Об одной системе ортогональных финитных функций, связанных с треугольной сеткой Текст научной статьи по специальности «Математика»

новременио выполняемые работы, т.е. полностью удовлетворяет поставленного в задаче дополнительному ограничению. Следовательно, план выполнения работ (рис.4) есть решение задачи.

Рис. 4. План выполнения работ

Предложенная методика нахождения допустимых планов (последовательностей) выполнения частично упорядоченных совокупностей работ имеет важное значение для той части науки управления технологическими процессами различной природы, которая ставит своей целью, быстрое получение допустимых (но не обязательно оптимальных) управлений. Быстрота в этой методике достигается благодаря использованию простых и наглядных методов работы с ориентированными графами. Представляет интерес распространение разработанной методики для отыскания оптимальных, в том или ином смысле, планов выполнения совокупности работ. В этом случае методику можно было бы использовать для существенного сокращения множества допустимых планов, в котором намечается искать оптимальный план.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. I, II, III. М.: Мир, 1972-1973.

2. Левин В.И. Автоматная модель определения возможного времени проведения коллективных мероприятий// Изв. РАИ. Теория и системы управления. 1999. №3.

3. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.

4. Левин В.И. Структурно-логические методы исследования сложных систем. М.: Наука, 1987. **

Левин Виталий Ильич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математика» Пензенского технологического института. Окончил механический факультет Каунасского политехнического института. Имеет более 1000 публикаций, монографии в области прикладной математической логики, теории автоматов, математического моделирования, оптимизации.

УДК 519.63 В.Л. ЛЕОНТЬЕВ

ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С ТРЕУГОЛЬНОЙ СЕТКОЙ

Предлагаются и исследуются двумерные ортогональные финитные функции, заданные на последовательности сеток, состоящих из треугольников. Дается оценка точности аппроксимации элементов функционального пространства линейными комбинациями ортогональных финитных функций. Эти функции являются основой для построения рациональных и эффективных численных методов, основанных на смешанных вариационных принципах механики сплошных сред.

С работы [1] начинается развитие теории одномерных ортогональных финитных функций. В [2, 3] на основе одномерных функций, построенных с помощью другой методики и отличающихся более простой по сравнению с функциями [1] структурой и наличием симметрии, строятся в форме тензорных произведений многомерные ортогональные финитные функции, которые связаны с разбиением области на прямоугольники или параллелепипеды. Простая структура и симметрия функций облегчают их использование в численных методах, но форма конечных носителей создает трудности для применения функций в вариационных сеточных методах решения краевых задач для областей с криволинейными границами. В данной работе исследуются двумерные ортогональные финитные функции, лишенные последнего недостатка, поскольку они определяются на сетках, состоящих из треугольников. Оценка точности аппроксимации элементов функциональных пространств предлагаемыми ортогональными финитными функциями здесь следует из непосредственного рассмотрения величины среднеквадратичного отклонения исследуемых функций от финитных функций Куранта [4]. Рассматриваемая система ортогональных финитных функций является результатом обобщения одномерных финитных функций [2]. В [5] приводятся результаты обобщения одномерных ортогональных функций другого вида [3] на двумерный случай, в котором также применяются треугольные сетки.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

Применяемый в дайной работе подход основан на введении дополнительной триангуляции конечного носителя функции Куранта. Предлагаемая функция имеет в вершинах дополнительных треугольников параметрические значения противоположных знаков, отличающиеся от значений функции Куранта и придающие ей свойство ортогональности, а в остальных точках значения этих функций совпадают.

