CC BY
24
УДК 621.822.5.032
Н. Н. Саримов
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЯ ВАЛА ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА-УПЛОТНЕНИЯ
Ключевые слова: гидростатический подшипник-уплотнение, равновесное состояние вала.
Рассматривается задача равновесного состояния вала гидростатического подшипника-уплотнения, находящегося под нагрузкой. Доказывается существование угла эксцентриситета, удовлетворяющего условию равновесного состояния вала.
Keywords: hydrostatic bearing-seal, equilibrium state of the shaft.
We consider the problem of the equilibrium state of the shaft of the hydrostatic bearing-seal under load. We prove the existence of the angle of eccentricity, satisfying the equilibrium state of the shaft.
Рассматривается задача равновесного состояния вала гидростатического подшипника-уплотнения (ГСПУ, Рис. 1), находящегося под нагрузкой, направленной по оси ОХ. Равновесное состояние вала определяется параметрами е - эксцентриситетом вала (величиной смещения оси вала от оси подшипника) и 0 - углом эксцентриситета, отсчитываемым от оси ОХ. Сами эти параметры зависят, в свою очередь, от величины нагрузки на вал и от распределения давления в тонком смазочном слое между валом и втулкой подшипника.
Рис. 1 - Схема ГСПУ: 1 - втулка подшипника, 2 -вал подшипника, 3 - гидростатические камеры, 4 - дросселирующие элементы
Математическая постановка задачи
Математически задача формулируется в изотермической постановке в безразмерных величинах следующим образом.
1. Распределение давления в тонком смазочном слое будем описывать, следуя [1,2], классическим уравнением Рейнольдса.
Пусть О = (- 1,1)х[0,2п") - область, соответствующая рабочей поверхности подшипника с границами Г, ={- 1}х[0,2п") и Г2 = {1}х [0,2п") (Г1, Г2 -торцы подшипника). Область О содержит непересекающиеся подобласти Ка а = 1,..., т, соответствующие т гидростатическим камерам с границами ___ т _
Га, Ка = Ка у Га , К = у Ка . Тогда функция
а=1
р(ф, z) - распределение давления в тонком смазочном слое о \ К считается удовлетворяющей уравнению Рейнольдса:
дф
( hi Р Л у дф
1Л
Я dz
( hi dp Л у dz
= -А
дф'.
(1)
(ф, z) е О \ К
Здесь у - вязкость смазки (в изотермической постановке постоянна), Л - величина, характеризующая скорость вращения вала, - геометрические параметры подшипника, Л(ф) = 1 - е соэ(ф - 0) - безразмерная величина зазора между валом и втулкой подшипника, е е (0,1), 0 е [0,2п").
п
Рис. 2 - Область, соответствующая рабочей поверхности ГСПУ
(2)
2. На торцах подшипника давление считается заданным:
р(ф,z)= pi, (ф,z)е Г1, р(ф, z)= р2, (ф, z)e Г2 '
3. Давление в пределах каждой из гидростатических камер считается величиной постоянной
р(ф, z) = ра = const, (ф, z) е Ka, (3) определяемой уравнением баланса расхода смазочного вещества через гидростатические камеры
Z
X
^ * - АЛ
3
cosín,^ —cos(n, z) /2 у dz
dy
, (4)
у дф
= Qa (pa ) a = 1.....m
где Qa (pa) - поток смазочного вещества через дросселирующий элемент с номером a, зависит от конструкции дросселирующего элемента, давления подачи смазки и давления в самой гидростатической камере.
4. Для определения равновесного состояния вала (параметров e и o) система уравнений (1)-(4) дополняется уравнениями:
Jx (0, e)+P = 0, (5)
J у (o, e) = 0 , (6)
где Jx (o, e) = j p cos ydy dz - проекция на ось OX n
(Рис. 1) сил давления на вал со стороны смазочного слоя, P - безразмерная величина нагрузки на вал, направленной вдоль оси OX,
J у (o, e) = j p sin ф dф dz есть горизонтальная со-n
ставляющая (вдоль оси OY) сил давления на вал со стороны смазочного слоя.
Понятие обобщенного решения задачи
Сформулируем понятие обобщенного решения задачи (1)-(4). Введем в рассмотрение множество M (n) =
¡П е H 1(Q): j
дп дф
dфdz = 0 ¡
(7)
где Н 1(£1) - подпространство 2п -периодических по
0
ф функций пространства (о) интегрируемых с квадратом первой обобщенной производной и равных нулю на Г1 и Г2 функций. В работе [3] показано, что М (о) является гильбертовым пространством со скалярным произведением
/ \ г(ди дч ди дчЛ , ,
(и,у)М = 11--+--№фбг и
v 'М JI дф дф дг дг )
нормой
IIМ = д/(у] . Обобщенным решением задачи (1)-(4) назовем функцию р е М(о), удовлетворяющую интегральному тождеству
h3 dp дпЛ
n - \ у дф дф /2 у dz dz
( п) г [ ^ * д1 v ' J_l у дф дф
dфdz +
a=1 mes Ka -
j Qa (p)nd dz
(8)
Л j h -^d dz = 0 Vn е M(n)
n \ к
дф
В [3] доказана также эвивалентность задач (8) и (1)-(4) при налагаемых на решение задачи (8)
дополнительных условий гладкости и доказаны существование и единственность решения задачи (8) при фиксированных е е (0,1) и 0 е [0,2п) следующей теоремой.
