Об одной задаче управления линейной системой при наличии импульсных помех Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМОЙ ПРИ НАЛИЧИИ ИМПУЛЬСНЫХ ПОМЕХ © В.П. Максимов

Ключевые слова: линейные функционально-дифференциальные системы; задачи управления; импульсные возмущения.

Для линейной функционально-дифференциальной системы с последействием общего вида, подверженной воздействию импульсных помех, рассматривается задача управления. Цель управления задается с помощью конечной совокупности линейных целевых функционалов. Предлагается конструкция регулярного (не импульсного) управления, которое включает программную и позиционную по скачкам составляющие и решает задачу управления с заданной системой целевых функционалов, несмотря на наличие импульсных воздействий.

Рассматривается задача управления в постановке, при которой возможные скачки траекторий рассматриваются как результат внешних импульсных воздействий (помех), неизвестных заранее ни по моменту возникновения, ни по величине скачков. Считается, что информация о состоявшихся скачках становится известной к началу действия корректирующих управлений, которые являются позиционными по скачкам реализуемой траектории. Для последовательной компенсации возникающих скачков вводится обратная связь (дополнительные слагаемые в уравнениях движения). Отметим, что задача описания управлений, компенсирующих аддитивные помехи, суммируемые с квадратом, для линейных систем с последействием по состоянию и отсутствием запаздывания при реализации управлений исследована в [1]. Мы следуем обозначениям и основным положениям теории функциональнодифференциальных уравнений в части линейных систем с импульсными воздействиями [2, с. 123-130]. Обозначим через Ьп = Ьп[0,Т] пространство суммируемых по Лебегу на конечном промежутке [0,Т] функций г :[0,Т] ^ Еп с нормой \\г\\ьп =/0Т\г(£)\п М, где |-|п - норма в Кп (далее, если размерность пространства очевидна, индекс у нормы будем опускать). Для описания траекторий, имеющих скачки первого рода в последовательные моменты времени £1 <£2 <...<Ьт <Т £ > 0), следуя [3], введем пространство ВБп(ш) кусочно абсолютно непрерывных функций у : [0, Т] ^ Кп, представимых в виде

I т

у(£)= г(8) йз + у(0) + ^ Х\гк ,т](t)ДУ(tk),

]о к=1

где г € Ьп; Ду(£к) = у(£к) — у(£к — 0); Хцк,Т](£) - характеристическая функция отрезка [£к,Т]. Элементы пространства ВБп(ш) - это функции, абсолютно непрерывные на каждом из промежутков [0,£1), [£^£2),..., [£т,Т] и непрерывные справа в точках £1,...,£т. Норму в ВБп(ш) определим равенством \\у\\вяп(т) = \\у\\ь” + \у(0)\п + Ет=1 \Ду(£к)\п, ВБп(ш) -банахово пространство. Подчеркнем, что при рассмотрении задачи управления мы не фиксируем заранее моменты времени £1,...,£т и их число ш. Конкретное пространство ВБп (ш) будет использоваться для коррекции программного управления в момент времени Т0, когда информация о реализовавшихся импульсных воздействиях станет доступной. Предлагаемые ниже конструкции используются в предположении, что на промежутке [Т0, Т] импульсные воздействия исключены. Обозначим черз АСп[0,Т] пространство абсолютно непрерывных функций х: [0; Т] ^ Яп с нормой ||х||^сп = \ х(0)\ + ||Х\\ь„ . Пространство ВБп(ш) является конечномерным расширением пространства АСп[0,Т].

2582

Для описания системы управления введем линейный оператор С:

г т

(Су) (£ = у(£) — К(£,з)у(з) йз + А(£, 0)у(0) + Vх\гк,т](£)А(£,£к)Ду(£к), £ € [0,Т].

]о к=1

Здесь элементы к^ (£, з) ядра К(£, з) измеримы на множестве {(£, з):0 ^ з ^ ^ Т} и таковы, что на этом множестве \ к^ (£, з) \ ^ к(£), г,] = 1,... ,п, где функция к суммируема на [0, Т ], элементы (п х п) -матрицы А(£,з) определены на множестве {(£, з):0 ^ з ^ ^ Т} и при каждом з € [0,Т) суммируемы на [з,Т].

Система управления, подверженная импульсным возмущениям, описывается уравнением

(Су) (£) = и(£, Ду) + (Ви)(£) + д(£), £ € [0, Т]. (1)

Здесь 1$ (£, Ду) = —1/$^2 т=1 Х[гк ,к+в](£)Ду(£к); 5 - положительный параметр, характери-

зующий реакцию системы на произошедший скачок траектории: на промежутке времени длиной 5 система реагирует скачком производной (покомпонентно со знаком, противоположным скачку траектории), слагаемое 1$ соответствует наличию обратной связи в системе управления и является элементом позиционного управления; В - линейный оператор, определенный на пространстве РСи функций и : [0, Т] ^ Ки (управлений) с кусочно постоянными компонентами, действующий в пространство Ьп и обладающий свойством вольтерровости: для любого т € (0,Т) (Ви)(£) =0 на [0, т] для всех таких и € РС”, что и(£) = 0 на [0,т]; д € Ьп. Начальное состояние системы (1) задано: у(0)= а, цель управления задается с помощью линейного ограниченного вектор-функционала I: ОБп(ш) ^ .

