Об одной задаче оптимизации углов установки панелей солнечной батареи выпуклой формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том VIII 1977

М 3

УДК 629.78.064.56

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ УГЛОВ УСТАНОВКИ ПАНЕЛЕЙ СОЛНЕЧНОЙ БАТАРЕИ ВЫПУКЛОЙ ФОРМЫ

С. В. Ржевский, О. Н. Токарева, Н. 3, Шор, Г. Н. Юн

Рассмотрена задача оптимизации углов установки панелей не-ориентируемой солнечной батареи ИСЗ, обеспечивающей максимальное значение коэффициента энергетической эффективности батареи с учетом возможных положений орбиты ИСЗ относительно Солнца.

При математическом моделировании системы электроснабжения искусственного спутника Земли (ИСЗ) возникает целый ряд оптимизационных задач, связанных с определением углов установки панелей неориентируемой солнечной батареи (СБ). В качестве критерия оптимизации обычно рассматривают среднеинтегральную величину потока солнечной радиации, поступающей на панели СБ за один виток ИСЗ [1], либо параметр, характеризующий равномерность освещения панелей СБ за время активного существования ИСЗ [2]. В отличие от работ [1, 2] в настоящей статье будет рассмотрена специальная конструкция СБ, выбор углов установки панелей которой предлагается проводить таким образом, чтобы »при наихудшем положении* плоскости орбиты ИСЗ относительно Солнца усредненное значение так называемого коэффициента энергетической эффективности СБ было бы максимально возможным.

Будем предполагать, что ИСЗ движется по круговой орбите радиусом R+H, изменение положения относительно Солнца которой незначительно за время одного витка спутника (R — средний радиус Земли, Н — высота орбиты). В дальнейшем разложение каждого рассматриваемого вектора будет производиться в базисе орбитальной системы координат Охуг, которая ориентирована в пространстве следующим образом: начало координат (точка О) в каждый момент времени находится на орбите ИСЗ, ось Ог направлена к центру масс Земли, ось Ох совпадает по направлению с вектором скорости ИСЗ, система координат Охуг — правая.

Ввиду большого расстояния от Солнца до любой точки орбиты ИСЗ будем предполагать, что солнечные лучи параллельны, а направление их распространения задается единичным вектором П

П = (Пх, Пу, Пг) = (sin V sin р, cos v, sin v cos P), (1)

где v — угол между вектором П и направляющим вектором оси Оу (0 ч п);

3 — угол, образованный проекцией П на плоскость хОг и направляющим вектором оси Ог (0 р <! 2 я). Угол ч характеризует положение плоскости орбиты ИСЗ, а угол р — положение ИСЗ на орбите относительно Солнца соответственно.

Рассмотрим СБ, состоящую из М одинаковых и последовательно пронумерованных прямоугольных панелей размером я X Ь. Ориентация каждой i-й панели задается нормалью к ее плоскости я*. Все панели стороной длины а крепятся к правильному Af-угольнику (основанию СБ), ориентация которого в пространстве задается нормалью него плоскости т\ радиус, описанный вокруг мно-

К

гоугольника окружности, равен г = а/2 sin . При этом выполняются следующие условия:

— панели крепятся в той последовательности, в которой они пронумерованы ;

— направление —т. указывает на полупространство, в котором находятся все панели;

— ни одна панель не находится внутри фиктивной прямой призмы, основанием которой является основание СБ;

— для каждого / = 1, 2, . . . , М выполняется неравенство (т, /i¿)> 0.

Под ориентацией СБ будем понимать выбор определенных направлений

—► —> ■

векторов т и п‘, i = 1, 2........М. В нашей модели полагаем, что центр осно-

вания СБ находится в начале координат Охуг, а вектор т направлен по оси Ог.

Единичный вектор п1-й панели СБ в базисе орбитальной системы координат имеет вид

п‘ = (nlx, tiy, п‘г) = (sin 0,- cos <f¡, sin 0¡ sin <p■„ eos 9/), (2)

где 0¿— угол установки г'-й панели (О<;0,<; л/2),

<P/ = <Fo + 2-/AÍ (г — 1), (3)

<Pu — параметр, характеризующий положение основания СБ в плоскости хОу (0 < <р0 < 2 к/М).

Будем предполагать, что величина мгновенной мощности, генерируемой СБ, не зависит от температур панелей СБ и соседних с ними вспомогательных поверхностей спутника, а определяется выражением

м

■ ^СЪ = ^УД 2 п‘^

1=1

где Nyn—мощность, снимаемая с единичной площади фотопреобразователя, расположенного перпендикулярно направлению распространения солнечного потока; S¿—площадь освещенной части г'-й панели.

