивергенции требует проверки. В учебном пособии Ю.В.Новожилова и Ю.А.Яппе [12] условие соленоидальности векторного потенциала считается выполненным вследствие лоренцевой калибровки потенциалов электромагнитного поля в предельном случае стационарного состояния. Вопрос о том, удовлетворяет ли выражение (12.3) этому условию, авторы не рассматривают.

Заметим, что исходные дифференциальные уравнения магнитостатики представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Уравнение для векторного потенциала магнитного поля (уравнение в частных производных второго порядка) получается повторным дифференцированием одного из уравнений исходной системы. При этом расширяется «область решений» по сравнению с областью решений исходной системы уравнений первого порядка. Примером может служить получение внешне независимых друг от друга волновых уравнений для напряжённостей электрического и магнитного полей из системы уравнений Максвелла - системы уравнений первого порядка. И только использование дополнительного условия - условия калибровки Лоренца - позволяет в полной мере выявить основные физические соотношения в теории плоских гармонических электромагнитных волн. Отсюда следует, что проверка соленои-дальности векторного потенциала является необходимым шагом методики построения теории стационарного магнитного поля.

У классиков электромагнетизма [ 1 ] имелись попытки рассматривать замкнутую контрольную поверхность, охватывающую объём конечных размеров, как двустороннюю поверхность. Эта идея, к сожалению, не в полном объёме использована в учебнике И.Н. Мешкова и Б.В.Чирикова [13]. Математическое обоснование подобных физических представлений можно найти в классической монографии акад. Н.Е.Кочина [26].

Выводы

- Уточнено доказательство отсутствия принципиального различия между гипотезой о первичности физического существования намагничения среды, или гипотезой о первичности физического существования токов намагничения среды (молекулярных токов Ампера) или гипотезой об определении магнитного момента элемента с током.

- Векторное поле намагничения среды в произвольной точке наблюдения внутри области конечных размеров определяется не только значением объёмной плотности токов намагничения в той же точке области, но и совокупностью поверхностной плотности токов намагничения среды, текущих по внутренней стороне поверхности, ограничивающей рассматриваемую конечную область пространства.

- Предложено новое условие замкнутости токов Ампера в произвольном объёме магнетика конечных размеров как части сплошной среды с эффектами намагничения. С математической точки зрения, условие замкнутости токов намагничения среды в пространственной области конечных размеров является следствием теоремы Остроградского-Гаусса, при этом не возникает необходимости рассматривать контрольную поверхность вне области с эффектами намагничения или поверхность, граничащую с немагнитным пространством.

- Соотношения на поверхности раздела сред в магнитостатике естественным образом учитывают двухстороннюю природу границы раздела, принятые в физике понятия «поверхностная плотность токов (проводимости или намагничения среды) » является алгеб-

раической суммой рассматриваемых предельных величин по разные стороны поверхности раздела.

- Уточнено доказательство свойства соленоидальности поля векторного потенциала в условиях магнитостатики.

Список литературы

1. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 512 с.

2. Пул Ч. Справочное руководство по физике. Фундаментальные концепции, основные уравнения и формулы. М.: Мир, 2001. 461 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10т. Т.2. Теория поля. М.: Физ-матлит, 2012. 536 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10т. Т.8. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматлит, 2005. 656с.

5. Угаров В.А. Специальная теория относительности. М.: Едиториал УРСС, 2005. 384с.

6. Абрагам М., Беккер Р. Теория электричества. Т.1. М.-Л.: ОНТИ. Гл. ред. общетехн. лит. 1936. 281 с.

7. Френкель Я.И. Электродинамика. М.: Книга по требованию, 2012. 371 с.

8. Тамм И.Е. Основы теории электричества: М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 2003. 504 с.

9. Бредов М.М., Румянцев В.В., Топтыгин И.Н. Классическая электродинамика: Учебное пособие /Под ред. И.Н.Топтыгина. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 2003. 267 с.

10. Топтыгин И.Н. Современная электродинамика. Часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе: Учебное пособие. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2005. 848 с.

11. Пановский В., Филипс М. Классическая электродинамика. М.: Физмаггиз. 1963. 432 с.

12. Новожилов Ю.В., Яппе Ю.А. Электродинамика: учеб. пособие. М.: НАУКА, ГРФМЛ. 1978. 352 с.

13. Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. Часть 1. Электричество и магнетизм. М.: Книга по требованию. 2013. 272 с.

14. Власов А.А. Макроскопическая электродинамика. Москва-Ижевск.: РХД 2010. 229 с.

15. Герасимов С.А. Намагниченное тело в воздухе: обратный парамагнитный эффект // Инженерная физика. 2011. N 9. С. 15-18.

