CC BY
32
МА ТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ
УДК 621.9.047
И.Х. Исрафилов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(8552) 58-91-72, vipi@ineka.ru,
Л.М. Котляр, д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой,
(8552) 39-34-95, kotlyar@ineka.ru,
Н.М. Миназетдинов, канд. физ.-мат. наук, доц., (8552) 39-34-95, nmina.zet.dinov@yandex.ru (Россия, Набережные Челны, ИНЭКА)
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ПЕРИОДИЧЕСКИМ КАТОДОМ-ИНСТРУМЕНТОМ
Представлена математическая модель двумерной задачи электрохимической обработки металла периодическим катодом-инструментом треугольной формы. При решении соответствующей краевой задачи для аналитической в области течения электролита функции используется аналогия с задачами о течении идеальной жидкости со свободными поверхностями.
Ключевые слова: анод, катод, гармоническая функция, потенциал.
Модель процесса. В качестве первого приближения в теоретическом анализе процесса электрохимической обработки металлов используется модель идеального процесса. Электростатическое поле в межэлек-тродном промежутке считается потенциальным, а потенциал — гармонической функцией. Граница анода (обрабатываемой поверхности) и катода-инструмента (обрабатывающей поверхности) — эквипотенциальные линии поля. Подробное описание процесса электрохимической обработки металлов, математических моделей, примеры их применения и обзор литературы приведены в [1, 2].
При соблюдении необходимых условий после длительного времени обработки поверхность принимает определенную, постоянную во времени форму, которую называют установившейся или стационарной [1, 2]. В ус-
160
тановившемся режиме форма обрабатываемой поверхности в подвижной системе координат, связанной с катодом, не изменяется, т.е. поверхность анода перемещается вместе с катодом с постоянной скоростью.
Распределение плотности тока на установившейся анодной границе определяется равенством [1]
Ja = РГС чcos 0, С1)
еЛ( Ja )
где Ja = кди/dna — анодная плотность тока; k — удельная электропроводность среды; e — электрохимический эквивалент металла; р — плотность материала анода; 0 — угол между вектором Vc скорости подачи катода и вектором na внешней нормали в данной точке анодной границы; h — выход по току для реакций анодного растворения металла.
Выход по току учитывает влияние протекающих на анодной поверхности процессов, сопутствующих растворению металла, и равен доле заряда, затраченной только на растворение металла.
В работе [3] представлены графики зависимости выхода по току от плотности тока при обработке стали 5XHM в растворах нитрата натрия и хлората натрия разной концентрации. Для этих электролитов аналитическую связь h( Ja) можно представить в виде [4]
h(ja) = f .. Ja ^ '*’ (2)
la0 + al/Ja, Ja > J*,
где постоянные ao > 0, ai < 0 характеризуют свойства электролита; j* — критическое значение анодной плотности тока.
Используя зависимость (2), выражение (1) представим в виде
ди a1 pVc
k----= —1 + ^-c cos 0. (3)
dna ao ao e
Значения коэффициентов ao,ai, найденные из экспериментальных зависимостей [3] методом наименьших квадратов, приведены в работе [5]. Например, при обработке стали 5XHM в растворе нитрата натрия с концентрацией 15 % получено ao = 0,906, ai =-12,818. На рис. 1 сплошной линией изображен график функции (2) для данного частного случая, точками нанесены результаты эксперимента [3].
Далее рассматривается двумерная модель процесса. Вводится система декартовых координат Х1, У1, связанная с катодом. Считается, что движение катода осуществляется в направлении оси ординат.
Используя предпосылки модели идеального процесса [1], будем считать, что в области межэлектродного промежутка, существует комплексный потенциал электрического поля
W(zi) = v(zi) + iu(zx), zi = X! + iy
Рис. 1. Зависимость выхода по току от плотности тока
Мнимая часть u(zl) соответствует потенциалу поля, а действительная часть v(zl) — функции тока [6].
Введем характерные плотность тока _/о, длину H [2] и безразмерные переменные:
Р^
K(ua uc) ■
J0
, Jo
здесь ua, uc — значения потенциала поля соответственно на границах анода и катода.
Перейдем к безразмерному комплексному потенциалу W^) = ф(х, у) + іу^, у), z = x + і у , W(z)=№&)- і^ )/(ua - ^).
Функция у в области межэлектродного промежутка является гармонической функцией. На границах анода и катода функция у удовлетворяет условиям
У a = 1, Уc = 0, (4)
Эу
Эп
a + b cos 0, a
ai
Ja
a0 j0
b = —. a0
(5)
Согласно гидродинамической аналогии [2] плоское потенциальное электрическое поле моделируется фиктивным плоскопараллельным потенциальным течением идеальной несжимаемой жидкости. Гидродинамическим аналогом напряженности E электрического поля является скорость
V указанного течения, а векторы E и V взаимно ортогональны [6]. При этом вдоль линии y = const выполняется равенство Эу/Эп = V, где V = VI.
e
На анодной границе скорость фиктивного течения изменяется по
закону
V = a + b cos 0, (6)
где 0 — аргумент вектора скорости.
