CC BY
2
Труды Карельского научного центра РАН. 2022. № 4. С. 57—66 Transactions of the Karelian Research Centre RAS. 2022. No. 4. P. 57-66 DOI: 10.17076/mat1562
_ ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ
Original articles
УДК 517.938, 517.977
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ РЕСУРСОВ ПО УРОВНЯМ ЭФФЕКТИВНОСТИ
А. М. Сазонов
Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН, ФИЦ «Карельский научный центр РАН» (ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910)
В статье рассмотрена задача оптимального управления инвестиционной политикой с шумпетеровской динамикой фондов с двумя уровнями эффективности на бесконечном времени. На основе принципа максимума Понтрягина найдены оптимальные в смысле максимизации прибыли объемы инвестиций для каждого уровня. Проведен качественный анализ динамической системы с произвольным переключением управления. Для каждого значения оптимального управления показана глобальная устойчивость соответствующего положения равновесия. Найдено инвариантное множество для исследуемой системы с переменной структурой. Получена оценка для момента времени, после которого прибыль будет сколь угодно мала. Поставлена задача о выживаемости экономической системы для двух и произвольного числа уровней эффективности. Найдены допустимые управления, обеспечивающие выживаемость.
Ключевые слова: управление; динамические системы; шумпетеровская динамика
Для цитирования: Сазонов А. М. Об оптимальном управлении распределением ресурсов по уровням эффективности // Труды Карельского научного центра РАН. 2022. № 4. С. 57-66. doi: 10.17076/mat1562
Финансирование. Финансовое обеспечение исследований осуществлялось из средств федерального бюджета на выполнение государственного задания КарНЦ РАН (Институт прикладных математических исследований КарНЦ РАН).
A. M. Sazonov. ABOUT OPTIMAL CONTROL OF RESOURCE ALLOCATION BY EFFICIENCY LEVELS
Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences (11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia)
The paper addresses the problem of the optimal control of the investment policy with Schumpeterian dynamics of capital stocks with two efficiency levels over infinite time. Pontryagin's maximum principle was used to find the investment volumes that are optimal for maximizing profit for each level. Qualitative analysis of the dynamical system with a variable structure characterized by optimal control values was carried out. The corresponding equilibrium for each optimal control value was proved to possess global stability. The invariant set for the investigated
system with variable structure was identified. The time instant after which the profit will be arbitrarily small was estimated. The viability problem for the economic system with two and an arbitrary number of efficiency levels was formulated. The admissible controls that ensure viability were identified.
Keywords: control; dynamic systems; Schumpeterian dynamics
For citation: Sazonov A. M. About optimal control of resources distribution over efficiency levels. Trudy Karel'skogo nauchnogo tsentra RAN = Transactions of the Karelian Research Centre RAS. 2022;4:57-66. doi: 10.17076/mat1562
Funding. The studies were funded from the federal budget through state assignment to the Karelian Research Centre RAS (Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre RAS).
Введение
В начале XX века Й. Шумпетер предложил концепцию эндогенного экономического роста, в основе которого лежат два процесса: создание новых технологий - инновации и их заимствование - имитации. Математическая формализация теории эндогенного экономического роста предложена в работах [2, 4-6].
В статье А. А. Шананина и Г. М. Хенкина [6] описана модель динамики мощностей следующего вида:
И = (1 - ')ХгИ + '-гХ-Иг-!, (1)
где г = 1, 2,... с граничными и начальными условиями
рост на уровне г за счет производства на данном уровне, а второе ^-iX-iM—i характеризует вклад с предыдущего уровня г — 1. В работе [6] был получен вид предельного распределения мощностей.
В настоящей статье предлагается оптимальная в некотором смысле модель шумпе-теровской динамики. При этом стимулом для построения предлагаемой модели послужила работа С. М. Асеева и А. В. Кряжимского [1], в которой предложена модель оптимального инвестирования в основные производственные фонды вида
x = u — 5x,u(t) е U = {u е R1, 0 ^ u ^ Umax}, (3)
х(0) = х0,
(4)
N
Mo(t) = 0,Mi(0) ^ 0,j^Mi(0) > 0, J(x,u)= I e-pt[ax(t)-bx2(t)-cu(t)]dt^max,
i=i (2) l
Щ0) = 0 при г> N.
Здесь Иг(^) - объем мощностей предприятий на уровне г, 'г - доля средств, которую предприятия на уровне г тратят на развитие производства на уровне г + 1, Хг - удельная прибыль, получаемая на уровне г (прибыль от единицы товара в единицу времени), г = 1,..., N. При
этом ^i(t) = а + в(1 —
Г мк
-), а > 0, в > 0
Г мк
к = 0
константы, обозначающие интенсивность инноваций и имитаций соответственно.
