Об оптимальном управлении отоплением зданий как процессом с распределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.783:658.512

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ОТОПЛЕНИЕМ ЗДАНИЙ КАК ПРОЦЕССОМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В.И. Панферов, Е.Ю. Анисимова

ON OPTIMAL CONTROL OVER HEATING OF BUILDINGS AS A DISTRIBUTED-PARAMETER PROCESS

V.l. Panferov, E.Y. Anisimova

Рассматривается задача оптимального управления тепловым режимом отапливаемых зданий. Получены необходимые условия оптимальности, сформулированные в форме принципа максимума. Проанализированы вычислительные аспекты и указан способ приближенной реализации оптимального управления.

Ключевые слова: отопление зданий, управление, принцип максимума, оптимальное управление.

The problem of optimal control over thermal conditions of the heated buildings is concerned. The necessary conditions of optimality formulated in the maximum principle are obtained. The computational aspects are analyzed and the way of approximate implementation of optimal control is stated.

Keywords: heating of buildings, control, maximum principle, optimal control

Ранее, в работах [1-3] тепловой режим зданий и задача оптимального управления данным объектом рассматривались в классе систем с сосредоточенными параметрами, т.е. его математическое описание представлялось обыкновенным дифференциальным уравнением. Однако, строго говоря, данный объект управления является объектом с распределенными параметрами, поэтому есть смысл перерешать задачу об оптимальном управлении для данного представления объекта: возможно, что при этом обнаружатся какие-то новые интересные особенности оптимального управления, какие не наблюдались ранее.

Далее рассматривается задача об оптимальном управлении режимом прерывистого отопления зданий. Необходимые условия оптимальности получены в форме принципа максимума: обязательность такого действия объясняется следующим. В теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, насколько нам это известно, нет достаточно общей формулировки принципа максимума, позволяющей решать все возможные постановки задач. По-видимому, это объясняется большим разнообразием и математических описаний объектов управления и са-

мих постановок задач оптимального управления. В связи с этим, как правило, условия оптимальности отыскиваются отдельно для каждого конкретного случая и лишь в некоторых частных ситуациях удается воспользоваться уже известными в науке результатами.

1. Постановка задачи

Пусть тепловой режим здания описывается следующей моделью [4-7]:

dt(x, т) д t{x, т)

дх

-=а

дх1

, 0 < х < L, т > 0;

фс,0)=*0(;с), 0 < jc < I; _>,ffl^=aB[/B(x)- *(0,т)],т > 0;

OX

(1)

(2)

(3)

_ха^0=ая[#(1>т) _,я(т)])Х>о; (4)

ОХ

cBmB^^-=u(x)-aBFCT М<М(0,т)]-а т

—^ок^ок I'?в (т)1> > 0> (5)

tB(0)=t°B, (6)

Панферов Владимир Иванович - д.т.н., профессор, заведующий кафедрой теплогазоснабжения и вентиляции ЮУрГУ; tgsiv@susu.ac.ru.

Анисимова Елена Юрьевна - ассистент кафедры теплогазоснабжения и вентиляции ЮУрГУ; 1§згу@зи-su.ac.ru.______________________________________________

Panferov Vladimir Ivanovich - PhD, professor, head of heat and gas supply and ventilation department of SUSU; tgsiv@susu.ac.ru.

Anisimova Elena Yurevna - lecturer of heat and gas sup-ply and ventilation department of SUSU; tgsiv@susu.ac.ru.

где ?(х, т) - температура в точке с координатой х по толщине стены здания в момент времени т, Ь - толщина стены здания, г°(х) - некоторая заданная функция, описывающая начальное температурное поле в стене, X- коэффициент теплопроводности материала стены здания, <хв и ая -коэффициент теплоотдачи соответственно для внутренней и наружной поверхностей стены, tв и % - соответственно температура внутреннего воздуха и наружной среды, св и тв - соответственно удельная теплоемкость и масса воздуха в здании, РСТ и Рок - площадь ограждений и окон здания, кок - коэффициент теплопередачи окон,

- температура внутреннего воздуха в начальный момент времени, и(х) - управление, в данном случае мощность системы отопления.

