Об одной задаче управления детерминированной системой обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 4

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.6

В. М. Буре, В. В. Карелин, А. Н. Елфимов ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ

ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СИСТЕМОЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ*

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация,

199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

В работе изучаются детерминированные системы обслуживания с двумя и тремя очередями и одним обслуживающим устройством. Предполагается, что обслуживающее устройство в каждый момент времени обслуживает только одно требование. Ставится задача выбора моментов переключения устройства с одной очереди на другую. Введены понятие цикла работы системы обслуживания и понятие о стационарном режиме работы детерминированной системы обслуживания. Для каждой из систем выяснены необходимые и достаточные условия стационарности работы. Рассмотрены также две оптимизационные задачи, для которых построены оптимальные решения. Обсуждаемые задачи близки к известной задаче управления светофором на изолированном перекрестке. Библиогр. 7 назв. Ил. 3.

Ключевые слова: детерминированная система обслуживания, цикл обслуживания, стационарный режим.

V. M. Bure, V. V. Karelin, A. N. Elfimov

ON A CONTROL PROBLEM OF A DETERMINISTIC SYSTEM SERVICE

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg,

199034, Russian Federation

The paper deals with deterministic service system with two or three bursts and one servicing device. It is assumed that the service system at any given time serves only one requirement. The goal is the timing of the switching of the service system from one queue to another. In the paper the notion of a cycle of the system services and the concept of steady-state operation of a deterministic service system are suggested. For each of the service systems the necessary and sufficient conditions for steady-state operation are constructed. We also consider two optimization problems for which an optimal solutions are constructed. Discussed problems

Буре Владимир Мансурович — доктор технических наук, профессор; e-mail: vlb310154@ gmail.com

Карелин Владимир Витальевич — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: vlkarelin@mail.ru

Елфимов Антон Николаевич — магистрант; e-mail:elfpro@list.ru

Bure Vladimir Mansurovich — doctor of technical sciences, professor; e-mail: vlb310154@gmail.com Karelin Vladimir Vitalievich — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor; e-mail: vlkarelin@mail.ru

Elfimov Anton Nikolaevich — magistrant; e-mail: elfpro@list.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (грант № 9.38.205.2014).

are similar to the known problem of controlling a traffic light at an isolated intersection.

Refs 7. Figs 3.

Keywords: deterministic system service, service cycle, steady state.

Введение. Будем рассматривать детерминированную систему массового обслуживания, которая содержит одно обслуживающее устройство с двумя или тремя потоками заявок. Скорости поступления заявок, а также скорости обработки заявок обслуживающим устройством зависят от номера очереди. В каждый момент времени обслуживающее устройство может обрабатывать только одну заявку. Обслуживающие системы такого типа получили широкое распространение в последнее время. Например, в различных обслуживающих центрах пользователь на терминальном устройстве выбирает для себя номер очереди в соответствии с типом своей заявки, после чего получает номер в выбранной им очереди на обслуживание. Обслуживание происходит с помощью многофункционального обслуживающего устройства, которое переключается во время работы с одной очереди на другую, при этом моменты такого переключения выбираются самим обслуживающим устройством [1, 2]. Сформулированная задача похожа на хорошо известную задачу управления светофором на изолированном перекрестке [3-7], но существенно отличается от нее по характеру ограничений, в частности, обычно предполагается, что время обслуживания в задаче о перекрестке равно нулю. Под задачей управления такой системой можно понимать выбор процедуры переключения обслуживающего устройства с одной очереди на другую, гарантирующей отсутствие неограниченного роста очереди на каждом из потоков заявок. Близкая задача описывалась ранее в работе [1].

1. Постановка задачи для двух очередей. Схема работы рассматриваемой системы обслуживания представлена на рис. 1.

