CC BY
9
УДК 168.51:51 (091)
https://doi.org/10.24412/2226-2296-2023-2-16-21
I
I
Об основных положениях нелинейного функционального анализа как одного из базовых инструментов качественного
W *
исследования нелинейных систем*
Богатов Е.М.1' 2
1 Филиал Национального исследовательского технологического университета МИСИС в г. Губкине Белгородской области, 309186, г. Губкин, Россия
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail: [email protected]
2 Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета МИСИС, 309516, г. Старый Оскол, Россия
ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail: [email protected]
Резюме: Нелинейный функциональный анализ является одной из основ для качественного исследования нелинейных систем с начала XX века. Выделение его ключевых положений позволит лучше понять его эволюцию и роль в математике. Для выполнения указанной задачи были выявлены специфические черты, присущие нелинейным системам, и определены ключевые математические сущности (принципы, признаки, методы и теоремы), позволяющие эти черты исследовать. Предпочтение отдавалось тем сущностям, в создание которых весомый вклад внесли отечественные математики: принципу минимума, принципу минимакса, методу неподвижной точки, принципу смены индекса, свойству монотонности, принципу линеаризации в задачах о точках бифуркации и др. Анализ достижений в указанной области был ограничен полувековым периодом с 1920 по 1970-й год, поскольку именно в это время, по мнению автора, окончательно сформировалось представление о нелинейном функциональном анализе как об основополагающем инструменте качественного исследования нелинейных систем.
Ключевые слова: нелинейный функциональный анализ, качественные методы, нелинейные системы, отечественная математика, математика XX века.
Для цитирования: Богатов Е.М. Об основных положениях нелинейного функционального анализа как одного из базовых инструментов качественного исследования нелинейных систем // История и педагогика естествознания. 2023. № 2. С. 16-21. D0I:10.24412/2226-2296-2023-2-16-21
Благодарность: Автор выражает благодарность профессору С.С. Демидову (МГУ) за знакомство с рукописью.
ON THE MAIN PROVISIONS OF NONLINEAR FUNCTIONAL ANALYSIS, AS ONE OF THE BASIC TOOLS FOR THE QUALITATIVE STUDY OF
NONLINEAR SYSTEMS Bogatov Egor M.1, 2
1 Branch of National Research University of Science and Technology MISIS in Gubkin town of Belgorod Region, 309186, Gubkin, Russia ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394,
E-mail: [email protected]
2 Stary Oskol Technological Institute of National Research University of Science and Technology MISIS, 309516, Stary Oskol, Russia ORCID: https://orcid.org/0000-0002-4897-0394, E-mail: [email protected]
Abstract: Nonlinear functional analysis has been one of the foundations for the qualitative study of nonlinear systems since the beginning of the 20th century. Highlighting its key provisions will allow a better understanding of its evolution and role in mathematics. To accomplish this task, specific features inherent in nonlinear systems were identified and key mathematical entities (principles, features, methods and theorems) were determined that allows these features to be studied. Preference was given to those entities, to the creation of which a significant contribution was made by domestic mathematicians: the minimum principle, the minimax principle, the fixed point method, the index change principle, the monotonicity property, the linearization principle in problems of bifurcation points, etc. The analysis of achievements in this area was limited to a period of 1920 to 1970, since it was at this time that the idea of nonlinear functional analysis was finally formed as a fundamental tool for the qualitative study of nonlinear systems.
Keywords: nonlinear functional analysis, qualitative methods, nonlinear systems, domestic mathematics, mathematics of the 20th century. For citation: Bogatov E.M. ON THE MAIN PROVISIONS OF NONLINEAR FUNCTIONAL ANALYSIS, AS ONE OF THE BASIC TOOLS FOR THE QUALITATIVE STUDY OF NONLINEAR SYSTEMS. History and Pedagogy of Natural Science. 2023, no. 2, pp. 16-21. DOI:10.24412/2226-2296-2023-2-16-21
Acknowledgments: The author expresses gratitude to Professor S.S. Demidov (MSU) for acquaintance with the manuscript.
* Работа является продолжением темы, развитой в [1].
