Об одной спектральной задаче для дифференциального уравнения четного порядка с одним кратным характеристическим корнем Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1983. Вып. 9. Стр. 190-229.

3. Вагабов А.И. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с кратными характеристиками по параметру. // ДАН СССР, 1985. Т. 283. № 5. Стр. 1047-1050.

4. Оруджев Э.Г. О краевых задачах для дифференциального уравнения четвертого порядка, полиномиально зависящего от спектрального параметра. // Доклады АН ССР, 1989. Т.ХЬУ. № 10. Стр. 7-11.

5. Оруджев Э.Г. Краевые задачи для дифференциальных уравнений четного порядка с кратными характеристиками. // Доклады Академии наук России, 1999. Т. 368. № 1. С. 14-17.

ОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА С ОДНИМ КРАТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ КОРНЕМ Зульфугарова Р.Т. Email: Zulfuqarova17132@scientifictext.ru

ЗулфугароваРена Тахир - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математической экономики, Бакинский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе рассмотрена краевая задача для произвольного уравнения четного порядка со спектральным параметром, полиноминально входящим и в уравнение, и в краевые условия. Особенностью данной задачи является то, что характеристические уравнение в смысле Биркгофа-Тамаркина имеет единственный кратный корень. Здесь найдены достаточные алгебраические условия на коэффициенты уравнения, при выполнении которых дифференциальное уравнение имеет Биркгофскую асимптотику решений. Выделен класс регулярных краевых условий. Для них получена оценка функции Грина вне малой окрестности собственных значений при больших по модулю значениях спектрального параметра. Для достаточного порядка гладких функций, обращающихся в нуль на концах рассматриваемого интервала вместе с производными определенного порядка, найдена формула 2п-кратного разложения по собственным и присоединенным функциям.

Ключевые слова: спектральная задача, функция Грина, собственные значения, характеристический корень, формула кратного разложения.

THE DIFFERENTIAL EQUATION OF AN EVEN ORDER WITH ONE MORE THE BRIEF CHARACTERISTIC ROOT Zulfuqarova R.T.

Zulfugarova Rana Tahir - PhD of mathematical science, Associated Professor, MATHEMATICAL ECONOMY DEPARTMENT, BAKU STATE UNIVERSITY, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN

Abstract: the article is considered that a boundary value problem for an arbitrary equation of even order with a spectral parameter which included polynomials in both the equation and the boundary conditions. The main of this problem is that the characteristic equation in the sense of Birkhoff -Tamarkin has a single multiple root. We have found sufficient algebraic conditions for the coefficients of the equation under which the differential equation has the Birkhoff asymptotic of solutions. Selected the class of regular boundary conditions. Obtained estimation for the Green function outside a small neighborhood of eigenvalues for large modulo values of the spectral parameter. For sufficiently smooth functions that vanish at the ends of the interval under consideration, together with derivatives of a certain order, a formula second is found - a multiple expansion in associated functions. Keywords: spectral problem, Green function, eigenvalues, characteristic root, multiple decomposition formula.

УДК 517.927

Рассмотрим краевую задачу на отрезке [0,l]

У

(2n)

+ Pi (x, X)y{2-1) + ... + P2„ (x, X)y = 0 ,

2n—1 _

^ (y ) = Z Х)у (j) (0) + Pjj X)y°) (1) = 0, i = 1,2n

j=0

где p (x,X)=^ P,X, i = 1,2n, P (x), 1 < i достаточно гладкие 1=0

функции, P.. = const, <Xy(X), Py(X) полиномы от спектрального параметра, X е С и для всех X rang(<y(X), Ру(Х))" = 2n.

Предположим, что характеристическое уравнение смысле Биркгофа-Тамаркина.

<92и + P

+ •■■ + Pin—1,2n—1* + P2„,2„ = 0

(3)

имеет единственный корень в с кратностью 2n.

Различные вопросы, связанные спектральной теорией обыкновенных дифференциальных уравнений на конечном отрезке, интенсивно изучались впоследствии до настоящего времени. Однако, исключая очень малое число опубликованных работ, которые носят не общий характер, всегда предполагалось, что характеристическое уравнение (3) имеет различные корни. Дело в том, что в случае кратных корней характеристического уравнения (3), проблема существования фундаментальных решений для уравнений высокого порядка с полиномиальными вхождениями спектрального параметра, полностью не изучена. Некоторые прямые спектральные аспекты краевых задач в случае двух различных корней уравнения (3) при общих нормированных краевых условий изучены в [2]. Здесь мы находим решения уравнении (1) при специальных алгебраических предположениях на коэффициенты уравнения. Далее, следуя методами работ [3-5] получаем формулу о кратном разложении по собственным и присоединенным функциям задачи (1)-(2).

Дифференциальное уравнение (1) с помощью замены

dky

dxk

можно привести к виду

= Xyk+1, k = 0,2n — 1

(4)

dy dx

= A(x,X)y,

(5)

A(x, X) где матрица v ' / имеет вид

a(i) =

0 0

0

1

0

0

2n—1

A(x,X)= Z a (—''^ X i=— 1

0 ...