Рис. 1. Одно обслуживающее устройство и две очереди

В работе будут использоваться обозначения, введенные в [6, 7], а также следующие обозначения: я1 (£), я2 (£) — длины очередей ожидающих обслуживания многофункциональным устройством для первого, второго и третьего потоков во время £ соответственно; аг(£) и (£) — скорости поступления и выполнения заявок для г-й очереди соответственно, где г = 1, 2; дг — длительность непрерывного обслуживания заявок из очереди с номером г, дг > 0 (г = 1, 2). Будем предполагать, что:

1) аг (£) = аг ^ 0 — известная постоянная величина;

2) Яг(£) — неотрицательное целое число (число заявок в очереди на обслуживание потока г в момент времени £);

0, если устройство обслуживает заявку из очереди у = г; ¿г, если устройство обслуживает заявку из очереди г;

3) di (t) =

4) > ог, заметим, что в рамках описываемой задачи эти величины принимают постоянное значение;

5) в начальный момент времени очередь отсутствует, т. е. дг(0) =0, г = 1, 2;

6) длительности непрерывного обслуживания заявок из одной и той же очереди положим одинаковыми для каждой из очередей.

Определение 1. Пара (д1,д2) будет называться циклом, где дг — длительность непрерывного обслуживания заявок из очереди с номером г (г = 1, 2).

Введем в рассмотрение следующие последовательности моментов времени.

Первая последовательность:

т1(1) = дь т2(1) = д1 + д2 + gl, т(+1 = к(д1 + g2)+gl, ••••

Она представляет собой моменты начала обслуживания заявок (требований) из очереди с номером два или моменты прекращения обслуживания требований первого потока.

Вторая последовательность:

То(2) =0, т12) = д1 + д2, т(2) = 2(д1 + д2), •••, т(2) = к(д1 + д2), ••• •

Она представляет собой моменты начала обслуживания заявок из очереди с номером 1 или время прекращения выполнения требований второго потока.

Определение 2. Под стационарным режимом функционирования системы обслуживания будем понимать режим, при котором д1 =0 и д2 = 0 (Ук = 0,1, .

2. Необходимое и достаточное условия стационарности для двух очередей. Теперь выясним условия, при выполнении которых цикл (д1, д2) будет приводить к стационарному режиму:

Теорема 1. Пусть ^1(0) = д2(0) = 0. Цикл (д1,д2) порождает стационарный режим тогда и только тогда, когда выполнено условие

а, 1 < < - а2

di — ai g2 a,2

Доказательство. Очевидно, что первый цикл в рамках рассматриваемой задачи выглядит следующим образом:

qi (t"i(1)) = max[(ai — di)gi, 0],

Я2 (т12^ = max q2 (ri(1)) + (a2 — d2)g2, 0 .

Как видно, qi = 0, так как ai — di < 0 по предположению 4. Для того

чтобы выполнялась стационарность режима, необходимо, чтобы

q2 (т(2)) = q2 (0) = 0, а это условие выполняется, когда

q2 (V^) +(a2 — d2)g2 < 0,

или, подставляя 92 ^т}1^ = 02д1, получаем такое условие стационарности для первого цикла:

02д1 + (02 - ]2)д2 < 0^ (1)

Перейдем к рассмотрению второго цикла:

91 (т2(1)) = тах[о1д2 + (01 - , 0], 92 (т2(2)) = тах[о2д1 + (02 - ¿2)д2, 0]^

Аналогично, используя определение стационарного режима, находим, что условие стационарности для цикла номер 2 будет выглядеть так:

01д2 + (01 - ¿1)д1 < 0, (2)

02д1 + (02 - ]2)д2 < 0^ (3)

Но, как видно, условие (3) повторяет условие (1). Перейдем к рассмотрению третьего цикла:

91 (тз(1)) = тах[01д2 + (01 - ¿1)дь0], 92 (т(2)) = тах[02д1 + (02 - ¿2)д2, 0]-Ясно, что условия стационарности для третьего цикла примут следующий вид:

01д2 + (01 - ¿1)д1 < 0, (4)