Au = 0
(1)
Введение
В настоящее время в российском обществе наблюдается рост интереса к науке и ее достижениям. Этому во многом способствовал старт в 2022 году в России десятилетия науки и технологий. Наукоемкие производства имеют дело, как правило, с нелинейными процессами (физическими, химическими, техническими, механическими, биологическими и т.п.), моделирование которых приводит к нелинейным уравнениям или системам, зачастую включающим в себя интегральные, дифференциальные или интегро-дифферен-циальные операторы. Такие операторы в самом общем виде являются предметом исследования одного из интереснейших разделов математики - нелинейного функционального анализа. Сейчас этот раздел является самостоятельной и хорошо разработанной областью, которая играет большую роль как для решения теоретических и практических задач в рамках самой математики, так и для приложений. Являясь одним из основных инструментов для исследования нелинейных систем, нелинейный функциональный анализ дает возможность адекватно описывать их поведение. Ведущую роль здесь играют качественные методы, позволяющие выделить нужные свойства решений операторных уравнений вида
в условиях невозможности нахождения самих решений, точных или приближенных.
Основные положения нелинейного функционального анализа в контексте качественной теории
Выделим специфические черты поведения нелинейных систем:
- множественность возможных состояний;
- неочевидность существования того или иного состояния;
- возможность внезапного перехода в новое состояние (наличие бифуркаций и ветвления);
- сложная взаимосвязь локального и глобального поведения системы;
- важность достижения состояний с минимальным значением энергии системы;
- монотонность входо-выходных соответствий как одно из характерных свойств;
- наличие зон стабильности и нестабильности.
Развитие качественной теории шло по пути поиска адекватного математического описания указанной специфики в рамках нелинейного функционального анализа и теории динамических систем. Перейдем к основным положениям этой теории в функционально-аналитическом контексте.
I. Свойства решений уравнений могут быть выявлены исходя из вида этих уравнений при отсутствии точного или приближенного их решения (А. Пуанкаре [2]).
Это положение можно считать основным, поскольку оно представляет собой мировоззренческую основу качественной теории и работает в самых общих ситуациях - при исследованиях нелинейных операторных уравнений вида (1), в котором и - элемент абстрактного пространства Е, А -дифференциальный, интегральный, интегро-дифференци-альный оператор или матрица из таких операторов.
II. Спецификой исследования уравнения (1) является необходимость рассмотрения всего множества возможных его решений, причем элементами этого множества, как правило, являются функции (кривые).
Эту специфику одним из первых подметил К. Якоби, который исследовал семейство экстремалей при определении достаточных условий достижения минимума функционала
W = J F(x,y,y)dx [3]. Дальнейшую поддержку идея множественности получила у Пуанкаре, который решал задачу о числе геодезических линий на выпуклых поверхностях [4]. Развитие этого положения привело к появлению теории функциональных пространств бесконечной размерности [5]. Первыми такими пространствами были пространства Гильберта со скалярным произведением, обобщающие конечномерные евклидовы пространства и сохраняющие возможность для использования геометрической интуиции. Для решения нелинейных задач они подходили гораздо хуже, что во многом явилось причиной для появления теории нормированных пространств. При этом для исследования операторов в (1), содержащих степенные нелинейности, оказалось удобным применить пространство функций, интегрируемых с р-й степенью, а для нестепенных нелинейно-стей (например, экспоненциальных) подходящей «системой координат» явились пространства Орлича [6], состоящие из функций, интегрируемых с выпуклой функцией (историю вопроса см., например, в [7]).
III. Принцип минимума выражает, по сути, фундаментальный закон природы: физическая система стремится прийти в такое положение, в котором ее общая потенциальная энергия минимальна.
Применение этого принципа для исследования уравнения (1) можно свести к следующему [8]:
- конструирование такого оператора G, который является градиентом некоторого функционала Ф, причем решение уравнения (1)эквивалентно решению уравнения
Gu = 0,
(2)
где и, 0 - элементы банахова пространства Е;
- для функционала Ф доказывается существование такого элемента и0, на котором он принимает наибольшее или наименьшее значение.
Если элемент и0 найден, то на нем градиент G принимает нулевое значение 0, являясь решением уравнения (2), а значит, по предположению, и уравнения (1). Для того чтобы применить описанный метод (называемый вариационным), к доказательству разрешимости конкретных классов нелинейных уравнений чаще всего используется тот факт, что самосопряженный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве, является градиентом квадратичного функционала Ф(и) = 0,5(Аи, и).
Вариационный принцип решения задачи (1) соединяет в себе качественные методы (доказательство разрешимости) с количественными (построение и исследование функционала, ассоциированного с нелинейным оператором1). Он нашел свое применение во многих задачах нелинейной механики (см., напр., [10]).
