Об определении значения коэффициента эластичности производственной функции Кобба-Дугласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭЛАСТИЧНОСТИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ КОББА-ДУГЛАСА1

Аннотация. На основе сплайн-анализа статистической информации показано, что коэффициент эластичности производственной функции Кобба-Дугласа для обрабатывающей промышленности США в период 1899-1922 гг. был существенно переменным. Аппроксимация теоретической зависимости удельного выпуска конечного продукта от фондовооруженности функциями с кусочно-постоянной эластичностью позволило определить временные интервалы, в которых коэффициент эластичности может считаться постоянным.

Ключевые слова. критерии аппроксимации, точность, фондоотдача, фондовооруженность, эластичность, сплайн-функция.

ON DETERMINATION OF COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION ELASTICITY SIGNIFICANCE

Annotation. On the basis of the spline-analysis of statistical information it is shown that the elasticity of Cobb-Douglas production function of USA manufacturing in 1899-1922 was significantly variable. Approximation of theoretical dependence of the output-labour ratio on the capital-labour ratio by functions with piecewise and constant elasticity allowed estimating time intervals in which this coefficient can be considered as the constant. Keywords. approximation, accuracy, output-labour ratio, capital-labour ratio, elasticity, spline-functions.

Производственная функция давно стала одним из базовых понятий экономической теории. Среди фундаментальных теоретических результатов, полученных на основе использования аппарата производственных функций, отметим «золотое правило накопления», согласно которому оптимальная норма накопления (инвестиций) на макроэкономическом уровне должна быть равна значению коэффициента эластичности зависимости удельного выпуска от фондовооруженности труда [2; 3; 9; 19]. Несмотря на существенное упрощение реальности, производственные функции применяются и в прикладном макроэкономическом анализе [1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 12; 15; 19].

Ниже излагаются результаты сплайн-анализа статистических данных обрабатывающей промышленности США за 1899-1922 гг., которые использовались Ч. Коббом и П. Дугласом в их основополагающей статье [14]. В работе используется подход, который опирается на анализ дифференциальных характеристик соответствующих динамических рядов. Развитие этого направления исследований связано, в частности, с работами, проводившимися в Вычислительном центре (ВЦ) Российской академии наук (РАН) в 1985-1996 гг. под руководством профессора Ю.П. Иванилова [4; 6; 7; 8].

1. Из истории производственной функции. Напомним, что производственная функции - математическая модель, выражающая количественную зависимость возможного значения объема выпуска (конечного продукта) Y от используемых факторов производства [9]. Наибольшее распространение получила функция Кобба-Дугласа

Y = AKaLp, (1)

А, а В- <а<\ к 1 я,

где ' и ' положительные параметры ( ' ' ). а л и ~ значения используемых факторов (основных производственных фондов и трудозатрат соответственно). В основе функции (1) ле-

© Лебедев В.В., Лебедев К.В., 2015

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-06-00389)

УДК 330.42 В.В. Лебедев К.В. Лебедев

Valéry Lebedev Konstantin Lebedev

жат гипотезы о понижающейся предельной отдаче факторов и постоянстве коэффициентов эластичности а и $ .

Функция вида (1) применялась для экономического анализа задолго до 1928 г. С. Вебер отмечает, что В.Парето использовал функцию вида (1) в конце XIX в. для формализованного представления полезности, а К.Виксель применял ее в начале XX в. для анализа производства [17]. Однако лишь после публикации в 1928 г. Ч. Коббом и П. Дугласом работы [14], в которой параметры функции (1) были оценены на основе статистических данных обрабатывающей промышленности США за 18991922 гг. в предположении а + понятие производственной функции закрепилось в экономической науке.