02д1 + (02 - ]2)д2 < 0^ (5)

Теперь становится очевидным, что полученные условия стационарности для третьего цикла (4) и (5) совпадают с условиями стационарности второго цикла (2) и (3). То есть (4) совпадает с (2), а (5) с (3). Очевидно, что если цикл (д1,д2) приводит к стационарному режиму, то выполняются неравенства

Г 01д2 + (01 - ¿1)д1 < 0, 1 02д1 + (02 - ]2)д2 < 0,

или, что то же самое:

°л < И < ~ 132 (g-)

di — ai g2 a2

Покажем теперь, что (6) является достаточным условием существования стационарного режима. Пусть неравенство (6) выполнено, тогда при рассмотрении первого цикла

qi (т1(1)) = max[(ai — di)gi, 0], q2 (г(2)) = max q2 (т(1)) + (a-2 — d2)g2, 0 . Получаем, что

if \ f91 1 «2-^2 A (91 d2-a2\

a2g 1 + (a2 - d2)g2 = a2g2--1--= a2g2---< 0.

g2 a2 g2 a2

Перейдем к рассмотрению второго цикла:

qi (t2(1)) = max[aig2 + (ai — di)gi, 0], q2 (r22)) = max[a2gi + (a,2 — d2)g2, 0].

При выполнении неравенства (6) видно, что

ei<72 + (ai - d{)gi = {di - а1)д2 ( ——^--— ] <0,

V«1 - а1 92/

следовательно, qi (т2(1)) = 0. Аналогичными рассуждениями приходим к тому, что

q2 (т22'1) = 0. Далее получаем, что при выполнении условия (6) выполняются следующие равенства:

qir^i =0, q2rk2) =0, Vk = 0, 1, 2,... .

Или, другими словами, устанавливается стационарный режим.

Таким образом, выполнение условия (6) является необходимым и достаточным для установления стационарного режима функционирования обслуживающего устройства. Теорема 1 доказана.

Замечание!.. Если условие (6) выполняется как равенство, т. е. di°!ai = = с-> тогда имеется линейная связь между jih^.Hb данном случае

выбор длительности 92 единственным образом определяет величину 91 .

Замечание2. Если выполняется строгое неравенство < ■> т0 сУЩе~

ствует определенный произвол в выборе параметра и = В этой ситуации можно сформулировать задачу выбора оптимального значения параметра u по некоторому дополнительному критерию качества функционирования системы обслуживания.

3. Критерий оптимальности для двух очередей. Условимся, что в дальнейшем в п. 3 мы будем описывать стационарный режим, т. е. условие (6) выполнено. Тогда можно ограничиться рассмотрением только одного цикла, так как при стационарном режиме все циклы идентичны между собой. Возьмем в качестве изучаемого цикл номер два. Заметим, что внутри него есть два момента времени т^ и т^2), для которых qi (т21'>) =0 и q2 (т22)) = 0. При этом q2 (т21'>) и qi (т22)) могут быть отличны от нуля. Тогда в качестве критерия оптимальности примем взвешенную сумму

( (1)\ ( (2)' длин очередей q2 I r^ I и q1 I т^

J = uq (т^) + ^qi (т^) . (7)

В (7) W1 > 0, ^2 > 0.

Также будем считать, что из каких-то технологических особенностей системы обслуживания задана минимально допустимая длительность непрерывного обслуживания заявок из второй очереди, равная l, для которой выполняется 92 ^ l. Таким образом, приходим к задаче

(9*i ,92) = агё min J(91,92), (8)

(91,92)еЛ

гд

Заметим, что при выполнении условия стационарности q2 (т^) = a29i и qi (т2(2^ = ai92, тогда функционал J примет вид

J(91, 92) = ^№91 + ^2ai92.