IV. Использование принципов минимакса.
После того, как подходящее (банахово) пространство Е, в котором действует оператор А, определено, можно оценить число решений уравнения (1) для случая, когда этот оператор является потенциальным, то есть представляет собой градиент некоторого функционала Ф. В этой ситуации задача становится эквивалентной задаче отыскания критических точек Ф, в том числе точек минимакса. По-видимому, первой такой задачей является задача «трех тел», периодические решения (орбиты) которой соответствуют геодезическим линиям на выпуклых поверхностях. Рассмотрение задачи о геодезических линиях привело к появлению ряда минимаксных принципов, восходящих к теоремам существования седловых точек гладкой функции (принцип Дж. Биркгофа, неравенства М. Морса, теоремы теории катего-
1 Пионерами в развитии этой темы считаются М.А. Красносельский [8, Гл. VI ] и М.М. Вайнберг [9].
рий Л.А. Люстерника и Л.Г. Шнирельмана и др.) и позволяющих оценить число критических точек Ф [11].
V.Необходимо доказывать существование решений уравнения (1) и оценивать их количество.
Характерным примером здесь является уравнение На-вье-Стокса, существование гладких решений которого до сих пор не доказано. Одним из путей доказательства существования решения (1) состоит в преобразовании его к виду
F(u) = u
(2)
и последующему применению методов неподвижной точки (А.Н. Тихонова, А.А. Маркова, М.А. Красносельского и др.), восходящих к Л. Брауэру и Ю. Шаудеру [12].
Метод неподвижной точки доказательства разрешимости следует отнести к неконструктивным. В противоположность к нему конструктивный подход предполагает построение (или предъявление) решения, например, в виде сходящейся последовательности, что является фундаментом приближенных методов, обоснованных для уравнения (1) Л.В. Канторовичем [13].
VI. Необходимо проведение параметрического анализа уравнения вида (1) для выявления областей существования, единственности и множественности решений.
Рассмотрим ситуацию, когда исследователь имеет дело с уравнением вида
A1u = Xu, (3)
где X - параметр; A1 - нелинейный оператор, действующий из E в E. Сама возможность такого рассмотрения при условии, что X принимает любые значения из некоторого промежутка (то есть исследование континуума уравнений одновременно) появилась после того, как к его изучению привлекли топологические методы. Идея заключалась в том, что если при каком-то значении X (обозначим его X0) уравнение (3) разрешимо и имеет определенное значение топологического индекса2, то для тех X ^ X0, при которых этот индекс остается прежним, разрешимость уравнения (3) тоже сохраняется [14].
Обязательным атрибутом параметрического анализа (3) является выяснение множества значений параметра X, при которых уравнение (3) имеет неединственное решение. Абстрактная операторная постановка указанной задачи восходит к Э. Шмидту [15], который опирался на результаты А. Пуанкаре и А.М. Ляпунова [16] по теории равновесия вращающихся жидкостей. Краеугольным камнем соответствующей теории является так называемая редукция Ляпунова-Шмидта, позволяющая свести исследование уравнения (3) к определению числа решений соответствующего (3) алгебраического уравнения разветвления3.
Еще одной характерной чертой параметрического анализа является необходимость определения таких значений параметра X = X*, при которых в дополнении к априори известному (часто тривиальному решению (3)) возникает еще одно решение (несколько решений). В таком случае говорят, что в точке X = X* имеется бифуркация. Характерным примером является появление поверхностных волн при некоторой критической силе воздействия на жидкость, имеющую свободную границу (см., напр., работу А.Н. Некрасова [18]). Наибольших успехов здесь удалось добиться в рамках локального рассмотрения; основным ориентиром здесь служит так называемый принцип смены индекса, введенный М.А. Красносельским [19].
Если на известной кривой решения уравнения (3) его индекс4 претерпевает скачок, то имеет место бифуркация.
VII. Описание глобальных свойств решения уравнения на основе его локальных особенностей.
Эта возможность использовалась в рамках математического анализа достаточно давно (см., напр., [20]). Простой иллюстрацией здесь служит построение графика кусочно-дифференцируемой функции по ее характерным точкам. Перенос этого принципа на дифференциальные уравнения был впервые осуществлен А. Пуанкаре [21, 22] (историю вопроса см., напр., в [23]). Он начал свои исследования с изучения кривых, определенных уравнениями вида
dx _ dy
X ~ У'
где X и У - многочлены от х и у. Для выяснения типа расположения интегральных кривых важнейшую роль играют особые точки дифференциального уравнения.