Если ИСЗ находится вне тени Земли, то условием того, что i-я панель СБ освещена Солнцем, является выполнение неравенства

(П, ~п1) > 0. (5)

Введем в рассмотрение коэффициент энергетической эффективности СБ, который определяется по формуле

1 М

А»ф = ~Шь 2 Si (Tl’ ”í}’ (6)

¡ = i

где a, b — габариты панели.

Коэффициент £Эф определяет энергосъем с СБ. Действительно, согласно (4), выражение мгновенной мощности, снимаемой с системы панелей СБ, принимает вид

= Nyn Atabksfy.

При движении ИСЗ по орбите значение £Эф изменяется (если спутник попадает в тень Земли, то £Эф =0)- Поэтому, чтобы проследить влияние ориентации системы панелей СБ на величину генерируемой ею энергии, рассматривают разного рода усредненные значения ¿Эф. Задачи оптимальной ориентации СБ формулируются относительно усредненных значений кЭф по параметрам, определяющим положение ИСЗ в пространстве.

Обозначим через р среднеинтегральное значение £эф на освещенном участке орбиты ИСЗ при ее фиксированном положении относительно вектора солнечного потока

К- = I» (?о, в. V) = ~2 1 *ЭФ

-в ^л. Нч_/ а^вУА, А> О,

Р = Э<^ о, Л<О,

{R+Hf sin® V (2 R + H)H

и {PI* + р<?<2*}.

А-А{ч, tf) - (2R + Н) Н 1

Величина 2 (3 определяет угол, соответствующий затененному Землей участку орбиты ИСЗ.

За время активного существования ИСЗ значение угла v будет изменяться в пределах множества N = {м | v, (0о4< Поэтому выбор ори-

ентации панелей СБ можно проводить, например, таким образом, чтобы максимизировать величину щ = (¿1 (<р0, 9) = mia [х (у0, 0, v). В связи с этим возникает

следующая задача нелинейного программирования.

Найти такие fo6® и Для которых

(9п> е*) = maxft(?o> в) = max min>(v"o. в, у),

'•U m-рф т.лЛ M/>Af

ige

ф = і <р ] OCf ;

їх, (ф„, » ) = шах ft wo, о; = шах шш,

- 1*1 \то <р„еФ foe*

ее» ве«

где

2 г,

Ж

)€£л|0<8г<-|_, /= 1, 2_______ М

В случае несимметричной формы СБ процедура вычисления р. достаточно трудоемка. Однако при отсутствии взаимного затенения панелей появляется возможность аналитического вычисления интеграла

Взаимное затенение панелей отсутствует в случае симметричной формы СБ (все панели установлены под одним и тем же углом в). При этом выражение (6) принимает вид

*a* = -^^тах{о, (П, nä)}.

м

М

¡=1

Интеграл / является средним арифметическим значением интегралов

h — J* max {о, (П, п1)} rfß.

і = 1, 2, ... М.

Для вычисления / найдем множество значений р, для которых справедливо неравенство (5). Согласно (1) и (2) представим неравенство (б) в виде

Ai sin ¡3 -J- В cos ¡} > С¡, (7)

где Ai ь= sin 0 cos fi sin v; В = cos 0 sin v; Ci = — sin 0 sin cos v.

Пусть Ei=V$i+B2 = 0. Очевидно,, что в этом случае неравенство (7) выполняется при любых Рб[0; 2 s], если C¡<C, 0. Если же С(-> 0, то неравенство (7) не выполняется ни при каких значениях ¡3.

Пусть Е1Ф 0. Тогда неравенство (7) эквивалентно неравенству

sin (Р + 7,) > Z>,. (8)

где Di—CilEi, угол j'i такой, что sin/¿=ß/£(-, cos ji=AilEi. Не нарушая общности, будем полагать, что j'i g [0; 2 тс]. Неравенство (8) имеет в качестве решений любые значения ß, если —1, и не выполняется ни при каких ß, если £),■> 1. Пусть При ß, удовлетворяющих неравенствам

а,- — ~а -)- 2 Ttk ¿С ß ^ тс — — 7; + 2 nk,

где

а,- = arcsin Di, k = 0, + 1, + 2,. . .