В представленной модели уровни различаются прибылью, получаемой за единицу времени от единичной мощности. Переход предприятий с уровня г возможен только на следующий более высокий уровень г + 1. При этом число предприятий, переходящих за единицу времени с уровня г на уровень г + 1, пропорционально количеству предприятий на уровне г в данный момент времени. Первое слагаемое (1 — 'г)ХгИг характеризует экономический
(5)
где х - основные производственные фонды (капитал), управление и(1) - количество единиц оборудования, приобретаемого в единицу времени, следующую за моментом времени I (инвестиционная политика), постоянные 5 > 0 - удельная скорость износа оборудования, р > 0 - коэффициент дисконтирования, а = п — С > 0, где п > 0 - максимальная цена, по которой товар может быть продан на рынке, £ > 0 - стоимость производства единицы продукта, величина Ь > 0 такая, что П - максимальный доступный объем рынка, с > 0 - стоимость единицы капитала, хо > 0 - начальное состояние, итах > 0 - максимально возможный объем инвестиций.
В работе [1] на основе принципа максимума Понтрягина было построено оптимальное управление в задаче (3)-(5).
В настоящей работе представлено развитие модели (3)-(5) с шумпетеровской динамикой вида (1). Рассматривается экономическая система из двух уровней эффективности такая,
k = 0
что часть средств на каждом уровне используется для производства на текущем уровне, а другая часть - для развития производства на следующем уровне. При этом предполагается, что часть средств на втором уровне эффективности, используемая для развития производства на следующем уровне, накапливается для создания нового уровня эффективности. Эти средства могут вкладываться в научные разработки или накапливаться для формирования начального капитала на новом уровне эффективности.
Модель оптимального инвестирования в основные производственные фонды предприятия с шумпете-ровской динамикой
Рассмотрим следующую задачу оптимального управления инвестиционной политикой с шумпетеровской динамикой следующего вида:
х1 = и1 — 51х1 + (1 — ф1)х1,
(6)
Х2 = и2 — 52Х2 + (1 — ф2)Х2 + ф1Х1,
хг(0) = х0, г = 1,2, (7)
п(г) = (п1(г),п2(г)) е и = {(у1,у2) е м2, (8) Уг > 0, ух + у2 ^ итах,г = 1, 2},
0 < фг < 1, г = 1, 2, (9)
о 22
аг(1 — Фг)Хг(^)
г=1
(10)
— Ьг(1 — фг) х{(Ь) — сгщ(г)
& —> таХ.
Здесь Хг - основные производственные фонды (капитал) на уровне г; управления щ(1) -количество единиц оборудования, приобретаемого в единицу времени, следующую за моментом времени I на уровне г (инвестиционная политика). Функции иг измеримы (по Лебегу). Заданные постоянные: 5г > 0 - удельная скорость износа оборудования на уровне г; р > 0 - коэффициент дисконтирования; аг = Пг — С > 0, где Пг > 0 - максимальная цена, по которой товар может быть продан на рынке, для уровня г; £г > 0 - стоимость производства единицы продукта_ на уровне г; величины Ьг > 0 такие, что П - максимальный доступный объем рынка для уровня г; фг - доля средств на уровне г, используемая для развития производства на следующем уровне г + 1; сг > 0 - стоимость единицы капитала на уровне г; х0 > 0 - начальный объем фондов на уровне г; итах > 0 -
максимально возможный объем инвестиций. Обозначим Д(Х,и) = (Д1(х,и),Д2(х,и)) вектор правых частей системы (6), д(х,и) =
2 2 2 ^ (аг(1 — фг)хг(^) — Ьг(1 — фг) х2(г) — сгщ(г)), г=1
где х = (хх ,х2), и = (их ,и2).
Замечание 1. В отличие от модели (1)-(2) в данной работе величины фг, г = 1, 2, полагаются постоянными.
Замечание 2. Величины фг, 5г в модели (6)-(10) в данной работе полагаются такими, что 5г > 1 — фг, поскольку в случае 5г < 1 — фг имеем Хг(1) ^ ж при I ^ ж, что противоречит экономической интерпретации хг(^), а случай 5г = 1 — фг не имеет смысла рассматривать по причине его аналитической очевидности. С экономической точки зрения это означает, что скорость износа оборудования 5г на каждом уровне превышает скорость роста фондов за счет внутренних резервов 1 — фг. В рассматриваемой задаче это ограничение экономически обосновано, поскольку инвестиции из внешних источников, иг, необходимы в том случае, когда собственные средства не покрывают износ. В противном случае экономический рост обеспечивается за счет внутренних резервов, и вследствие этого привлечение дополнительных внешних вложений требуется только для значительного расширения производства. Зачастую привлечение внешних вложений может быть убыточно для развития предприятия, если, например, речь идет о банковском кредите, который требует выплаты процентов. В данной статье задача расширения производства не рассматривается.