Значение исследований особых точек Пуанкаре подчеркнул в своем выступлении на IV Международном конгрессе математиков в Риме (1908). Он указал, что изучение дифференциальных уравнений вблизи особых точек может стать первым шагом для классификации. Отнесение объекта к тому или иному классу позволяет делать рассмотрение любой системы более или менее обозримым. Хорошей иллюстрацией сказанного является важнейший результат качественной теории - описание поведения фазовых траекторий системы дифференциальных уравнений первого порядка на плоскости. Эта задача была решена Пуанкаре и дополнена И. Бендиксоном [24].
Более общий пример описания глобальных свойств решения уравнения на основе его локальных особенностей относится к разделу нелинейного функционального анализа, развитому в конце 1960-х годов. Этим примером является глобальная бифуркационная теорема, доказанная П. Рабиновичем [25] в условиях, когда оператор А1 вполне непрерывен (то есть преобразует ограниченную область банахова пространства в компактную) и мало отличается от линейного оператора L в окрестности нуля 0 пространства Е.
Зафиксируем связную компоненту С(Х0) решения уравнения (3) начинающуюся в точке Р0е (Я х Е) с координатами (Х0, 0). Теперь можно сформулировать вышеозначенную теорему (альтернативу Рабиновича).
Теорема. Пусть Х0 является характеристическим числом нечетной (алгебраической) кратности оператора L. Тогда возможны только два варианта:
1) компонента С(Х0) не ограничена (рис. 1);
2) множество С(Х0) компактно и в дополнение к Х0 также содержит еще одну точку ветвления (рис. 2);
2 Для простоты можно считать, что речь идет о вращении векторного поля [8, Гл. II].
3 Одними из основателей теории ветвления в банаховом пространстве
считаются М.М. Вайнберг и В.А. Треногин, опубликовавшие результаты по этой теме в [17].
^ X
Рис. 1. Уход ветви бифуркации в бесконечность. Оси X = 0 соответствует тривиальное решение Т [19]
4 В зависимости от контекста под индексом может пониматься индекс неподвижной точки либо локальная степень отображения оператора [19, гл. 15].
Рис. 2. Появление новой точки ветвления. Оси X = 0 соответствует тривиальное решение T [19]
у = х
y = f(x)
Рис. 3. Существование точки пересечения вогнутой функции с прямой y = х
Более наглядные связи глобального и локального были недавно прослежены Р.Р. Мухиным в контексте нелинейной динамики [26].
VIII. Использование монотонности оператора для исследования разрешимости уравнений.
Свойство монотонности играет важную роль в доказательстве существования решений уравнения (3) при X = 1, то есть уравнения
A1u = и. (4)
Ориентиром здесь является разрешимость скалярного уравнения
f(x) = х, (5)
которое является очевидным для выпуклых или вогнутых функций f(x), удовлетворяющих условию f(0) = 0 (рис. 3).
Отметим, что в абстрактном пространстве E, в котором действует оператор A1, априори не предполагается наличие сравнимости произвольных элементов друг с другом. Возможность такого сравнения появляется только после упорядочивания пространства E, которое часто осуществляется путем выделения в E конуса К, элементы которого считаются положительными и удовлетворяют следующим условиям:
- х е K, х * 0 влечет за собой ax е K при a > 0;
- если х е K, х * 0, то - х g K.
Простейшими примерами конусов могут служить любые ортанты в конечномерном пространстве Rn, совокупности неотрицательных функций в пространствах C и Lp (p > 1).
Любой конус K с E позволяет ввести в пространстве E полуупорядоченность: х > у, если (х - у) е K.
Как показали М.Г. Крейн и М.А. Рутман, ключевым свойством оператора A1, связанным с полуупорядоченностью, является его положительность, определяющаяся тем, что он оставляет конус K инвариантным (A1KcK) [27]. Важным аспектом теории конусов явилось понятие и0-вогнутого оператора, с помощью которого оказалось возможным полу-
чить признак существования и единственности ненулевого решения уравнения (4), где А1 - положительный оператор, по аналогии с разрешимостью скалярного уравнения (5).
Положительный оператор А1 был назван и0-вогнутым, если он переводит произвольный элемент и конуса К внутрь конусного отрезка аи0, ри0 (а, р > 0) и для элементов конуса больше либо равных уи0, у > 0, выполняется условие вогнутости А1, аналогичное соответствующему условию для скалярной функции.
Для и0-вогнутых операторов оказался справедливым следующий признак единственности решения, доказанный М.А. Красносельским [28].
