CC BY
7
Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 3, С. 3^14
УДК 517.946
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В ЛИНЕЙНОМ ЭЛЛИПТИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ
Р. А. Алиев
Исследуется обратная задача нахождения коэффициентов при старших производных эллиптического уравнения с различными граничными условиями в заданном прямоугольнике. Рассматриваемые в обратных задачах неизвестные коэффициенты также входят в дополнительные условия. Доказана теорема существования, единственности и устойчивости решения поставленной обратной задачи. С помощью метода последовательных приближений построен регуляризирующий алгоритм для определения коэффициентов.
Ключевые слова: обратная задача, эллиптическое уравнение.
1. Введение
Обратные задачи по определению коэффициентов дифференциальных уравнений с частными производными представляют интерес во многих прикладных исследованиях. Чаще всего такие задачи допускают только приближенное решение и некорректны в классическом смысле. К ним относятся задачи идентификации неизвестных плотностей источников и коэффициентов. Большое значение имеют коэффициентные задачи для эллиптических уравнений, в которых неизвестные коэффициенты не зависят от одной переменной [1-11]. Задача для прямоугольной области с дополнительным условием совпадения коэффициентов при старших производных исследовалась в [2] при п = 2. Нами рассмотрен более широкий класс обратных задач в прямоугольнике.
В настоящей работе исследуются вопросы корректности одного класса обратных задач определения коэффициентов эллиптического уравнения. Построен регуляризирующий алгоритм определения коэффициентов.
1. Постановка задачи
Пусть
/1 = {1, 2}, 12 = {3,4}, 1з = {1, 3}, /4 = {2,4}, р е /ь ш = р +(-1)р+1,
1 , - Р о
=14----, Ш2=3-Ш1.
Пусть при ¿0 е I] п 12+р, к = , г2 = 5 - 2], г3 = 6 - 2], ] = 1, 2.
© 2016 Алиев Р. А.
Рассмотрим при фиксированных параметрах ¿0) р задачу определения функций йад (жр), п(ж1,ж2), удовлетворяющих уравнениям
-Й1(Ж1)а2(Ж2)пЖ1 XI - аз(Ж1 )а4(Ж2)пЖ2ж2 + с(Ж1,Ж2)и = Л(Ж1 ,Ж2), (Ж1,Ж2) £ В, (1)
п(0,Ж2) = Ф1 (Ж2), и(11 ,Ж2)= Ф2(Ж2), 0 ^ Ж2 ^ ¿2, п(ж1 , 0) = ^1(ж1 ), п(ж1;12) = ^2(ж1 ), 0 ^ ж1 ^ 11, а»0 (жр)а»1 (0)ижш (ж1 ,Ж2)|хш =0 = (жР)
0 ^^ Жр ^^ ¿р,
(2)
(3)
(4)
при условиях ф1 (0) = ^1(0), ф1 (¿2) = ^2(0), Ф2 (0) = ^(¿1), 02^) = ^(¿1)-
Здесь
В = {(ж1 ,ж2) : 0 < ж1 < ¿1; 0 < ж2 < ¿2},
а»1 (Жш), а»р+1 (Жр), а^-р(жш), с(ж1,ж2), Л,(ж1 ,Ж2), ^¿(ж2), ^¿(Ж1), #¿0(Жр), г = 1,2, ^заданные функции а^1 (жш),аг4_р(жш) £ Са[0,У, а»р+1 (Жр) £ Са[0,¿р], с(ж1 ,Ж2) £ Са(В), Л(ж1 ,Ж2) £ Са(В), фг(ж2) £ С2+а[0, ¿2], ¥Ч(Ж1) £ С2+а[0, ¿1 ], 5го(жр) £ Са[0,¿р], г = 1,2, 0 < а < 1.
В задачах теплофизики условие (4) является выражением теплового потока на границе (р — 1)ж1 + (2 — р)ж2 = 0.
Определение, функции {а^0(жр),и(ж1 ,ж2)} назовем решением задачи (1)-(4), если 0 < а^0 (жр) £ С[0, ¿р], п(ж1;ж2) £ С2(В^ С(В) и удовлетворяются соотношения (1)-(4).
Нетрудно проверить, что если решение задачи (1)-(4) существует, то при принятых предположениях о гладкости данных задачи а^0 (жр) £ Са[0, ¿р], и(ж1, Ж2) £ С2+а(В). Дей-етвительно, при принятых предположениях из общей теории эллиптических уравнений следует, что и(ж1,ж2) £ (В) С С 1+а(В)) при р1 > 2. Поэтому из дополнительного условия (4) следует, что а^0 (жр) £ Са[0, ¿р]. Поэтому п(ж1,ж2) £ С2+а(В) [12, с. 157].