1 0

00

— P — P

P 2n,2n P 2n—1,2n—1 ......

a(—i) =

0 0

0

— P

\ P 2n,2n—1—i

0 0

0

P

0 0

P

0 0

0

P

1" i

i = 0,2n — 1, P (x) = 0 при k < 0, l = 1,2n .

Сделаем замену

1

y

У (х, Л) = т2 (х, Л). (6)

Пусть ТП -такая, что т^а^т = J, где J -жордановая матрица для 2п -кратного отличного от нуля корня О = О . Тогда непосредственным вычислением находим, что

т =

О,

02

03

0 1

2 О 3О 2

О2и_1 (2п - 1)О2и-2

Подставляя (6) в (5), для Z(х, Л) получим:

dZ

Ищем решение

dx Z (х, Л)

X + Х т -1а<—) ( х)т

1=0

в виде

Z (х, Л) =

ХЛ-^ Ч х)^

0 01

0 0

0 0

0 0

-1)01 1,

(х, Л). (7)

2п (8)

г ,?=1

приравнивая между собой коэффициенты при одинаковых степенях Л , используя формулы (7) из [6, стр. 6] и предполагая выполнения следующих условий

2 п 2 п 2 п /о\

Х Р-1 (хО- = 0, Х Р,г-2 (х)О2"-' = 0, Х Рл-3 (х)О2"- = 0, . - - ^х е [0,1], (9)

¿=-1 г=-2 г=-3

получим без труда группы бесконечных уравнений, которые, и дают алгоритм для

ё?)(х), г, ? = 12П

Переходя от

Z (х, Л) У (х, Л)

получим

нахождения формальные решения.

Заметим, что в работе [6] главная матрица системы (5) предполагается "уже" приведенный к каноническому виду. Мы здесь избавимся от условий бесконечный дифференцируемости коэффициентов уравнения (1) для получения асимптотики формального решения, заменив его условиями типа Тамаркина.

Итак, используя метод, изложенный в работе [1] Тамаркина получим:

Теорема 1. Пусть Ра (х) е С2п+2-,+г [0,1] I < г и выполняются условия (9). Тогда дифференциальное уравнение (1) в каждой из полуплоскостей Ф+ = {Л : Ке ОЛ > 0 (+), Ке О1Л < 0 (—имеет фундаментальную

систему решений, допускающих при Ц —> Ю асимптотические представления

У (х,Л) =

§(0 (х) +1 ё® (х) + -1 (х) +... + ^ 1) (х) + 0 1

Л

Л2'

Л2'

ОЛ

(10)

где (х) и §(д') (х), ? = 1,2п — 1 соответственно, фундаментальные решения

однородных и частные решения неоднородных дифференциальных уравнений четвертого порядка, с коэффициентами, выраженными через Р^ (х), / < 2п.

Следует заметит, что в случае простых корней характеристического уравнения (3) коэффициенты разложений решений по параметру уравнения (1) являются решениями дифференциальных уравнений первого порядка.

В теореме 1 сведено до возможного минимума предложения р (х) = 0,

0 < к < г, г = 1,2п, к = 1,2^— 1, (Тг-максимальная кратность из корней О ,О,...,Ок

1

п-1

V =0

как достаточные условия существования фундаментальной системы решений уравнения(1), имеющие обычную экспоненциальную асимптотику, указанные в работе [7].

Согласно работы [8,стр.259] единственное решение уравнения (1) с неоднородной правой частью f (x) , удовлетворяющее этим краевым условиям представляется в виде

1

Y(x, к, /) = { О(х,<, (11)

где

и^1) ВД) ... и,(¥2п)

(12)

Д(к) =

и2п (Yl) и2п (Y2) ... и2п (Y2n)

¥к (х, к), к = 1,2п являются фундаментальными системами решений однородного

уравнения (1),

Д(х,<,к) =

Е(х,<, к) ¥1 (х, к) ... Г2п(X, к)

) х .........

и2п (Е)х

(13)

^Ж2пк&к)¥к(х, к)

Е (х,<,к) = ±

Д(к)

[+ если 0 << < х I - если 0 < х <<

2Ш (<,к)

Ш(<,к) -определитель Вронского от ¥(х, к), к = 1,2п ; Ш2и к(<, к)-алгебраическое дополнение элемента (2п,к) определителя Ш(<, к).