Постановка и решение задачи. Схема сечения межэлектродного промежутка представлена на рис. 2. Катод-инструмент образован бесконечной совокупностью расположенных на плоскости одинаковых равнобедренных треугольников, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом, перпендикулярным направлению подачи катода, на одну и ту же величину. Такой электрод может быть использован, например, для формирования рельефных поверхностей периодической структуры теплообменных устройств.
Ограничимся рассмотрением области, расположенной между линиями симметрии AF и BF, где CDE — граница катода, линия AB — искомая анодная граница. Угол при основании равнобедренного треугольника равен ап. Точка F является бесконечно удаленной точкой. Вектор Vc указывает направление подачи катода. Гидродинамическим аналогом является задача по определению границы потока AB с заданным законом изменения скорости (6). Далее рассматривается соответствующая гидродинамическая задача.
В
Е
\ \ v4 ; і
і і і I
F F
Рис. 2. Схема межэлектродного промежутка
Поток создается системой непрерывно распределенных источников вдоль линий AG, EF и стоков на линиях BC и GF. В точке возврата G скорость фиктивного течения жидкости равна нулю (рис. 3,а).
Пусть в плоскости вспомогательного комплексного переменного t = £ + i ö области течения конформно соответствует область
|t| £ 1,0 £ argt £ p (рис. 3,б). Границе анода соответствует дуга окружности
t = exp(i s), s є [0, p]. Область \t\ < 1, d > 0 обозначим через Dt.
б
9
А В
В С .
9
Я
9
а
в
Рис. 3. Схема расположения линий тока фиктивного течения идеальной жидкости (а), плоскость параметрической переменной (б) и область изменения комплексного потенциала (в)
Будем искать функцию z(t), конформно отображающую полукруг единичного радиуса на область течения. Соответствующие точки обозначены на рис. 3 одинаковыми буквами. Вместо функции z(t) можно искать функцию Жуковского [7]:
Ґ1 dWЛ V) dz
г - і 0, г
1п V,
V)'
(7)
где V = a + Ь — значение скорости фиктивного течения в точке B ( = 1) Функция c(t) связана с функциями W(?) и г(t) соотношением
dz = ехр(-%^)) dW dt
(8)
Vо dt
Комплексный потенциал Ж ^ ) = ф(t)+ і ) удовлетворяет гра-
ничным условиям
) =
[% t = ехр(і о), оє[0, р],
0, t = Х, £є[-е,0].
ф(Х):
На линиях симметрии ЕЕ, ВС и ЛЕ функция ф^) принимает постоянные значения. Не нарушая общности, будем считать, что
'0, £є[- /, -е],
Фо, Хє[-1 - /], ф>ь ^є[о,і].
Область изменения комплексного потенциала представлена на рис. 3, в.
Используя метод конформных отображений [6], найдем производную комплексного потенциала
dW
= N t(t), N = —, I о = J t(x )dx. dt 1 о о
(9)
где
t(t):
(t + g )(1 + tg)
(+/)(1+t / )7К^+еЖ+^е)
Вычисляя вычет функции Ж (:) в точке Е (: = - /), найдем
Ф0 = . (10)
¡0 (1 - /2 у/ (/ -е)(1 - /е)
Интегрируя (9) соответственно на отрезках [- е, 0] и [-1, - g ], полу-
чим
(x + g)(1 + xg)
dx.
Io _e (x + f )(1 + xf )yl~ x(x + e)(l + xe) ’
y = 1 _ 1 _g________(x+g)(1+xg)
0 1 о _1 (x + f)(1 + xfy_x(_x_e)(1 + x e)
dx.
(11)
(12)
(13)
xj N - - x-Представим функцию c(t) в виде суммы
X(t ) = X*(t)+ M(t) 5
где c*(t) — функция Жуковского для течения по заданной схеме с условием V* = Vq на анодной границе AB, а w(t) — функция, аналитическая в области Dt и непрерывная в замкнутой области Dt. Функции c(t) и c*(t) имеют одни и те же особенности в Dt.
На границе области Dt функции c(t) и c*(t) удовлетворяют условиям
'0, Хе[-1, - g) U (0,11
-p, £e(- g, - d),
-ap, XG(- d, 0),
a + b cos 0(t)- Vq exp(r(t)) = 0, Re c*(t) = 0, t = exp(/ o), oe [0, p], (14)
r (1) = 0.
165
Im x(4) = Im c*ft) =
1
Используя метод особых точек Чаплыгина [7], найдем
Х*(і ) = 1п
- (1 - а)1п
ґ ґ + d Л 1 + і d
-а 1п і .
(15)
Учитывая равенство (13) и граничные условия (14), для функции ю(?) получим следующую нелинейную краевую задачу:
а + Ь соб(Т + т)-Р0ехр(1) = 0, (16)
1т ш(£) = 0, £е[-1,1]; яе ш(1)= о, (17)
где Т = 1т х*(ехр(/о)), т = 1т ю(ехр(/о)), 1 = Яе ю(ехр(/о)).