Теорема 1. (См. [1]). Пусть Оа(р) - непрерывные, монотонные на (- ю,+ю) и |Оа(р) < С Ур е(-да,+да), а = 1,...т, тогда для любых 0 е [0,2п] и е е (0,1) существует единственное решение р е М (о) задачи (8).
Существование угла равновесного состояния вала
Докажем существование угла равновесного состояния вала для фиксированной величины эксцентриситета е е (0,1), т.е. докажем существование величины 0 е [0,2п) и соответствующего ей поля распределения давления р0 е М(о), удовлетворяющих уравнениям (6), (8).
Для этого введем оператор Т : О ^ 0{ = {(ф, г): ф = ф +t,г = г; (ф, г) е о} поворота поверхности цилиндра о вокруг оси на заданный угол t.
Определение 1. Систему (6), (8) назовем t -периодической, если для заданного t е [0,2п) существует такое целое п < т (т - число камер), что ТКа = Ка+п , Оа (р) Оа+п () Уа = 1,., т .
Замечание 1. В определении 1 подразумевается, естественно, что нумерация камер по окружности периодически повторяется. Если а + п > т , то номер полагается равным а + п - т , и наоборот, если а - п < 1, то а - п + т .
Замечание 2. Очевидно, что t -периодическая система будет к • t -периодической для любых целых к .
Теорема 2. Если система (6), (8) t -периодическая, то для решения ро задачи (8) имеет место равенство р0+г (ф, г) = р0 ( - t, г).
Доказательство. В уравнении (8) произведем замену переменных ф = ф -1, г = г , тогда оно примет вид
j
лУМ A Éñdф dz+
T (n \ K )
у дф дф
Г h3 ((- f) ^ дйцф d¿+
J\к) /2у ^ ^
m i
Х mesr^ Г Qa-n (po
(9)
a=1mes T-a tk
Л j h(-1)—ndфdz = 0 Vn е M(Tn)
t (\к) дф
Здесь
po (ф, z)=po (ф -1, z\ п(ф, z)=п(ф -1, z).
2
2
+
+
1
a
a
В силу t -периодичности системы для слагаемых в уравнении (9) справедливы следующие преобразования:
,з/а А ^ ^ Л ^ ^Л
Л3 (ф -1) др0 дп Л3 (ф -1) др дп
р дф дф Я р дZ дZ
Иф dZ =
Т (О\К ) ^ т т "Г у
-.з(~ Л ^ иЗГл Л ^ ^А
Л3 (ф -1) др0 дп Л3 (ф -1) др дп
О\К 1
р
дф дф
Яр дZ дZ
дф dZ;
1
I тез ТК 1 °а" р
а=1те& 1Ка+п ТК
У * =
I:
1
а=1 теБ ТКа тк
| О-п (Ро №фд
V =
т+п 1
I те^к-1 О рп дф л
=1+п тей ка к т 1
1 те^ 1 О р )п1ф ^
а=1 теБ ка к
(1 ф - = 1 -
Т (о\к ) ^ О\К ^
Учитывая предыдущие преобразования, произвольность функции п и то, что м (то)=м (о) , из уравнения (9) получим
Г дпdфdz+
р дф дф о \ к и V г
Л3 (ф -1) дро дп Яр дz дz
О \ к н
1 —V ldфdz +
т 1
1 тек-1 Оар ^
(10)
а=1те5 Ка к
Л 1 Л(ф -1)дфdфdz = 0 Уп е м(о)
О \ к
Но, так как Л(ф -1) = 1- е соэ(ф - 0 -1), решением задачи (10) будет функция р0+: (ф, z). Таким образом, в силу единственности решения задачи (10) будем иметь
ро (ф, z) = ро (ф - :, z) = ро+: (ф, z)
Теорема доказана.
Замечание 3. Смысл теоремы 1 в том, что распределение давления в смазочном слое инвариантно относительно поворота втулки подшипника на угол :.
Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2, тогда для любого целого к справедлива формула
иу( + к:, е) = 1 ро (ф, z)эт(ф + к:)dфdz (11)
О
Доказательство. В силу : -периодичности системы (6), (8) и замечания 2
иу(о + к:, е)= 1 ро+и(ф, z)sin dфdz =
1 ро (ф - к:, z)sin фdфdz =
0
1 ро (ф, z ^п(ф + № )dфdz
Замечание 4. Формула (11) показывает, что
для
вычисления значения функционала и у (о, е)
из
(6) в точке о + к: при любом целом к достаточно знать распределение давления лишь для одного угла эксцентриситета о .
