Об одной задаче для обобщённого двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в бесконечной полуполосе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОБОБЩЁННОГО ДВУОСЕСИММЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛУПОЛОСЕ

А. А. Абашкин

Самарский государственный архитектурно-строительный университет,

443001, Россия, Самара, ул. Молодогвардейская, 194.

E-mail: samcocaa@rambler.ru

Исследована краевая задача в бесконечной полуполосе для обобщённого двуосесим-метрического уравнения Гельмгольца. С помощью метода разделения переменных и с использованием 'разложения функции в ряд Фурье—Бесселя получены условия разрешимости данной краевой задачи. Сформулированы ограничения на параметры, при которых доказаны единственность её и отсутствие однозначной 'разрешимости.

Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, краевая задача, ряд Фурье—Бесселя, функции Бесселя, принцип максимума.

Рассмотрим уравнение

в полуполосе D = {(х, у) : 0 ^ х ^ а, 0 ^ у < оо} = [0, а] х [0, оо).

Задача. Найти функцию и{х,у) € С([0, а] х [0, оо)) ПС2((0, а) х (О, оо)) такую, что выполняются условия

Hil,pu = 0, и(0, у) = 0, и(а, у) = 0, (2)

lim и(х, у) = 0, и(х, 0) = <р(х) при р<^г, (3)

у—>оо 2

и найти функцию и(х, у) € С([0, а] х (0, оо)) П С2 ((0, а) х (0, оо)) такую, что выполняются условия (2) и

lim и(х,у) = 0, lim у2р~1и(х, 0) = <р(х) при р > (4)

у—оо у—о 2

, и(х,у) , . 1 , ч

lim и(х, у) = 0, hm—---------= ipix) при р =-. (5)

у—>оо у—>о in у 2

Отметим, что краевые задачи в полуполосе для уравнения (1) при ц = 0 были предметом многочисленных исследований (см., например, [1,2]).

Теорема. Если функция xßltp(x), где ц\ = ц — 1/2, кусочно-непрерывна, имеет ограниченную вариацию на промежутке (0, а) и выполняется условие

Г

/ \xßLp{x)\dx < оо,

J о

Антон Александрович Абашкин, аспирант, каф. высшей математики.

то решение задачи (2)-(5) существует. При Л ^ 0 и р / 1/2 это решение единственно.

Доказательство. Будем искать решение задачи (2), (3) методом разделения переменных:

где и(х,у) = У(х)}¥(у), 72 — константа разделения.

Уравнение (6) заменой V(х) = х~^1Р(^х) сводится к уравнению Бесселя [3, с. 132], общее решение которого можно записать в виде [3, с. 135]

Это следует ИЗ ТОГО, ЧТО функции И Уи(г) являются решениями урав-

нения Бесселя [3, с. 134-135], и при V ^ Ъ линейно независимы, поскольку (по определению) функция является линейной комбинацией с ненулевыми

коэффициентами функции и линейно независимой ей функции Jv{z),

а при V € Ъ функции и У/(г) линейно независимы, потому что

линейно зависит от Jv{z), а и —линейно независимы.

Тогда общим решением уравнения (6) является функция

В силу условия (2) и определений функции Бесселя (8) и функции Вебера (9), (10) необходимо ПОЛОЖИТЬ С*2 = 0.

Чтобы функция и(х,у) удовлетворяла условию (2), необходимо, чтобы = 0. Если обозначить через гп все положительные корни уравнения 7_М1(ж) = 0, занумерованные в порядке возрастания, то 7а = гп для некоторого номера п, откуда получаем, что 7 = гп/а. Тогда V(х) принимает следующий вид:

(6)

(7)

Р(г) = С1^1(г) + С2¥„1(г),

где Ju(z) — функция Бесселя [3, с. 132]:

г \ 2 т+и

а — функция Вебера [3, с. 134]:

(10)

(9)

У(х)=Схх М17_М1(7х) + С2х тГт(7ж).

где = л/(гп/а)2 — Л, К„(г), 1и(г) — модифицированные функции Бесселя [3, с. 139]. Для того чтобы выполнялось условие (3), в силу асимптотики

Ки(г) ~ е~х/^Д, 1„(г) ~ е,х1л/г при г ->• оо,

необходимо положить С4 = 0. В результате можно составить ряд

СЮ

и(х,у) = увпх-^у-рЧ-^(^х^КР1((пу). (11)

П= 1

Определим коэффициенты Вп так, чтобы все члены ряда (11) являлись решениями задачи (2), (3) или (2), (5). Подставив ряд (11) в условие (3), с учётом асимптотики [4, с. 246]

кЛг) - 21-\и\^И (У ^ °)> ~Ы~ при г ^ 0,

получим

сю

Р<

СЮ Л

^ , р=~. П= 1

При выполнении условий теоремы можно разложить х^г1р(х) в ряд Фурье— Бесселя [3, с. 165]:

х^1^(х) = У Сп^-М1 (~Х) ’ (12)

а

71= 1

где сп определяются по формуле [3, с. 164]:

2

Сп —

о~т2-7—V / <p(x)x^il+1J-fll(—x)dx. (13)

а2Л^1+1{гп) Уо V а )

Тогда имеют место следующие равенства:

Сга” ж) _ ^ вп | ^+1™ ж), V < 2;

п= 1 П=1

сю сю ^

¿сга7_т(^ж) =-¿Бга7_т(^ж), р = -.