Предположим, что длительность д2 определяется технологическими условиями функционирования системы обслуживания. В этом случае остается одна переменная и = Тогда критерий оптимальности при выполнении условия

01 ¿2 - 02

^ и < -

¿1 — 01 02 будет выглядеть следующим образом:

3 (и) = 02 д2 + 01 д2 • Очевидно, что решением задачи (8) будет являться

u* = arg min J(u).

пев

(9)

В (9) В = (и: < и < ^oaj

^ / [ di-ai ^ х J

Так как u1 a2g2 > 0, находим

a1

d1 — a1

Теперь перейдем к решению (8) в новой параметризации: (u* ,g*)= arg min J(u,g2),

(n,g2 )ED

здесь D(u,g2) = B x [1;+сс).

Тогда решение задачи (10) очевидно:

* 7 *

g* = i, u =

(10)

ai

d1 — a1

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем решение задачи (8)

* а11 * 7 ¿1 - 01

Таким образом, при данных длительностях обслуживания заявок рассматриваемый критерий минимален.

4. Постановка задачи для трех очередей. Схема работы рассматриваемой системы обслуживания представлена на рис. 2.

Рис. 2. Одно обслуживающее устройство и три очереди

Введем следующие обозначения: 91 (£), 92 (¿), 93 (¿) — длины очередей ожидающих обслуживания многофункциональным устройством для первого, второго и третьего

потоков во время Ь соответственно; аъ(Ь) и аъ(Ь) — скорости поступления и выполнения заявок для г-й очереди соответственно, где г = 1, 2, 3; дъ — длительность непрерывного обслуживания заявок из очереди с номером г, дъ > 0 (г = 1, 2, 3). Будем предполагать, что

1) аъ(Ь) = аъ ^ 0 — известная постоянная величина;

2) Цг(Ь) — неотрицательное целое число (число заявок в очереди на обслуживание потока г в момент времени Ь);

. . I 0, если устройство обслуживает заявку из очереди ] = г;

3) аъ(Ь) = < , й

I аесли устройство обслуживает заявку из очереди г;

4) > аъ: заметим, что в рамках задачи эти величины принимают постоянное значение;

5) в начальный момент времени очередь отсутствует, т. е. дъ(0) =0, г =1, 2, 3;

6) длительности непрерывного обслуживания заявок из одной и той же очереди положим одинаковыми для каждой из очередей.

Определение 3. Тройка (д1,д2,д3) будет называться циклом, где дъ — длительность непрерывного обслуживания заявок из очереди с номером г (г = 1, 2, 3).

Введем в рассмотрение три последовательности моментов времени.

Первая последовательность:

т1(1) = ди т2(1) = д1 + д2 + дз + ди ■ ■■ т(+1 = (д1 + д2 + дз)к + дь ....

Она представляет собой моменты начала обслуживания заявок (требований) из очереди с номером два или моменты прекращения обслуживания требований первого потока.

Вторая последовательность:

(2) (2) (2) Т1() = д1 + д2, Т2() = д1 + д2 + дз + д1 + д2, ■ ■■, = (д1 + д2 + дз)к + д1 + д2, ■ ■■■

Она представляет собой моменты начала обслуживания заявок из очереди с номером три или время прекращения выполнения требований второго потока.

Третья последовательность:

(з) (з) (з)

т{ ) = д1+д2+дз, т2 ) = д1+д2+дз+д1+д2+дз, ..., = (д1+д2+дз)(к+1), ... .

Она представляет собой моменты начала обслуживания заявок из очереди с номером один или время прекращения выполнения требований третьей очереди.

Введем обозначение для начального момента времени: т0О) =0 — время начала работы МФУ (поступления первой заявки для обслуживания).

Определение 4. Под стационарным режимом будем подразумевать такой режим обслуживания заявок, при котором не будет происходить накапливания очереди, т. е., другими словами, будут выполняться следующие условия:

41 (Ч+1) =0, 42 (т(%) =0, © (т&) =0, Ук = 0,1, 2,■■■■

5. Необходимое и достаточное условия стационарности для трех очередей. Теперь, так же как и в случае с двумя очередями, выясним условия, при выполнении которых цикл (д1,д2,дз) будет приводить к стационарному режиму.