Для решения поставленной задачи (6)-(10) используется принцип максимума Понтря-гина.
Проверим выполнение достаточных условий существования оптимального управления, полученных в [1].
Условие 1 (А1). Существует такое Со > 0, что скалярное произведение
(х,Д(х,и)) < Со(1 + ||х||2) для любых Х, и.
Покажем, что это верно. Рассмотрим скалярное произведение
(х, Д(х, и)) = х1и1 — 5хх\ + (1 — фх)х2 + х2и2 — 52х'22 + (1 — ф2)х'2 + ф1Х1Х2.
Поскольку иг + и2 ^ итах, имеем следующую верхнюю оценку для скалярного произведения (х, /):
(х, /(х, и)) ^ итахХг + х1 + (1 — 5г — '1)х! + итахх2 + (1 — 52 — '2)х2 + '1х1х2.
Условие 2 (A2). Для любого х множество
Q(x) = {(z0, z) Е R3 : z0 < g(x, u), z = f (x, u),u Е U}
____11 112 2 2
Рассмотрим евклидову метрику ||х|| = х! +х2
Вычтем из Со(1 + ||х|12) полученную верхнюю финна по управлению оценку для (х,/).
выпукло.
Согласно (1.7) из [1, с. 12] условие (А2) в рассматриваемой задаче выполнено автоматически, поскольку управляемая система аф-
Со(1 + ||х||2) — umaxX\x\ + (1 — ¿1 — ¥i)x? + umaxX2 + (1 — ¿2 — ¥2^ + ¥lXlX2 = (Со + ¿1 + ¥l — 1)х1 — umax Xl + (Со + ¿2 + ¥2 — 1)x2 — umaxX2 + Со — ¥1X1X2 •
Выделим полные квадраты ( у X1 — X2 )2 + (x1)J Со + ¥1 + ¿1 — ¥f — 1
2J Со + ¥1 + ¿1 — Ч- — 1
+ ^ X2\J Со + ¥2 + ¿2 — 2 —
V Со+¥2+¿2 — 2 2
+ Со —
4(Со + ¥1 + ¿1 — f — 1), „,2
ч4(Со + ¥2 + ¿2 — 2) Отсюда получаем, что при
Со ^
4(Со+^ +¿1-1)
+
4(Со +Ч2 +¿2-2)
условие (А1) выполняется. Очевидно, что если Со достаточно большое, то данное неравенство и, следовательно, условие (А1) выполнено. Рассмотрим в качестве примера Со = итах +2. Ясно, что итах +2 > 11. Подставим Со = и"тах+2 в правую часть неравенства. Учитывая '1 < 1, имеем
и2
A^max + ¥1 + ¿1 +1 — ^ ),
+
2
A(u2max + ¥2 + ¿2)
ом, показано
условие (А1) выполнено
1
< - • 2
Таким образом, показано, что при Со = umax+2
Условие 3 (А3). Существуют такие положительные функции ш и заданные на [0, то), что ш(£) ^ +0, ¡л(£) ^ +0 при £ ^ то, и для любой допустимой пары (х, и) выполняются неравенства
е-р тах |^(х(^),и(^))| ^ л(í),í ^ 0,
п£и
e-ptlg(X(t),u(t))ldt < u(T),T ^ 0^ (11)
it
При этом, если функция /(¿) суммируемая, (11) выполняется автоматически. В этом случае функцию ш можно определить как
г <х
ш(т)= л(г)ги,т ^ 0.
■)т
Проверим выполнение условия (А3). Покажем, что х^(£) ограничены. Решив систему (6), имеем
X1(t)
= e-(5i+^i-1)t
х + J u1 (т)e(Sl+4l-1)rdr
X2(t) = e-(*2+42-1)t^0 + Д u2(ri)
+ ¥ie-№+4i-1)Ti X?
+ J ui(r2)e(Sl+4l-1)T2 dr2^ j e(S2+42-1)T1 dr^J •
Поскольку ui ^ umax, получим
X1
(t) < e-№+4l-1)X +
¿1 + ¥1 — 1
X2(t) < e-(s2+42-1)tX02 + umax
2 ¿2 + ¥2 — 1
+ e-($i+<fi-1)
¥iX?
