Об определении площади статокинезиграммы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.2; 577.31

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОЩАДИ СТАТОКИНЕЗИГРАММЫ А.А. Колесников1, В.Е. Беляев1, А.Ф., Кононов2, С.С. Слива2

1ТРТУ, г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, каф. Систем автоматического управления, тел.: (8634) 37-16-89, e-mail: kolesnikow @ccsd. tsure.ru.

2ЗАО «ОКБ «РИТМ», г. Таганрог, ул. Петровская, 99, тел.: (8634) 36-31-90, e-mail: [email protected].

Стабилография - методика исследования постуральной системы (ПС), ответственной у человека за поддержание вертикальной позы. Эта методика состоит в регистрации и анализе дискретных квантованных координат [X(nAt), Y(nAt)] положения на плоскости центра давления (ЦД) человека [1]. Траектория перемещения ЦД называется статокинезиграммой (СК). Пример множества точек СК приведен на рис.

1. Величина площади СК характеризует качество исследуемого процесса поддержания вертикальной позы и может быть использована для диагностики функционального состояния и нарушений в ПС человека. Существует несколько подходов к исследованию процессов, протекающих в ПС.

Рис. 1. Статокинезиграмма.

При статистическом подходе для оценки площади СК множество точек положений ЦД заменяется некоторой фигурой, содержащей заданное относительное число точек Д. Эта замена

упрощает оценку площади, занимаемой множеством отсчетов. Наиболее простой фигурой, отражающей близость распределения наблюдаемых координат к нормальному двумерному, является эллипс. Элементами эллипса, однозначно его определяющими, являются направление и величина полуосей. Во всех рассмотренных далее вариантах при статистическом подходе отношение полуосей эллипса равно отношению среднеквадратических отклонений (СКО) компонент в выбранных направлениях, а величина полуосей равна произведению этих СКО на коэффициент пропорциональности к*. Известно несколько способов выбора элементов эллипса: а)

Французская ассоциация постурологии (ФАП) [2] при построении эллипса предлагает за направление полуоси выбрать прямую регрессии координаты X на У:

у = <Л ¥ (1)

В(Х>

где Сау (Л,¥ > - ковариация переменных X и У;

Б(-> - дисперсия соответствующей

переменной.

Такой подход предполагает существование у ПС независимой входной переменной X и функционально с ней связанной выходной переменной У.

b) Поскольку нет никаких причин считать сигнал У зависимым, то по аналогии с предыдущим вариантом, в качестве направления полуоси можно выбрать прямую регрессии У на X:

« = Сау ( Л ¥ > у. (2)

Б(¥> '

В общем случае способы а) и Ь) дают разные эллипсы. По предложению ФАП [2] коэффициент к* равен величине квадратного

корня из квантиля ^-2 - распределения для двух степеней свободы и

заданного уровня значимости Д

c) В качестве направления полуоси можно выбирать среднее направление двух прямых регрессии:

Сау 2( Л ,¥ > Г Б 2( Л >

1 +-----, + 1 +

Б 2(У) У Соу 2( X ,У) (3)

У = "і —, х.

ц , Б2(У) , і , Соу2(Х,У)

Соу 2(Х,У) у Б2(Х)

Описанные выше подходы требуют предварительной проверки нормального распределения наблюдаемых координат.

ф) Исходя из нормального распределения наблюдаемых переменных, можно построить эллипс рассеивания для двумерного случайного процесса [3]. При этом наклон главной полуоси эллипса с осью ОХ составляет угол

Г /V ТА N

2Соу (X ,У)

(4)

Б( Л > - Б(¥ >,

Вероятность попадания в эллипс Д зависит от величины эллипса или коэффициента к*:

Д(к, > = я

С

где С

Хо, Уо координат; Г

х

■2 у2

о у о

г2

ч хо

Г

2

У0 )

Лхойуо,

(5)

контур, ограниченный эллипсом рассеивания;

- переменные в развернутой на угол а системе

- СКО соответствующих переменных.

После интегрирования выражения (5) получена следующая зависимость между коэффициентом пропорциональности и вероятностью попадания в эллипс:

= \1— 21п(1 — Д> . (6)

е) Направления полуосей можно выбрать по направлению собственных векторов ковариационной матрицы Б( Л > Сау ( Л ,¥ >

Сау ( Л ,¥ > Б(¥ >

случайного двумерного процесса [4]. Ее собственные числа

1

(7)

, Б( Л > + Б(¥ >^

* 1,2=-----------2--------±

Б( Л > — Б(¥ >')

2

+ Сау ( Л ,¥ >2 (8)

определяют дисперсии вдоль выбранных направлений, а корень из их отношения равен отношению полуосей эллипса. В этом случае предположения о нормальном распределении координат ТЦД не требуется.

/) После перехода к полярным координатам строится гистограмма радиусов от величины угла, считая противоположные направления за одно. Направление полуоси выбирается по равенству 0,5 функции распределения радиуса от угла.

Из всего описанного многообразия подходов стоит задача однозначного выбора эллипса, содержащего заданный процент точек СК и, по возможности, обладающего меньшей площадью. Как известно, площадь эллипса пропорциональна произведению величин его полуосей и, следовательно, ее величина будет минимальна, если произведение СКО в выбранных направлениях будет минимальным.

