CC BY
2
УДК 519.21
Юсупова А. К. доцент кафедра математики Райимов Р. Б. студент
2 курс, направление методика преподавания математики Ферганский государственный университет
ОБ ОДНОЙ СХОДИМОСТЬ ПО ВАРИАЦИИ ДВУМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РОМАНОВСКОГО
Аннотация: В статье рассматривается и доказывается теорема о сходимости по вариации двумерного распределения Романовского сверке одномерных бета - распределения и нормального распределения.
Ключевые слова: сходимость по вариации, двумерное (отрицательно -гипергеометрическое) распределение Романовского, одномерные, 'бета и нормальное распределения.
Yusupova A.K. associate professor Department of Mathematics Rayimov R.B. student
2nd year, direction of teaching mathematics Ferghana State University
ON ONE CONVERGENCE ON THE VARIATION OF THE TWO-DIMENSIONAL ROMANOWSKY DISTRIBUTION
Annotation: The article discusses and proves the convergence theorem for variation of the two-dimensional Romanowsky distribution by reconciling one-dimensional beta and normal distributions.
Key words: convergence in variation, two-dimensional (negative-hypergeometric) Romanowsky distribution, one-dimensional beta distribution and normal distribution.
В статье [3] изучены одно асимптотическое свойство двумерного распределения Романовского :
Р(% 1 = = Л) = =
r^m rn rN—m—1
°п+ч ^N+M—m—^—^ — 2
"N
если = 0, M д + rç = 0 ,M
м+м
0 , если д,^ > М < 0
полученного из изучения двух упорядоченных выборок произвольных объемов N и M :
Х^ < < *** — Хдг
Л< y2 —... — yM (M > 1N > 1) из одной и той же непрерывной совокупности S c плотностью fx), которая нам неизвестно. В первой выборке выделяя в ней член хи+1 , мы
будем иметь n членов её , которые не более хп+± и N-n-1 членов её , которые не менее хп+±.
В этой работе В.И.Романовского найдено вероятность того , что во второй выборке будет ц членов её , которые не более хи+1 , и M — л членов её , более хй+1 :
Х1 < Х2 < ... < Хдт
У1 < У2 <... < Ум (N > 1, M > 1) т.е. доказана теорема о сходимости по вариации двумерного распределения Романовского к сверткам одномерных распределений Пуассона и нормального распределения. А в этой статье изучаем еще одно свойство двумерного распределения Романовского, а именно Теорема. Пусть M ^ го, а^ ^ го, p ^ 0, тогда
XXI Л(л,7) — Щл)П7 | = Х2(а2 + Р) + O(a22 + p2)
л=1 7]=1
Здесь
Щл) =
(f)
N—n—1
kq
—exp , k = 1,2,
(N — n — 1)! I p {
-бэта - распределение,
П M =
exp
v =
Л — nq
a„q
-нормальное распределение.
Доказательство. Обозначим через 8Х и д2 суммы индексы суммирования и и ] которых, удовлетворяют неравенству
8Х < ст-0, 32 > ст0, (ст0 = т1п(ст/, стл)) Оцениваем д2. Для этого нам нужны
го го i
XX
Л=0 77=0
Л
mp
Щл)П 2(7) =Xn 2(7)X
7=0 ¡=0
Л
mp
v
У
v q
= 3a20lqM2 + (16«24Д + 21а\Р2 — + c^3)M
Щл) =
От последнего можно получить
2 , ^.2\2
X Щл)П27) < X +v * Щл)П2(з) = о
2 2 w +v >а
_2
Чао У
Точно также получаем
q
1
¿2 < X ад+ X щ^пл=^
2 2 2 2 u +v >а0 u +v >ст0
Для сумм удовлетворяющие ы2 + у2 < а0 имеем
ад ад
¿1 - 1 П1(^)П2(Л)
/=0 Л=0
'А' _2 чО) У
где
ё (/,л) =
к(ил)
щ/ п 2 (л)
(1) преобразуем
ч (N + М - п - т -и-л)! N!M! (п + л)! (т + и)! Я(/,Л) = --- х-х---х--^-^-х
х-
(М - /и- л)! (N - п - т)
(N + М)! п!л!
т!
1
(N + М - п - т - /- л)( N + М - п - т - /-л-1) (N - п - т)
х /0 х ' х /2 х /3 х /4
Здесь /0,1, /2, /3 определяются следующим образом:
(п + л)
(N + М - п - т-/-л)! N!M!
' г\ — ' 1 —
(М -/-Л)!
14 =
1 (N + М)!.
;
(N - п - т)
и —
пЫ . т _
; 'з
(т + /)!
т!
(N + М - п - т - /- Л)(N + М - п - т - /и- л -1)
и
тр
Ч
1 +
Ы(1 -«2)
V аи
М - и - л — М (1 - ^ - а2) х
1
ы«.
Л =
пр Ч
1 +
у(1 -а2)
V
л
а
у
; N - п - т = N (1 )
Из условия теоремы N^ ад, М^ ад, п^ ад, т^ ад и так как переменные ы, V ограниченны можно использовать формулу Стирлинга для I, /2, /3 . После нетрудных вычислений имеем
¿1 = XXI ё(и,л) - 1щи)п2(л) =
и=0ю=0
=XX
и=0 и=0
Я(/,Л)
-1
П (и)П (Л) = Л (а + Р) + °(а2 + Р2) + О
щи)п 2 (л)
Последнее равенство показывает верность теоремы.
1
у
Использованные источники:
1. Прохоров Ю.В. Асимптотическое поведение битномиального распределения. Успехи математических наук, т.У 111, № 3 (1953), с.135-142
2. Романовский В.И. Об упорядоченных выборках из одной и той же непрерывной совокупности. Труды института математики и механики. Ташкент, 1949, с.5-19.
3. Юсупова А., Райимов Р.Б. Об одном асимптотическом свойстве двумерного распределения Романовского. XXXIII международная научно-практическая конференция «Химия, физика, биология, математика: теоретические и прикладные исследования». Интернаука, 2020 г.