+
¿2 + ¥2 — ¿1 — ¥1 ¥1 umax
(12)
(13)
(¿1 + ¥l — 1)(¿2 + ¥2 — 1)'
60
2
u
max
2
u
max
max
max
2
2
u
u
u
max
max
Из (12) и (13) очевидно, что xi(t) ограничены. Следовательно, функция g(x, u) = ai(1 - pi)xi(t) - bi(1 - vi)2x\(t) - ciui(t) + a2(1-^2)x2(t)-b2(1 - p2)2x1(t)-C2U2(t) также ограничена.
Очевидно, max \g(x,u)\ ^ |ai(1 - pi)xi(t)
- bi(1 - pi)2x2i(t) + a2(1 - P2)x2(t) - b2(1-
x22
(t) + (ci +C2) Umax \. Рассмотрим функцию fi(t) = e-pt\(ai(1 - pi)xi(t) - bi(1 - <pi)2xl(t) + a2(1 - V2)x2(t) - b2(1 - P2)2x22(t)) + (ci + C2)umax\ + k, где константа k > 0. Ясно, что e-pt max \g(x(t),u(t))\ < fi(t). Поскольку fi(t)
суммируемая, то условие (А3) выполнено.
Таким образом, по теореме 2.1 из [1] в рассматриваемой задаче существует оптимальное допустимое управление. Гамильтониан имеет вид
H =(^i - cie-pt)ui + (fa - C2e-pt)u2 + h(x, f),
где 'ф = (^i, Ф2) - вектор сопряженных переменных, а слагаемое h(x, ф) не содержит управления u. Уравнения для сопряженных переменных имеют вид
= +uiф\ —u\i^2 +e-ptaiui —
— 2hiu2xi
„ Ф2 = —62Ф2 +U2 Ф2 +e-pta2U2 — 2h2u2x2.
Система (6), (14) - линейная неоднородная, ее решение (x\(t),x2(t),^\(t),^2(t)) удовлетворяет условию асимптотической стационарности, представленному в [1]:
H = lim H(x*,x2,t,fa(t),fo(t)) = 0.
Обозначим qi = — Cie-pt, i = 1 ,2. Согласно принципу максимума Понтрягина оптимальное управление и* имеет вид
'(0, 0), если qi < 0,q2 < 0,
(0, Umax), если qi < 0,q2 > 0,
(Umax, 0), если qi > 0,q2 < 0,
XUi,m), если qi > 0,q2 > 0,
(15)
где
(Ui,U2) = <
(Umax, 0), (0, U'max^
(U*1,U*2),
^ > 1, q2 '
q2 ' л
U*i + U*2 = Um
^ = 1.
q2
Очевидно, с экономической точки зрения, если некоторое дг < 0, то это означает, что инвестирование в фонды на данном уровне эффективности г нецелесообразно. В случае, когда дг > 0, г = 1,2, распределение инвести-
ций определяется соотношением
qi
q2 :
которое
показывает, вложения в какой уровень обеспечат большую прибыль. В такой доминирующий уровень оптимально инвестировать все доступные средства. Если д1 = д2, т. е. уровни равнозначны, то конкретное распределение (и\,и2), где и\ + и*2 = итах, не имеет значения, поскольку прибыль будет одинакова. Следует заметить, что на практике случаи равенства д1 = д2, д1 =0 и д2 = 0 невозможны хотя бы потому, что в экономике все величины вычисляются приближенно. Таким образом, при дальнейшем анализе откажемся от рассмотрения этих случаев. Вид решения (6), (14) не позволяет использовать его для дальнейшего уточнения оптимального управления.
Исследуем динамику системы при и, принимающем одно из значений, которое дается принципом максимума Понтрягина, т. е. определяемое по формуле (15). Для этого рассмотрим системы, получаемые при возможных значениях оптимального управления и* = (и*,и2). Рассмотрим первый случай и* =
(0,10).2Имеем
x'i = Sixi + (1 — Pi)xi,
Х2 = —52x2 + (1 — V2)x2 + Vixi.
(16)
(14)
При u* = (0, Umax) получаем следующую систему уравнений:
xi = —5ixi + (1 — vi)xi
x = Umax — 52x2 + (1 — ^2)x2 + Vixi. Если u* = (umax, 0), то система имеет вид
x'i = Umax — 5ixi + (1 — Vi)xi x2 = —52x2 + (1 — V2)x2 + Vixi.