16. Герасимов С.А. Неоднородное намагниченное тело в парамагнитной среде // Инженерная физика. 2012. № 8. С. 24-26.

17. Рухадзе А.А., Рухадзе К.З. Об условиях существования быстрой поверхностной волны Ценнека // Инженерная физика. 2011. N 4. С. 21-24.

18. Макаров В. П., Рухадзе А.А. Некоторые замечания к работе В. Г. Веселаго в УФН "Волны в метаматериалах: их роль в современной физике" // Инженерная физика. 2012. № 5. С. 11-12.

19. Макаров В. П., Рухадзе А.А. Тензор Минковского или тензор Абрагама? // Инженерная физика. 2012. № 8. С. 3-5.

20. Макаров В. П., Рухадзе А.А. Основы современной электродинамики материальных сред // Инженерная физика. 2012. № 10. С. 12-22.

21. Рухадзе А. А. Комментарий главного редактора А. А. Рухадзе к статьям Ф. Ф. Менде "Новые подходы к современной классической электродинамике", опубликованным в нашем журнале в №№ 1 и 2 за 2013 г. // Инженерная физика. 2013. № 2. С. 15-17.

22. Mansuripur M. On the Foundational Equations of the Classical Electrodynamics // Resonance. 2013. No.2. P.130-150.

23. Планк М. Введение в теоретическую физику. Теория электричества и магнетизма. М.: УРСС, 2004. 184с.

24. Фушич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений Максвелла. Киев: Наукова Думка, 1983. 200 с.

25. Стражев В.И., Томильчик Л.М. Электродинамика с магнитным зарядом. Минск: Наука и техника, 1975. 336 с.

26. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд. 9.: М.: Наука, 1965. 427 с.

27. Макаров А.М., Лунева Л.А., Макаров К.А. Теория и практика классической электродинамики. М.: Едиториал УРСС, 2014. 784 с.

28. Макаров А.М., Лунева Л.А., Макаров К.А. О структуре системы уравнений классической электродинамики // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 3. С. 39-52.

29. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А. Система уравнений классической электродинамики в неподвижной изотропной среде. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2014. № 4. .С. 25 - 39.

30. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А. Аксиоматическое построение системы уравнений классической электродинамики. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. №1. С. 45-60.

31. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А. Уравнения классической электродинамики как следствие специальной теории относительности. Радиооптика. 2016. №2 (март) D0I:10.7463/rdopt.0216.0837463.

32. Макаров А.М., Лунёва Л.А., Макаров К.А.. Об основных уравнениях электростатики изотропных диэлектриков. // Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. №2(41). С. 25-40.

Science and Education of the Bauman MSTU, 2016, no. 05, pp. 122-139.

DOI: 10.7463/0516.0840425

Received: 02.04.2016

Revised: 16.04.2016

Magnetostatics

anmak2009@ramblerju :Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: magnetostatics, magnetization currents, magnetic dipole moment of the current element,

magnetization of the medium

The paper studies the physical relationship between the main objects of the magnetic field in a continuous medium with magnetization effects. Consistently considers the following hypotheses: a hypothesis of the primacy and the physical reality of the magnetization vector field environment, a similar hypothesis about the real existence of Ampere currents (molecular currents, magnetization currents), a hypothesis of a magnetic dipole moment of the medium volume element in view of bulk density of electric currents in this volume. A more rigorous derivation of the basic differential equations of magnetostatics from the Biot-Savart-Laplace equation is proposed.

The well-known works justifying basic equations of magnetostatics use a procedure wherein when proving the local differential ratio is used a transformation of some volume integral to the surface integral bounding this volume. Thus, there is a specific way to select a closed surface that is either a surface in a vacuum (beyond the medium volume under consideration), or a surface of the conductor (a normal component of currents to the surface, here, becomes zero). In the paper the control surface is arbitrarily carried out within the volume of the medium under consideration, thereby leading to the mathematically sound result.

The paper analyzes the hypotheses listed above. The main feature of analysis is a succesively using concept of bilateralism surface bounding the medium volume of the arbitrary finite dimensions. The analysis allowed us to reveal the physical adequacy of the considered hypotheses, derive the appropriate differential equations for the basic vector fields of magnetostatics and obtain a new condition. The resulting condition for the closedness of magnetization currents is recorded in entire compliance with the well-known Gauss electrostatic law, which avoids the need for additional, but not always reasonable assumptions.

References

1. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 512 с.

Science ¿Education

of the Bauman MSTU

On the Basic Equations of the A.M. Makarov1'*, L.A. Luneva1, K.A. Makarov1