Функция ю(?), дающая решение краевой задачи (16), (17) в силу условия (17), разлагается в степенной ряд с вещественными коэффициентами
ГУ1 ГУ1
Л
ЮІ
(і )=
(18)
Х ск , с0 = Х ск . к=0 п=1
Все необходимые геометрические характеристики течения можно
найти с помощью параметрической зависимости (8).
Расстояние к между линиями ЛГ и Е¥, длина Ь отрезка СВ и
длина Ь отрезка ВЕ определяются по формулам
И = р М¥ (/)
і а-°,5 (1 -)
2
1 -12 и і-є)(1 -1 є)
\1-а
М
ех
d
где
Ь = М | ^1(х) °
А
і (х )= ехр
d
Л-а
х
1 - xd
d
dx, Ь1 = М | і7! (х;
°
х
Р(- с°) ^° /° 1 \1-а
1 - xd
dx,
(19)
(2°)
у
Е (-1)4+'скхк
x
а-°,5
(1 - xg)2
Vк=1 ) (/ - х)(1 - х/У(е- х)(1 - хе) '
Величины Ь и Ь1 связаны равенством
Ь = Ь соб ар. (21)
Для численного решения задачи задаются геометрические величины Ь1, к , а , коэффициенты а0 , а1 , характеризующие свойства электролита, характерная плотность тока jо и параметр у 0 е (0,1). Коэффициенты ряда (18) определяются таким образом, чтобы на искомой анодной границе удовлетворялось условие (16). Численно задача решается методом колло-каций. Для этого в разложении (18) сохраняется конечное число слагаемых, а уравнение (18) выполняется в N дискретных точках. Система уравнений для вычисления коэффициентов разложения (18) совместно с уравнениями (12), (19), (20) и (21), предназначенных для определения математических параметров d, в, /^, решается методом Ньютона.
Результаты числовых расчетов. В таблице представлены результаты расчетов параметров d, в, /^, ординаты точек Л и В, значения пара-
166
метров фо и ф! для трех значений у о при следующих значениях параметров: = 0,3, к = 1, а = 0,25, jо = 100Л/еш2, ао = 0,906, =-12,818.
Результаты ^ расчетов
Параметры ,9 о" II 0 у ,8 о' II 0 > ,7 о' II 0 у
1 2 3 4
а 0,466 0,418 0,379
е 0,533 0,473 0,427
/ 0.583 0.514 0.461
& 0,716 0,606 0,525
УВ 0,471 0,479 0,489
УА -0,107 0,042 0,143
Ф0 1,024 0,857 0,668
Ф1 2,297 2,118 1,923
На рис. 4 представлены результаты расчета анодных границ.
у
0.4 0.2 0 -0.2
-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 ^
Рис. 4. Результаты расчета анодных границ:
1 — у0 = 0,9; 2 — у0 = 0,8; 3 — у0 = 0,7
Параметр у 0 определяет количество фиктивной жидкости, протекающей между границей анода-детали и точкой разветвления течения.
Список литературы
1. Давыдов А. Д., Козак Е. Высокоскоростное электрохимическое формообразование. М.: Наука, 1990. 272 с.
2. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1990. 388 с.
3. Седыкин Ф.В., Орлов Б.П., Матасов В.Ф. Исследование анодного выхода по току при электрохимической обработке с применением посто-
янного и импульсного напряжения // Технология машиностроения. 1975. № 39. С. 3-10.
4. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Определение формы анода с учетом свойств электролита в задачах электрохимической размерной обработки металлов // ПМТФ. 2003. Т. 44. №3. С. 179-184.
5. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Моделирование процесса электрохимической обработки металла для технологической подготовки производства на станках с ЧПУ. М.: Академия, 2005. 200 с.
6. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
7. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.
I. Israfilov, L. Kotlyar, N. Minazetdinov
Regarding the problem of electrochemical machining by periodic cathode-tool
The mathematical model of electrochemical metal processing two-dimensional Ъproblem by the periodic triangular form cathode-tool is presented. In the solution of corresponding boundary value problem for analytical function in the field of electrolyte flow the analogy to problems of ideal liquidflow with free surfaces is used.
Key words: anode, cathode, harmonically function, potential.
Получено 28.12.10 г.
УДК 621.9.044
В.В. Любимов, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,
(4872) 35-26-81, lvv@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Е.А. Сабинин, асп., sabininea@gmail.com (Россия, Тула, ТулГУ)
РАСШИРЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ И ОБОСНОВАНИЕ НОВЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ ЭЛЕКТРОФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ
Рассмотрены расширение технологических возможностей и обоснование новых технологических схем электрофизико-химических методов обработки на примере лазерной обработки. Обоснована возможность замены электродов-инструментов плазменными каналами.
Ключевые слова: электрофизико-химическая обработка, нетвердотельный инструмент, наносекундное лазерное излучение, плазменный канал.
В машиностроительных методах обработки существуют различные задачи по достижению заданных геометрических параметров. По геометрическим параметрам есть задачи как по обработке ещё более габаритных