Пусть оператор А1 монотонен и и0-вогнут на К. Тогда уравнение (3) имеет в конусе К не более одного ненулевого решения.
Несколько позднее были определены условия, при которых уравнение (3) с монотонным оператором имеет в конусе ровно три решения [29]. Их суть заключалась в наличии таких четырех последовательных участков в области определения (вполне непрерывного) оператора А1, на которых он меняет свое расположение относительно «прямой» А1 = и (рис. 4).
IX. Использование линеаризации при исследовании устойчивости.
Когда мы говорим об устойчивости, то понимаем под этим характер реакции нелинейной системы на малое возмущение ее состояния. Если малые изменения состояния системы начинают нарастать со временем, то система неустойчива. В противном случае если малые возмущения затухают со временем, то система устойчива [30].
Уточним определение устойчивости, предполагая, что состояние системы описывается уравнением вида
dx/dt = F(x, 0, (6)
где х^) принадлежит банахову пространству X при каждом t > t0, и имеется некоторое состояние ее равновесия х0 из X, такое, что
F(Xo, О = 0.
Положение равновесия х0 будем называть устойчивым (по Ляпунову), если малое возмущение начального условия не выводит решение (6) за пределы окрестности х0 для любого момента времени начиная с t0. Другими словами, устойчивость по Ляпунову - это равномерная на интервале (0, +<») сходимость решений (к постоянному решению), начальные значения которых стремятся к рассматриваемому положению равновесия [31].
Теперь можно сформулировать один из базовых принципов в теории устойчивости [19].
Принцип линеаризации: Нелинейное дифференциальное уравнение имеет локально те же свойства устойчивости, что и линеаризованное.
A
Рис. 4. Пример существования трех решений уравнения A.u = u
х
T
л " щ Jji' ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ
Х.Потеря устойчивости положения равновесия может привести к бифуркациям.
Этот принцип уже долгое время применяется в естественных науках, технике и экономике как эвристическое правило при исследовании динамических систем, зависящих от внешнего параметра. Задачи изучения таких систем традиционно сводятся к исследованию автономных дифференциальных уравнений вида
dz/dt = G(|j, z) (7)
в банаховом пространстве X, где ц - параметр, отражающий величину внешнего воздействия на систему. Предполагается, что данная система имеет семейство состояний равновесия {z(j)}, то есть
G(j, z(j)) = 0 для j из некоторого множества M с R.
В соответствии с принципом линеаризации устойчивость z(j) определяется спектром производной Gz(j,z(j)).
Укажем две важные причины, которые могут вызвать потерю этой устойчивости:
1. Простая криволинейная бифуркация (в точке z(j0) от кривой решения z(j) ответвляется новая кривая решения: система переходит в новое состояние равновесия,). Здесь можно увидеть важную возможность - возможность перехода системы из одного режима функционирования в другой (принципиально новый) режим при условии, что предшествующий режим потерял устойчивость.
2. Бифуркация Хопфа (в окрестности z(j0) от кривой решения будет ответвляться периодическое решение: система начнет осциллировать [32]). Бифуркация периодических решений объясняет, в частности, существование химических реакций, протекающих в колебательном режиме (реакция Белоусова-Жаботинского, Бриггса-Раушера и др. [33]) которые известны с середины XX века и экспериментально настолько увлекательны, что даже входят в программу пер-
вого курса бакалавриата по химии в некоторых передовых вузах.
Другие интересные ситуации возникают при изучении устойчивости в рамках теории динамических систем (см., напр., [34]).
Заключение
Отметим, что нелинейный функциональный анализ имеет, очевидно, внутреннюю логику развития в контексте математики (см., напр., [35, 36]) и здесь также можно выделить ряд важных положений [19]. В этой связи важным дополнением к обсуждаемой теме видится выявление концептуальных основ нелинейного функционального анализа, принадлежащих к смежным разделам математики: общей и алгебраической топологии, классическому вариационному исчислению, теории множеств, теории интегральных уравнений, математическому анализу, теории функций комплексного переменного и т.д. (отправным пунктом здесь может служить работа [1]). Кроме того, при более подробном рассмотрении высвечивается ряд дополнительных принципов нелинейного функционального анализа (второго уровня значимости), вытекающих из основных положений. Сюда, к примеру, можно причислить относящийся к принципу минимума метод Ритца, лежащую в русле принципа минимакса теорему Аброзетте-Рабиновича о горном перевале, относящийся к теории существования метод продолжения по параметру, причисляемый к методам монотонных операторов принцип мажорируемости и т.д.5 Однако все вышеперечисленное выводит нас за рамки исследования нелинейных систем и требует отдельного изучения.