Уравнение (1) также можно записать в следующем виде:
—а»0(Жр)а^ (жш)пЖш1 хШ1 — а»р+1 (жр)а»4_р (Жш)пж^2+ с(ж1 ,Ж2)и = Л,(жьж2), (Ж1 ,Ж2) £ В.
2. Единственность и устойчивость
Пусть кроме задачи (1)-(4) задана еще задача (1)-(4), где все функции, входящие в (1)-(4), заменены соответствующими функциями с чертой. Положим
2(Ж1,Ж2) = и(Ж1,Ж2) — и(Ж1 ,Ж2), (Жр) = (¿0 (Жр) — а»0 (Жр),
¿¿1 (жш ) = Йг1 (жш ) — а«1 (жш ^ ¿¿р+1 (жр) = (жр) " " "¿Р+1 (ЖP),
¿¿4_р (жШ) = Йг4_р (жШ) — а»4_р (жш), ¿¿0 (Ж1,Ж2) = 1(Ж1,Ж2) — с(Ж1 ,Ж2),
^б(Ж1 ,Ж2) = Л(Ж1 ,Ж2) — Д(Ж1,Ж2), ¿¿+5 (Ж2) = Ф(Ж2) — фг(Ж2),
¿¿+7 (Ж1) = ^¿(Ж1) — ^¿(Ж1), ¿10 (Жр) = (/¿0 (Жр) — #¿0 (Жр), г = 1,2.
Через ¿р(ж1,ж2) обозначим функцию, совпадающую на границе при каждом р £ /1 с ¿¿+5(Ж2), ¿¿+7(ж1 ), г = 1, 2, соответственно и принадлежащую С2+а(В). Обозначим
, (2 — г)Ь — (— Ь'
функция ¿р(ж1 ,Ж2) определяется следующим образом:
<5р(Ж1 ,ж2) = ^ Р(Ж1)^г+5(«2) + Д^) 1
2 г - /
¿г+7(Ж1) + ^-^¿г+7(0) + ^¿7(*г2 - 12) /1 /1
(1) (4)
1«(Ж1,Ж2)| ^ шах I шах , тах тах \Фг{х2)\,\^Рг{х1)\
У Э с(жьж2) Х1,Х2 г 1_'г
<3 Оценка легко вытекает из принципа максимума. >
Единственность решения обратной задачи (1)-(4), в предположении его существования, устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть при фиксированных параметрах ¿0, р выполнены условия (жр) = 0 N/1/2 < 1. Тогда решение задачи (1)-(4) единственно и верна следующая оценка:
||аго (жр) - а»о (жР)Ус[о,гр] + ||и - иЦэ)
< |аг1 (жш) - а»1 (жш)|С[0,гш] + ||агр+1 (жР) - «гР+1 (жР)|с[о,гр]
(жр) а»4-р (жр)|с[0,1р] + ||с(жЬж2) - с(ж1 ,ж2)|с(Г>)
2
+ ||Л(ж1,ж2) - Л(ж1 ,ж2)||с<(Э) + ^
2
(ж2) - (ж2)|С2[0,12]
(5)
+ (ж1) - ^г(ж1)|С2[0,11]
+ У"* (жР) - 5го (жр)|С[0,1р] ^
где N N1 — положительные постоянные, зависящие от данных задачи и множества решений, соответственно.
< Из (1)-(4) вычтем (1)-(4) и положим 2 (ж1;ж2) = 2(ж1;ж2) - ¿р(ж1,ж2). Тогда получим
- "го (жР) 11г1 (жш ) 21жш1 жш1 11гР+1 (жр ) а»4-р (жш ) 21жш2 жш2
~ (6) = ¿11 (ж1,ж2) - С(ж1,ж2)^р(ж1,ж2) - с(ж1, ж2)2 + п(ж1,ж2)Лго (жр), (ж1 ,ж2) € Д
21(0, ж2) = 0, 21(/1,ж2) = 0, 0 < ж2 < /2, (7)
21 (ж1,0) = 0, 21 (ж1, /2) = о, 0 < ж1 < /1, (8)
Лго (жр) = ¿12 (жр) + 7(жр)^рхш (ж1,ж2)|хш =0 + (ж1,ж2)|*ш =0, 0 ^ жр ^ /р. (9)
Здесь
¿11 (ж1, ж2) = а»о (жр)1»1 (ж (ж1,ж2 ) + 1гР+1 (жр)йг4-р (ж (ж1 ,ж2)
+ а»о (жр)ижШ1 ХШ1 (ж1, ж2№1 (жш) + 1г4-р (жш)их„2х„2 (ж1, ж2^¿р+1 (жр)
+ а»р+1 (жр)«хШ2хШ2 ¿»4-р (жш) - «¿го (ж1,ж2) + ¿5^1, ж2), П(ж1,ж2) = Й»1 (жш)«яШ1 хШ1,
7 (жр) = а»о (жр)[-«Хы (ж1,ж2 )|хы =0 ]-1, ¿12 (ж1 ,ж2) = [а»1 (жш)иЖш (ж1, ж2) | =0]-1 [¿11 (жр) - а»о (жр)«Жш (жЬж2)] 1 =^¿1 (0), I = 1, 2.
