Об оптических свойствах квантовых точек Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ТЕХНИКИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

рян) файл исходного задания. Так как имитируемые уровни в процентах обычно задаются с точностью до 0,01 %, то приняты особые меры к взаимно однозначному преобразованию файлов из одной формы в другую и обратно.

Заключение

ПО, разработанное в рамках СИД, обеспечивает следующие возможности, чрезвычайно важные для серийного производства.

1. Простоту документирования. Уровни имитатора для каждого теста записываются в конструкторскую и технологическую документацию непосредственно в смысловой форме, что позволяет проконтролировать правильность составления документации любому инженеру-испытателю без дополнительных расчетов.

2. Однозначность процедуры получения бинарных управляющих данных имитатора, так как исходные данные для этого берутся непосредственно из документации без какого-либо преобразования.

3. Управляемость процедур хранения и применения файлов загружаемых бинарных данных, так как содержимое файлов может быть легко проверено декодированием.

4. Отсутствие ошибок загрузки имитатора при проведении тестов, так как оператору, проводящему тесты, не надо вводить с клавиатуры считанные из документации шестнадцатеричные коды. Ему достаточно загрузить готовый бинарный файл в имитатор с помощью стандартной программы загрузки.

Библиографический список

1. Цифровые информационно-измерительные системы: Теория и практика / А.Ф. Фомин, О.Н. Новоселов, К. А. Победоносцев и др. - М.: Энергоато-миздат, 1996. - 448 с.

2. Чернышов, А.В. Программное обеспечение рабочего места контроля бортовой телеметрической аппаратуры: Монография / А.В. Чернышов. - М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2007. - 160 с.

3. Бортовая аппаратура «ОрбитаЧУМО», опыт ее производства и применения для натурной отработки ракет различных классов. / Л.Е. Горбатюк, С.Н. Не-дошивин, К.А. Победоносцев и др. // Радиотехнические тетради. - 2006. - № 33. - С. 30-34.

ОБ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ КВАНТОВЫХ ТОЧЕК

П.С. СЕРЕБРЕННИКОВ, доц. каф. высшей математики МГУЛ, канд. физ.-мат. наук

Среди приемников на основе структур с пониженной размерностью приемники на основе нульмерных структур - квантовых точек (КТ) - считаются наиболее перспективными [1-7]. КТ, например нанокластер Ge в Si, из-за разрыва верха валентной зоны при переходе от Ge к Si является потенциальной ямой для дырок. Трехмерная потенциальная яма для движения носителей в КТ приводит к тому, что в отличие от приемника на сверхрешетках здесь нет поляризационных ограничений при приеме излучения. Как известно, при нормальном падении излучение в сверхрешетках не поглощается, поскольку вдоль слоев носители движутся как свободные. Нанесение на поверхность полупроводника дифракционной решетки, применение призм сильно усложняет технологию изготовления приборов, не приводя тем не менее к принци-

[email protected] пиальному увеличению поглощения излучения. Представляет интерес расчет сечения фотоионизации, коэффициента поглощения приемников на КТ при различных поляризациях падающего излучения.

Энергетический спектр квантовой точки

Характеристики фотоприемника на основе квантовых точек определяются прежде всего уровнями энергии дырок в КТ. В КТ типа «hut» высота много меньше латеральных размеров (в работе [5] получено, что высота КТ (нанокластер Ge в Si) ~ 1.5 нм, а сторона основания ~ 15 нм), поэтому расчетной моделью является кластер в виде диска (или «таблетки»). Задача имеет цилиндрическую симметрию, и поэтому оператор Лапласа в выражении для гамильтониана следует написать в цилиндрических координатах [8]:

ЛЕСНОМ ВЕСТНИК 6/2009

113

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ТЕХНИКИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

А =

д

д

Р—+-

д2

- + $4. (1)

рдр др р2д2ф dZ Волновая функция ищется соответственно в виде произведения функций, зависящих от р, ф, z