Оптимальное управление будем искать в классе кусочно-непрерывных функций, принадлежащих области

Щ,тЬ<и(г)<Щу, (7)

где 0дУ- установленная мощность системы отопления, минимальная мощность системы

отопления, как рекомендуется работой [3], эта мощность должна обеспечить поддержание температуры внутреннего воздуха на уровне 12 °С, исключающем выпадение конденсата на поверхностях ограждений.

Управление, удовлетворяющее указанным условиям, будем называть допустимым.

Предполагается также, что если задано некоторое допустимое управление, то система (1)-(6) имеет единственное решение, причем малому изменению управления соответствует малое изменение решения системы (1)-(6).

На множестве допустимых управлений зададим функционал

хк

/=[гв(т*)-4]2 + р/С[«(т)]Л, (8)

о

где хк - заданный промежуток времени, б - заданная функция, (3 - некоторый весовой коэффициент.

Поставим следующую вариационную задачу: среди всех допустимых управлений и(х) найти такое, чтобы соответствующее ему решение задачи (1)—<6) доставляло минимум критерию (8).

Управление и*(х), дающее решение поставленной задачи, будем называть оптимальным.

2. Принцип максимума

Для формулировки условий оптимальности введем функцию

Я=Ч/0(т)М(т)-рС[М(т)], (9)

где \|/0(т) удовлетворяет следующей системе уравнений:

</\|/0(х)

-свтв -

-аав/Ад|/(0,х)=0; дц/(х,х) | ад2\\/(х,х) 0

Н*вЪт +^ок^ок) ¥о(х)“

(10)

(П)

дх дхл

с начальными условиями

СвтвУо№)=-21{в(хк)~*в ]; О2)

у(х,хк)=0. (13)

Граничные условия для функции у(х,х) зададим в виде

а ^(0, х) - а - У У’- а у0 (т)=0; (14)

А дх

д\\1(Ь,х)

.. Г =ая1уСМ).

дх

(15)

Утверждение. Если допустимое управление и(х) доставляет минимум критерию (8), то оно должно максимизировать функцию Я, определенную соотношениями (9)-(15), т.е.

и*(х)=агЕ{8ир Я | < и(х) < Щ,у}.

3. Доказательство утверждения (принципа максимума)

Подстановка в уравнения (1)—(6) нового управления и(х) + Аи(х) приводит к отклонению решения от решения, полученного при управлении и(х). Следуя [8], решение, соответствующее управлению и(х), назовем номинальным. Возмущенное решение будет описываться следующими уравнениями:

<Э[ ?(х, х) + А/(лг, х)] д2[ *(х, т)+А/(х, т)]

Л ’

0<х<Ь, т>0; (16)

/(х, 0)+(х, 0)=(х), 0 ^ х < Ь; (17)

^5[/(0,т)+А;(0,т)]_ дх

= ав{[/в(т)+А^(х)]- |У(0,х)+Л/(0,х)]}, х > 0; (18)

Э[/(£,х)+А/(1,х)],

дх

--ая {[/(£,х)+М{Ь,х)] - гя(х)},х>0;

(19)

свтв

<1х

~аврсг {1(в СО+&в СО] - [ /(о, т)+Д*(0, т)]} -—^о/г^акП^вОО+^дСО]-*яС0Ьх >0» (20)

/В(0)+Д*В(0)=$. (21)

Если из системы (16)—(21) вычесть невозмущенную систему (1)—(6), то получим систему уравнений в приращениях

дАі(х, х) д2Д/(х,х)

хкЬ

дх

-=а

дх2

,0<х<Ь,х>0;

Дфс,0)=0, 0<х<Ь; дАф,х)

-X

-X

свтв'

дх дАі(Ь, т) дх

</Д^(х)

(ІХ

=ав [Мв (т) - Д*(0, х)], т > О; =анАі(Ь,х), т>0;

= Ди(х) - а в^сг х

(22)

(23)

(24)

х[Д*в(т)~ Д/(0,х)]-РОКДгв(х), т > О; Д/в(0)=0.