(17)
(18)
Таким образом, для каждого возможного значения оптимального управления и* = (и*,и2) получаем положение равновесия соответствующей системы
/ * _
(xl, x2) =
((0,0)
(0
(
(ui,u2) = (0, 0),
J2+m2—г ), (u*,u2) = (0,umax),
ill
3TT )
&1+Vl-i ' (5l+Vl-i)(&2+V2-i)
K(u*i,u2) = (Umax, 0).
Исследуем полученные равновесия на предмет глобальной устойчивости. Для этого используем теорему об асимптотической устойчивости по первому приближению. Поскольку и* -константы во всех случаях, то матрица Якоби Д' для каждого оптимального управления и* имеет вид
—5i — Vi + 1 0
Vi —52 — V2 + 1
*
u =
и
Ее собственные числа: Л1 = —¿1 — щ +1 < 0, Л2 = —¿2 — Щ2 + 1 < 0. Следовательно, поскольку системы (16)—(18) линейны, каждое из равновесий (х1 , х*), соответствующее своим значениям оптимального управления и* = (и*, и**), глобально асимптотически устойчиво.
Исходя из вышесказанного, имеем динамику системы следующего вида: при каждом оптимальном и* = (и*,и2) траектория будет приближаться к своему глобально устойчивому равновесию (х*(и*),х2(и*)), положение которого будет изменяться при переключении управления согласно формуле (15).
Рассмотрим систему с переменной структурой при условии (15) следующего вида:
'Xi = u\j - 5\x\ + (1 - ¥i)XI Х2 = u2j - ¿2X2 + (1 - ^2)X2 + ^1X1,
j = 1, 2, 3.
u1i,u2i) = (0,0)
J12, u22) = ui3, u23)
(0, umax) (umax, 0).
(19)
(20)
Теорема 1 (об инвариантном множестве). Система (19) при любом из условий (20) имеет инвариантное множество П = {(х1,х2) €
r2 : 0 < xi < ^-1
ЗГ,0 < X2 <
¿2+^2-1
+
(&1+^1-1)(&2+^2-1) -
Рассмотрим поведение траекторий внутри данной полосы. Найдем точки пересечения прямой хх = с изоклиной Х2 = 0 при
различном оптимальном управлении:
• при (и1,и2) = (0, 0):
Ч = ( итах _У1 У'тах_).
41 (¿1+^1-1, (¿1+^1_1)(г2+^2_1))>
• при (и*,и**) = (0, итах):
= ( итах итах I__<Р1итах ).
42 ( ¿1+^1-1 , ¿2+^2-1 + (б1+Р1-1)(б2+Р2-1) )>
• при (и\,и2) = (итах, 0):
Q = ( 0+7-
ф1 Um
^г ) = Qi.
¿1+<^1-1' (¿1+^1-1)(¿2+^2-1)
Значит, наивысшая точка пересечения (с наибольшим х2) - это точка Ч =
( Umax ( ¿1+^1-1
1+^1-1 ' ¿2+^2-1 + (¿1 ' смотрим поведение траекторий на прямой
Х2 = ¿2+^2=1 + (¿1+У1-\)(Г+У2-1) • Очевидно,
данная прямая находится выше всех возможных изоклин Х2 = 0, за исключением единственной точки Q2 ее пересечения с изоклиной
Х2 = "("Х^-Т (при (u\,u2) = (0,umax)). Следовательно, при x1 € [0, ¿"^--у ] имеем Х2 < 0
при x2 = + (г 1+У1-ш°2+У2-1), что
означает, что все траектории пересекают пря-
Umax I "max
мУю x2 = s+a-1 + (г 1+У1-1)(2+У2-1) сверхУ
вниз (в направлении убывания Х2). Рассмотрим отдельно точку Q2. Имеем X1Q2) < 0, Х2 (Q2) = 0, следовательно, получаем движе-
Umax 1 Umax
ние по прямой Х2 = ¿2+a-T + (г 1+^1-1)^2+^2-1) в направлении убывания Х1. Кроме того, Х2 < 0 при Х2 = R2 для любой постоянной
—1)). Рас-
Замечание 3. Смысл теоремы 1 состоит в том, что хотя мы не знаем моменты переключения системы, мы можем определить, где сосредоточено движение системы (множество П). Таким образом, мы локализовали движение, т. е. оптимальную траекторию. На практике крайне затруднительно реализовать конкретные моменты переключения в экономических системах, следовательно, невозможно реализовать оптимальную траекторию, и тем самым мы получаем неоптимальное движение. Однако, согласно теореме 1, при любых моментах переключения движение находится в П.