При помощи функции Грина [13] из (6)-(8) определим функцию 21 (ж1 , Ж2) через правую часть равенства и это выражение подставим в условие (9). Тогда получим
2(Ж1,Ж2) = <5р(Ж1,Ж2) + J С(Ж1 ,Ж2,^1,^2)
Б
X
¿11 (¿1, 6) — ((¿1 , 6)2(¿1, ¿2) + ^(¿1, ¿2^*, (¿р) ¿¿2
^¿0 (Жр) = ¿12 (Жр) + 7(Жр^ У (Ж1, Ж2, ¿1, ¿2)
р> ^х^^ 1x^=0
Б
X ¿11 (¿1,¿2) — 6(6^2)2(6^2)+ П(6,¿2)^¿0(¿р)] ¿¿1 ¿¿2, г = 1,2. функция Грина имеет следующую оценку [13]:
№ЬЖ2,6,Ы1 <М11П- 1
(ж1 ,Ж2,¿1,¿2)| < М.+1[(Ж1 — ¿1)2 + (Ж2 — ¿1)2]-1/2, M¿ > 0, г = 1,2,3. (10)
Положим
X = тах |2(Ж1 ,Ж2)| + тах ^¿0 (Жр)|.
Х1,Х2 Хр
В
X ^ ¡¿¿1 (жш)1с[о,гш] + ¡¿¿Р+1 (жр)1с[о,гр] + ¡¿¿4_р (ж^] + ¡¿¿0 (Ж1 ,Ж2+ ¡¿5(Ж1,Ж2)|С(_Б) + ||1р(Ж1,Ж2)|С2(_о)
+ ^¿10(Жр)Ус[0)1р1 ]] + )1/2,
где N2, N3 — некоторые положительные числа. Учитывая условие теоремы, получим,
(Ж1, Ж2) £ В следует из оценки (5). >
3. Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений для решения задачи (1)-(4) применяется по схеме
— (жp)a¿l (жШ^Х^ж)^ — a¿p+l (жP)a¿4_p (жШ)иХш+ж12 (11)
+ с(ж1 ,ж2)п(5+1) = л(ж1,ж2), (ж1 ,ж2) £ В,
и(5+1} (0,Ж2) = ф1(Ж2), Н(5+1) (¿1 ,Ж2)= ф2(Ж2), 0 < Ж2 < ¿2, (12)
П(5+1)(Ж1, 0) = ^1(Ж1), П(5+1) (Ж1, ¿2) = ^2(Ж1), 0 < Ж1 < ¿1, (13)
а(о+1} (жP)a¿l (0)иХ1+1) (Ж1, Ж2)|хш =0 = £¿0 (жр^ 0 < Жр < ¿р. (14)
Последовательные итерации по схеме (11)—(14) проводятся следующим образом. Сначала выбирается некоторое а^ (жр) > 0, принадлежащее Са[0, ¿р], и подставляется
в уравнение (11). Далее решается задача (11)—(13) и находится и(1)(Ж1,Ж2)• По функции иХ1 (Ж1,Ж2)|ХШ=о ю условий (14) находится а(1 (жр) и эта функция используется для проведения следующего шага итерации.