Признание производственной функции как эффективного инструментального средства экономического анализа не было гладким. О серьезном сопротивлении развитию математической теории производства говорил П. Дуглас в работе [5]. Об этом свидетельствует и так называемая «дискуссия двух Кембриджей» по теории капитала, в которой принимали участие выдающиеся экономисты, связанные либо с английским Кембриджем, либо с Кембриджем, расположенным в штате Массачусетс США. В этой полемике участвовали, с одной стороны, П. Сраффа, Дж. Робинсон, Л. Пазинетти, П. Гареньяни, а с другой - П. Самуэльсон, Р. Солоу, Ф. Хан и К. Блисс [11; 13; 16; 18]. Полемика продолжалась с середины 1950-х до середины 1970-х гг на страницах таких престижных журналов, как «Quarterly Journal of Economics», «Review of Economic Studies» и «Economic Journal», а начало спору двух Кембриджей положила статья Дж. Робинсон [18]. Об остроте полемики можно получить представление из следующей цитаты: «Производственная функция была и остается мощным инструментом оболванивания (miseducation). Студента, изучающего экономическую теорию, заставляют

писать ~~ О, Где / _ количество труда, К количество капитала, а О выпуск товаров. Сту-

дента учат считать всех рабочих одинаковыми и мерить L в человеко-часах; ему что-то говорят о проблеме индекса (index-number problem) при выборе показателя выпуска; и тут же торопят перейти к следующему вопросу в надежде, что он забудет спросить, в чем измеряется K. Прежде чем у него возникнет такой вопрос, он сам уже станет профессором, и так привычка к интеллектуальной небрежности передается из поколения в поколение» [11, с. 4].

Обе позиции в споре освещены в работах [11; 13]. Существенно, что в комментариях отмечено прикладное значение этого направления: «неоклассические однопродуктовые модели остались неизменной и плодотворной основой эмпирической работы. Логические обоснования, которые приводил Солоу в своих эмпирических работах, всегда были прямыми и честными: если предположить, что данные можно рассматривать, «как если бы» они были сгенерированы простой моделью, то процедуры оценки служат для приблизительного вычисления ключевых параметров этой модели. Такие «грубые» модели остаются эвристически полезными, поскольку способствуют пониманию, а также простым и четким эмпирическим исследованиям, плодотворным и значимым для проведения политики» [11, с. 15-16]. В этой связи отметим, что в заключительной части работы [14] авторы связывали «будущий прогресс» сформулированной ими теории производства с использованием, в частности, более точных («more refined») динамических рядов и расширением арсенала математических методов (англ. using different mathematical techniques). Применение сплайнов, на наш взгляд, реализует один из подходов по совершенствованию анализа производственных процессов, о чем говорили Кобб и Дуглас в своей работе. Ниже излагаются основные результаты сплайн-анализа статистических данных, использованных в работе [14].

2. Технические вопросы определения параметров производственной функции Ч. Кобба и П. Дугласа. В статье [14] Ч. Кобб и П. Дуглас практически не обсуждают технические задачи определения значений параметров функции (1), так как математическая сторона в их работе - вопрос да-

леко не главный. Первоочередной задачей этой работы являлось обоснование самой возможности описать сложные производственные процессы с помощью простой функции двух переменных. Вот что вспоминал в 1948 г. П. Дуглас о том, как была построена производственная функция: «Прошлой весной исполнилось 20 лет с тех пор, как я рассчитал для американской обрабатывающей промышленности индексы числа нанятых рабочих по годам, с 1899 по 1922 г., а также индексы объемов основного капитала в обрабатывающей промышленности, выраженных в долларах с приблизительно постоянной покупательной способностью, а затем графически представил это в логарифмическом масштабе вместе с индексом для физического объема производства обрабатывающей промышленности. При этом я заметил, что кривая продукта прочно лежит между обеими кривыми для факторов производства и имеет тенденцию быть равной приблизительно четверти относительного расстояния между кривой индекса для труда, которая показывает наименьший рост за данный период, и кривой индекса для капитала, показывающей наибольший рост. Так как в то время я читал лекции в Колледже Амхерста, то предложил моему другу Чарльзу В. Коббу попытаться вместе вывести формулу, с помощью которой можно измерить относительное воздействие труда и капитала на продукт за данный период. Мы оба были знакомы с анализом Уикстида, а Кобб, конечно, хорошо знал историю теоремы Эйлера. По его предложению сумма показателей степени была приравнена к единице в нижеследующей формуле:

Р = ЫкС1~к. (2)

В данной формуле нужно было найти величины Ь и к. Это было сделано методом наименьших квадратов, и оказалось, что величина к равна 0,75. Это почти точно соответствовало нашим ожиданиям, которые мы основывали на относительном расстоянии кривой продукта от кривых обоих факторов» [11, с. 32-33].