Собственные значения задачи (1)-(2) являются корнями определителя Д(к). Представим

Д(к)

в виде:

Д(к) =

Л1 + Вцв

в1к

в1к

Лш + в2п1ев

А12 + В12е

А2п2 + В2п2ев

в1к

А12п + В12пе

... А + В т ев

2п2п 2п2п

(14)

Здесь А (к), В (к), ', ] = 1,2п являются многочленами от к. Теорема 2. Предположим, что Д(к) представляется в виде

2п

д(к)=Ткн

к=0

А+А\

в кк

Н0 = — = Н2 = ... = -Ни-! = Н2и, А ^ 0, к = 0,2п. Тогда задача (1)-(2) имеет бесконечное число собственных значений, образующие конечное число цепей, каждая цепь

0

2п-1

к

к

к

и

состоит из счетного бесконечного множества нулей, лежащих на линии в1 1 1п(гк) и

удаленных друг от друга 2.Ж /О- единиц длины, , k = 1,2- являются корнями многочлена 2п-й степени. Для них справедливы следующие асимптотические разложения

Л = О-[1п| Zk\ + г(21ж + а^ Zk )] + 0

V

Используя [2-5], для нормированных краевых условий

к1 -1

т(к ЙУ(к1 V« У О')(

1 |, ¡1 — ю, к = 1,2п

¡Г 11 , ,

(15)

и (У) = а,У(к ] (0) + РгУ(к ] (1) + Ха,у У (0) + Р У ?] (1) = 0,

;=0

2п - 1 > к1 > к2 > ... > к2п > 0, к1 > kз, к2п-2 > к2п

получаются следующие условия регулярности

(16)

а0

а

а

2п

Р0

св\1

(Лвх

св\2' свх

dв к1 Р °

а

с0_

1 сех 2

а

а

Р2nв1k2n Р

свк

с О2 -

2п со2

с 2в к1

Р (в!2-сввл

а

с2п-1О1 1 в7"

с2п-1вк 2'

* 0

2п , _ 2п-1

с в

с 2--10 к1

Рс 01

2

2п

св

Р2

с 0

2п с в2

Р2

1 о,2п-1

с2п-:вк 2'

2п , _ 2п-1

с в

* 0

(17)

Примерами регулярных краевых условий могут быть условия периодического типа

У(?) (0) - У(?) (1) = 0, ? = 0,2п -1.

А в общем случае уравнение для определения собственных значений краевой задачи (1)-(2) имеем вид

N

Д(Л) = Х р (Л)евкЛ , N < 2п

(18)

к=1

Здесь коэффициенты полиномов определяются через коэффициенты уравнения (1) и коэффициентов а^Л), Ру(Л).

Теорема 3. Предположим, что для задачи(1)-(2) выполняются условия регулярности (17). Тогда вне 8 -окрестности собственных значений при любых х, е [0,1] функция Грина имеет оценку

0(х,£,Л) = 0(1), Л —Ю. (19)

Введем систему функций (х), г = 0,2п -1} и составим выражение

2п-1 2п г-1 И2п-' / \

Е{х, Л)= Х^Ъ (х) + Х Х Ра (х)^ГПТ, Л>0 (х)+ . + ^ (х)).

г=0 г=1 ¡=1 ^

Из оценки (19) функции Грина методом контурного интеграла [8] получается следующая теорема о 2п-кратного разложения по собственным и присоединенным функциям.

Теорема 4. Пусть функции Ç. (X), i = 0,2n — 1 имеет непрерывные производные до

порядка 4n-i, çÇ ) (0) = çÇ ) (1) = 0, k = 0,4n — 1 — i и выполняются условии теоремы 3.

Тогда имеет место формула 2п-кратного разложения

n2n __1 _

°lr- Z f kSdÂf G(x, g, Ä)F(g, X)dg =çs (x), S = 0,2n — 1,

2Ж\1 1 m с 0

Cm 0

которая равномерно сходится по X G [0,1]. Здесь Ст - простой замкнутый контур, окружающий только один полюс Ят подынтегральной функции.

Список литературы / References

1. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917. 308 стр.

2. Оруджев Э.Г. Краевые задачи для дифференциальных уравнений четного порядка с кратными характеристиками. // Доклады РАН, 1999. Т. 368. № 1. Стр. 14-17.

3. Оруджев Э.Г. О краевых задачах для дифференциального уравнения 4-го порядка, полиномиального зависящего от спектральных параметра. // ДАН Азерб. ССР, 1989. Т. XLV. № 10. Стр. 7-12.

4. Оруджев Э.Г. Прямые спектральные задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 4-го порядка, полиноминально зависящего от спектральных параметров. // ДАН Азерб.ССР, 1998. Т. LIV. Стр. 9-15.

5. Namazova N.M. On some boundary value problems for a four in order differential equations with multiple characteristing. // Transactions of NAS of Azerbaijan, 2012. Vol. XXXII. № 4. Pp. 79-86.

6. Алиев Н.А. Асимптотические представления фундаментальных решений системы уравнений первого порядка. // Ученые Записи Азерб. гос. университета, серия физ-мат, 1966. № 5. Стр. 3-13.

7. Вагабов А.И. Асимптотика решений дифференциальных уравнений с кратными характеристиками по параметру. // Доклады АН СССР, 1985. Т. 283. № 5. Стр. 1047-1050.

8. Расулов М.Л. Применение вычетного метода к решению задач дифференциальных уравнений. Баку. Элм, 1989. 328 стр.