Теорема 2. Пусть при фиксированных параметрах го, р решение задачи (1)-(4) существует и дго(жр) = 0, 12 < 1, и(0)(ж^ж2) £ С2(^), а(^)(жр) £ Са[0,1р],
(жР)иХ^ (ж1 ,ж2)|Хш =о > 0 при всех в = 0,1,...; N — положительная постоянная, зависящая от данных задачи. Также допустим, что производные функции и(0)(ж1, ж2) по жь ж2 до второго порядка равномерно ограничены. Тогда функции а(^)(жр), и(0)(ж1 ,ж2), полученные методом последовательных приближений (11)-(14) при в ^ равпомер-
(1) (4)
< Положим
2(5)(ж1 ,ж2) = и(ж1,ж2) - и(0)(ж1 ,ж2), А^ (жр) = а»о (жр) - а^жр). Легко проверить,что эти функции удовлетворяют системе
-аго (жр)ап (жш— а«Р+1 (жР)а«4-р (жш+ С(ж1,ж2)2( + )
= п(5)(ж1 ,ж2)А(05)(жр), (ж1 ,ж2) £ Д
2(о+1)(0,ж2) = 0, 2(0+1)(11 ,ж2) = 0, 0 < ж2 < 12, (16)
2(0+1)(жь 0) = 0, 2(о+1) (ж1,12) = 0, 0 < ж1 < 11, (17)
А(0+1)(жр) = 7(о)(жр)2Х0+1)(ж1,ж2)|хш=о, 0 < жр < 1р, (18)
(15)
где
г "1—1
П(0)(ж1, ж2) = ап (жШ)и4°+ XI, , 7(0)(жр) = аго (жр) - иХ0ш+1) (ж1,ж2)|Хш =о
, г = 1,2.
При помощи функции Грина из (15)-(17) выразим 2 (0+1) (ж1 ,ж2) через правую часть равенства (15) и подставим это выражение в условия (18). Тогда получим
А(0+1)(жр) = 7(0)(жр)| (ж1 ,ж2,^1,^2)|хы =оП(0)(^1 ^А^р) ^ (19)
Б
Положим х(0) = тахХр |А(0)(жр)|. Далее, как в доказательстве теоремы 1, из системы (18) следует х(°+1) ^Х(0)^(^12)1/2. >
4. Существование решения
Обозначим
/¿(жр) = (2 - р)<(ж1) + (р - 1)фг(ж2), /¿(жш) = (2 - р)фг(ж2) + (р - 1)<(ж1), г = 1, 2. Пусть /¿(0) = (2 - р)фг (0) + (р - 1)< (0), г = 1, 2. Лемма 2. Пусть система
-а1(ж1)а2(ж2)иЖ1Ж1 - аз(ж1)а4(ж2)иЖ2Ж2 + с(ж1 ,ж2)и = Л.(жьж2), (ж1 ,ж2) £ Д (20)
u(0,X2) = Ф1 (X2), u(1i ,Ж2)= Ф2 (X2), 0 ^ Ж2 ^ ¿2, (21)
u(xi,0) = ^i(xi), u(xi,l2) = ^2(^1), 0 ^ Xi ^ li, (22)
aio (xp)aii (0)u^(xi,Ж2)|Жш=0 = gio(Xp), 0 ^ Xp ^ (23)
с начально-краевыми условиями 0i(0) = ^i(0), ^i(12) = ^>2 (0), ф2(0) = ^i(1i), ф2(12) = (1i) ПРИ заданных a2i-i(xi), a2i(x2) ^ > 0, c(xi, x2) > 0, i = 1,2, имеет решение, принадлежащие C2(D) П C (D) и
0 <c(xi,X2) ^ 1, -MpL ^ h(xi,x2) ^ 0, ^i(0) ^ 0,
(2 - р)ф2(0) + (p - 1)^i (0) ^ 0, /2(xp) ^ 0, /ixpxp (xp) = 0, m(i1p - 1p)1-ixw ^ /(0) -/(xp) ^ MpXw, m(xp) ^ /i(xp) - /2(xp) ^ Mpl^, i = 1,2.
Тогда
где
-Mp - (л/2/io) 2L/i(xp) < пЖш(хьх2)|ж =Q ^ —т(хр)1ш1, (24)
Mp = ma^ 1-1 max |h(xi, x2)|, (2 - p) max max |0ixi (x2)|,
[ D X2 i
(p - 1) max max (xi)|, max (x2) - [Ф1(x2)]], max1-1[^4(xi) - ^2(xi)]
Ж1 i X2 Ж1
m(xp) G C2[0,1p], m(xp) > 0, m/;(xp) ^ 0.
< Положим
u(xi,x2) = u(xi,x2) + (2 - p^xi)/-1 x2 + (p - 1)m(x2)1-ixi - /i(xp),
V (xi,x2) = u(xi ,x2) - M [(2 - p)x2 + (p - 1)xi] -(2 - p)(V2/J.o)~2x2(l2 -x2)</?i(xi) - (p- 1)(л/2/хо)"2х2(/2 - x2)(/>i(x2) + /i(xp). Нетрудно проверить, что u(xi, x2) удовлетворяет условиям задачи
-ai(xi)a2(x2)uxixi - аз(xi)a4(x2)иЖ2Х2 + c(xi,x2)u = a2p-i(xi)a2p(x2)m//(xp)1-ix^ + c(xi,x2) [m^l-1 - /i(xp)] + h(xi,x2), (xi,x2) G D,
u(0, x2) = (2 - p) [Ф1 (x2) + m(0)1-1 x2 - (0)], 0 < x2 < I2,
u(1i,x2) = (2 - p) [Ф2(x2) + m(1i)1-1x2 - </?i(ii)]
+ (p - 1) [Ф1 (x2) + m(x2) - Ф1 (x2)], 0 ^ x2 ^ I2,
u(xi, 0) = (p - 1)[pi(xi) + m(0)1-1 xi - 0i(0)], 0 < xi < h
u(xi,12) = (2 - p) [^2(xi) + m(xi) - (xi)]
+ (p - 1)[^2(xi) + m(l2)1i-1 xi - Ф1 (¿2)], 0 < xi < 1i.