У = eMfp)g(z). (2)

Число М должно быть целым, чтобы поворот на 2п не приводил к другому значению функции. Движение вдоль оси цилиндра (вдоль z) представляет собой движение в одномерной потенциальной яме. Для основного состояния g(z) ~ coskz при |z| < h/2; h - высота кластера. Уровни энергии в яме определяются уравнением

1

(cos kh)2 =— 2

2 m2AEv h2

_ 2 ЛК 2 lh2(—)2

2

+

m - m2 m1

>gk{ > 0. (3)

Здесь AEv - разрыв верха валентной зоны при переходе от Ge к Si; m1, m2 - эффективные массы дырок в германии и кремнии соответственно. Поскольку эффективные массы дырок в Ge и Si значительно отличаются, для определения уровней энергии необходимо использовать уравнение (3), в котором явно учтено это обстоятельство. Энергия движения по z равна

2h kh 2

E=т>?(г1 ■

Решение уравнения (3) при h = 1,5 нм, AEv = 0,55 эВ, m1 = 0,3m0, m2 = 0,5m0 дает kh/2 = 0,998. Энергия основного состояния над дном ямы при этом Ez = 225,3 мэВ.

Для функции f(p) получается уравне-

ние

f '+f+ р

2m E - k 2 - M

h2 p2

f (p) = 0. (4)

При переходе к переменной

2m1

,0,5

% = [~TE - k] p

получается уравнение Бесселя 1 рода М -ого порядка

f'

f" + ~ +

X

_ M x2

f=0.

(5)

Для |z| < h/2, p < p0 волновая функция имеет вид

cos kz • JM (py[a)elM(f, где p0 - радиус кластера;

M - целое число;

JM - функция Бесселя первого рода, M порядка;

a = E - k2.

h2

При p > p0 волновая функция есть KM (pyfb)- модифицированная функция Бесселя второго рода, M-го порядка;

2m

b = ^(АEv -E) + k2.

Сшивая волновые функции и их производные, при p = p0 получаем энергии состояний дырки в цилиндрическом кластере над дном ямы

^2 h2 v2m ,

(6)

h2k2 h2 y2(M) E =----+-

2ml 2mjp0

Здесь: h2k2/2mj- энергия движения вдоль оси кластера; yq(M) - корни уравнения

FJy) = 0 У = p0yfa. (7)

Функция FJy) равна

K

FM = JM (У) -

KM (yj-)

JM (У), (8)

b

где K' JM - производные по аргументу от

соответствующих функций.

В работе [9] энергия движения по p и ф находилась из условия JM (p 0Va) = 0. Более точным является использование уравнения (7), так как здесь учитываются затухающие части волновой функции, что важно при вычислении матричного элемента фотоионизации. Корни уравнения FM(y) = 0 находятся левее (меньше по величине) соответствующих корней уравнения JM(y) = 0. Учет затухающих частей волновых функций приводит, таким образом, к понижению энергии уровня, причем для более высоких уровней величина этого сдвига больше. Энергии ряда состояний с различными M и q приведены в таблице.

В скобках приведена энергия состояния с теми же значениями M и q, вычисленными как в [9] из условия JM(p0yfa) = 0; в последнем столбце дана граничная длина волны фотоионизации соответствующего состояния. В расчете радиус нанокластера принят равным 7 нм , остальные параметры прежние.