При обосновании формулы (2) Кобб и Дуглас опирались также на тот факт, что «доля труда в чистой ценности продукта обрабатывающей промышленности за десятилетие 1909-1918 гг. составила 74,1 %, т.е. почти точно соответствовала величине показателя степени для труда» [5, с. 34].

Упоминание о методе наименьших квадратов в приведенной цитате мало что говорит. Можно только догадываться, что в работе [14] применялся стандартный линейный метод наименьших квадратов (линейный МНК) и в качестве критерия близости теоретической зависимости (2) и статистических данных использовалась функция двух параметров Ь и к ■

Ы 2 1¥(Ъ,к) = ^ ыы]с]-к)-ыг() .

(3)

С Ь У -

Здесь п '' ' значения статистических рядов основных производственных фондов (капитала), трудозатрат и конечного продукта для обрабатывающей промышленности США в период 1899-1922 г.г., которые приведены в работе [14]. Однако формула (3) - не единственный способ оценить точность аппроксимации. На практике применяют и другие критерии точности; чаще всего критерии наименьших квадратов и наименьших модулей [9]. Поэтому возникает вопрос о влиянии выбора критерия точности аппроксимации на определение значений параметров производственной функции. Для ответа на этот вопрос, прежде всего, перепишем зависимость (1) в предположении ее линейной однородности:

У = АКаЬ1~а. (4)

Итак, Кобб и Дуглас на основе использования статистических данных получили следующие значения параметров функции (4): — ''^' и ^ — 0,25 114| При этих значениях параметров (соглас-

/? = 0 945

но нашим расчетам) соответствующее значение коэффициента детерминации составило ~~ ' , а средняя ошибка аппроксимации - 4,14 %. Как видим, точность аппроксимации здесь очень высокая. Для оценки точности аппроксимации мы использовали следующие четыре критерия:

клонения значений критериев 14 ' " ' 'и коэффициента детерминации ^ , рассчитанных для решения Кобба и Дугласа, от соответствующих экстремальных значений, выраженные в процентах.

Таблица 1

Результаты минимизации функций (5) - (8)

Точка Координаты точек и критерии"--.^ М1 М2 М3 М4 С отклонение точки С от соответствующего оптимума, %

А 1,0205 1,0157 1,0170 1,0102 1,0100

а 0,2422 0,2487 0,2199 0,2337 0,2500

А, а) 0,2379 0,2383 0,2553 0,2526 0,2410 1,30

ЩАа) 0,0688 0,0686 0,0726 0,0725 0,0692 0,91

Окончание таблицы 1

Точка Координаты ^^ точек и критерии"\ М1 М2 М3 М4 С отклонение точки С от соответствующего оптимума, %

ЩА, а) 1,8011 1,7877 1,7340 1,7425 1,7662 1,86

ЩАа) 4,2913 4,2329 4,0874 4,0741 4,1432 1,70

Я2 0,9455 0,9454 0,9415 0,9421 0,9448 -0,08

Что следует из выполненных расчетов? Во-первых, минимальные значения функций достига-

М (1,0205; 0,2422), М (1,0157; 0,2487), М (1,0170; 0,2199) ются в точках 14 ' ' ' 24 ' ' ' 34 ' ' ' ' и

м. (1,010:2; 0, „

44 ' ' ' у соответственно. При этом всем экстремальным точкам соответствуют высокие показатели точности аппроксимации: коэффициент детерминации выше 0,94, а средняя ошибка аппроксимации, которая вычисляется по формуле (8), меньше 4,3 %. Отметим также, что численное решение задачи минимизации функции (6) методом координатного спуска в пределах заданной точности практически совпадает с соответствующим аналитическим решением, что свидетельствует о

