Об одной новой модели рекордных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. К. Сагателян

ОБ ОДНОЙ НОВОЙ МОДЕЛИ РЕКОРДНЫХ ВЕЛИЧИН

Введение. В настоящей работе построена новая модель рекордных величин (рекорды с подтверждением). Эта модель в некотором смысле напоминает понятие к-х рекордов [1], которое в свою очередь является обобщением таких понятий, как обычные математические рекорды и экстремальные порядковые статистики (см. [1-4]). Итак, если в случае обычных рекордов интерес представляют только максимальные на данный момент результаты, а к-е рекорды позволяют прослеживать эволюцию набора из к максимальных наблюдений, то в новой модели нас интересуют только те значения, которые подтвердились. Таким образом, исключается возможность участия в прогнозировании некоторого случайного выброса, недосягаемого значения, полученного при невероятных обстоятельствах.

Далее, в работе получены представления для новых рекордов в тех случаях, когда искомые случайные величины распределены экспоненциально и равномерно. Важность этих частных случаев состоит в возможности применения к ним известных представлений (см. [1] и [2]) приведенных ниже и вероятностного интегрального преобразования (см. [3, 4]), также сформулированного в работе.

Рекорды с подтверждением. Определения и основные представления. Идея рекордов с подтверждением заключается в том, что о появлении нового рекорда для некоторого к мы объявляем лишь после того, как появятся к наблюдений, превосходящих предыдущее рекордное значение. Фактически исключается возможность принятия за рекорд случайно появившегося выброса. Рекорды с подтверждением мы будем рассматривать для произвольного фиксированного к = 1, 2,... При к =1 они совпадают с обычными рекордами. Рассмотрим последовательность независимых случайных величин Х1,Х2,---, имеющих общую непрерывную функцию распределения (ф.р) Р(ж). Возьмем случайный вектор (Х1, Х2, - - -, Хк) и упорядочим его компоненты в порядке возрастания: (Х^, Х2,к,-.. ,Хк,к). Первым рекордным моментом с подтверждением считаем Ь(к) (1) = к, а соответствующей рекордной величиной Хк,к. Вместе с этими величинами будем рассматривать также первый рекордный вектор (X к(1), X к(2), - -., хк( к)), совпадающий с вектором (Х^к, Х2,к,..., Xк, к). Далее, нужно получить к случайных величин, превышающих Х , , упорядочив которые, получим второй рекордный вектор. Обозначим его (X X ..., Х^)).

Определение. Рекордные моменты к)(п), соответствующие им рекордные вели-

чины Хк(к) (п) и рекордные векторы (Х^!), X к(2), - - -, Хк2)), построенные по последовательности Х1,Х2, - - - , определяются следующим образом: к)(1) = к,

Х$) = Хк, к, к)(п) = тт{.? : X,-к+и > Х кПfe)1)},

Хк"2) = тах{ХЬ Х2 - - -,XL(k)(n)} = XL(k)(n),L(k)(n), п = 2, 3 - - - ,

(Хк{1), ^р), - - - , Xк(fc)) = (Х Ь(к) (п)-k+1,L(k)(n), - - - , XL(k)(n),L(k)(n)), п = 1, 2, - - -.

© В. К. Сагателян, 2008

Следует отметить, что если Х^) = X, то (п + 1)-й рекордный вектор будет состоять из первых к случайных величин, которые больше х (обозначим их Х),..., ^ж}),

упорядоченных по возрастанию. Очевидно, что случайные величины У/ж), ..., ^х)

имеют общую ф.р. Сж(у) = (^(у) — ^(х))/(1 — ^(х)), когда у > х, и Сж(у) = 0 при У < х.

Рассмотрим важный частный случай, когда исходные величины имеют экспоненциальное распределение. Напомним два известных представления для экспоненциальных порядковых статистик и к-х рекордов. Эти представления изложены в монографиях [1] и [2].