Теорема 2. Пусть 91(0) = 92(0) = 93 (0) = 0. Цикл (91,92,93) порождает стационарный режим тогда и только тогда, когда выполнены условия

' <11 - а1 д2 + дз

а1

91

<1-2 ~ а>2 91 + 93

1

а2

92

(11)

<13 - аз 91 + 92

а3

93

Данная теорема доказывается аналогично теореме 1.

В отличие от теоремы 1 здесь вопрос о существовании стационарного режима для произвольной системы обслуживания с характеристиками г^, а^ (г = 1, 2, 3,...) не очевиден. Ответ на этот вопрос дается в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть 91(0) = д2(0) = д3(0) = 0. Цикл (д1,92,93), порождающий стационарный режим, существует тогда и только тогда, когда выполнены условия

— а 1 (12

а1

¿2 — а2

(¿з — (13 а,2

а3

¿2 — а2

— а з а 1

(12)

аз ¿1 — а1

аз ¿1(2 — ¿1а2 — ¿2а1

¿3

Доказательство. Перепишем необходимые и достаточные условия становления стационарного режима (11) в таком виде:

+ 1 <¿1 ~ «1

21

93

а1

32,

93

<

а2

а2

91_ 92_ < ^з ~ аз 93 93 ^ а3

Далее сделаем замену переменных:

91 =

93

92

— = м2. 93

(13)

Заметим, что новые параметры и1, и2 (см. (13)) являются положительными величинами, так как длительности непрерывного обслуживания 91 принимают значения больше нуля. Таким образом, необходимые и достаточные условия из теоремы 2 в новой параметризации задаются следующими неравенствами:

П2 + 1 <

¿1 — а\ а\

-и 1,

¿2 — а2 и\ + 1 < -м2,

«1 + «2 ^

а2 аз

Для удобства дальнейшего рассмотрения запишем указанную выше систему в виде

¿1 — а1 и 2 ^ -и1 ~

«2 >

а1 а2

+

а2

¿2 — а2 ¿2 — а2

«1,

(14)

¿з — аз

И 2 ^--«1-

аз

В прямоугольной системе координат (и 1,^2) построим графики функций

¿1 — а1 «2 = -М1 ~~ 1,

а1

«2 =

а2

+ '

а2

¿2 — а2 ¿2 — а2

¿з — аз 112 =--и1 ■

«1 ,

аз

(15)

(16) (17)

Найдем решение системы (14). Заметим, что нас интересует только первая четверть, так как параметры «1 > 0, «2 > 0. Решение представлено на рис. 3.

Данная система неравенств не всегда имеет решение, следовательно, не всегда можно гарантировать установление стационарного режима. Выведем необходимые и достаточные условия, при которых система неравенств (14) имеет решения.

1. Угловой коэффициент прямой (15) должен быть больше углового коэффициента прямой (16). В случае равенства угловых коэффициентов графики функций (15) и (16) будут параллельны, а в случае, когда угловой коэффициент (15) меньше углового коэффициента (16), они не будут пересекаться в первой четверти. Другими словами, если не выполнится условие

¿1 — а1 а1

>

а2

¿2 — а2

то система (14) не будет иметь решения.

2. Точка пересечения графика функции (16) с осью «2 должна лежать не выше точки пересечения оси «2 с графиком (17). Иначе система неравенств (14) не будет иметь решения в первой четверти. Иными словами, должно выполняться следующее условие:

а 2 <¿3 — «з

¿2 — а2 аз

3. Точка пересечения графика функции (17) с осью «1 должна лежать правее точки пересечения оси «1 графиком (15). Иначе множество решений системы неравенств (14) не будет удовлетворять условию неотрицательности параметров «1, «2,

аъ)!аъ

Рис. 3. Множество решений системы неравенств (14) т. е. должно выполняться условие