Введем в рассмотрение функционал 1*=1+М1+М2,

где

(26)

(27)

ті£

М,= Ц\|/(л:,х)

о о

тк

0*(х,х) д ^(х,х) —а

дх дх

Щ = |ч/0(т) {свтвЛв (х)/</х - и(х)+

(Іхс/т;

+авРст1*в(Т)~ *(0> Т)1+кок Рок 1/в (т) ~ *н (т)]} ^т-Здесь функции \|/(дг,т), ч/0(т) играют роль множителей Лагранжа [8].

Для произвольного допустимого управления и(т) и соответствующего ему решения задачи (1Н6)

/=/

независимо от выбора функций у(х,х), у0(х), будем выбирать эти функции таким образом, чтобы выполнялись условия (10)—(15).

Найдем приращение функционала I*, обусловленное вариацией управления:

А1*=А1+АМ1+АМ2. (28)

Приращение Д/ будет иметь вид

АІ=2[/в(хА:)-*в]Д/в(х&) +

тк

+р |{С[м(т)+Дм(т)] ~С[и(х)]}</х+

+0(|Д/в(х*)|), (29)

где выражение 0(*) означает величину порядка (*)•

Аналогично найдем, что

ті£

о о

тк

дАі(х,х) д А?(х,х) дх дх2

АМ2 = |у0(х){свтв сіАів(х)/дх-Аи(х)

дхдх\ (ЗО)

+а-в^сг №в (т) - Д?(°,т)]+кокрокА(в (х)№ • (31) Нетрудно показать, что

/ /м/(х,т)

дАі{х,х) дх

СІХСІХ =

о о

ті , £

= /— |[ч/(дг,т)Д/(лг,т)с&]Л-0 0

(25) - І |дЧ/(*,т).д;(л:, \К)ЬЛ(х, хк) -

00 * о

Хк І/ л / \

•у(*,0)А#(*,0)]Л- Г (32)

13 дх

0 0

т к Ь

Л\(/(х,т)

о о

хк

= І ЧЧ*.*)

Э Д/(дс,х) дх2

5Дг(х,х)

сіхсіх-

дх

і і о о

дц/(х,х) 0Дг(х,х)

дх

дх

дх

=

0

ті

дх

дх

й?Х —

0 0

(33)

ті

І’

0

ті

/ Ч>о СО ----- </х=у0 (х) Дґд (х)|** -

І

^УоСО

дх

-Аів(х)дх.

(34)

Поэтому, учитьшая (13), (23), (24), (25), приращение ДМ1 примет вид:

хкЬ Г д.,,,_ч а2.

АМЛ =- | |д?(х,х)

<Зі|/(х,х)+^5 у(х,х)

Эх

тгГая Эу(£,х)

+ <4 -у-у(Х,х)+-У-^

о

ті

а

сЬс Эч/(0,х)

^-\|/(0,х)+—; л ас

дх1 А ?(і,х)с?х-

Д/(0,х) й?х-

дхс1х +

-а р^-Ч'(0,т)Д/я(х).

Приращение для ДМ2 с учетом (27) будет иметь вид:

АМ2 = свтвЦ10(хк)А1в(хк) -

хк

- \{свтв 0(х)/дх-[авРСТ +кОКРОК]х

о

хц/0(х)}Д/й(х)(/х + хк

+ | Ч/0 (х)[ - Ди(х)-авРстА1(0, х)] */х.

Таким образом, учитывая дополнительно (10)—(12), (14), (15), получим, что приращение для ДI* = Д1+АМЛ + ДМ2 представится следующим образом:

хк

А/*=-|{{ч/0(т)[«(т) + ДИ(т)]-0

-р О [и(т)+Дм(т)]} - {щ (т)и(т) --РС[«(Т)]}>Л + 0(|Д/В(ТА)|)=

хк

= “ /Дм#й?т + 0(|Д^(тА:)|). о

Здесь ДИЯ приращение Я по и(т).

Если Ди(т)=0 вне малого отрезка времени Дт, то, как известно, [9-11] имеет место следующая оценка:

0(*) < сопэ11 Дм(т)|[2 Дт2.

Далее предположим, что управление и(т) доставляет минимум функционалу I, но тогда приращение функционала, вызванное приращением управления, будет неотрицательным, т.е.

Д/* = Д/+ДМ, +АМ2 > 0. Согласно теореме для этого необходимо, чтобы «почти всюду» выполнялось неравенство ДиЯ<0, что эквивалентно вы-

хк

полнению неравенства |ДцЯ</х < 0.