справедливо неравенство (8). Представляют интерес только те значения ß, которые принадлежат множеству [0; 2 тс]. Для выполнения этого условия необходимо, чтобы

тс — at — j'i + 2я£>0, яг— ji-\-1%k<^2-K.

Поэтому k может принимать целочисленные значения из интервала (<Ч +Уг 1

2 тс

_________, 1 + Ji аЛ ,

2 2 л;

(9)

длина ¿г которого, в силу предположения изменяется в пределах

!</,-< 2. Ясно, что только

= ±Л + _!_] и йа^[А^-1 + 1 L 2 тс 2 L 2,1 1

попадают в интервал (9). Таким образом, если ß gQi (J Q2, где

Qi = j ß I max {0, a¡ — j¡-\- 2^} < ß <тс — a¡ — jt + 2^) ,

Q2 = {ß I ai—ji -f 2 nk2 < ß < min {2 я, тс — a¡~ji + 2 к/г2}} ,

то выполняется условие (8), причем Qi П Q2 = 0 при ф и Q¡ = Q2 при

J¡i = k2. В дальнейшем будем считать, что Q2=0, если k1 — k2. ■

Первообразной функцией (ß) = Ai sin ß В cos ß — С,- является функция Fi (ß) = — Ai cos ß + В sin ß — Ci ß.

С учетом вышеизложенного имеем

/,• = J* шах {0, (П, я')} rfß=/ шах {0, <|^(ß)} dß =

L L

0, если E¡ ф 0 и Di >• 1 или E¡ = 0 и > 0,

— 2 Ci (тс — ß), если £¡ = 0 и С,- < 0,

/i¡, если Е-Ьф 0 и —1,

1ги если Ei Ф 0 и I £>¿ I < 1,

где

IU = 2B sin ß — 2 Ci (тс — ß),

А» = j (P)rfp + j MßMß + j Ф/(Р)<*Р+ J (P)rfp.

¿.flQi iifiQ» £*nQ‘

¿1 = {ß I 0 < ß < тс — ß}, ¿2 = {ß I тс + ß <ß < 2 тс}.

Для получения окончательного значения интеграла /2 ¡ надо воспользоваться тем, что с точностью до множества меры нуль выполняется

О П Т = {ß I max [*j, min (x2, y{)] < ß < min [x2, max (xlt _v2)]},

где

G = {ßl*,<ß<*2}, 7’={ß|^1<ß<y2}.

Следует отметить, что способ вычисления в явной форме коэффициента (Л при отсутствии взаимного затенения панелей применим для произвольных конструкций СБ. В этом случае углы установки • панелей не будут связаны соотношениями (3), а будут определяться конкретной формой СБ.

J68

Сформулированная задача оптимального выбора углов установки панелей неориентируемой СБ относится к так называемому типу максминных задач. Для ее решения, как оказалось, можно эффективно использовать метод обобщенного градиентного спуска с растяжением пространства (ОГСРП), предложенный Н. 3. Шором и достаточно подробно описанный в [3]. Особенностью данной задачи является то, что целевая функция ¡х (ср0, в, V) не везде дифференцируема. Теоретическое обоснование сходимости алгоритмов ОГСРП применительно к почти дифференцируемым функциям дано в [4].

Программа, реализующая ОГСРП для решения сформулированной задачи, была составлена на языке АЛГОЛ-бО. Для разных значений параметров М, Н, V,, чя эксперименты на ЭЦВМ показали, что для нахождения решения рассмотренной задачи с точностью 1° при использовании ОГСРП необходимо порядка двадцати итераций. В частности, при М = 8, Я =500 км, м1==0, V2 = 900, <р0 = 40°, 0* « 74°.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бордина Н. М., Васильев А. М., Далецкий Г. С., ЛандсманА П. Определение потока прямой солнечной радиации, поступающего на солнечную батарею. Ж. „Космические исследования“, т. 8, вып. 3, 1970.

2. Воронков О. Г., Чернышенко В. М. Выбор наилучшего расположения панелей неориентируемых солнечных батарей да искусственном спутнике Земли. Ж. „Космические исследования“, т. 12, вып. 6, 1974.

3. Шор Н. 3. Использование операции растяжения пространства в задачах минимизации выпуклых функций. Ж. „Кибернетика“, № 1, 1970.

4. Ш о р Н. 3. О классе почти-дифференцируемых функций и одном методе минимизации функций этого класса. Ж. „Кибернетика“, № 4, 1972.

Рукопись поступила 10/Х ¡975 г.