а1

<

¿з — аз

¿1 — ах аз

4. Точка пересечения графиков (15) и (16) должна лежать не выше прямой (17). Найдем координату и\ для точки пересечения. Для этого приравняем координату и2 из уравнений (15) и (16):

¿1 — а1

и1 — 1 =

а2

¿2 — а2

и1 +

а2

¿2 — а2

Выражая из этого уравнения координату и1, получим

1

и(А) =_

1 <¿1 —(21

(¿2 — <3-2

а 2

¿2—0,2

Приведя подобные слагаемые, приходим к следующему значению:

иА =

¿2 а!

¿2 ¿1 — а1 ¿2 — а2 ¿1'

т. е. должно выполняться неравенство

¿1 — а1

¿2 а1

а1 ¿2 ¿1 — ¿2 а1 — ¿1 а2

- 1 ^

а3

¿2 а1

¿2 ¿1 — ¿2 а1 — ¿2 а2

После преобразований указанное выше условие примет вид

_^2_

¿1 ¿2 — ¿2а1 — ¿1 а2 ^ аз

Следовательно, приходим к системе неравенств

¿1 — а2

>

а1 З2 — а2 ' <1з — (13 а 2

аз ¿2 — а,2 '

3,з — 0,3 а 1

аз 31 — а1

3,з ^ З1З2

аз З1З2 — ¿1а2 — ¿2а1

Заметим, что эти условия были получены при помощи тождественных преобразований из условий (11), которые, как было показано выше, являются необходимыми и достаточными для установления стационарного режима в изучаемой системе обслуживания. Таким образом, выполнение условий (12) также гарантирует выполнение условий (11). А это означает, что цикл (91,92,93), порождающий стационарный режим, существует тогда и только тогда, когда выполнены условия (12). Теорема доказана.

6. Критерий оптимальности для трех очередей. Условимся, что в п. 6 будем рассматривать систему обслуживания, для которой условия теорем 2 и 3 выполнены. То есть существует цикл, порождающий стационарный режим. Если существует не единственный цикл, обеспечивающий стационарный режим функционирования системы обслуживания, то выбор цикла можно проводить на основе решения дополнительной оптимизационной задачи. В качестве критерия оптимальности целесообразно принять критерий вида

,3 (тР) + ,3 (т<2))" ,

(18)

где > 0, ^2 > 0, ^з > 0 — некоторые коэффициенты.

Критерий (18) представляет собой взвешенную сумму длин очередей заявок, ожидающих обслуживания.

Будем считать, что из каких-то технологических особенностей системы обслуживания задана минимально допустимая длительность непрерывного обслуживания заявок потока 3, равная I, для которой выполняется 93 ^ I. Сделаем замену переменных:

91 = 92 =

9з 9з

При установлении стационарного режима

,1 (т22)) = al92, 41 (г23)) = а1(92 + 9з), 42 (т2(1)) = а2(9з + 9l),

,2 (т2(3)) = a293, ,3 (т2(1)) = а39ъ ,3 (т2(2)) = а3(91 + 92) ■ Тогда в новых переменных критерий оптимальности (18) запишем так:

1 (и1,и2,9з) = ^1а19з[2м2 + 1] + ^2а29з[«1 + 2] + ^заз9з[2и1 + 42]. (19)

1 =

,1

-(2)

+ ,1

(з)

+ ^2

,2

(1)

+ ,2

-(3)

+ ^3

2

2

2

2

Новые переменные (мьм2,дз) взаимнооднозначно соответствуют старым переменным (0ь02,дз)-

Из доказательства теоремы 3 следует, что, для того чтобы цикл (gi, g2, g3) обеспечивал стационарный режим, необходимо и достаточно принадлежности пары (ui,u2) множеству, графическое изображение которого представлено на рис. 3. Другими словами, точка с координатами (ui,u2) должна принадлежать AABC. Рассмотрим задачу оптимизации с критерием (19):