114

ЛЕСНОМ ВЕСТНИК 6/2009

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ТЕХНИКИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Таблица

Энергетический спектр квантовой точки (нанокластер - «таблетка»)

М q Е, мэВ X, мкм

o 1 238,1 (24o,3) 4

2 292 (3o4,4) 4,8

3 384,37 (419,8) 7,5

1 1 257,7 (263,4) 4,25

2 332 (353) 5,7

2 1 283,26 (293,8) 4,66

2 376,5 (4o9,3) 7,2

Сечение фотоионизации КТ

Для вычисления коэффициента поглощения ИК-излучения в гетеросистеме с КТ необходимо определить квантово-механическую вероятность выброса дырки с уровня в нанокластере германия в валентную зону в кремнии при поглощении ИК фотона. Вероятность выброса дырки в единицу времени из одной КТ дается [8] формулой

w = (inbKf (2т^'/ЙШ-1. (9)

Здесь Йш - энергия фотона; I - энергия ионизации уровня; т2 - эффективная масса дырки в кремнии; M0 p - матричный элемент энергии взаимодействия дырки с электромагнитным полем, взятый между начальным состоянием (уровень в КТ) и свободной дыркой с импульсом p. За начальное состояние принимается основное состояние дырки в нанокластере - «таблетке». Матричный элемент М0 - имеет вид

1 - г-Т

Мо - =# eEF ^ ^,

(10)

где V - нормировочный объем.

Рассмотрим вид матричного элемента для двух поляризаций электромагнитного излучения: E || z (E параллельно оси кластера) и E A z (E перпендикулярно оси кластера). Обозначим соответствующие матричные элементы как Mz и Мр. Первый случай соответствует падению ТМ волны при угле падения, близком к п / 2 . Второй случай соответствует нормальному падению излучения (движение волны вдоль оси z). За основное состояние принимается симметричная волновая функция движения по z и состояние с М = 0 и q = 1. В результате доволь-

но длинных выкладок получаем следующие выражения для М и М

Мр = 4%ieENn cos^ - ф')

J cos kz cos(— C°S 9 z) X

Й

kh

Xh

pcos9'

xdz + cos—e2 J e Xz cos(:

2 h Й

z)dz

Ро p sin 9'

J J1( г

0Й

P) Л(Р^ P

+

JMi) I Ji( ^ P) Ko(^/b)p-dp'

K0(p0d b) Po Й

. (11)

М, = 4nieEN„

J2 z cos kz sin(P c0s 9 z)dz + 0Й

kh

Xh

pcos9'

+cos—e2 J ze Xz sin(

2 v Й

z)dz

Po (p sin 9'

J Jo( г

0Й

p) jo(P4aPdP

+

+JHa) i Jo( ^ p) Ko(P'ib)PdP

K0(P0yl b) Po Й

. (12)

Здесь p - импульс выброшенной дыр-

X

X

I

X

X

ки ___________

p = yl2m2 (Йш -I); X_= ktg(kh/2); ф - угол между вектором E и осью х; 9'- угол между импульсом дырки и осью z; ф' - угол между проекцией импульса дырки на плоскость хОу и осью х; поскольку за начальное состояние принято состояние М = o и q = 1 произведение Po4a равно первому корню уравнения Fo(y) = o; Nn - нормировочный множитель, который определяется из условия

J|%(P, Ф, z)|2pdpdфdz = 1. (13)

Для краткости введем обозначения М = 4nieEN cos(ф - ф')1 и М = 4nieEN I. (14) При получении выражений для М, М было использовано разложение eiyco^ в ряд eiyco^ = Jo(y) - 2J2(y)cos(2ф) + 2J4(Y)cos(4ф) +

+ .. + - 2Jз(Y)cos(3ф) + ...]. (15)

Из формул (11), (12) следует, что вероятность выброса дырки с импульсом перпендикулярным вектору Е равна o (М = o при 9' = п / 2 и Mp = o при 9' = o).

Вычисление М, Mp производится на компьютере. Чтобы найти вероятность фотоионизации необходимо усреднить |М |2 и |М |2 по различным направлениям импульса вы-

ЛЕСНОМ ВЕСТНИК 6/2oo9

115

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОМ ТЕХНИКИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

брошенной дырки. Усреднение производится численно по формуле

F = — J F (9^)sin9d9^ф. (16)

4п

Сравним вероятности фотоионизации для двух поляризаций, т.е., иначе говоря, найдем отношение | Mz |2/| Мр |2 для ряда длин волн. Расчет дает X (мкм) 0.5 1.0 2.0 3.0 3.5 3.8_ _

|Mz |2 /|Мр |2 0,15 0,276 0,1 0,047 0,02 7-10-3.