Доказательство. Поскольку х1 < 0 при х1 = ¿Д--! для любого управления и*, траектории пересекают прямую х1 = справа налево (в направлении убывания х1 ). Значит, все траектории входят в полосу х1 ^ ¿Ц'1с-1 и не выходят из нее. Кроме того, поскольку х1 < 0 при х1 = К для любой постоянной К ^ ¿1+'^1:-1, траектории входят в любую полосу х1 ^ К и не выходят из нее. Следовательно, полоса х1 ^ ¿Ц'х--1 является притягивающим множеством.
62
R2 >
12 ^ ¿2+^7-1 + (¿1+^1-1)№+<?2-1) . тельно, траектории входят в любое множество
П(К1,К2) = {(х1,х2) € к2 : 0 < х1 < К1, 0 <
х2 ^ К2} и не выходят из него. Таким образом, множество
Следова-
П= <J (X1,X2) е R2 : 0 < Xi <
¿1 + ¥1 - 1'
0 < X2 <
+
¥iur,
¿2 + ¥2-1 (¿1 + ¥i - 1)(^2 + ¥2 - 1)
является инвариантным и притягивающим.
□
Естественно, модель (6)-(10) функционирует на конечном промежутке времени. Это связано с тем, что коэффициенты ¿г, щг, а%, Ьг, Сг определяются конкретными экономическими условиями и технологиями. Но бесконечный промежуток времени управления позволяет управлять так, что к концу промежутка существования модели (6)-(10) экономическая система имеет некоторый объем ресурсов
(
и
u
max
u
max
для дальнейшего развития и реструктуризации, которая приводит к изменению указанных коэффициентов. Получим оценку прибыли начиная с достаточно большого момента времени, которую можно использовать при решении вопроса о реструктуризации.
Покажем, что функционал J * е для любого е > 0 начиная с некоторого момента Т. Представим J в виде J = 31 + 32, где
3г = ] е-Р[аг(1 — фг)хг(Ь)
т
— Ьг(1 — фг) х2 (Ь) — сгиг(Ь)Щ,
г = 1, 2. Слагаемые 31,32 относятся к первому и второму уровням эффективности соответственно.
Замечание 4. В данной работе исследуется случай, когда получаемая прибыль положительна (3 > 0). Случай убыточного производства (3 < 0) не рассматривается.
Обозначим кг = 5г + фг — 1 > 0. Напомним,
4
о
4
Х2(Ь) = е~ы(х0 + 1(и2(т1)+ф1в-к1Т1
о
х [х1 + 1 щ(т2)ек1Т2dТ2))ек2Т1 ¿п Таким образом, имеем
31 = ] е-р4 е-к14а1(1 — ф1) |х£щек1Т¿т) — си — е-2к1%(1 — ф1)2 |х£ + ^щек1Тйт
/ г \ +<х / г
—ф1) и+1 ^¿.и*/.^ча^ +„„,„/^М
4
4
т
* ^ е-рге-к т
т
-\-<Х!
= I е-(Р+кг)Ь т
а1(1 — ф1) [х!+и
— 1
к\
¿Ь
= аг (1 — ф1) е-(Р+к1)т + ^е-Рт - и™*, л е-(Р+к1)т
ур + к1 рк1 к1(р + ки у
/-, \ —р4 (к1Х1 итах —к,Т , итах\ ^ /л \ — Рг( к1Хо итах , итах\ ^
а1(1 -ф)е Чкхи+тте + *-ф1)е Ч кХРГктт + -ж) *
для любого е > 0.
Имеем 31 * е для любого е > 0 при Т ^ Т1 = — Р 1п
Р а1(1-^1) к1:_ Х + и
С1 Х1
+ ' Рк1
32 * I е-Р4е-Ыа2(1 — ф2) х02 + ^ ^ад + ф1е-к1Т1 ^ + £ щек1Т2йт2 j ек2Т1 J ¿п
+<х / г / Т1 \
* а2(1 — ф2) I е-(Р+к2)4 [х0 + ! [ итах + ф^1 Т1 (х° + итах] (е^ ¿т2)ек*Т1 )йт1 I ) ¿Ь
т V о V о
= а2(1 — ф2)( Хо е-(Р+к2)т +итах е-Рт итах е-(Р+к2)т + ф1Х1
ур + к2 рк2 к2 (р + к2) (к2 — к\)(р
-(Р+к1 )т
+ к2)
ф1Х°
(к2 — к\)(р + к2)
— (Р+к2)т + ф1 итах рт _
ф1 ит
к1к2р к1(к2 — к{)(р + к1)е-(Р+к1)т
63
2
тах
е
£
г
= a2(1 - V2)e-PT(e-k2T (___—___^_^
02(1 ¥2)e ^ Vp + k2 k2(p + k2) (k2 -ki)(p + k2))
+ e^T { f1Xi f1umax \ + umax + f1 umax
(k2 - ki)(p + k2) ki(k2 - ki)(p + ki) J pk2 kik2p
< a2(1 - ¥2)e-PT (^V --um^- ---f1*1 , л + ¥iX?
p + k2 k2(p + k2) (k2 - ki)(p + k2) (k2 - ki)(p + k2)
f1umax , umax , f1umax I
+--;--H -;—;- ^ £
ki(k2 - ki)(p + ki) pk2 kik2p
для любого £ > 0.