работоспособности использованного нами алгоритма минимизации функций ^«(А, где т = 1,..., 4

Во-вторых, ни одно из полученных нами оптимальных решений не совпадает с решением

Ап =1,01, ап= 0,25

А — Ад ? ос —

Кобба и Дугласа 0 ' ' 0 ' . При этом решение Кобба и Дугласа и' и лучше

всего соответствует минимуму функции (6): ^¿(Л)? превышает минимальное значение функции

ЩА, а) п0/ Щ(А,ап) Ж(А,ап)

' у на 1,3%, - " и/ и и/ превышают минимальные значения критериев

Щ(А, ос) и а) соответственно на 1 75 % и 1,7 %, а ао) больше минимального значе-

Ж(А «)

ния критерия 14 ' менее чем на 0,91 %. Следовательно, Кобб и Дуглас использовали линейный МНК, определяя значения параметров функции (4) из условия минимума критерия (5). Это и следовало ожидать, так как найти экстремумы других рассматриваемых здесь функций без привлечения численных методов невозможно.

тт ! {А а] М (А ,а )

На рисунке 1 в плоскости параметров 1 ' > построены экстремальные точки т'.

т = 1,...,4 С(1,01; 0,25) „ „ п Г1/П

где ' ' , точка у ' ' ' '. соответствующая решению Кобба и Дугласа [14], и траектория

решения методом координатного спуска задачи минимизации функции (ломаная линия

С—М4) Здесь в качестве начального приближения взято решение Кобба и Дугласа. Переход из точки с в точку м 4 практически не меняет значения конечного продукта, рассчитываемые по формуле

у

(4). Это хорошо видно на рисунке 2, где построены статистические точки *, отмеченные треуголь-

АКа 1}а

никами, и две кривые, которые соединяют расчетные значения * * . Первая кривая соответствует решению Кобба и Дугласа, вторая - минимуму функции (8). Как видим, обе линии на рисунке 2 практически совпадают.

Рис. 1. С МЛ - траектория минимизации средней рис 2. Два варианта аппроксимации динамики конеч-ошибки аппроксимации ного продукта функцией Кобба-Дугласа

„ , А = 1,0157, - 0,2487 ч

Итак, округлив точное решение ( 2 2 ), и приняв значения параметров

производственной функции (4) ^ — и а — 0>25, и ДуГлас незначительно ухудшили точ-

ность аппроксимации. Однако использованное ими «красивое» решение выглядит более естественно.

3. Анализ производственных зависимостей методом сплайн-функций. Статистические данные, использованные в работе [14], охватывают период длиной почти в четверть века. За это время в обрабатывающей промышленности США произошли глубокие структурные изменения. Нельзя не учитывать и влияние Первой мировой войны на развитие экономики США, которые являлись главными поставщиками военных материалов, продовольствия и сырья воюющим государствам [10]. Поэтому естественно предположить, что использованная в работе [14] статистика может быть использована для решения задачи периодизации, которая позволит отразить неравномерность развития. Для решения задачи периодизации удобно применить сплайны, которые представляют собой функции одной переменной с кусочно-постоянными параметрами. Для этого перейдем к рассмотрению производственной зависимости «фондовооруженность труда - производительность труда», которую получим из уравнения (4):

У = • (9)

Здесь У IL производительность труда, х ~ ^ 1L фондовооруженность труда. Динамические ряды производительности труда и фондовооруженности Х для обрабатывающей про-

На рисунке 3 приведены результаты аппроксимации производственной зависимости «фондовооруженность труда - производительность труда» степенной функцией (штриховая линия). Здесь же

построены статистические точки (Х' УВ результате минимизации функции (8) получено:

А = 0 99 ос = 0 /?2 = 0 915

' ' '" ". При этом значение коэффициента детерминации составило ' , а

средняя ошибка аппроксимации - 4,56 %. Близость полученного решения и решения Кобба-Дугласа

иллюстрируется на рисунке 4, где две расчетные кривые практически не различимы.