По условию леммы, наибольшее положительное значение функции и(х1 достигается при (р — 1)ж1 + (2 — р)ж2 = 0. Тогда иХш(ж1,ж2)|х =0 ^ 0. Учитывая, что и(ж1;ж2) = п(ж1 ,ж2) + т(жр)1-1жш — /1(жр), получаем
«хы (ж1 ,ж2=0 < —т(жр)1-1. (25)
Как и выше, после подстановки V(ж1,ж2) в (20)^(22) получим
—ая(ж! )й2(ж2)КС1 Х1 — аэ(ж1 )й4(ж2 )Кг2Ж2 + с(ж1 ,ж2 )V = ^-2а5-2р(ж1)а6-2р(ж1 )/1(жр) + с(жьж2) [1 - (л/2/х0)~2жш{1ш - жш)]/1(жр) - Мрхшс(х1,х2) - Ь,{х\,х2), (жьж2) £ Д
У(0, ж2) = (2 - р) [ - ф1 (ж2) - Мж2 + (0) - (^2/х0)"2ж2(/2 - ж2)<^ (0)], 0 < ж2 < 12,
У(1Ъж2) = (2-р)[-ф2(х2) -Мх2 + <р1(11) - (^0)"2ж2(/2 -ж2)<^1(/1)] + (р — 1) [ — ф2(ж2) + ф1 (ж2) — М^] , 0 < ж2 < ¿2,
У(жЬ0) = (р 1) [ (ж1) Мх\ ф\ (0) - (^оГ2ж1(/1 -ж1)01(О)], 0^ж1 < Д
у(жь/2) = (р- 1)[-<^2(ж1) -мж1 +ф!(/2) - (^оГ2ж1(/1 — жх)01 (г2)] + (2 — р)[—^2(ж1) — М12 + (ж1), 0 < ж1 < ¿1.
По условию леммы, наибольшее положительное значение функции V(ж1,ж2) достигается при (р — 1)ж1 + (2 — р)ж2 = 0 Поэтому (ж1,ж2) ^ 0. Учитывая, что
У(хъх2) = п(жьж2) - Мхш - (у/2/ло)~2хш(1ш -хш)^(хр) - ^(хр),
получаем
—Мр — (^ 0) /1 (жр) ^ (ж1,ж2)|хш =0. (26)
Объединяя оценки (25) и (26), получим оценку (24). > Теорема 3. Пусть
0 <с(ж1 ,ж2) < 1, —Мр/Ш < Л(ж1,ж2) < 0, (0) ^ 0,
(2 — р)ф2(0) + (р — 1)^1 (0) ^ 0, /2(жр) ^ 0, /^(жр) = 0, т(г/р — 1р)/-1жш ^ /(0) — /(жр) ^ Мржш, т(жр) ^ /1 (жр) — /2 (жр) ^ Мр1ш,
«¿1 (0) 2
где т(жр) — такие неотрицательные функции, что (жр)[т(жр)]-1 ограничено, др — положительное число. Тогда задача (1)-(4) имеет хотя бы одно решение.
< Доказательство проводится методом последовательных приближений. Из утверждения леммы следует, что
д^(хр)<0, др ^ —дго(хр)—-- - -1шЬ{хр), г = 1,2.
Тогда
-Мр - (л/2/хо) 2/ш/1(жр) ^ п^+1)(жьж2)иш=о ^-^(жр)/^1, 0 < жр < 1Р
дрМр V- 1 ^ а^+1) (жр) ^ — ^ (жр)И(жр)] 1} ■ 1Ш.
