Об оптимизации динамики заряженных частиц в электростатическом поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.384

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2

А. Д. Овсянников

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Введение. Проблемам формирования и оптимизации динамики заряженных частиц в электромагнитных полях посвящены многие исследования. В частности, отметим [1, 2], где описывались проблемы оптимизации динамики пучка в ускоряющих структурах при различной параметризации этих структур. В [3, 4] изучались электростатические системы, являющиеся инжекторами для линейного ускорителя. При этом параметрами оптимизации выступали геометрические параметры систем и значения потенциалов на электродах. Однако в этих работах не даны аналитические представления вариации по оптимизируемым параметрам. Настоящая работа посвящена проблеме аналитического представления вариации исследуемого функционала в случае, когда варьируются граничные условия. Рассматривается задача оптимизации динамики заряженных частиц в электрическом потенциальном поле. В случае аксиально-симметрического поля можно описать плоскую задачу. В этом случае линейное вещественное пространство удобно отождествить с комплексной плоскостью. Комплексный потенциал задается в виде интеграла типа Коши. В качестве управляющей функции предлагается функция, заданная на границе области и определяющая внутри области аналитическую функцию. Внутри области исследуется динамика заряженных частиц и ставится задача оптимизации. Использование комплексного представления для поля позволяет получить явный вид зависимостей напряженности поля внутри области от управляющей функции на ее границе и найти необходимые условия оптимальности для введенного функционала.

Постановка задачи. Рассмотрим в некоторой односвязной ограниченной области, принадлежащей комплексной плоскости, аналитическую функцию, представимую в виде интеграла типа Коши [5, 6]:

£ = г + г ■ г € О, п = х + г ' У € Ь. Здесь Ь - граница области О, предполагается гладкой замкнутой кривой, а функция у задана, непрерывна на кривой и удовлетворяет условию Гёльдера [5, 6]:

\у (т) - У (п2)\ < М |п1 - П2Г , 0.

Пусть ■ и т - вещественная и мнимая части функции у соответственно:

■ = И,еу (х + г ■ у), т = 1ту (х + г ■ у) . Чтобы подчеркнуть, что функция Г задается с помощью функции у, будем далее использовать обозначение

которое следует понимать, как краткое обозначение правой части формулы (1).

Овсянников Александр Дмитриевич — кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: ovs74@mail.ru. © А. Д. Овсянников, 2013

(1)

L

F = F (£,<р),

Аналитическую функцию Е можно рассматривать как комплексный потенциал, заданный в области О, при этом его вещественная и мнимая части являются гармоническими функциями вещественных переменных г и г в области О:

и (г, г) = ИеЕ (г + г ■ г), АИ = 0, V (г, г) = 1тЕ (г + г ■ г), АУ = 0.

(2) (3)

Будем считать, что функция и задает потенциальное электрическое поле в области О, где напряженность электрического поля имеет вид

ди ди

Ъ{г,г) ={г,г), Ег =- — , =

Используя то, что функция (1) аналитическая и, следовательно, выполняются условия Коши-Римана для функций (2) и (3), можно записать следующие соотношения:

Ж =

дг д£ ' дг

—1т

у)

'

Опишем в области О динамику заряженных частиц, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений

г = Ег (г, г, у) = — Ие

дЦ '

'£ = Ег (г, г, у) = 1т

(4)

(5)

Отметим, что напряженность поля в уравнениях (4), (5) определяется заданием функции у на кривой Ь. Запишем уравнения динамики (4), (5) в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений

!а

í (а у),

(6)

в которой а = (г, г, г, г)т - вектор новых фазовых переменных, а функции правых частей системы (6) имеют вид

( /1 \

/2 /з V /4 )

(

0.2

\

Ег (01,03, у) 04

\ Ег (01, аз, у) )

Уравнения (6) будем рассматривать с некоторыми начальными условиями

а (0) = (го, Уго, го, уго)Т е Мо С К4,

(7)

где Мо - некоторое компактное множество, такое, что для любой точки а (0) е Мо выполняется (го + г ■ го) е О.

Очевидно, что правая часть системы (6), определяемая аналитической функцией (1), непрерывна и непрерывно дифференцируема по компонентам вектора а.

При этом правая часть системы (6) непрерывно зависит от функции у по норме, получаемой следующим образом: Уу^ = тах \у (п)\.

Функцию у будем далее называть граничным управлением, или просто управлением. Классом допустимых управлений Б будем называть множество непрерывных на кривой Ь функций у, удовлетворяющих условию Гёльдера и таких, что у (п) € Ф при п € Ь, где Ф - выпуклое компактное множество на комплексной плоскости. Отсюда, в частности, следует ограниченность модуля у.

Будем предполагать далее, что решения системы (6) определены и единственны на некотором фиксированном интервале [0, Т] при начальных условиях (7) и всех допустимых управлениях.

На траекториях системы (6) введем функционал качества

I (у) = J Р (t, at) dt + q (&t) .

(8)

Здесь p и q - заданные неотрицательные, непрерывно дифференцируемые функции, at = a (t, у) - вектор решений системы (6) при выбранной функции управления у на кривой L и начальном условии (7).

Рассмотрим далее задачу минимизации данного функционала на допустимом классе управлений. Пусть у - некоторое допустимое управление. Вариацию управления Ду будем называть допустимой, если управление у = у + Ду тоже допустимое управление.