Введем разбиение области ОсГ на М треугольников А^Р;Рк с вершинами в точках Р{, Р. и Рк. Каждая пара треугольников имеет либо одну общую вершину, либо одну общую сторону, либо не пересекается. (Р0,Р1 ы) - множество вершин треугольников, ку = РЬР} - длины сторон

треугольников, На каждой из сторон Р{Р} берутся точки

Р» = [хд>Уу), равноудаленные от вершин Р1 и Р}. На треугольнике АР1Р1Рк строятся отрезки Р{Рук, ^Дь» соединяющие вершины

треугольника и точки на сторонах Р.^ и Р1 Рк с точкой Рук пересечения медиан треугольника. Область АР1Р]Рк разбивается на пять треугольников. Два дополнительных треугольника, образованных линиями РкРук, РцРук, Ру-Рук > в

определении функции представляются единой треугольной областью АР.РкРдк. Они используются при вычислении скалярных произведений

функций, связанных с различными узлами. Введем вспомогательную функцию

8{Р1,Р2А>Х>У)=

\

I _ У~У 2 _ Х~Х1

Г

I _ У\ ~Уг __ х\ хз

V Уз "У2 Х2 ~Х3 у

-1

\ Уз "Уг х2 хзу

Здесь Р, = {хл,у{), Р2 ={*г>Ут)> == С^з'-Уз) " некоторые точки из множества |Функция g определяет уравнение плоскости, проходящей через точки {х2>Уг$)> Каждой точке Р1 основной сетки ставится в соответствие функция ф¡{х,у), которая подобно функции Куранта [4], имеющей на треугольнике АР1Р]Рк вид

¡{х>у)= g[Pi)PjíPk,x)y), отлична от нуля лишь на совокупности треугольников с общей вершиной в точке Рг Для удобного представления этой функции введем обозначения:

■у, =Ащрик> Б2 ^з =а

= ЩР1кРок, = ДР,Д, = АРкРк;Рик.

На области АР(Р Рк:

Ф, (х,У,а) = Щ* АА, )/3 + Рук)+ (1 + а)^.,Р,,Р,к), (х,у) е ];

> ¿¡к > Рук Р( > Рук

I*И,*> Р> >Рц )/'■3+ (1 ■+1а )в [Рц. Р},р„л (* > У)'];

> Рук

Здесь а - параметр, принимающий действительные значения и придающий базисным функциям свойство ортогональности. Из определения следует, что Ф/(^) = 1, ф,(Рд)=1 + а, Ф,(Рл) = -а, фД^)=1/3, на стороне Р}Рк

функция ср,. а) равна нулю. На каждой области, указанной в данном определении, функция (р. представлена соответствующей треугольной частью плоскости.

2. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ФУНКЦИЙ

j*»

Скалярное произведение {ф/ У, сс)фу- (х, у, a)dxdy записывается в виде

AP,PjPk

суммы интегралов по треугольным областям S6. Трудоемкие вы-

числения интегралов выполнялись с помощью автоматизированной системы символьных преобразований. Например, двойной интеграл

JeWjdxdy = Jfefo, ,ЄЄ )/3 + g[p,, P^Pijk)+ (1 + v)g{Pij. p,. P,jk )]x

5, S,

P¡, Pyk ))flxdy

после перехода к интегралу по области {О < t, < 1, 0 < т] < 1 - с помощью замены переменных

Х = хх +(*2-*1^ + (*з-*|)Пэ У = У\ +{У2~У\к + {Уз~У\Ь> оказался равным выражению [(l/27 - а/8 - а2/12^Jijk ], в котором

Jijk ~ I хк

(у, -yj)+xt{yj-yk)+xj(yk "^V6- 0стальные интегралы вычислялись аналогичным образом:

|ф,<рjdxdy = (5/216 - а/72)jiJk, Jq>,q>jdxdy = (l7/216- а/24 - а2/\2)}ijk,

/ф/фjdxdy = (1/12 - а/8)jijk /9, |ф,фjdxdy = (l/27 + а/72)Jijk,

¡W jdxdy = (5/216 + a/72)Jíjk.

s6

Скалярное произведение с учетом найденных выражений принимает

вид

|ф ¡y jdxdy = 1/24 [5 - 4a(l + a)]jijk.