Представление 1. Пусть < ... < 2П,„, п = 1,2,...,—экспоненци-

альные порядковые статистики, построенные по последовательности независимых случайных величин ^1,^2,... с общей ф.р. Н(х) = тах(0,1 — е—х). Тогда для любого п = 1, 2, . . . справедливо соотношение

IV V 7 VI VI V-! VI . »2 . . | ,,,

(•*! „, ¿2,», • • • %п,п) ~ -1-1---7, ■ ■ ■ :-1----Г + • • • + I , (1)

упп П — 1 п П — 1

где VI, ^2,... — независимые одинаково распределенные случайные величины с той же ф.р. Н(х).

Представление 2. Пусть Z(1, к), Z(2, к),... обозначают к-е рекордные величины, построенные по последовательности независимых случайных величин Zl, Z2,... с общей ф.р. Н(х) = тах(0,1 — е—х). Тогда для любого к = 1, 2,... выполняется равенство

)г(.ао}”, = (“1+ га

где ^1,^2,... — независимые случайные величины с ф.р. Н(х).

Для исходных экспоненциальных случайных величин Zl, Z2,..., рассмотренных в представлениях 1 и 2, докажем аналогичный результат, справедливый для рекордов с подтверждением.

Теорема 1. Пусть Z(|)),Z(()),... —обозначают рекорды с подтверждением, построенные по последовательности Zl, Z2, ..., а ^¡ф1), Z(n;}), . .., Z(n))), п = 1, 2, .. ., — соответствующие им рекордные векторы. Тогда для любого п = 1, 2, . .. имеют место соотношения

(Л п—1 .. п—2 п—1

^ ^2 тк+2 + ■■■ + ^2'Шк,

¿=0 ¿=0 ¿=1

1 п—1 1 п—1 п—1 1 п—1 п \

^2тк+1 + [ ^2тк+2 + ■■■ + ^2гШк, • • ^ ^2гШк+1 + • • • + ^2гШк), (з)

¿=0 ¿=0 ¿=1 ¿=0 ¿=1 /

(Zfcnl), z(n2),..., ^,(п)}) == (Z (n, к)+Z (п — ^к —1) +...+(п — 11), Z (n, к)+

+Z(п, к — 1) + ... + Z(п — 1,1),..., Z(п, к) + Z(п, к — 1) + ... + Z(п, 1)), (4)

где П1, П2, . .. — последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное экспоненциальное распределение, а Z(п, к), п = 1, 2, . .. — к-е рекордные величины, рассмотренные в представлении 2.

Доказательство. Вначале отметим, что приведенная выше ф.р.

Р(у) - Р(ж)

С* (у) =

в данном случае также является экспоненциальной. Поскольку Р(ж) = 1 — е—х, Сж(у) = 1 — ех—у для у > ж и Сж(у) = 0 для у < ж.

Из определения рекордов с подтверждением, пользуясь выражением (1), получим

(у{^) 7(1) 7(1) \ — (у V V ш т . т т . т . . \

(2к(1У к(2): ■ ■ ■ ’ 2к(к))-(2^к, %2,к, ■ ■ ■ гКк)-\^ — , -^ + ^—¡-, • • • , у + ^ГГ1 + - ■ - + Г1ку

где пъП2,--- — независимые случайные величины, имеющие стандартное экспоненциальное распределение. Для второго вектора имеем

(^!(1) ’ -^(2)’ • • • ’ ^(й) ) = —,к + °М(Пк + ЬПк+2, • • • , П2 к),

где °гё(пк +1 , Пк+2, • • • ’ П2к) —обозначает вариационный ряд, составленный из случайных величин пк +1, Пк+2, • • • ’ П2 к. Отсюда следует, что