Вариация функционала. Нетрудно показать, что вариацию функционала (8) при допустимой вариации управляющей функции у, такой что ||Ду|| = max |Ду (п)\ ^ 0,

можно представить следующим образом:

SI (у, Ду)

da

da

(9)

Здесь величина За удовлетворяет системе уравнений в вариациях

^ дf г

-За=-За + Д^

где Д^ = f (аиу + Ду) - f (а4,у); За (0) = 0. Прибавим к вариации (9) выражение

(10)

hT

d r df r A „ —da - —da - Awf

dt da

dt = 0,

в котором Ь - некоторая вспомогательная векторная функция (размерности 4). Используя интегрирование по частям и начальные условия уравнения в вариациях (10), получим

SI (у, Ду)

(dp(t at) т df dT i T

dt +

+

dq(aT)

da

+ hT (T)

SaT.

Пусть функция Ь удовлетворяет уравнению

> = " (I)

с терминальными условиями

(дд(ат)\Т

Тогда выражение для вариации функционала (11) примет вид

т

51 (у, Ау) = — ! ЬтА^fЛ. (13)

о

Необходимые условия экстремума.

Теорема 1. Пусть уо доставляет минимум функционалу (8). Тогда при любой допустимой вариации Ау вариация функционала 51 (уо, Ау) ^ 0.

Доказательств о. Допустим, что существует допустимая вариация Ау такая, что 51 (уо, Ау) < 0. Вариация управления Ау = у — уо, где у - допустимое управление. Так как Ф - выпуклое множество, то допустимыми также будут управления уе = уо + еАу с £ е [0,1]. Рассмотрим величину А^f в вариации (13). Очевидно, что имеют место следующие равенства:

ь

Отсюда следует, что 51 (уо,£Ау) = £51 (уо, Ау). При этом А1 (уо,£Ау) = £51 (уо, Ау) + о (£). Очевидно, что при достаточно малом £ получим А1 < 0, что противоречит предположению о том, что управление уо доставляет минимум. Заметим, что уравнения динамики (6) могут быть преобразованы так:

здесь £ = г + г ■ г и £ = г + г ■ г, черта над правой частью означает комплексное сопряжение. Соотношение (14) становится очевидным, если воспользоваться таким соотношением:

Система в вариациях (10) также может быть записана в комплексном виде

тггУ (п-03 (4-0

где 5£ = 501 + г ■ 5в,з.

Отметим также, что в новых комплексных выражениях (обозначениях) удобно выразить и сопряженную систему (12):

дС

Х = -а + р,

в которой Л = 1г2 + г ■ /14, а = ]г1+1-]г3, 0 =■§£+{■■§£, р = ^ + г ■ ^.

С учетом полученных выражений и обозначений вариацию функционала можно записать следующим образом:

т т

51 (Ду) = -1 (Н2Д^Ь + НаД^!а) ¿г = -Яе! X (г) • Д¡2 - г • Д^/4) ¿г =

1

Яе J X (г)

_1_ Г Ау(77) 2™{ (*?-£(*))'

-¿п

(15)

¿г.

Пусть граница Ь имеет параметризацию:

п = X (з) = х (з)+г • у (з), з € [0,5].

Тогда комплексный интеграл по контуру в формуле (15) может быть заменен на определенный интеграл, в результате имеем

т

61(Ау) = Яе IX (£) • I

1 [ Ду> (*(*))

2

(х (з) - С (г))

В представлении (16) можно поменять порядок интегрирования:

¿г.

(16)

О 1

1 [

(х (в) - С (г))2

О

Ду (х (з)) • х(з)

X (г)

(х (з) - С (г))2

¿г

¿з =

¿з

О

= Яе ! Ду (х (з)) • X (з) и (з) ¿з.

Здесь и (в) = 2^/

Л. Г Л(*) „ ,н 2™ -I Ьс{*)-№Г

Теорема 2. Пусть у0 доставляет минимум функционалу (8). Тогда при любой допустимой вариации Ду

О

Яе! Ду (х (з)) • х(з) и (з) ¿з > 0.

Доказательство проводится аналогично теореме 1.

1

Замечание. Полученные в работе результаты, очевидно, можно распространить на случай кусочно-гладкой границы области G. При этом можно также рассмотреть функционал на пучке траекторий, исходящий из множества Mo.

Заключение. В работе рассмотрена задача оптимизации динамики заряженных частиц в аксиально-симметрическом электростатическом поле. Получены выражения для вариации оптимизируемого функционала и условия оптимальности. На основе аналитического выражения для вариации функционала могут быть построены направленные методы оптимизации. Реализация на практике оптимизированных полей возможна различными способами.

Литература

1. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

2. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Svistunov Yu. A., Durkin A. P., Vorogushin M. F. Beam dynamics optimization: models, methods and applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A 558. 2006. P. 11-19.

3. Kozynchenko S. A., Ovsyannikov D. A. Optimization mathematical models of beam dynamics in the injection systems with real geometry // 4th Intern. Scientific Conference on Physics and Control — PhysCon 2009. 1—4 September 2009. Catania, Italy. (URL: www.physcon2009.diees.unit.it.)

4. Kozynchenko S. A., Svistunov Yu. A. Application of field and dynamics code to LEBT optimization // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A 558. 2006. P. 295—298.

5. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций / пер. с нем. И. А. Евграфова. М.: Наука, 1968. 648 с.

6. Алешков Ю. З. Лекции по теории функций комплексного переменного. СПб.: Изд-во C.-Петерб. ун-та, 1999. 196 с.

Статья рекомендована к печати проф. Н. В. Егоровым. Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.