ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №2

МАТЕМАТИКА

УДК: 517.97

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 2 97

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

Мамадалиев Нуманжон А., д. ф.-м. н., профессор e-mail: m_numana59@mail. ru Бекниязов Асан Есбосинович, преподаватель e-mail: bekniyazov.asan@mail.ru Национальный Университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека

Ташкент, Узбекистан

Аннотация. В настоящей работе основное внимание уделяется исследованию задачи преследования описываемой системой линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа при интегральных ограничениях на управления игроков. При исследовании этой задачи получено новое достаточное условие для завершения игры за определенное конечное время. Настоящая работа примыкает к публикациям [1]- [3].

Ключевые слова: Дифференциальная игра, игра преследования, интегральное ограничение, разрешающая функция, конфликтно-управляемый процесс, многозначное отображение, управление, преследователь, убегающий.

Постановка задачи. A. Динамика конфликтно-управляемого процесса в

тлП ~ ~

конечномерном евклидовом пространстве R описывается системой линеиных дифференциально - разностных уравнений нейтрального типа, содержащей неизвестную функцию и ее производные в различные моменты времени

m m

z(t) = YJA1z(t-hi) + YJB,z(t-hi)-Cu(t) + En>(t), t> 0, (1)

;=1 /=0

где z(t)eRn,n > 1; Д (i = 1,2,...,m), Д (i = 0,1,2,...,m)- постоянные квадратные матрицы порядка (n х n), (n x n); C, D - постоянные матрицы порядка (n x p) и (n x q), соответственно; 0 = h() < /-?, <... < hm — действительные числа; и - управляющий параметр преследования, v - управляющий параметр убегания. Они u (t), v(t) выбираются в классе измеримых векторных функций удов-летворяющих интегральным ограничениям

{ u (t)|2 dt <p2, J |v(t)|2 dt << (2)

о 0

где p и j - неотрицательные константы.

Измеримые функции u = u (t), v = v (t), 0 < t <+<», удовлетворяющие ограничениям

(2), назовем допустимыми управлениями преследующего и убегающего игроков, соответственно.

Кроме того, в пространстве Rn выделено непустое цилиндрическое терминальное множество M = М0 + M1, где М0 - линейное подпространство пространства Rn, М -компактное подмножество подпространства L, где Ь - ортогональное дополнение к подпространству М0 в Яп ( т.е. М0 0Ь = Rn).

Начальным положением для преследования (1) является п - мерная абсолютно непрерывная функция (р(г), определенная на отрезке [-Ит,0]. Отрезок -Ит < г < 0, на

котором задано начальное положение (функция), назовем начальным множеством и обозначим через X, т.е.

X = ) - абсолютно непрерывная функция,

определенная на отрезке [-И,0], г(0) = ^(0) е Яп \М(3) Определение 1. Пусть К (г), 0 < г <т, - единственная матричная функция, обладающая следующими свойствами [3]: а) /С (/) = 0, / < 0, 0-нулевая матрица порядка

т

п ; Ь) К (0) = Еп, где Еи - единичная матрица порядка п; с) функция ^СК(г - И)

¿=0

непрерывна на [0, +да); й ) матричная функция К (г) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

т т

i=1 1=0

при г > -к, г £ 510 = 51 и (~К +да), где £ = :/= , ji - целые числа|.

Существование и единственность матричной функции К (г), - да < г <т, удовлетворяющей

условиям a) - Ь), могут быть доказаны обычном методом последовательного интегрирования уравнения (4).

Матричная функция К (г) принадлежит классу С при г > 0, г £ 50, но в общем случае

о0

имеет разрывы первого рода в точках множества 5 .

Пусть допустимые управления и = и (5), V = V(5) выбраны на отрезке [0, г], г > 0.

Тогда для решения г (г) уравнения (1) при начальном условии ^(')е X,

(г (5) = (р(5), - И < 5 < 0), в силу формулы Коши имеет место следующее представление

т т 0

1=0 1=0 -Ц

г

-[ К (г - 5 )[ Си ( 5 )- Dv ( 5 )] Ж, (5)

0

где А0 = -Еп, Еи - единичная матрица порядка п.

Определение 2. Будем говорить, что в игре (1),(2) можно завершить преследования из начального положения <р(-)е X за время Т (^(-))> 0, если существует функция

и = и (г), 0 < г < да, V е Я9, и (г, V) е Яр, что для произвольной суммируемой с квадратом

функции V(г), 0 < г <да, V(г)е Яя, удовлетворяющей неравенству V(-)||<а, функция и (г) = и (г, V(г)), 0 < г < да, является функцией суммируемым с квадратом, удовлетворяет неравенству ||и(-)||<р, и решение г(г), 0 < г <да, уравнения (1) с учетом начального условия (3) до момента времени Т(р(-)) попадает на терминальное множество М : т.е. г (г)е М при некотором г = г*е 0,Т (р(-))].