Рис. 3. Аппроксимация производственной зависимости степенной функцией

Рис. 4. Два варианта аппроксимации динамики конечного продукта функцией Кобба-Дугласа

Применение кубических сплайнов для аппроксимации функций хи у(^) при заданных

рядах У' и Х' дает основание говорить о том, что коэффициент эластичности производственной

функции Кобба-Дугласа У = АК Ь _ который вычисляется по формуле ) — 1п >'(/) I с1 \п х{1) является существенно переменным. На рисунке 5 на основе построенных сплайновых зависимостей производительности труда и фондовооруженности от времени в плоскости «фондовооруженность труда - производительность труда» построен график (сплошная линия) теоретической зависимости

У (х). Как видим, здесь существует три периода, когда коэффициент эластичности положителен. Эти периоды разделены двумя периодами спада, когда коэффициент эластичности отрицателен.

1,500 1,400 1,300

0,900 0,900

У ♦ 0

♦ ♦ ♦

**

X

Рис. 5. Производственная зависимость

У ( х)

использовании для аппроксимации динамики У () кубических сплайнов

при х(г)

Рис. 6. Производственная зависимость использовании для аппроксимации динамики

У (г)

экспоненциальных сплайнов

Вычислительные эксперименты свидетельствуют о том, что применение кубических сплайнов может оказаться не эффективным при выявлении тенденций развития. Более удобными для решения этой задачи являются экспоненциальные сплайны (функции с кусочно-постоянными темпами изменения). В этом случае теоретическая производственная зависимость У (х) представляет собой функцию с кусочно-постоянной эластичностью. В таблице 2 приведены результаты одного из вариантов

и

аппроксимации производительности труда и фондовооруженности функциями с кусочно-постоянными темпами изменения. Полученные значения коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации составили для производительности труда 0,88 и 2,69 % соответственно, а для фондовооруженности труда - 0,96 и 3,9 %.

Таблица 2

Показатели динамики обрабатывающей промышленности США

Годы 1899-1905 1905-1911 1911-1916 1916-1919 1919-1922

Темпы прироста производительности труда ( %) 2,25 -0,16 2,42 -4,30 9,02

Темпы прироста фондовооруженности ( %) 3,93 3,39 3,21 5,22 10,58

Коэффициент эластичности 0,57 -0,05 0,75 -0,82 0,85

Из приведенного варианта расчетов следует, что можно определить три периода (1899-1905, 1911-1916 и 1919-1922 гг.), в которых коэффициент эластичности производственной функции обрабатывающей промышленности США был положительным, причем его значение было больше 0,5. В результате график соответствующей теоретической зависимости производительности труда от фондовооруженности имеет три интервала роста (см. рис. 6).

Установлено, что при использовании гипотезы о постоянстве коэффициента эластичности производственной функции обрабатывающей промышленности США за 1899-1922 гг. в пределах высокой точности аппроксимации теоретической модели значение этого коэффициента лежит в достаточно широком диапазоне (от 0,2 до 0,3); поэтому теоретически обоснованная оптимальная доля инвестиционных товаров в конечном продукте должна лежать между 20 % и 30 %. Использование гипотезы о постоянстве коэффициента эластичности производственной функции обрабатывающей позволяет получить лишь его грубую оценку, так как в течение 24 лет существенно изменилась не только структура обрабатывающей промышленности США, но и ее качественные показатели.

Использование метода сплайн-функций расширяет возможности анализа реальной макроэкономической динамики, позволяет получить оценки не только значений дифференциальных характеристик (темпов прироста, коэффициента эластичности) в разные периоды, но и границы этих периодов. Показано, что в 1899-1922 гг. обрабатывающая промышленность США проходила как стадии подъема, так и стадии спада. Применение функций с кусочно-постоянными темпами изменения позволило определить периоды постоянства коэффициента эластичности, а также найти «точки перелома» графика теоретической зависимости производительности труда от фондовооруженности.