Параметры, использованные в расчете т 1 ==73m0, m2 = 0,5m0, AEv = 0,55 эВ, h = 1,5 нм, 0 _ нм. Из проведенного анализа следует, что вероятность фотоионизации излучением с вектором E||z меньше вероятности фотоионизации при нормальном падении (эта вероятность определяется матричным элементом Мр). Следует отметить, что возможно и обратное соотношение между | Mz |2 и | Мр|2. Расчет показывает, что такое соотношение имеет место при длинах волн, когда оба матричных элемента очень малы, и поэтому этот случай, по-видимому, не представляет практического интереса.

Рассмотрим теперь излучение, падающее на систему КТ под произвольным углом р. В случае ТЕ волны (вектор Е перпендикулярен плоскости падения) вероятность фотоионизации определяется матричным элементом |Мр |2 и не зависит от угла падения. Для ТМ волны разложение вектора Е дает Ez = EsinP и Ep = EcosP и соответственно усредненное значение матричного элемента

Мтм (в)2

будет равно

Мтм (в) = cos2p | Mp |2 + sin2p | Mz |2. (17) Отношение вероятности фотоионизации ТМ излучением, падающим под углом в, к вероятности фотоионизации ТЕ излучением будет

'в ^z

М,м (в)

sin

+ cos

|2

i2

Mp I К _

= cos2 в + sin2 вMJ /MP|2. (18)

Вероятность фотоионизации КТ в еди-

ницу времени принимает вид

"2T72'^\T\r2

w =-

z,p ^4 n z,p

(19)

Выражаем Е2 через плотность потока фотонов S [см_2с_1] с энергией Ли

nF?c / 8п = h<$S, (20)

где c - скорость света;

nr - показатель преломления.

После этого получаем окончательное выражение для вероятности фотоионизации КТ ИК излучением

w =

z,p

16ne (2m2)

,3/2

°z,p=-

,4 NjlpЬи(4ы-1)S . (21)

п cnr

Сечение фотоионизации КТ будет

;16яeР”2^N2Aha-Jka-I . (22)

п cnr

Пусть в единице объема (многослойная гетероструктура Ge-Si) имеется Nqd одинаковых КТ. Можно ввести коэффициент поглощения ИК-излучения в гетероструктуре Ge-Si с квантовыми точками. Коэффициент поглощения а [см-1] будет равен произведению сечения фотоионизации на объемную плотность КТ. Коэффициент поглощения а [см-1] будет равен

a.p= 16ne(2'У12NnГ;„ыЛИ-1 N,, . (23)

z ,p

j_4 ’ n^ z,p y ' qd

п cnr

Множитель VЛи -1 отражает плотность конечных состояний дырок, выброшенных из нанокластера. Определяющей, однако, оказывается зависимость матричного элемента от импульса свободной дырки. Малая величина матричного элемента и, следовательно, вероятность перехода в состояние с большой конечной энергией связаны с быстрой осцилляцией волновой функции конечного состояния ( <х eipr/п). Сечение фото-

ионизации основного состояния КТ (M = 0, q = 1) излучением падающим вдоль оси z (нормальное падение) с X = 3,8 мкм равно 9,2-10-15 см2 . В расчете использованы прежние параметры структуры. При слоевой плотности КТ 3-10псм-2 , как в [5], коэффициент поглощения излучения будет приближенно равен 250 см-1.

Заключение

Проведен численный расчет энергетического спектра дырок для КТ в виде таблетки. Учтено различие эффективных масс дырок в нанокластере и матрице и затухающей части волновой функции. Получена большая разни-

116

ЛЕСНОМ ВЕСТНИК 6/2009