5 Более «мелкие» принципы нелинейного функционального анализа, которые можно условно отнести к третьему уровню значимости, см., напр., в [19].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
I. Богатов Е.М. О концептуальных основах качественных методов исследования нелинейных систем // Мат. междунар. конф. КРОМШ-2022. Симферополь: АРИАЛ. С. 15.
Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.; Л.: ОГИЗ, 1947. 392 с.
Jacobi C.G.J. Zur Theorie der Variations - Rechnung und der Differential - Gleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1837, vol.17, p. 68-82.
Poincaré Н. Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes. Transactions of the Amer. Math. Soc., 1905, vol. 6, pp. 237-274. Pietsch A. History of Banach Spaces and Linear Operators / Birkhäuser Basel. 2007, 855 p. Orlicz W. Über Räume (LM). Bull. Intern, de L'Acad. Pol., serie A, Cracovie, 1936, pp. 93-107.
Богатов Е.М. Некоторые заметки об истории пространств Орлича // Таврический вестник информатики и математики. 2015. № 3. С. 24-39. Красносельский М.А. Топологические методы в теории интегральных уравнений. М.: ГИТЛ, 1956. 392 с. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: ГИТТЛ, 1956. 344 с. 10.Богатов Е.М. Об истории развития вариационных методов и нелинейной механики в СССР // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2018. Т. 25. Вып. 4. С. 365-367.
II.Богатов Е.М. Об истории вариационного исчисления в целом и вкладе отечественных математиков // Мат. Междунар. конф. Российского национального комитета по истории и философии науки и техники РАН, посвященной 90-летию ИИЕТ РАН им. С.И. Вавилова. М.: ИИЕТ РАН, 2022. С. 433-436.
12.Богатов Е.М. Об истории метода неподвижной точки и вкладе советских математиков (1920-1950) // Чебышевокий сб. 2018. Т. 19. Вып. 2. С. 30-55.
13.Канторович Л.В. Приближенное решение функциональных уравнений // УМН, 1956. Т. 11. № 6(72). С. 99-116.
14. Leray J. , Schauder J. Topologie et équations fonctionnelles. Ann. Sei. École Norm. Sup. 61 (1934), pp. 45-73.
15.Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Teil. Über die Auflösung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer Lösungen. Math. Ann. 1908. V. 65. Iss. 3. pp. 370-399.
16.Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиков // Чебышев^ий сб. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 312-345.
17.Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.
18.Некрасов А.И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1951. 96 с.
19.Ziedler E. Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed-Point Theorems. Springer, New York, 1993, 898 p.
20.Юшкевич А.П. Из истории возникновения математического анализа. М.: Знание, 1985. 66 с.
21.Poincaré Н. Mémoire sur les courbes définiés par une équation differentielle (I). Journal de Math., vol. 7 (1881) pp. 375-422.
22.Poincaré Н. Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (II). Journal de Math. Pures et Appliquées, vol. 8 (1882), pp. 251296.
23.Китаев Д.Б. Развитие качественной теории дифференциальных уравнений в XIX столетии: дис. к.ф.-м.н., М.: ИИЕТ РАН, 2011. 151 с.
24.Bendixson I. Surlescourbesdéfinies par des équationsdifférentielles. Acta Mathematica. 1901. V. 24. Iss. 1, pp. 1-88.
25.Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems. Journal of functional analysis. 1971, vol. 7. Iss. 3, pp. 487-513.
26.Мухин Р.Р. Из истории понятия структурной устойчивости // Чебышев^ий сборник. 2021. Т. 22. Вып. 2. С. 417-436.
27.Крейн М. Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // УМН. 1948. Т. 3. Вып.1(23). С. 3-95.
28.Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: ФИЗМАТГИ3, 1962. 394 с.
29.Amann H. Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems. Nonlinear Operators and the Calculus of Variations. Lecture Notes in Mathematics. Berlin, 1976, pp. 1-55.
30.Анищенко В.С. Устойчивость, бифуркации, катастрофы // Соросовский образовательный журнал. 2000. Т. 6. № 6. С. 105-109.
31.Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: МЦНМО, 2012. 344 с.
32. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einerstationaren Losungeines Differential systems. Ber. Math.-Phys. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, 1942, vol. 94, pp. 1-22.