Как видно из выражений (1) и (2), при построении полуосей эллипса на прямых регрессии, их направление зависит от корреляции переменных X и У. При повороте множества точек относительно координатных осей их взаимная конфигурация не меняется, а положение линий регрессии относительно облака точек меняется, т.к. меняется корреляция переменных. Следовательно, меняется ориентация и площадь эллипса. Переход к базису из собственных векторов и нормализация эллипса рассеивания обращает корреляцию переменных в нуль в развернутой системе координат, и поэтому эти способы определения направления полуосей эквивалентны друг другу. Более того, в развернутой на угол а (4) системе координат направления полуосей эллипсов, построенных способами а), Ь), й) и е) одинаковы и совпадают с координатными осями. Совпадает также величина их полуосей. Пример построенного таким образом эллипса приведен на рисунке 2. Известно [4], что разложение по собственным векторам ковариационной матрицы минимизирует дисперсии данных в этом базисе. Если отношение полуосей эллипса равно отношению СКО

1

е

компонент в направлениях полуосей эллипса, невозможно построить эллипс с меньшей площадью, чем площадь эллипса рассеивания или эллипса, построенного на собственных векторах ковариационной матрицы. Поэтому варианты с) и/) далее не рассматриваются.

20

15

Y, , мм :

■25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

X, мм

Рис. 2.

Эллипс рассеивания (для уровня значимости Р = 0,9)

Для всех описанных способов построения эллипса, кроме способа А, при выборе величины полуосей используется предположение о распределении координат ЦД по нормальному закону. Из чего следует, что эллипс, содержащий все точки СК (Р = 1), будет иметь бесконечные размеры полуосей (6). Отклонение от нормального закона приводит к отклонению реального числа точек, попавших в эллипс, от желаемого. Так, для примера, приведенного на рисунке 2, процент попавших в него точек составил 91,46 %, а площадь эллипса - 370,74 мм 2. Чтобы обеспечить требуемое отношение Р, необходимо итеративно определить величину полуосей. Итеративный процесс может привести к увеличению вычислительных затрат, которые пропорциональны числу итераций.

Эти затраты можно сократить, используя гистограмму количества точек, попадающих в эллипс с заданными величинами отношения к и направления а его полуосей. При заполнении гистограммы можно пользоваться следующим алгоритмом. Перебирая все точки статокинезиграммы, определить величину полуоси эллипса

ai =*J(Xi cos а — Yi sin а)2 + kS (Y cos а + Xi sin а)2 , (9)

на границе которого находится текущая точка. По определенной величине полуоси определить номер ячейки гистограммы, которой она принадлежит, и добавить единицу в ячейки с найденного номера и до

If*—Л

конца гистограммы. После окончания перебора точек необходимо нормировать гистограмму, разделив все ее элементы на число точек статокинезиграммы. По заданной вероятности Р определить наименьшую величину полуоси эллипса. Для примера, приведенного выше на рисунке

2, минимальная площадь эллипса, содержащего 89,99 % точек, составляет 348,5 мм 2, что на 6,1 % меньше площади эллипса рассеивания, определенного по варианту d).

Таким образом, предложенный способ построения эллипса, содержащего заданный процент точек СК, обладающего минимальной площадью и не использующего предположения о нормальном распределении наблюдаемых переменных, состоит в следующем:

- направления полуосей совпадают с направлениями собственных векторов ковариационной матрицы (7) или векторов, образующих матрицу поворота на угол а, определяемый выражением (4);

- отношение полуосей равно отношению СКО компонент в выбранных направлениях;

- величина полуоси определяется по предложенному выше алгоритму, обеспечивающему заданный процент точек, попадающих в эллипс.

Синергетический подход к исследованию процесса поддержания стоящим человеком вертикальной позы состоит в том, что, несмотря на шумоподобный вид регистрируемых координат ЦД, они не случайны, т.к. человек управляет положением сегментов своего тела, сокращая число избыточных степеней свободы и амплитуду их колебаний, а ПС можно рассматривать как динамическую систему. Для стоящего человека следствием больших амплитуд колебаний ЦД может быть выход ЦД за опорный контур и падение человека. Поэтому методически неправильно игнорировать редкие высокоамплитудные выбросы, наличие которых является признаком нарушений в системе управления вертикальной позой.

Ранее было показано [5, 6], что ПС обладает малоразмерным хаотическим аттрактором, который может быть описан тремя динамическими переменными, а СК является проекцией многомерного фазового пространства на плоскость. Важной характеристикой ПС является величина фазового объема, в котором заключена ее фазовая траектория. Для оценки фазового объема необходимо строить фигуру, содержащую все точки СК. Площадь эллипса будет заведомо больше площади выпуклого многоугольника, вершинами которого являются граничные точки СК. Поэтому был разработан алгоритм, который характеризуется линейной зависимостью вычислительных затрат от количества точек СК. В результате семи итераций получена фигура, представленная на рис. 3. Площадь выпуклого многоугольника, образованного граничными точками СК, составила 609,63 мм 2.

^7

Y,

мм

-25 -20 -15 *10

10 15 20 25

X, мм Рис. 3.

Выпуклый многоугольник, построенный на граничных точках статокинезиграммы

В итоге можно утверждать, что оценка площади СК как площади выпуклого многоугольника является однозначной и не требует предварительной проверки гипотез распределения наблюдаемых координат ЦД. Также можно предположить, что полученная таким способом величина площади СК более точно характеризует процессы, протекающие в ПС, и может быть использована в дальнейшем для оценки фазового объема, содержащего аттрактор ПС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гурфинкель В.С., Коц Я.М., Шик М.Л. Регуляция позы человека М.:

Наука, 1965.

2. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Стабилометрия - М.:

АОЗТ «Антидор», 2000.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматлит,. 1962. - 564 с.

4. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир,

1978. - 412 с.

5. Розенблюм М.Г. Диагностика автоколебательных систем по

экспериментальным данным: Автореф. канд. физ.-мат. наук. -Саратов, 1990. - 17 с.

6. Кононов А.Ф. Синергетический метод исследования постуральной

системы человека: Автореф. канд. техн. наук. - Таганрог, 2001. -16 с.