о

Допустим, что теорема неверна и существует

хк

и (т) такое, что | АиНйх > 0, но тогда в пределах

о

Дт будет выполняться неравенство ДИЯ > ст > 0. В этом случае

хк

А/ = - |даЯй?т+ 0(|Д^(т*)|) =

= -|дuHdx + 0(*)<

ст - const ||Дм(т)||2 Дт2

Дх

ч

Дг

Дт

d т.

Нетрудно видеть, что lim Дт2/Дт = 0, поэтому

Ат—>0

всегда можно выбрать такое достаточно малое Дт, что a-const/Дт ||Ди(т)||2 Дт2 > 0. В этом случае AI < 0, что противоречит условию Д/ > 0. Утверждение доказано.

4.0 вычислительных аспектах оптимального управления

Полученные необходимые условия оптимальности управления режимом прерывистого отопления являются достаточно сложными. Следует подчеркнуть, что сложность, как правило, характерна

для любых задач оптимального управления. Научной общественности уже хорошо знакома такая черта теории оптимального управления, когда она отличается глубокими результатами качественного характера, вместе с тем развитие конструктивных аспектов теории, связанных с фактическим аналитическим или численным решением задач заметно отстало. До сих пор нет достаточно надежных алгоритмов, формализующих процедуру построения оптимальных управлений даже в линейных задачах [12], чтобы решить задачу до конца обычно требуется привлекать какие-то дополнительные соображения, так называемый здравый смысл.

Возможно, что при численном решении будет эффективным метод последовательных приближений, сущность которого, следуя в основном работе [13] можно изложить следующим образом: первоначально, исходя из каких-либо соображений, задаются некоторым допустимым управлением и решают систему уравнений (1)-(6). Затем из полученного решения в момент времени хк определяют «начальное» значение (12) и интегрируют в обратном времени уравнения для сопряженных переменных с целью уточнения управления и т.д. При этом, очевидно, наиболее доступным и простым является численное интегрирование уравнений методом конечных разностей. Однако, в некоторых случаях возможно и использование известных аналитических решений. Но при этом далеко не исследованным является вопрос о сходимости этого метода для рассматриваемых задач. Кроме того, довольно не простым, в особенности для обратных задач, является вопрос о построении эффективной разностной схемы, которая помимо точности и экономичности должна, прежде всего, удовлетворять требованию устойчивости.

Вместе с тем, большим достоинством доказанной теоремы является то, что она позволяет во многих случаях оценить структуру оптимального управления, его общий вид, не решая самой оптимальной задачи. Такая оценка, помимо самостоятельного интереса, часто оказывается полезной при численном решении задачи. Например, в линейных оптимальных задачах, т.е. в задачах, уравнения которых содержат управление в первой степени (следует заметить, что к таким задачам приводится большой круг практических задач управления), из теоремы следует, что если оптимальное управление существует, то, формально, при определении допустимой области управления в виде указанного неравенства оно будет представлять кусочно-постоянную функцию, принимающие поочередно значения и Ж0У, т.е.

и\х)

j^min + jp-У пг/У нг/ШШ

Шу — W

° + ° - ° sign[vt/0(T)-p] .(35)

2 2 Таким образом, в данной задаче оптимальное управление формально представляет кусочнопостоянную функцию, принимающую поочередно

известные значения Ж0т1П и Ж0У. И, казалось бы, все решение состоит в оптимальном подборе последовательностей интервалов управления и их точек стыка. Однако, важно отметить, что формальность записи (35) и заключена в том, что аннулирование выражения, стоящего под знаком sign, вообще говоря, возможно не только в отдельных точках отрезка [0,т&], но и на целых его участках. В этом случае принципа максимума оказывается недостаточно для определения оптимального управления, требуется дополнительное специальное исследование по выявлению так называемых особых экстремалей [14]. Трудность здесь заключается еще в том, что эта проблема для распределенных систем математически практически не разработана. Кроме того, здесь опять же остается открытым вопрос о возможном числе точек переключения и об их расположении на отрезке [0, т£].