33. Корзухин М.Д., Жаботинский А.М. Математическое моделирование химических и экологических автоколебательных систем. М.: Наука, 1965.440 c.
34. Мухин Р.Р. Эволюция основных положений теории устойчивости // Чебышевский сборник. 2022. Т. 23. Вып. 4. С. 322-344.
35. Богатов Е.М. Об истории геометрических методов нелинейного анализа / Матер. XVIII межд. конф. «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории». Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2020. С. 317-321.
36. Bogatov E.M. Key moments of the mutual influence of the Polish and Soviet schools of nonlinear functional analysis in the 1920s--1950s. Antiqui-tates Mathematicae. 2017, vol. 11, pp. 131-156.
REFERENCES
1. Bogatov YE.M. O kontseptual'nykh osnovakh kachestvennykh metodov issledovaniya nelineynykh sistem [On the conceptual foundations of qualitative methods for studying nonlinear systems]. Trudy mezhd. konf. KROMSH-2022 [Proc. of int. conf. KROMSH-2022]. Simferopol, 2022, p. 15.
2. Puankare A. O krivykh, opredelyayemykh differentsial'nymi uravneniyami [On curves defined by differential equations]. Moscow, Leningrad, OGIZ Publ., 1947. 392 p.
3. Jacobi C.G.J. The theory of the calculus of variations and differential equations. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1837, vol. 17, p. 68-82 (In German).
4. Poincaré N. On the geodetic lines of convex surfaces. Transactions of the Amer. Math. Soc., 1905, vol. 6, pp. 237-274 (In French).
5. Pietsch A. History of Banach spaces and linear operators. Birkhauser Basel Publ., 2007. 855 p.
6. Orlicz W. About spaces (LM). Bull. Intern, 1936, pp. 93-107 (In German).
7. Bogatov YE.M. Some notes on the history of Orlicz spaces. Tavricheskiy vestnikinformatikiimatematiki, 2015, no. 3, pp. 24-39 (In Russian).
8. Krasnosel'skiy M.A. Topologicheskiye metody v teorii integral'nykh uravneniy [Topological methods in the theory of integral equations]. Moscow, GITL Publ., 1956. 392 p.
9. Vaynberg M.M. Variatsionnyye metody issledovaniya nelineynykh operatorov [Variational methods for studying nonlinear operators]. Moscow, GITTL Publ., 1956. 344 p.
10. Bogatov YE.M. On the history of the development of variational methods and nonlinear mechanics in the USSR. Obozreniye prikladnoy i promyshlennoy matematiki, 2018, vol. 25, no. 4, pp. 365-367 (In Russian).
11. Bogatov YE.M. Ob istorii variatsionnogo ischisleniya v tselom i vklade otechestvennykh matematikov [On the history of the calculus of variations
in general and the contribution of Russian mathematicians]. Trudy Mezhd. konf. Rossiyskogo natsional'nogo komiteta po istorii i filosofii nauki i tekhniki RAN, posvyashchennoy 90-letiyu IIYETRAN im. S.I. Vavilova [Proc. of Int. conf. of Russian National Committee on the History and Philosophy of Science and Technology of the Russian Academy of Sciences, dedicated to the 90th anniversary of the IIET RAS named after S.I. Vavilov]. Moscow, 2022, pp. 433-436.
12. Bogatov YE.M. On the history of the fixed point method and the contribution of Soviet mathematicians (1920s-1950s). Chebyshevckiy sbornik, 2018, vol. 19, no. 2, pp. 30-55 (In Russian).
13. Kantorovich L.V. Approximate solution of functional equations. UMN, 1956, vol. 11, no. 6(72), pp. 99-116 (In Russian).
14. Leray J., Schauder J. Topology and functional equations. Ann. Sei. École Norm. Sup., 1934, vol. 61, pp. 45-73 (In French).
15. Schmidt E. The theory of linear and nonlinear integral equations. Part III. About the solution of the nonlinear integral equation and the branching of its solutions. Math. Ann., 1908, vol. 65, no. 3, pp. 370-399 (In German).
16. Bogatov YE.M., Mukhin R.R. On the development of nonlinear integral equations at an early stage and the contribution of Russian mathematicians. Chebyshevckiy sbornik, 2021, vol. 22, no. 3, pp. 312-345 (In Russian).
17. Vaynberg M.M., Trenogin V.A. Teoriya vetvleniya resheniy nelineynykh uravneniy [Theory of branching of solutions of nonlinear equations]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 527 p.