п=1 п=1

Выразив из этих равенств !Зга, получим

____С

1Г(Р1)2:

£Р1 1 = сп——^--------------------------------г, р < (14)

” пгЛп,^9Р1-1’ 2

--- СГ1) Р --------------- 2 > (1^)

где коэффициенты сп определяются равенством (13).

Для того чтобы формальное решение в виде ряда (11), коэффициенты которого определяются по формуле (14), было решением задачи (2), (3), необходимо доказать равномерную сходимость ряда (11).

Ряд

СЮ

5^с"(^)*7-т(~ж), (16)

П= 1

где сп(у) = Впу~Р1 КР1(£пу), а у рассматривается как параметр, является разложением функции х^ги{х,у) по ортогональной системе {,]-^1(гпа~1х)}. При у —у 0 и выполнении условий теоремы он сходится равномерно. Рассмотрим поведение коэффициентов сп(у) при изменении у. Для этого найдём производную по у от коэффициентов:

(Впу^КР1(СпУ)У = Вп£пуР1 КР1 _ 1 (£пу) ■

Выражение, стоящее справа, не имеет положительных корней, так как их не имеет функция К „(г) [3, с. 163]. Принимая во внимание, что Ки{х) убывает экспоненциально при г —> оо, можно сделать вывод, что коэффициенты (как функции от у) убывают на всей положительной полуоси, стремясь к нулю. Поэтому из равномерной сходимости ряда (11) при у —> 0 следует равномерная сходимость ряда (16) при всех остальных значениях у, а из этого факта следует сходимость ряда (11). Таким образом, существование решения доказано.

Рассмотрим теперь ряд (11) прир = 1/2. В этом случае верно соотношение

СЮ

х^и(х, у) = - У СпК0(СпУ)^1х1 (~Ж) • (17)

п= 1

Поскольку ряд ^^=1сп-^-ц1{гпа~1х) сходится равномерно, а выражения Ко(СпУ) ПРИ фиксированном у можно ограничить числом Ко(^\у), по теореме Абеля ряд (17) сходится равномерно при этом значении у. В силу убывания функции \Ко(г)\ ряд (11) сходится при у ^ е для произвольного положительного е, откуда следует равномерная сходимость ряда (11) в области И при р = 1/2.

Для доказательства единственности решения задачи (2), (3) воспользуемся принципом максимума. Допустим что решение решение задачи (2), (3) при (р(х) = 0 принимает наибольшее значение во внутренней точке (хо,уо) области И. Тогда их(хо,уо) = 0 и иу(хо,уо) = 0. Также Аи(х,у) > 0. Поскольку на границе области решение равно нулю, и(хо,уо) > 0, откуда следует, что Н^ри(хо,Уо) = Аи(хо,Уо) + Аи(хо,Уо) < 0, что приводит к противоречию. По аналогичным рассуждениям решение не может принимать наименьшее значение во внутренней точке области. Итак, функция и(х, у) наибольшее и наименьшее значения принимает на границе. Поскольку на границе решение тождественно равно нулю, в области И решение также равно нулю, что доказывает единственность решения задачи (2), (3).

В силу соотношения

ЯДР(У1_2РМ) = У^Н^^и) (18)

решения задач (2), (3) и (2), (4) находятся во взаимно однозначном соответствии, из чего следует однозначная разрешимость задачи (2), (4), решение которой даётся формулой (11), при этом

cP 1

Вп = Сп——г--------г, (19)

r(pi)2Pi-1’ v J

где сп находятся по формуле (13).

Рассмотрим случай Л > 0. Уравнение (6) не претерпевает изменений.

При rm/a < А < rm+\/a формула для решения уравнения (7) остаётся без изменения для Yn, п > m. При п ^ m общее решение уравнения (7) принимает вид

Wn(y) = C5y~PlJPl(any) +C6y~PlYPl(any),

где an = л/А — (rn/a)2. Отметим, что в этом случае Wn(y) удовлетворяет условию lim Wn(y) = 0.

у—у ОС

Запишем решение задачи (2), (4) в виде ряда

m

u(x,y) = yx~ßly~pl(BnJPi(any) + DnYpl(any))Jßl(^x} +

п=О

oo

+ Bnx~ßly~plJßl{^-x^jKpl{iny). (20)

n=m-\-1

При п ^ m из определений функций Бесселя и Вебера (8)—(10) и асимптотики [3, с. 138]

Yk(z) ~(к € N), Yq(z) ~ — In ^ при z ^ 0

7Г \2/ 7Г 2

следует, ЧТО

2Pic~pi 1

lim\y2p~lYn(y) = -Dn—----------^--------, p> Pi N;

y^o Г(1 — pi) sm(pi7r) 2

lim y2p~lYn(y) = -dJPi pj'2 , p>\, Pi € N;

y^o 7Г4п 2

lim Yn^ - d - p--

11111 — Un , у .