Имеем J2 ^ £ для любого £ > 0 при
T ^ T2 = - — in
P a (1 — f ) f k2x2-Umaœ + (k +У1 )u„ax У1 x? +У 1 Umaœ___^
02(1 f2) ^ k2(p+k2) + pk1k2 k1(k2-k1)(p+k1 ) (k2-k1)(p+k2) )
£
Получаем J ^ е для любого е > 0 при T ^ max(Ti,T2).
Задача о выживаемости экономической СИСТЕМЫ
Поставим задачу о выживаемости двухуровневой экономической системы. Выживаемость экономической системы означает, что ни один из уровней эффективности не исчезает, т. е. объем фондов на каждом уровне должен быть отделен от нуля в любой момент времени. Таким образом, на управление накладывается дополнительное ограничение, обеспечивающее выживаемость системы.
Обозначим Хг = const > 0 минимально допустимый объем производственных фондов на г-м уровне. Тогда получаем задачу о выживаемости следующего вида:
'Х1 = U1 - ¿1Х1 +(1-^1)Х1 = /1 (Х1, Х2 ,U1,U2), Х2 = U2 -¿2Х2 + (1-^2)Х2 + ^1Х1 ,= /2 (Х1, Х2, U1, U2),
Хг(£) ^ Хг, t ^ 0, г = 1,2, Хг(0) = Х0 ^ Хг, г = 1, 2,
U = (U1(t),U2(t)) € U = {(У1,У2) € R2,
У1 + У2 ^ Umax, Уг ^ 0,г = 1, 2}, 0 < рг < 1, г = 1, 2.
Таким образом, цель состоит в том, чтобы найти такое управление u = (U1,U2), при котором траектория не выходит из множества X = {(Х1,Х2) € R2 : Хг(£) ^ Хг,t ^ 0,г = 1, 2}, т. е. множество X должно быть инвариантным. Для этого необходимо, чтобы все
(21)
траектории пересекали границу дХ снаружи внутрь. Это означает, что вектор скорости / должен составлять острый угол с каждой нормалью пг на границе дХ, т. е. скалярное произведение каждой нормали на вектор правых частей (пг, /) > 0,г = 1, 2.
(П1,/) = /1(х1,х2,и1,и2) = и1 — ¿1Ж1
+ (1 — Щ1)Ж1 > 0.
Получаем и1 > хс1(51 + — 1) = й1.
(п2,/) = /2(х1,х2,и1,и2) = и2 — ¿2х2 + (1 — Щ2)х2 + Щх > 0.
Получаем и2 > х2(52 + щ2 — 1) — х1. Поскольку х1 > 0, можно рассматривать условие и2 > «2 (¿2 + Щ2 — 1) = «2. Учитывая ограничение (21), имеем следующую область допустимых управлений, обеспечивающих выживаемость и,и = {(и1,и2) € : «1 ^ и1 ^ итах — «2, «2 ^ и2 ^ итах — «1}.
Обобщим задачу о выживаемости, рассмотрев систему из п уровней эффективности вида
'х'1 = и1 — ¿1х1 + (1 — щ1)х1 = /1(х, и), хг = иг — ¿гхг + (1 — щг)хг + щг-1хг-1
= /г(x,u),
х - (х1 , ... хп) , и - (и1 ,..., и'П) ,
хг(£) ^ хг, £ ^ 0, г = 1,...,п, хг(0) = х0 ^ хг, г = 1,...,п,
и = (и1(г),...,ип(г)) € и =\(у1,...,уп)€кп,
£
i=1
Уг ^ umax ,yi ^ 0 ,i — 1,
,n
(22)
0 ^ Vi ^ 1, i = 1,
,n.
Требуется найти такое управление и = (щ,..., ип), при котором траектория не выходит из множества X = {(х1,...,хп) е Мп : хг(Ь) ^ хг,Ь ^ 0,г = 1,...,п}, т. е. множество X должно быть инвариантным. Для этого необходимо, чтобы все траектории пересекали дХ снаружи внутрь. Это означает, что вектор скорости Л должен составлять острый угол с каждой нормалью пг на границе дХ, т. е. скалярное произведение каждой нормали на вектор правых частей (пг,Л) > 0,
г = 1,...,п.