18. Nekrasov A.I. Tochnaya teoriya voln ustanovivshegosya vida na poverkhnosti tyazheloy zhidkosti [Exact theory of waves of steady state on the surface of a heavy liquid]. Moscow, AN SSSR Publ., 1951. 96 p.
19. Ziedler E. Nonlinear functional analysis and its applications I: fixed-point theorems. New York, Springer Publ., 1993. 898 p.
20. Yushkevich A.P. Izistorii vozniknoveniya matematicheskogo analiza [From the history of the emergence of mathematical analysis]. Moscow, Znaniye Publ., 1985. 66 p.
21. Poincaré N. Memory on the curves defined by a differential equation (I). Journal de Math., 1881, vol. 7, pp. 375-422 (In French).
22. Poincaré N. Memory on the curves defined by a differential equation (II). Journal de Math., 1882, vol. 8, pp. 251-296 (In French).
23. Kitayev D.B. Razvitiye kachestvennoy teorii differentsial'nykh uravneniy vXIX stoletii. Diss. kand. f.-m.n. [Development of the qualitative theory of differential equations in the 19th century. Cand. phys. and math. sci. diss.]. Mosocw, 2011. 151 p.
24. Bendixson I. On curves defined by differential equations. Acta Mathematica, 1901, vol. 24, no. 1, pp. 1-88 (In French).
25. Rabinowitz P.H. Some global results for nonlinear eigenvalue problems. Journal of functional analysis, 1971, vol. 7, no. 3, pp. 487-513.
26. Mukhin R.R. From the history of the concept of structural stability. Chebyshevckiy sbornik, 2021, vol. 22, no. 2, pp. 417-436 (In Russian).
27. Kreyn M. G., Rutman M. A. Linear operators leaving a cone invariant in a Banach space. UMN, 1948, vol. 3, no. 1(23), pp. 3-95 (In Russian).
28. Krasnosel'skiy M.A. Polozhitel'nyye resheniya operatornykh uravneniy [Positive solutions of operator equations]. Moscow, FIZMATGI3 Publ., 1962. 394 p.
39. Amann H. Nonlinear operators in ordered Banach spaces and some applications to nonlinear boundary value problems. Nonlinear Operators and the Calculus of Variations. Proc. of Lecture Notes in Mathematics. Berlin, 1976, pp. 1-55.
30. Anishchenko V.S. Stability, bifurcations, catastrophes. Sorosovskiy obrazovatel'nyyzhurnal, 2000, vol. 6, no. 6, pp. 105-109 (In Russian).
31. Arnol'd V.I. Obyknovennyye differentsial'nyye uravneniya [Ordinary differential equations]. Moscow, MTSNMO Publ., 2012. 344 s.
32. Hopf E. A branch of a periodic solution from a single stationary solution of a differential system. Ber. Math.-Phys. Sachs. Akad. Wiss., 1942, vol. 94, pp. 1-22 (In German).
33. Korzukhin M.D., Zhabotinskiy A.M. Matematicheskoye modelirovaniye khimicheskikh i ekologicheskikh avtokolebatel'nykh system [Mathematical modeling of chemical and ecological self-oscillatory systems]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 440 p.
34. Mukhin R.R. Evolution of the main provisions of the theory of stability. Chebyshevskiy sbornik, 2022, vol. 23, no. 4, pp. 322-344 (In Russian).
35. Bogatov YE.M. Ob istorii geometricheskikh metodov nelineynogo analiza [On the history of geometric methods of nonlinear analysis]. Trudy XVIII mezhd. konf. «Algebra, teoriya chisel i diskretnaya geometriya: sovremennyye problemy, prilozheniya i problemy istorii» [Proc. of XVIII int. conf. "Algebra, number theory, and discrete geometry: modern problems, applications, and problems of history"]. Tula, 2020, pp. 317-321.
36. Bogatov E.M. Key moments of the mutual influence of the Polish and Soviet schools of nonlinear functional analysis in the 1920s-1950s. Antiquitates Mathematicae, 2017, vol. 11, pp. 131-156.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ / INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Богатов Егор Михайлович, к.ф.-м.н., доцент, Филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» в г. Губкине Белгородской области, Старооскольский технологический институт им. А.А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСИС».
Bogatov Egor M., Cand. Sci. (Phys.-Mat.), Assoc. Prof., Branch of National Research University of Science and Technology "MISIS" in Gubkin town of Belgorod Region; Stary Oskol Technological Institute of National Research University of Science and Technology "MISIS".