Г7(2) 7(2) 7(2) '¿(>11 ??2 %±1 т _П2_

^К1)^к(2у-^к(к)) [к + к_1+--- + Г1к+ к’к+к_1+---

, , %+1 , %+2 т , т , , , %+1 , , ,

... + % + — + ^+ ••• + % + — + ••• + тк ] •

Действуя так же и далее, для любого п = 1, 2, • • • получим

/ Г7(п) ^(п) гу(п) \ — (П1 | | | | | П(п—11 к +1 П1 , ,

(2к{ 1)’ к(2): ■ ■ ■ ’ 2к{к)) ~ + ... + Щ + ... + Щп-1)к Н ^-, " ’ ’ Т

п(п —1) к +1 П1 + п к +1 + ••• + п(п —1) к +1

+ % + ••• + Щп-1)к Н------------^-------Ь • • • + Г)пк) — ( -----------------^-----------------Ь

п2 + п к+2 + ••• + п(п — 2) + 2 , , , П1 + п к +1 + ••• + п(п —1) к +1

Н [ |-... + % + ... + ??(п-1)й,---, ^ Ь...

(1 п—1 1 п —2 п—1 1 п—1

П* к +1 +

*=0 *=0 *=1 *=0

1 п—1 п—1 1 п—1 п \

53+ • • • + 53 ***> • • • > * 53 + • • •+53ък •

*=0 *=1 *=0 *=1 /

Таким образом, равенство (3) доказано. Для доказательства (4) достаточно применить представление (2) и перейти от сумм в правой части к к-м рекордным величинам. Теорема 1 доказана.

Основываясь на результатах теоремы 1, получим выражения для математических ожиданий и дисперсий рекордов с подтвержднием. Имеем:

к—1 1 к—1 1

В2ЧЧ = "Е^’ Вгт="Т.п—Ш< 4 = 1,2...; „=1,2,

*=0 *=0 1

Применим результаты теоремы 1 для случая, когда рекорды с подтверждением построены по последовательности независимых случайных величин ^2, • • • с равномер-

ным на отрезке [0,1] распределением. Прежде используем следующее свойство преобразования Смирнова (см. [3, 4]).

Пусть X — случайная величина с непрерывной ф.р. Р(ж) Вероятностное интегральное преобразование Р (X), переводящее случайную величину X в равномерно распределенную на отрезке [0,1], не меняет упорядоченности случайных величин.

Из преобразования Смирнова вытекает равенство

(^Хй, •••, х(п)) = (т (От (-(п2)), •••, т (-(5))), (5)

где Т(ж) = ф(1 — е—х), Q — функция, обратная к непрерывной ф.р. Р.

Справедлив следующий результат.

Теорема 2. Пусть и(('))’U((2)’... —рекорды с подтверждением, построенные по последовательности ^2, • • • Тогда

ик{к)=1 ~ (и\)ТЛи1)Ъ ■ ■■■■ {и1)ТЛи\)к-1 ..... {и2п)к-1 ..... и\) • . . . • («£), (6)

где М = 1’•••’n’j = 1, ••, к, — независимые случайные величины с равномерным на отрезке [0, 1] распределением.

Доказательство. Из преобразования Смирнова следует, что

{(1 п—1 1 п—1 п \ ^

~~ ( % 53Г?^+1 + + • • • + ) г •

V *=0 *=0 *=1 ) )

Далее, из (5) получаем соотношение

иЦк)=1- (и\)ТЛи1)Ъ ■ ■■■■ (мп)1(м1)к:ГТ • • •• • («п)^ • • •• • (и1) • • • • • (мп)'

Аналогичным образом выводятся представления и для остальных членов рекордного

вектора (Ц(п1), и(п2)), • • •, Ц(п)) )• Теорема 2 доказана.

Выражения

п п 2п

1 (п) 2 1

средством равенства (6).

\l + k) ’ V(k+1)(k + 2)y

r(n) fc( fc)

(п)

для математических ожиданий и дисперсий случайных величин ик( к) выводятся по-

Литература

1. Невзоров В. Б. Рекорды. Математическая теория. М., 2000. 244 с.

2. Ahsanullah M., Nevzorov V.B. Ordered random variables. Huntington (New York), 2001. 412 p.

3. David H. A., Nagaraja H. N. Order statstics. Hoboken (New Jersey), 2003.

4. Дэйвид Г. Порядковые статистики. М., 1979. 336 с.

Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.