AP,PjPk

Из условия равенства нулю скалярного произведения следует, что базисные функции {ф/ (х} уу а)} ортогональны на треугольной сетке области если а12 = (—1 ± л/б)/2.

Таким образом, построены ортогональные сеточные функции, соответствующие двум значениям параметра а. На отрезках P¿Pí/k, PJ Pljk, РкPiJk, Р; РА.

значения функции Куранта и (р^х,у,а) совпадают. Функция ф,-а), конечный носитель которой представляет собой множество треугольников AP¡PjPk с общей вершиной в точке Рп и функция Куранта Ч'/Д^.у) различаются в 5,, S2, 54,ав S5, £6 они совпадают. Функции Ф,а), как и

функции Куранта, являются финитными и непрерывными, но в отличие от них они образуют ортогональную систему.

3. АППРОКСИМИРУЮЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ

Обозначим линейное подпространство функций через

Его элементы имеют вид

N 1=0

Здесь и{ - постоянные коэффициенты.

Очевидно, что 1^2исф)п^21(й). Здесь с(п) - пространство непрерывных функций с нормой ||ы||с^ = тах\и{х)|; й^* {&) {к = 0,1,2) - простран-

ства Соболева с нормами

V = (т,п); т,п = 0,1,2; |у

и

= IX где £>у =

а

5х

/

/и

= т + п.

Теорема. Для любой функции и(х,у)е Ж22(0) найдется функция и11 е Ж2' и постоянные С,, С2 такие, что

и - г/

<С,/г

и

I

к2 (о)

+

I

йки

(2)

Постоянные С,,С2 не зависят от параметров сетки и от функции и{х,у), - минимальный из углов всех треугольников сетки, 5 - площадь области

О.

Доказательство. Рассматривается функция (1) при и-х = и(^ ) и дополнительно вводится функция

/V

/=0

Из неравенства треугольника следует, что

и - а

<

м - и

с

+

ис -и

Известно [4, с. 120], что

IIи - ис 11

Квадрат нормы

ис-и

ис - и

Л

2

м

= 1

т=1

имеет вид

и

Щ№

м

(3)

(4)

"о// и = 1 =

= ЁЕ ¡{ис -инУ<кь-

В линейных комбинациях ис и и' коэффициенты функций с одними и теми же значениями индексов попарно равны, поэтому на любой области

("с -"*)= [«/(У/ -ф,)+и,(\|/; -Фу)+ИА(\|/Л -фА)] и

"с -и

¡2

= С2 Е [(«, - "у )2 + ("/ " 11 к У + " ик У 1, . /»=1

где С2 зависит только от параметра а. Выражение для

ис ~ и

к

МОЖНО

записать в виде

л/

2С21

т=1

/

3 а/

N

/

\

+

/

т 31

+

/

Г

.-А

/

Здесь - площадь треугольника . По теореме о среднем

Г^у а/

1*И

С(др(/>/,)

, поэтому

и,- — и

2 М

И£(о) - 2С2 ^

т=1

¡]к

Е

¡."1=1

к )2+{К )2+}

<

т

<2 С

I =1

с(Й)

Iк А)2

т=1

1 + 2

' 1 ^

у

<

т

<

6C.Sk

5ш2 а

о

Ц*И

ф)

(5)

Оценка (2) следует из (3), (4), (5). При использовании ортогональных финитных функций в численных методах решения краевых задач доказанная теорема позволяет исследовать сходимость приближенных решений. Предлагаемая система ортогональных финитных функций накладывает ограничение на алгоритм построения сетки. . Число треугольных областей, составляющих конечный носитель любой функции этой системы, должно быть четным.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