Число Т(р(-)) > 0, называется гарантированным временем преследования из точки р(-)е X, а функция и (г, V) ,0 < г <да, V е Я9, и (г, V) е Яр, - функцией преследования, такие называется стробоскопической стратегией.

Обозначим через Л - матрицу оператора ортогонального проектирования из Яп на Ь, через * - обозначим геометрическую разность [1].

Пусть т - произвольное число.

Теперь сформулируем достаточное условие для возможности завершения преследования в игре (1). Завершение преследования понимается в смысле определение 2.

Предположение 1. 1) Для всех г е [0,т] имеет место включение

л К (г) СЯР злК (г) DЯ9.

2) Существуют число Т > 0 и матричная функция Е(г): Я9 ^ Яр, 0 < г < т, с суммируемыми с квадратом элементами такие, что:

a) при каждом г е [0,т] и w е Я9 имеет место равенство

Л К (г) Dw = ЛК (г) СЕ (г) w; (6)

b) справедливо неравенство р > % где

Х = sup|||(Fv)(-)||: ||(Fv)(-)|| = ^f||F(t)v(t)|2 dt : ||v< ^ (7) Пусть п.2) предположения 1 выполнено. Введем в рассмотрение множество G(г)

п

состоящее из векторов вида ^пК(t)Cw(t)dt, где w(t), 0 < t < г, - произвольная

0

суммируемыми с квадратом функция, удовлетворяющее условию

>(t)f dt <{р-х)\ (8)

Г

llw (-ill2 = f| |w Р "2

при всех г е [0, Т].

Далее, введем следующее множество

Щ (т)= М + О (т). (9)

Согласно первому прямому методу Л.С.Понтрягина для конфликтно - управляемого процесса (1), введем гарантированный момент времени поимки преследователем убегающего игрока [3]:

Т (р(.)) = 1ПГ {г > 0: о(г )р(.) е Щ (т)}, (10)

0

где П (*) р (•) = -£ А,. )4р(0) + £ \ кК(1-з-кг)1Агф(з) + Вгф)\с1з-

1=0 1=0

Предположение 2. Существует число существуют число тхе (0, Т], что для начального положения р(')е М имеет место включение

П(г, (г,). (11)

Теорема. Если выполнены сформулированные выше предположения 1, 2, то в игре (1) при ограничениях (2) можно завершить преследования из начальной положении ((•) е X

за некоторое конечное время Т (((•)) = гх.

Доказательство. А. В соответствии с определением операции "+" и формулой (9), (11), существуют щ е М1 и g е О (г) такие, что

П(г )((•) = щ + g. (12)

В соответствии с (8) существует суммируемая с квадратом функция w(г), 0 < г <тх, для которой

г1

|жк(г)Cw(г)йг = g, ^(-)||<р-Я. (13)

0

Введем в рассмотрение функцию

, , |> (г-г) V+w (г- г), о < г <г,

и (г, V ) = "! ^ ' ' 1 (14)

о, г < г < да

0 < г <да, V е Я.

Теперь покажем, что если V(г), 0 < г <да- произвольная суммируемая с квадратом функция, V(г) е Я и удовлетворяет неравенству то функция

и (г ) = и (г, V (г)), 0 < г <да, ((11), см. (14)), суммируема с квадратом, и (г) е Яр, ||и (-)|| < р и решение г (г), 0 < г < да, уравнения (1) с учетом началь-ного условии (3), в момент времени Т (((•)) = Г попадет на терминальное множество М.

Действительно, то, что функция и (г), 0 < г < да, суммируема с квадратом и и (г) е Яр, следует из ее явного вида (14). Далее, так как

||[ ^ + *](•)! < ||( Fv )(•)! w (•)! < Я + р-Я = р, то ||и 0|| < р. Наконец, имеет место свойство (см.(6),(12)-(14))

пг пг 0

г=0 г=0

Г1

-1 ж к (г - г) [ Си (г) - Dv (г)] йг =

0

г1

= П (г) р (•) -1 {жК (г - г) С [F (г - г) V (г) + w (г - г)] - жК (г - г)Dv (г)} йг =

= П(т)р(-)-|лК (т - г) С \_Е (т - г) V (г) + w (т - г)] йг + \лК (т - г) ^^ (г) йг =

0 0 т т

= о(т)р(-)-|лК (т - г) СЕ (т - г) V (г) йг - |лК (т - г) Cw (т - г)+

о о

т т

+| л К (т - г) Dv (г) йг = п (т) р (•) -1 лК (т - г) Cw (т - г) йг = т = т.

о о

Следовательно, в силу (15), это означает, что г (т1) е М. Теорема доказана полностью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды, Наука, М., Т.2, 1988.

2. Беллман Р.,Кук К., Дифференциально-разностные уравнения, Наука, М.,1967.

3. Мамадалиев Н., Ибайдуллаев Т.Т. Модификация третьего метода преследования

для дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа// Изв.вузов. Матем., 2021. № 11, 21-33.