0 ln у 7Г 2

Тогда для функции u(x, у) из краевого условия (4) и формулы (20) полу-

чаем соотношения

"L OPI tPi /Г \

lim у2р~1и(х, у) = -J2Dn—-------------------x-^J-^A—ж) +

у^о ^ Г(1 -pi) sm(pi7r) Vfl /

+ £ Bn^-pfkix~ßlj~ßi^x) v>\’

л -in I 1 ^

Г(Р1

Dn2

n=m+l

Нт у2р 1и{х, у) = - £>га ^ р|'2 ж ^Ч-^(—х) +

у^о ^ 7г4„ V а /

ГЫ

П=0

СЮ

+ I] впф^рГЖ №7_т(^я:) =^(ж), р>^, Р1€М;

п=тН-1

п=0

п=тН-1

При выполнении условий теоремы выполняется соотношение (12), в результате чего имеют место следующие равенства:

т

в ______2Р1^_______х~^3- (—х] +

2-^ ПТ{1 — г>1 ) К1П ('П1 7]Л п /

п=О

Г(1 — Р\) 8ш(р17г) \а

Г (р

+ V в 1[Р1) х-^Ч (Г-^х)

+ яП21_р X и_111уаХ]-

п=тп-\-1

п= 1

У'в (Р1-тр^ (Тп \ в Т{Р1) ,] X)

2_^ип р, и-п[а*)+ 2_> ^21-Р1 ег М11а

п=0 ^ п=тН-1

сю ^

^ с„(^ж), Р>2>

П= 1

гтг л сю

2 т /г.

7Г V а , „

п=0 га=т,+ 1 га=1

Приравняем коэффициенты при соответствующих слагаемых. При п > гп коэффициенты Вп находятся по формулам (19) и (15), а при п ^ т, выразив Оп, получим

^ Г(1 — »1) 8т(»17г) 1 ^ ,„чЧ

= ~сп 2Р1^Р1 ’ Р ^ 2’

7Г^Р1 1

А* = _с™2Р1(р1 - 1)!’ Р>2'' ^22)

= Сга —, р = —. (23)

Для доказательства сходимости ряда (20) достаточно доказать сходимость «хвоста». Доказательство этого факта полностью повторяет доказательство для случая Л < 0.

Таким образом, решением задачи (2), (4), (5) является ряд (20), в котором коэффициенты Dn определяются формулой (21) при pi qL N; формулой (22) при pi € N и формулой (23) при р = 1/2, а коэффициенты Вп при п > m находятся по формуле (19) при р < 1/2 и по формуле (15) при р = 1/2, а при п ^ m остаются произвольными.

Применение соотношения (18) приводит к формулам, выражающим решение задачи (2), (3). В этом случае решение определяется рядом (20), где коэффициенты Вп при п > m определяются формулой (14), при п ^ m коэффициенты Вп произвольны, a Dn определяются соотношением

□

2 ~Р1СпР1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Моисеев Е. И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения, 2001. Т. 37, №11. С. 1565-1567; англ. пер.: Moiseev Е. I. Solvability of a nonlocal boundary value problem // Differ. Equ., 2001. Vol. 37, no. 11. Pp. 1643-1646.

2. Лернер М. E., Репин О. А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщённого осесимметричного уравнения Гельмгольца // Дифференц. уравнения, 2001. Т. 37, №11. С. 1562-1564; англ. пер.: Lerner М.Е., Repin О. A. Nonlocal boundary value problems in a vertical half-strip for a generalized axisymmetric Helmholtz equation // Differ. Equ., 2001. Vol. 37, no. 11. Pp. 1640-1642.

3. Лебедев H. H. Специальные функции и их приложения. СПб.: Лань, 2010. 368 с. [Lebedev N. N. Special Functions and Their Applications. St. Petersburg: Lan’, 2010. 368 pp.]

4. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с. [Olver F. Asymptotics and special functions. Moscow: Nauka, 1990. 528 pp.]

Поступила в редакцию 08/XII/2011; в окончательном варианте — 27/11/2012.

MSC: 35J05; 35J25, 35В30

ON ONE PROBLEM IN AN INFINITY HALF-STRIP FOR BIAXISIMMETRIC HELMHOLTZ EQUATION

A. A. Abashkin

Samara State University of Architecture and Civil Engineering,

194, Molodogvardeyskaya St., Samara, 443001, Russia.

E-mail: samcocaa@rambler.ru

Boundary value problem in an infinity half-strip for biaxisymmetric Helmholtz equation is explored. Existence conditions of this problem are gotten with help of Fourier-Bessel series expansion. Uniqueness of solution of this boundary value problem is proved for some parameters values. Lack of uniqueness of solution is proved for some other parameters values.

Key words: Helmholtz equation, boundary value problem, Fourier-Bessel series, Bessel functions, maximum principle.

Original article submitted 08/XII/2011; revision submitted 27/11/2012.

Anton A. Abashkin, Postgraduate Student, Dept, of High Mathematics.