• 11

Построенный базис в силу ортогональности финитных функций и применения треугольной сетки является эффективным средством решения краевых задач математической физики и механики сплошных сред для областей с криволинейными границами, в которых используется независимая аппроксимация искомых функций и их производных. Ортогональность базисных функций позволяет, например, в задачах теории упругости исключить в аналитической форме узловые неизвестные силовых факторов из системы сеточных уравнений до начала ее решения на ЭВМ. В результате такого исключения устраняется главный недостаток вариационно-сеточных методов, основанных на смешанном вариационном принципе Рейсснера [6] и имеющих на той же сетке большее число узловых неизвестных по сравнению с методами, основанными на вариационном принципе Лагранжа [6]. При этом сохраняется преимущество смешанных методов, которое объясняется отсутствием численного дифференцирования перемещений при определении напряжений и выражается в уравновешенной гладкости приближенных решений для кинематических и силовых факторов.

" W I

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs. Pure and Appl. Math. 1988. V. 41. P. 909 - 996.

2. Leontjew V.L., Ziplow M.P. Über eine Projektionen netzlichen Methode, die mit Anwendung der miteinander orthogonalen ununterbrochenen Basisfunktionen mit dem endlichen Truger verknüpfen ist // Des 1. Russisch-Deutschen Symposiums "Intelligente Informationstechnol. in der Entscheidungsfindung", 24-28 November 1995. M., 1995. S.169

-173. ' "" ' T ....... - - ■ -- ......

3. Леонтьев В.Л., Лукашанец Н.Ч. О сеточных базисах ортогональных финитных функций // ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39. №7. С. 1158 -1168.

4. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

5. Леонтьев ВЛ. Применение ортогональных финитных функций, связанных с треугольными сетками, в математическом моделировании // Материалы Всероссийской научной конференции (27-30 сентября 2000 года, г. Ставрополь). Часть 1. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2000. С. 54-58.

6. Розин Л А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1978.

Леонтьев Виктор Леонтьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Механика и теория управления» Ульяновского государственного университета, окончил физико-механический факультет Ленинградского политехнического института. Имеет монографию и статьи в области теории стайное, численных методов, вариационного исчисления, механики деформируемого твердого тела.

И. МЕХАНИКА

УДК 539.3 Ю.П. АРТЮХИН

л

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕМБРАН С ПОДВИЖНЫМ ШТАМПОМ

Тонкостенные конструкции в виде мембран широко применяются в качестве исполнительных элементов в системах автоматического управления. В этом случае для проектирования таких систем необходимо знать статическую характеристику: зависимость перемещения штампа от давления. Обычно исполнительные мембранные элементы выполняются в виде мембран, -жестко соединенных в середине со штампами так, что область контакта его при работе не изменяется. Для увеличения степени свободы системы предлагается сделать контакт мембраны с подвижным штампом при работе элемента переменным. Статическая характеристика в этом случае будет иной. Контактные задачи для мембран с неподвижным штампом в линейной постановке рассмотрены в [I]. В данной статье исследуются одномерные контактные задачи взаимодействия мембран с подвиэ/сным штампом. Обсуэ/сдается вопрос в каком случае необходимо ставить задачу в линейной и нелинейных постановках.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть предварительно напряженная мембрана изгибается давлением ч{х>у\ Допустим, что углы поворота мембраны 0 при изгибе невелики.

Кроме того, предполагаем, что деформации являются малыми. Поэтому будем считать, что

5/77(3)« 9, сот(д)« 1. (1.1)

Тогда уравнения равновесия малого элемента мембраны в декартовых координатах х,у будут иметь вид:

дх % дх ду дх дхду ду

Здесь -и>{х,у) - прогиб, Т",Г}';,5"' - полные нормальные и сдвигающие

усилия, возникающие от начального предварительного натяжения в плоскости х, у и от изгиба. Таким образом,

Т'х1 = Г,0 + тх, г;=ту0+ту, г+5-.. (1.3)

Символы с индексом нуль относятся к усилиям предварительного натяжения. Усилия так выражаются через деформации 8^,8 ,у и перемещения

и, V, и>:

г; = к(г: +уе;), т; = к{г; + V е" ), Г (1.4)