Тем не менее, согласно рекомендациям работ [15, 16], в некоторых априорно задаваемых классах решение может быть получено численными методами. Будем, например, разыскивать решение в соответствии с (35), но, заранее задаваясь числом переключений, роль неизвестных будут играть моменты переключений. В этом случае задача будет состоять в отыскании минимума функционала

I по моментам переключения управления. Если в ходе поиска какой-нибудь из интервалов станет меньше некоторой достаточно малой величины, то его следует ликвидировать и число точек переключения уменьшить на единицу [16].

Таким образом, в ходе поиска число переменных (точек переключения), по которым ведется поиск, может уменьшаться, но, естественно, не может увеличиваться.

Важно, однако, отметить, что для рассматриваемых задач оправданным, в определенной мере, математически является построение управлений, состоящих из двух-трех интервалов постоянства [15-17]. Этот подход тем более разумен технически потому, что реализовать управления с большим числом переключений практически невозможно.

Литература

1. Панферов, В. И. К теории математического моделирования тетового режима зданий. /

В. И. Панферов, А. Н. Нагорная, Е. Ю. Анисимова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2006. -Вып. 4, М 14(69). - С. 128-132.

2. Панферов, В. И. Моделирование и управление тепловым режимом зданий / В. И. Панферов,

А. Н. Нагорная, Е. Ю. Пашнина // Теоретические основы теплогазоснабжения и вентиляции: материалы Международной научно-технической конференции. -М.: МГСУ, 2005. - С. 94-98.

3. Панферов, В. И. Решение задачи оптимального управления отоплением здания в нерабочее время /В. И. Панферов, Е. Ю. Пашнина //Вестник

УГТУ - УПИ. Строительство и образование. -2006. -№ 12(83). - С. 355-357.

4. Строй, А. Ф. Управление тепловым режимом зданий и сооружений / А. Ф. Строй. - Киев: Вища школа, 1993. - 153 с.

5. Табунщиков, Ю. А. Тепловая защита ограждающих конструкций зданий и сооружений / Ю. А. Табунщиков, Д. Ю. Хромец, Ю. А. Матросов. - М.: Стройиздат, 1986. - 380 с.

6. Макогонов, В. А. О возможности приведения многослойных конструкций к однослойным при тепловых расчетах/ В. А. Макогонов // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1974. - № 4. -С. 137-140.

7. Шкурко, Б. Ф. К вопросу инженерного теплового расчета конструкций / Б. Ф. Шкурко,

B. П. Нечаев // Изв. вузов. Строительство и архитектура. -1985. -№ 3,- С. 93-96.

8. Андреев, Ю. Н. Оптимальное проектирование тепловых агрегатов / Ю. Н. Андреев. - М.: Машиностроение, 1983. -231 с.

9. Егоров, А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А. И. Егоров. - М.: Наука, 1978. - 464 с.

10. Дегтярев, Г. Л. Об оптимальном управлении одномерными процессами с распределенными параметрами / Г. Л. Дегтярев, Т. К. Сиразетдинов // Автоматика и телемеханика. - 1967. -№ 11. -

C. 29-38.

11. Дегтярев, Г. Л. Об оптимальном управлении распределенными процессами с движущейся границей / Г. Л. Дегтярев // Автоматика и телемеханика. -1972. -№10,- С. 44-50.

12. Габасов, Р. Прямой точный алгоритм построения оптимального управления в линейной задаче / Р. Габасов, С. В. Гневко, Ф. М. Кириллова // Автоматика и телемеханика. - 1983. - N° 8. -С. 30-38.

13. Бутковский, А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

14. Габасов, Р. Особые оптимальные управления / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова. - М.: Наука, 1973.-256 с.

15. Бутковский, А. Г. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский, Л. М. Пустыльников. -М.: Наука, 1980. - 384 с.

16. Островский, Г. М. Методы оптимизации химических реакторов / Г. М. Островский, Ю. М. Волин. - М.: Химия, 1967. - 248 с.

17. Рапопорт, Э. Я. Предельные характеристики температурных полей при индукционном нагреве металла / Э. Я. Рапопорт // Сб. научн. тр. ВНИИЭТО: Теория и практика индукционного нагрева. - М.: Энергоатомиздат, 1985. -

С. 3-13.

Поступила в редакцию 14 января 2008 г.