(«1,«2,дз) = arg min J(«1,«2,дз). (20)

Очевидно, что оптимальный выбор точки (ui,u2) заключается в том, чтобы выбрать точку A (рис. 3). При этом величину дз следует выбрать минимально возможной, т. е. д3 = l. Тогда решение задачи (20)

* d2ai dia2 *

9з =

di¿2 — dia2 — d2ai' did2 — dia2 — d2ai'

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем, что решением задачи

(gi ,д2 ,д3) = arg min J (gi,g2,g3)

будут являться следующие значения:

* __d^ail_ * __dia^l_ * _

i di d2 — di a2 — d2 ai 2 di d2 — dia2 — d2 ai з

Таким образом, (g*, g|, g|) — длительности обслуживания заявок, при которых рассматриваемый критерий минимален.

Заключение. В работе исследовалась детерминированная система обслуживания с двумя и тремя очередями. Найдены необходимые и достаточные условия стационарности функционирования детерминированной системы обслуживания.

Литература

1. Полякова Л. Н., Карелин В. В., Буре В. М., Хитров Г. М. Точные штрафные функции в задаче управления одной системой массового обслуживания // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2015. Вып. 1. C. 73—81.

2. Черников C. Н. Линейные неравенства. М.: Наука, 1968. 488 с.

3. Aboudolas K., Papageorgiou M., Kosmatopoulos E. Store-and-forward based methods for the signal control problem in large-scale congested urban road networks // Transportation Research. 2008. Vol. 17(2). P. 163-174.

4. Diakaki C., Papageorgiou M., Aboudolas K. A multivariable regulator approach to traffic-responsive networkwide signal control // Control Engineering Practice. 2002. N 10. P. 183-195.

5. Gazis D., Potts R. The oversaturated intersection // Proc. of the Intern. Symposium on the Theory of Traffic Flow. London: Elsevier, 1963. P. 221-227.

6. Haddad J., Mahalel D., Ioslovich I., Gutman P.-O. Constrained optimal steady-state control for isolated traffic intersections // Control Theory Tech. 2014. Vol. 12(1). P. 84-94.

7. Haddad J., De Schutter B., Mahalel V. et al. Optimal steady-state control for isolated traffic intersections // IEEE Transactions on Automatic Control. 2010. Vol. 55(11). P. 2612-2617.

References

1. Polyakova L. N., Karelin V. V., Bure V. M., Chitrow G. M. Tochnye shtrafnye funkcii v zadache upravleniya odnoj sistemoj massovogo obsluzhivaniya. [Exact penalty function in the problem of a queuing

system]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer sciences. Control processes, 2015, issue 1, pp. 73—81. (In Russian)

2. Chernikov S. Т. Linejnye neravenstva [Linear inequalities]. Moscow, Nauka Publ., 1968, 488 p. (In Russian)

3. Aboudolas K., Papageorgiou M., Kosmatopoulos E. Store-and-forward based methods for the signal control problem in large-scale congested urban road networks. Transportation Research, 2008, vol. 17(2), pp. 163-174.

4. Diakaki C., Papageorgiou M., Aboudolas K. A multivariable regulator approach to traffic-responsive networkwide signal control. Control Engineering Practice, 2002, no. 10, pp. 183-195.

5. Gazis D., Potts R. The oversaturated intersection. Proc. of the Intern. Symposium on the Theory of Traffic Flow. London, Elsevier, 1963, pp. 221-227.

6. Haddad J., Mahalel D., Ioslovich I., Gutman P.-O. Constrained optimal steady-state control for isolated traffic intersections. Control Theory Tech., 2014, vol. 12(1), pp. 84-94.

7. Haddad J., De Schutter B., Mahalel V. et al. Optimal steady-state control for isolated traffic intersections. IEEE Transactions on Automatic Control, 2010, vol. 55(11), pp. 2612-2617.

Статья поступила в редакцию 10 сентября 2015 г.