Хр
Таким образом, при всех приближениях a^^xp) — строго положительная, непрерывная и равномерно ограниченная функция. Тогда из общей теории эллиптических уравнений следует, что при условиях теоремы последовательность {u(s) (xi,x2)} равномерно ограничена по норме Wpp pi > 2. Поэтому {u(s)(xi, x2)} компактна в C 1(-D). При этом из условия (14) следует, что последовательность a(S+1) (xp) будет компактна в C[0,1p]. Отсюда и из (11)-(13) вытекает компактность {u(s)(xi,x2)} в C2(D). В системе (11)-(14), переходя к пределу при s ^ получим, что существует пара функций {ai0 (xi),u(xi,x2)}, удовлетворяющих условиям (1)-(4). >
5. Другие постановки обратных задач
i0 p
ai0(xp),u(xi, x2), удовлетворяющих уравнениям
-ai(xi)a2(x2)uxixi - a3(xi)a4(x2)ux2x2 + c(xi,x2)u = h(xi,x2), (xi,x2) G D, (27)
(2 - p)uxi (0,x2) + (p - 1)u(0,x2)= 0i(x2), 0 < x2 < ¿2, (28)
(2 - p)uxi (1i,x2) + (p - 1)u(1i ,x2 )= 02(x2), 0 < x2 < ¿2, (29)
(p - 1)ux2 (xi, 0) + (2 - p)u(xi, 0) = (xi), 0 < xi < 1i, (30)
(p - 1)ux2 (xi, ¿2) + (2 - p)u(xi, ¿2) = ^2(xi), 0 ^ xi ^ 1i, (31)
aio (xp)aii (0)пЖш ^ =0 = gio (xp), 0 < xp < (32)
при условиях (p - 1)[^ix2 (j¿2 - ¿2) - (^1 - ¿1)] = (2 - p)[0i(j^2 - ¿2) - ^jxi (^1 - ¿i)], i, j = 1, 2. _
Здесь ^i(x2) G Cp+a[0, ¿2],^i(x1) G C3-p+a[0, ¿1 ], i = 1, 2. Функция ¿p(x1 ,x2) определяется следующим образом:
¿p(xi,x2) = У] Pi(xw)
i,j = 1
¿i-2p+9(xp) + (1 - xp)^(i-2p+9)xp (0)
x2 p
xp x
2
I -~p« 2p+4\"-"I „7 26p 2tp
~ 2
Лемма 3. Пусть решение задачи (27)-(32) существует и
/¿(жш) ^ 0, (х2) ^ 0, (Х1) ^ 0.
Тогда верна следующая оценка:
Д(ж1, х2)
+ ( 1 ~ ^Г ЖР^2Р+4(ЖШ) + —j— ¿2р+5 (жш) •
|u(x1,x2)| ^ max Теорема 4. Пусть
max D
c(xi ,x2)
, (2 - p) max max |0i(x2) |, (p - 1) max max (x1)
X2 i xi i
0 < c(x1 ,x2) ^ 1, -Mp^ ^ h(x1,x2) ^ 0,
/2(xp) ^ 0, /1xpxp (xp)=0,
(^2/х0)"2жш(жш - L)/i(0) < /i(0) - fi(xu) < m'(0)C4
т'{1р)1ш1хш ^ /2(0) - /2(жш) ^ (л/2/хо) 2хш(хш - ¿ш)/г(0), т(жр) ^ /1 (хр) - /2(жр) ^ ,
5го(жр)<0, ^ - ¿ = 1,2,
где т(ар) — такие неотрицательные функции, что (жр)[т(жр)]-1 ограничено, др — положительное число. Тогда задача (27)^(32) имеет хотя бы одно решение.
Рассмотрим при фиксированных параметрах ¿о и р задачу определения функций а«0(ар), и(х1 ,Ж2), удовлетворяющих уравнениям
-01(21)02 (Ж2)иЖ1ж1 - Й3 (XI )й4 (Ж2)«х2х2 + с(Х1 ,Ж2)н = Л.(ЖЬЖ2), (а, Х2) € Д (33) (2 - р)пЖ1 (0,22) + (р - 1)Н(0,Ж2) = ф1(Ж2), 0 < Х2 < ¿2, (34)
«(¿1 ,Х2)= ф2(Х2), 0 ^ Х2 ^ ¿2, (35)
(р - 1)«х2 (Х1, 0) + (2 - р)и(х1, 0) = ^1(Ж1), 0 ^ Х1 ^ ¿1, (36)
п(Ж1 ,¿2) = ¥2(Х1), 0 ^ Х1 ^ ¿1, (37)
а«о (хр)а»1 (0)пЖш =о = 5го (хр), 0 ^ Хр ^ ¿р, (38)
при условиях
(р - 1)Ф1Х2 (0) + (2 - р)ф1 (0) = (р - 1)^1 (0) + (2 - р)^1С1 (0), (р - 1)Ф2Х2 (0) + (2 - р)ф2(0) = ¥1^), (2 - р)^2х1 (0) + (р - 1)^2(0) = Ф1 (¿2), Ф2(¿2) = ¥2(¿1).