Требуется найти такое управление и, при котором соответствующая траектория системы (1) с заданным начальным состоянием доставляет вектор-функционалу I предписанное значение ^, какой бы ни была конечная последовательность импульсных возмущений, приводящих к разрывам траектории Ду(£\),..., Ду(£т) и действующих на некотором известном промежутке [0, Т0] С [0, Т). Для решения задачи предлагается следующая конструкция управления. Зафиксируем разбиение отрезка [0, Т0] точками т1 <т2 < ... <тк <Т0 и обозначим ио(£) = Х[о,г1 )(£), щ(г)= Х[тит2)(£),..., ик(£)= Х[тк,т0)(£). Функции щ(£) , имеющие носитель на [0, То) , будут использованы для построения компоненты программного управления системой (1). Отрезок [То, Т] разобьем точками $1 <§2 < ... <$м <Т и обозначим Ко(£)= Х[То,01)(£), М£)= Х{&ъ&2)(£),..., ум(£)= Х[0М,Т](£). Функции V!(£), имеют носитель на [То, Т] и будут использоваться для построения позиционного управления по информации о скачках траектории, произошедших до момента времени То. Предлагаемая конструкция управления имеет вид и(£) = ЕК=о иг(£)Яг + 52^=0 Кг(£)Гг , Яг, Гг € Ки.

Условия разрешимости рассматриваемой задачи управления формулируются в виде системы соотношений относительно параметров управления я, г, которые определяют траекторию системы, доставляющую всем компонентам целевых функционалов предписанные значения. Описание некоторых прикладных задач, охватываемых приведенной постановкой дано в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Исламов Г.Г. О допустимых помехах линейных управляемых систем // Изв. вузов. Серия Математика, 2002. № 2. С. 37-40.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Анохин А.В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1986. № 286 (5). С. 1037-1040.

4. Максимов В.П., Поносов Д.А., Чадов А.Л. Некоторые задачи экономико-математического моделирования // Вестн. Пермск. ун-та. Экономика. 2010. № 2 .(5). С. 45-50.

2583

Maksimov V.P. ON CONTROL PROBLEM FOR LINEAR SYSTEM UNDER IMPULSE DISTURBANCES

A control problem for linear functional differential system with time delay of the general form is considered. The purpose of controlling is prescribed with use of a finite set of linear functionals. The system is acting under impulse disturbances which result in trajectory jumps with unknown previously instants of time and values. A construction of control actions that contains both program and jumps-positional components is proposed.

Key words: functional differential systems; control problems; impulse disturbances.

УДК 519.688

EXACT TRIANGULAR DECOMPOSITION © G.I. Malaschonok

Ключевые слова: matrix triangular decomposition; algorithm in commutative domain.

The main result which presented in this talk is existence in commutative domain R of the

matrix triangular decomposition, which has the form: A = PLDUQ, where P and Q are

permutation matrices, L and PLPT are lower triangular matrices over R, U and QT UQ are upper triangular matrices over R, D = diag(d-\d-1, ..,d-1,0,.., 0) is a diagonal matrix of rank r, di G R\{0}, i =l,...,r.

A matrix decomposition of a form

A = VwU (1)

is called the Bruhat decomposition of the matrix A, if V and U are nonsingular upper triangular

matrices and w is a matrix of permutation.

Let R be a commutative domain, F be the field of fractions over R. We want to obtain a decomposition of matrix A over domain R in the form A = VwU, where V and U are upper triangular matrices over R and w is a matrix of permutation, which is multiplied by some diagonal matrix in the field of fractions F. Moreover each nonzero element of w has the form (агаг-1)-1, where аг is some minor of order i of matrix A.

We call such triangular decomposition the Bruhat decomposition in the commutative domain

R.

Let R be a commutative domain, A = (аг,j) G Rnxn be a matrix of order n, akj be k x k minor of matrix A which disposed in the rows 1, 2,... ,k — 1,i and columns 1, 2,... ,k — 1,j for all integers i,j,k G {1,..., n}. We suppose that the row i of the matrix A is situated at the last row of the minor, and the column j of the matrix A is situated at the last column of the minor. We denote a0 = 1 and ak = ak k for all diagonal minors (1 ^ k ^ n). And we use the notation 5ij for Kronecker delta.

Let k and s be integers in the interval 0 ^ k<s ^n, Ak = (ak+:) be the matrix of minors with size (s — k) x (s — k) which has elements ak+г, i,j = k + 1,...,s — 1,s, and АП = (ajj) = = A.

Theoreml [LDU decomposition of the minors matrix].

2584