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 1, тогда решение задачи (8) непрерывно зависит от параметра о в М(о) и имеет место неравенство |ро - рд||м < С|о - в, где ро и р^ решения
задачи (8) для углов эксцентриситета о ив соответственно.
Доказательство. Составим разность двух уравнений вида (8) с различными параметрами о и в
(
О \ К
ЛЗ дро_ - Л3 р. р дф р дф
дпdlфdz +
д
1
о \ к
Я р дz Я р дz
—dфdz + дz
I тек" Цоа (р о )-Оа р ^ф^
а=1т^ Ка к
Л 1 (( - ))dфdz = 0 Уп е М(о)
О \ к
Произведя тождественные преобразования и положив п = ро - рр , получим
дро - рв дф
1 Я
дро - рр
dфdz +
I Лз - р
О \ к ^
II т^К 1 [®а ( )-Оа (рр )рро - рр )dФlZ =
а=1т^ Ка к
= Л
О\К
1 ( -!\К
- Пр р р
дро - рр дф
dфdz +
др£ дро - рр + др£ дро- рр V.
дф дф Я дz дz ) '
В силу монотонности функций Оа (р) и ограниченности функции Л будем иметь
а
а
а
Ce J_
n \ K
дPe -pß | + fdpe-p^
i h~"ß\
д
- hß
дz
d (pdz <
n \ K
дPe - pß
д
d(pdz +
n \ K
hi - hi y y
= (1 - e)3
dpß ^e - pß +1 dpß ^e - pß
д д
1
A2 дz дz
d(pdz,
где Со = ^-'— тЫ1,—!>.
У I И2 ]
Применив в правой части формулу Эйлера и оценив производую функции Л, продолжим это неравенство
Ce J_
n \ K
'dpe - pß I2 fp-fy Л2
д
;|Л| - |e - ß\ J
n\J
С \e - ß\ J
dpe - pß
д
dz
d(pdz +
d (pdz <
n \ K
dpß
д
Ope - pß + dpß dpe - pß Л
дф dz dz У
d dz,
^ 12 L 1 l
где C1 = — maxИ— \.
1 У l Л2 J
Далее, воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского и определением пространства M (Q) , получим
ceipe - pßlIM < (mesQ + CÂpß
M
)- |e - ß|-I
pe - pß\
M
откуда ||ре - рр\\M < C|0 - в, где
С = (A|Vmes û + СЦpp\m )/С .
Теорема доказана.
Разрешимость задачи (6), (8) устанавливается следующей теоремой.
Теорема 4. Пусть t -периодическая система (6), (8) такая, что найдется целое k , для которого k • t = п . Пусть далее выполнены условия теоремы
1, тогда существует хотя бы одно значение 9 е [0,П"], удовлетворяющее уравнениям (6), (8).
Доказательство. Покажем сначала непрерывность функции иу (9, е) по 9 . Действительно,
используя неравенства Коши-Буняковского и Фрид-рихса, будем иметь
Jy (e e)- Jy ( e)
sin (p d(pdz
< J|Pe - Pß\ • |s¡n<¡0\d(pdz < pe - pß|m, n
откуда в силу теоремы 3 получаем
Jy (0, е)- Jy (ß, е)< C3 0 - ß\.
Осталось убедиться в том, что непрерывная
по 0 функция меняет знак на [0,п ].
В силу условий теоремы существует k такое, что k • t = п, поэтому
Jy (п, е) = J рп sin (pdcpdz = J p0 sin( + п)d(pdz =
n n
= -J p0 sin (pd(p dz =- Jy (0, е)
n
Теорема доказана.
Литература
1. Подольский, М.Е. Упорные подшипники скольжения: Теория и расчет / М.Е. Подольский. - Л.: Машиностроение, Ленингр. отд-е, 1981. - 261 с.
2. Саримов, Н.Н. Определение характеристик гидростатического подшипника-уплотнения / Н.Н. Саримов, С. Л. Фосс, М.М. Карчевский, А.В. Палладий // Исследование гидростатических опор и уплотнений двигателей летательных аппаратов. - Межвуз. темат. сборник научных трудов, 1986. - С. 138-145.
3. Карчевский, М.М. Метод фиктивных областей для одной задачи теории смазки подшипников скольжения / М. М. Карчевский, Н. Н. Саримов // Сеточные методы решения задач метематической физики. - Казань, 1984. - С. 75-80.
4. Хисамеев И.Г. Разработка механизма движения поршневого компрессора, исследование газораспределительной ступени// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. -№17. -С. 194-198.
+
© H. Н. Саримов - капд. физ.-мат. паук, зав. каф. информационных систем и технологий ИХТИ КБИТУ, [email protected].