Здесь Ф1(Х2) € Ср+а[0Л], Ф2(Ж2) € с2+а[0Л] ¥>1 (а*) € С3-р+а[0, ¿1 ], ¥2Ы € С2+а[0, ¿1 ], г = 1, 2. Функция ¿р(ж1 ,Х2) определяется следующим образом:
<5р(®1,®2) = Рг(жш) ¿>¿=1
¿г-2р+9(ар) - (ар - ¿р)^(г-2р+9)жр (0)
а2 21р
ар
+ (Хр - 1р)52р+4(жш) + -у-¿2р+5 ) •
2^р
(33) (38)
/¿(Жш) ^ 0, Ф1Х2 (Ж2) ^ 0, ¥1x1 (Ж1) ^ 0. Тогда верна следующая оценка:
Л(ж1, а2)
|и(а1, а21 ^ тах
тах в
(р - 1) тах |ф1 (а2)|
с(жьж2) ' Х2
тах |ф1(а2)1, (2 - р) тах |^1(ж1)|, тах ¥(а1)1
Х2 ' Х1 Х1
Теорема 5. Пусть
0 < с(а1 ,а2) ^ 1, -Мр/Ш ^ Л(жьж2) ^ 0,
9г о(жр)<0, др^-дго(Хр)-т-г - (жр), ¿ = 1,2,
/2(Жр) ^ 0, /1хрЖр (жр)=0, (л/2^о)_2жш(жш - ОЛ(0) < л (0) - /г(жш) < т'(0)С1жш, ^(/р)/-1®^ < /2(0) - /2(жш) < (л/2/хо)_2жш(жш - О/2(0) + (р - 1)Мжь т(жр) ^ /1 (жр) - /2 (хр) ^ Мр/Ш.
МО) 2
где т(жр) — такие неотрицательные функции, что (жр)[т(жр)]-1 ограничено, др — положительное число. Тогда задача (33)-(38) имеет хотя бы одно решение.
< Рассмотрим при фиксированных параметрах ¿о и Р задачу определения функций йад (жр), и(ж1, Ж2), удовлетворяющих уравнениям
-Й1(Ж1 )а2(ж2)иЖ1ж! - аз(ж1)й4(ж2)иЖ2х2 + с(ж1 ,ж2)и = Л(ж1,ж2), (ж1 ,ж2) е Д (39)
и(0, ж2) = 01 (ж2), 0 < ж2 < ¿2, (40)
(2 - р)пЖ1 (¿1,ж2) + (р - 1)п(/1 ,ж2)= Ф2(ж2), 0 < ж2 < ¿2, (41)
п(жь0) = ¥1 (ж1), 0 < ж1 < ¿1, (42)
(р - 1)пЖ2 (ж1, ¿2) + (2 - р)и(ж1, ¿2) = ^2(ж1), 0 ^ ж1 ^ ¿1, (43)
а«0 (жр
К1(0) иХш =0 — дго (жр
), 0 < жр < ¿р, (44)
при условиях ф1(0) = ^1(0),
(р - 1)01x2 (¿2) + (2 - Р)02 (¿2) = ¥>2(0), (2 - Р)^1Х1 (¿1) + (р - 1)^1 (¿1) = 02(0),
(р - 1)02x2 (¿2) + (2 - Р)01 (¿2) = (Р - 1)¥2(¿1) + (2 - Р)¥2Х1 (¿1).
Здесь 01 (ж2) е с2+а[0,¿2], Ф2Ы е Ср+а[0,/2], ¥1 (ж1) е с2+а[0,¿1], ¥2ы е С3-р+а[0,¿1 ], г = 1, 2.
функция ¿р(ж!, ж2) определяется следующим образом: 5р(XI, Х2) = Рг(хш) - р 1 Хр^ 52р+4{Иы - и + 5г+2р+д{Хр)
- жр^(г-2р+9)хр (^р)
+ ^^ 1 ^^ ¿2р+4(жш) + Жр^2р+5(ЖШ).
(39) (44)
01 (ж2) ^ 0, ¥1 (ж1) ^ 0, 02x2 (ж2) ^ 0, ¥2x1 (ж1) ^ 0. Тогда верна следующая оценка:
|и(ж1,ж2| ^ тах
тах ; тах |01(ж2)|, (р — 1) тах |02(ж2)|,
Б С(ж1,ж2) Х2 Х2
тах |^1(ж1 )|, (2 - р) тах (ж1)|
Х1 Х1
Теорема 6. Пусть
0 < с(ж!,ж2) ^ 1, -Мр1ш ^ Л.(жьж2) ^ 0,
/2(Жр) ^ 0, /1ЖрЖр (хр)=0, т^ЦИр - 1р)1~1хш < Ш - /г(жр) < (^2/х0)"2жш(жш - 1ш)Ш) + (2 - г)Мжш,
т(жр) ^ /1 (хр) - /2 (хр) ^ Мр/Ш,
5го(Жр)<0, 5р ^ ~ ¿ = 1,2.