Библиографический список

1. Бессонов, В. А. Анализ динамики российской переходной экономики / В. А. Бессонов, Ц. В. Цухло. - М. : ИЭПП, 2002. - 189 с.

2. Блауг, М. Экономическая мысль в ретроспективе / М. Блауг. - М. : Дело ЛТД, 1994. - 720 с.

3. Браун, М. Теория и измерение технического прогресса / М. Браун. - М. : Статистика, 1971. - 208 с.

4. Гурова, Т. И. Использование производственных зависимостей для анализа циклов экономики США / Т. И. Гурова, В. А. Фадеев // Исследование операций (модели, системы, решения): сб. научных трудов. -М. : ВЦ АН СССР. - 1991. - С. 64-97.

5. Дуглас, П. X. Существуют ли законы производства? / П. Х. Дуглас // Вехи экономической мысли. Рынки факторов производства. Т. 3 / Под ред. В. М. Гальперина. - СПб. : Экономическая школа, 1999. - С. 26-58.

6. Зоидов, К. Х., Анализ и регулирование циклического характера развития макроэкономической динамики стран постсоветского пространства / К. Х. Зоидов, М. В. Ильин // Экономика и математические методы, 2011. - Т. 47. - № 2. - С. 59-72.

7. Иванилов, Ю. П., Народнохозяйственная производственная функция. Сообщения по прикладной математике. Препринт ВЦ АН СССР / Ю. П. Иванилов, В. Б. Положишников, В. Н. Рассадин. - М. : ВЦ АН СССР, 1983. - 44 с.

8. Иванилов, Ю.П. Применение сплайнов для сглаживания динамических рядов : научное издание / Ю. П. Иванилов, В. В. Лебедев //Сообщение по прикладной математике. - М. : ВЦ АН СССР, 1990. - 48 с.

9. Клейнер, Г. Б. Производственные функции / Г. Б. Клейнер. - М. : Финансы и статистика. 1986. - 239 с.

10. Козенко, Б. Д История США / Б. Д. Козенко, Г. Н. Севостьянов. - Самара, 1994. - 170 с.

11. Коэн, A. Судьба дискуссии двух Кембриджей о теории капитала / А. Коэн, Дж. Харкурт // Вопросы экономики.- 2009. - № 8. - С. 4-27.

12. Antras, P. Is the U.S. Aggregate Production Function Cobb-Douglas? New Estimates of theElasticity of Substitution / P. Antras // Contributions to Macroeconomics. - 2004. - Vol. 4. - Iss. 1. - P. 1-36.

13. Blaug, M. The Cambridge Revolution : Success or Failure? A Critical Analysis of Cambridge Theories of Value and Distribution. Revised Edition. - L. : Institute of Economic Affairs, 1975.

14. Cobb, C. W. A Theory of Production / Charles W. Cobb, Paul H. Douglas // American Economic Review, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association. - 1928. - № 18(1). -P. 139-165.

15. Fraser, I. The Cobb-Douglas Production Function: An Antipodean Defence? / I. Fraser // Economic Issues Journal Articles. - 2002. Vol. 7. - Iss.1. - P. 39-58.

16. Harcourt, G. C. The Cambridge Controversies: Old Ways and New Horizons - or Dead End? / G. C. Harcourt // Oxford Economic Papers. - 1976. - Vol. 28. - № 1. - P. 26-65.

17. Weber, C. E. Pareto and the Wicksell-Cobb-Douglas Functional Form / C. E. Weber // Journal of the History of Economic Thought. - 1998. - № 20(2). - P. 203-210.

18. Robinson, J. The Production Function and the Theory of Capital / О. Robinson // Review of Economic Studies. 1953 - 1954. - Vol. 21. - № 2. - P. 81.

19. Solow, R. A Contribution to the Theory of Economic Growth / R. Solow // Quarterly Journal of Economics, -1956. - № 70. - Iss. 1. - P. 65-94.