(п1,Л = ь(х, и) = и1 — 51X1 + (1 — ф1)х1 > 0. Получаем и1 > х1(51 + ф1 — 1) = и1.
(пг, Л) = Лг(х, и) = иг — 5гхг + (1 — фг)хг + фг-1Хг-1 > 0.
Получаем иг > хг(5г + фг — 1) — фг-1Хг-1. Поскольку фг-1Хг-1 > 0, можно рассматривать условие иг > хг(5г + фг — 1) = хг. Учитывая ограничение (22), имеем следующую область допустимых управлений, обеспечивающих выживаемость:
Uv = ^(ui,...,un) е R+ :
n
Iii ^ Ui ^ Umax — Uli, Uli ^ Ui j=2
n
^ umax ^ ^ ui,i — 1,...,n /
j=i,j=i J
Заключение
В работе рассмотрена задача оптимального управления инвестиционной политикой с шум-петеровской динамикой фондов с двумя уровнями эффективности на бесконечном времени. Для решения поставленной задачи используется принцип максимума Понтрягина. Показано существование оптимального управления. Получены и проанализированы необходимые условия оптимальности управления. Проведен качественный анализ динамической системы с произвольным переключением управления, принимающего значения (20). Для каждого значения оптимального управления показана глобальная устойчивость соответствующего положения равновесия. Найдено инвариантное множество для исследуемой системы с переменной структурой. Получена оценка момента времени, начиная с которого прибыль
будет сколь угодно мала. Поставлена задача о выживаемости экономической системы для двух и произвольного числа уровней эффективности. Найдены допустимые управления, обеспечивающие выживаемость.
Литература
1. Асеев С. М., Кряжимский А. В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды МИАН имени В. А. Стеклова. 2007. Т. 257. С. 3-271.
2. Гельман Л. М, Левин М. И., Полтеро-вич В. М, Спивак В. А. Моделирование динамики распределения предприятий отрасли по уровням эффективности (на примере черной металлургии) // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29, № 3. С. 460-469.
3. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.
4. Полтерович В. М. Теория эндогенного экономического роста и уравнения математической физики // Журнал Новой экономической ассоциации. 2017. № 2. С. 3-19. ао1: 10.1007/811135-0170624-2
5. Полтерович В. М., Хенкин Г. М. Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий // Экономика и математические методы. 1988. № 24. С. 1071-1083.
6. Хенкин Г. М, Шананин А. А. Математическое моделирование шумпетеровской инновационной динамики // Математическое моделирование. 2014. Т. 26, № 8. С. 193-201.
References
1. Aseev S. M, Kryazhimskii A. V. The Pontryagin maximum principle and optimal economic growth problems. Trudy MIAN imeni V. A. Steklova = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2007;257(3):3-271. (In Russ.)
2. Gelman L. M, Levin M. I. Polterovich V. M, Spivak V. A. Modeling of the dynamics of the enterprises distribution by efficiency levels (on an example of ferrous metallurgy). Ekonomika i matematicheskie metody = Economics and Mathematical Methods. 1993;29(3):460-469. (In Russ.)
3. Lee E. B., Markus L. Foundations of optimal control theory. Moscow: Nauka; 1972. 576 p. (In Russ.)
4. Polterovich V. M. The theory of endogenous economic growth and equations of mathematical physics. Zhurnal Novoi ekonomicheskoi assotsiatsii = The Journal of the New Economic Association. 2017;2(34):193-201. (In Russ.)
5. Polterovich V. M, Henkin G. M. Evolutionary model of the interaction of creating and borrowing technologies processes. Ekonomika i matematicheskie metody = Economics and Mathematical Methods. 1988;24:1071-1083. (In Russ.)
6. Henkin G. M, Shananin A. A. Mathematical modeling of the Schumpeterian dynamics of innovation. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations. 2014;26(8):3-19. (In Russ.)
Поступила в редакцию / received: 28.03.2022; принята к публикации / accepted: 11.05.2022. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflict of interest.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:
Сазонов Александр Михайлович
канд. физ.-мат. наук, младший научный сотрудник
e-mail: sazon-tb@mail.ru
CONTRIBUTOR:
Sazonov, Alexander
Cand. Sci. (Phys.-Math.), Junior Researcher
-
Transactions of the Karelian Research Centre of the Russian Academy of Sciences. 2022. No. 4