где т(жр) — такие неотрицательные функции, что (жр)[т(жр)]-1 ограничено, др — положительное число. Тогда задача (40)-(44) имеет хотя бы одно решение.
Для задачи (27)-(32) функция ¿р(ж1,ж2) в явном виде получает следующее выражение:
е / \ жш
бр{ Х1,Х2) =
+ 1
l
жш
¿10-2р(жр) + - — ухр5(10_2р)хр(0) - —¿(ю-2р)хр{1р)
5ц-2р(Хр) - - - 2^(11-2р)яр(*р)
(ж \ ж2
При ¿о = р = 1 для решения задачи (1)-(4) можно брать следующие функции:
н(жьж2) = +Ж1 +2-ж2^ж2 + Ж1 + а!(ж!)=Ж1 + 1, а2(ж2) = 1,
а3(ж!) = + 0 , а4(ж2) = 1, с(жьж2) = 1.
В этом случае
т{хх) = +
Эти функции удовлетворяют условиям теоремы 3.
Теоремы 4, 5, 6 доказываются аналогично теореме 3. Доказательства лемм 3, 4, 5 легко получаются из принципа максимума. Для рассмотренных в этом разделе задач доказательства априорных оценок и сходимости итерационного алгоритма аналогичны теоремам 1, 2.
Литература
1. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения // Изв. АН. АзССР.—1978.—№ 2,—С. 80-85.
2. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов эллиптического уравнения // Диф. уравнения.—1979.—Т. 15, № 5.—С. 858-867.
3. Клибаяов М. В. Обратные задачи в целом и карлемановские оценки // Диф. уравнения.—1984.— Т. 20, № 6.-С. 1035-1041.
4. Клибаяов М. В. Единственность в целом обратных задач для одного класса дифференциального уравнения // Диф. уравнения.—1984.—Т. 20, № 11.—С. 1947-1953.
5. Хайдаров А. Об одной обратной задаче для эллиптических уравнений // Некорректные задачи мат. физики и йнйлюй / Под. ред. С. А. Алексева.—Новосибирск, 1984.—С. 245-249.
6. Вабищевич П. Н. О единственности некоторых обратных задач для эллиптических уравнений // Диф. уравнения.—1988.—Т. 24, № 12.-С. 2125-2129.
7. Соловьев В. В. Обратные задачи определения источника и коэффициента в эллиптическом уравнении в прямоугольнике // Журн. вычислительной математики и мат. физики.—2007.—Т. 47, № 8.— С. 1365-1377.
8. Yang R., Ou Y. Inverse coefficient problems for elliptic equations // Anziam J.—2008.—Vol. 49, № 2.— P. 271-279.
9. Пятков С. Г. О некоторых обратных задача для эллиптических уравнений и систем // Сиб. журн. индустриальной математики.—2010.—Т. 13, № 4.—С. 83-96.
10. Вахитов И. С. Обратная задача идентификации старшего коэффициента в уравнении диффузии-реакции // Дальневост. мат. журн.—2010.—Т. 10, № 2.—С. 93-105.
11. Алиев Р. А. Об определении неизвестных коэффициентов при старших производных в линейном эллиптическом уравнении // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки.—2014.— № З.-С. 31-43.
12. Ладыженская О. Г., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.—М.: Наука, 1973.—576 с.
13. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа.—М.: Изд-во иностр. литры, 1957.-252 с.
Статья поступила 5 февраля 2016 г.
Алиев Рдмиз Аташ оглы Азербайджанский университет кооперации, доцент кафедры информатики
АЗЕРБАЙДЖАН, 1106, г. Баку, ул. Н. Нариманова, 8 в E-mail: ramizaliyev3@rambler.ru
ABOUT THE DETERMINATION OF UNKNOWN COEFFICIENTS IN THE LINEAR ELLIPTIC EQUATION
Aliyev R. A.
Inverse problems of restoration of coefficients to partial differential equations are of interest in many applied researches. In this work an inverse problem for elliptic equation with various boundary values in a given rectangle is considered. The existence, uniqueness and stability of a solution to inversion problems under consideration are proved. Using successive approximation method a regularizing algorithm for determining of coefficients is also constructed.
Key words: inversion problem, elliptic equation.
