Об оптимальном по порядку методе решения задачи параметрической идентификации при оценке собственного состояния средств измерения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПО ПОРЯДКУ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРИ ОЦЕНКЕ СОБСТВЕННОГО СОСТОЯНИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ

© Н.М. Япарова

Ключевые слова: метод регуляризации; оптимальность по порядку; оценка погрешности; оценка собственного состояния средств измерения.

Рассмотрена задача идентификации параметров модели, описывающей зависимость температуры от сопротивления, возникающая при оценке собственного состояния преобразователя температуры с двумя термосопротивлениями. Предложен численный метод решения, основанный на использовании методов регуляризации. Получено теоретическое обоснование оценок погрешности регуляризованного решения и доказано, что эти оценки являются неулучшаемыми по порядку. Созданный численный метод послужил основой для проведения вычислительного эксперимента, а также для обработки экспериментальных данных.

Проблема оценки собственного состояния рассмотрена на примере преобразователя температуры с двумя термосопротивлениями из различных металлов. Действие термометров основано на зависимости электрического сопротивления материалов от температуры. В процессе эксплуатации рассматриваемых приборов непосредственно измеряемой величиной является сопротивление. Основная сложность проблемы оценки собственного состояния связана с тем, что зависимость сопротивления от температуры достаточно изучена [1], а обратную зависимость пока не удавалось построить. Таким образом, возникла необходимость в решении обратной задачи об определении значений температуры по результатам измерения сопротивлений, а также в разработке метода, позволяющего по результатам измерения сопротивлений оценивать температурные погрешности. На основании полученных оценок осуществляют выбор критериев, позволяющих провести оценку собственного состояния средства измерения.

Математическая модель задачи состоит из системы, характеризующей зависимость температуры от сопротивления:

( АтН\к + Ат-1Н1к 1 + ••• + А1Н1к + А0 = Ьк 1

\ В1Н2к + В1-1Н2к1 + ••• + В1Н2к + В0 = Ьк, и связанных с ней уравнений:

АтЩ& + Ат-1Н1к 1 + ••• + А1Н1к + А0 = В1 Н^к + В1-1Н2— + •••В1Н2к + В0,

где Я1к - сопротивление первого материала; Н2к - сопротивление второго материала, измеренные при некоторой температуре Ьк, к = 1,п

Задача параметрической идентификации для (1) заключается в определении степеней т, I и коэффициентов АВ^ при условии, что вместо точных значений Ьк известны приближения Тк,тал и уровень допустимой температурной погрешности §•

2759

Сопоставив величинам сопротивлений матрицы Pi и Р2 :

Pi =

( RH nm-1 R11 • • R11 1 (Rmi т- i R21 • • • R2i 1

тут R12 т- i R12 • • R12 1 P2 = т R22 т- i R22 • • • R22 1

1 Rm \ R1n т- i R1n • • R1n 1 т \ R2n • g -т2 R • • R2n 1

искомым коэффициентам А^ и В^ — вектор и = (Ат, Ат-1,... Ао) и V = (В1, В-1,... Во), а значениям Т^ — вектор Т = (Т1*тал, Т2тал,... ТПтал), представим систему (1) и уравнения (2) в эквивалентном виде:

г рф=т,

{ Р2У = Т

и, соответственно:

Р1и = Р2У.

Метод решения задачи (3), (4) состоит в следующем. Сначала преобразуют матрицы Р1 и Р2, выделив максимальное число линейно-независимых столбцов. Наибольший номер ненулевого столбца каждой матрицы определяет старшую степень соответствующего полинома в системе (1). Далее полученные матрицы Р1 и Р2 рассматривают как конечномерные аналоги вполне непрерывных, линейных, ограниченных, инъективных операторов Р1 и Р2, а элементы и,-,Т как конечномерные аппроксимации элементов и,ь,Т сепарабельного гильбертового пространства Н и решение системы (3) сводят к вариационной задаче:

М < 11^1 и — Т у2 + а^ЦиЦ2 : и € н\, а1 > 0 и { - ^

1Г1^ 11Р^2V — Ту2 + а2|М|2 : V € Н, \, а2 > 0.

Решение задачи (5) основано на применении метода регуляризации с выбором параметров а1 и а2 из принципа невязки [2], [3]. Следуя предложенным подходам, регуляризующие семейства операторов {Saj(Рj) \ 0 <а^ ^ а0}, ] = 1, 2 определяют следующим образом:

Ба3 Р) = ф(ра),

где Ф(а, aj•) — непрерывна по а € Sp(Pj), неотрицательная функция, и при а1,а2 ^ 0

Sаl РРи ^ и, >$а2 (P2)P2V ^ V.

Для оценки конечномерных аппроксимаций используют функции [3]:

Лх[Л1,5] = 8ПР \llSa!(Р1 )Т — и|| : ||Р1 — РхН <Н1, ||^1 и — Ту < Л,

и,'Г,Р1 { }

A2[h2,5]= sup ||S«2p)T - v|| : ЦР2 - Р2Ц < h2, pv - T\\ < S\.

v,T,P2 I J

Получено теоретическое обоснование оценок погрешности регуляризованных решений и найдены условия, при выполнении которых справедливы соотношения:

Aj[hj,5] ~ Cj u(hj,5,Mj), при 6, hj ^ 0, j = 1,2,

где Cj = const, а функция w(hj,6,Mj) - модули непрерывности обратных операторов.

Далее найденные значения параметров модели и уравнения (2) применяют для проверки достоверности результата, а также для получения оценок величин температурных

2760

погрешностей. Эти оценки служат основой для формирования критериев выбора оптимальных параметров, позволяющих проводить оценку собственного состояния прибора в процессе эксплуатации. Полученные результаты были использованы для создания численного метода и проведения вычислительного эксперимента как для серии модельных примеров, так и на основе экспериментальных данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов М.Д., Шестаков А.Л. Метод принятия решения в процессе работы о выходе термометра сопротивления за предел допускаемой погрешности // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. Челябинск, 2011. № 23.

C. 19-25.

2. Япарова Н.М. Об оптимальности метода Тихонова нулевого порядка на некоторых классах корректности // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. Челябинск, 2009. № 2. C. 23-31.

3. Tanana V.P., Yaparova И.М. Estimation of accuracy of finite-dimensional methods of regularization // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. V. 19. № 2. P. 327-343.

Yaparova N.M. ORDER-OPTIMAL METHOD FOR SOLVING THE PARAMETRIC IDENTIFICATION PROBLEMS FOR THE MEASURING DEVICES WITH SELF-CHECK OF EIGENSTATE

The parameter identification problem for resistance temperature transducers with self-check of eigenstate is considered. To solve this problem, approaches based on the regularization method are proposed. For numerical method the estimation of error of the regularized solution is obtained. This estimate is exact with respect to the order. The application of this mathematical approach allows to create the software for computational experiments as for the model initial data as for the experimental data.

Key words : regularization method; error estimation; optimum with respect to the order; metrological self-test problem.

2761