ОБ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКА

УДК 530.182, 53.01, 51-7

DOI 10.21685/2072-3040-2020-2-9

В. М. Журавлев

ОБ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН1

Аннотация.

Актуальность и цели. В работе метод функциональных подстановок применяется к матричной системе первого порядка и выводятся соответствующие уравнения волновой динамики. Целью работы является вывод и анализ новой интегрируемой системы взаимодействия волн типа Бюргерса.

Материалы и методы. Основным методом, который используется в работе, является метод функциональных подстановок в матричной форме. Общий вид матричных уравнений представлен для произвольной конечной матричной размерности. Детальный анализ уравнений в покомпонентной форме представлен для размерности матриц 2*2.

Результаты. Получена новая интегрируемая система взаимодействия волн. Для размерности 2*2 выписаны уравнения в покомпонентной форме. Построена редуцированная система, подобная системе трехволнового взаимодействия. Найден общий вид точных решений для редуцированной системы. Приведены конкретные примеры вещественных несингулярных решений.

Выводы. С помощью метода функциональных подстановок найдена новая интегрируемая система взаимодействия волн, полезная для практического использования в прикладных задачах.

Ключевые слова: метод функциональных подстановок, интегрируемые матричные уравнения, взаимодействие волн.

V. M. Zhuravlev

ON ONE NONLINEAR INTEGRABLE MODEL OF WAVE INTERACTION

Abstract.

Background. In this work, the functional method is applied to a first-order matrix system and the corresponding equations of wave dynamics are derived. The aim of the work is the conclusion and analysis of a new integrable Burgers-type wave interaction system.

Materials and methods. The main method used in this work is the method of functional permutations in matrix form. The general form of matrix equations is

1 Работа выполнена в рамках проекта FSSS-2020-0018, финансируемого из средств государственного задания победителям конкурса научных лабораторий образовательных организаций высшего образования.

© Журавлев В. М., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

presented for an arbitrary finite matrix dimension. A detailed analysis of the equations in an exploded form is presented for the dimension of 2*2 matrices.

Results. A new integrable system of wave interaction is obtained. For dimension 2*2, the equations are written in component form. A reduced system is constructed, like a three-wave interaction system. The general form of exact solutions for the reduced system is found. Concrete examples of real non-singular solutions are given.

Conclusions. Using the method of functional substitutions, a new integrable system of wave interaction was found, which is useful for practical use in applied problems.

Keywords: functional permutation method, integrable matrix equations, wave interaction.

Введение

В статьях [1, 2] был разработан метод функциональных подстановок (МФП), который позволяет строить нелинейные интегрирумые модели волновой динамики, полезные в целом ряде прикладных задач. Общее описание метода вместе с рядом примеров приведены в работе [5]. Матричный вариант МФП позволил (см. [3-5]) получить ряд полезных и нетривиальных моделей, подобных известным моделям типа нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). В частности, в [4, 5] был развит метод многофункциональных подстановок, включающий в себя (как частный случай) и классический метод обратной задачи (МОЗ) [6, 7]. В настоящей работе приводится пример применения матричного варианта МФП к задачам волновой динамики, который частично был приведен в [5]. Приведенный пример может быть рассмотрен с двух точек зрения. Это теория неоднородных магнетиков [8] и теория взаимодействия волн, имеющая различные приложения. Также полностью приводится процедура вывода уравнений модели как в форме, близкой к уравнениям Ландау - Лифшица [8], которые используются в теории магнетиков, так и в форме уравнений, подобных теории трехволнового взаимодействия. Производится редукция уравнений системы к моделям, которые легче интерпретировать с точки зрения прикладных задач. Также приводятся решения вспомогательного матричного уравнения, которые позволяют строить различные варианты нелинейных моделей.

1. Метод матричных функциональных подстановок

Матричный вариант МФП [1-5] в размерности 1+1 строится на основе двух исходных соотношений, называемых базовыми, для одной вспомогательной матричной функции T(x, t) произвольной матричной размерности n X n с элементами, зависящими от двух независимых переменных x и t. Базовые соотношения могут иметь несколько различных форм [1, 2, 5]. Выбор той или иной формы определяется в первую очередь тем, как эти базовые соотношения связывают вспомогательную функцию T( x, t) с набором базовых функциональных параметров и вспомгательными уравнениями, которые, в конечном счете, и определяют форму искомых нелинейных уравнений. Простейшей формой базовых соотношений являются соотношения первого порядка следующего вида:

Tx = A T, Tt = B T, (1)

где А( х, t) и В( х, t) - комплексные матричные функции той же размерности п X п, которые называются коэффициентами базовых соотношений. Если функция Т( х, t) задана, то функциональные параметры А( х, t) и В( х, t) однозначно выражаются через саму функцию Т и ее производные:

А = ТХТ-1, В = ТТ-1. (2)

Эти соотношения представляют собой обобщенные дифференциальные подстановки и, в частном случае [2], совпадают с подстановкой Коула - Хопфа. С другой стороны, требование, что функция Т( х, t) одновременно обращает в тождество два уравнения (1), накладывает на функции А( х, t) и В( х, t) ограничение, которое можно выразить в форме одного матричного уравнения:

А - Вх + [А, В] = о, (3)

совпадающего по форме с уравнением Захарова - Шабата в теории МОЗ [6], но имеющего несколько иной смысл, поскольку не содержит в явном виде спектрального параметра.

При выполнении (3) все производные функции Т можно выразить через саму функцию Т :

дп+к

Т[п,к ] =—_Т = А[ п,к ]Т

дхпд^ '

где матричные функции могут быть вычислены рекуррентно по фор-

мулам:

А[п+1к] = Апк] + А[пк]А, А[пк+1] = А[пк] + А[пк]В, к = 0,1,..., (4)

с начальными условиями:

А[1'0] = А, А[0'1] = В.

К базовой системе (1) можно добавить произвольное интегрируемое уравнение для Т . В качестве такого интегрируемого уравнения проще всего использовать линейное уравнение с постоянными коэффициентами Сп к конечного порядка Ь :

I I Сп,кТ[п,к] = 0. (5)

к=0 к+п=0

Эти уравнения, называемые в дальнейшем вспомогательными, в итоге с помощью соотношений (2) и (4) после исключения из них всех производных функции Т и ее самой превращаются в нелинейные уравнения, относительно элементов матричных функций А, В :

I I 4,кА[п,к] + С00 = 0. (6)

к=0 к+п=1

Вспомогательное уравнение в форме (6) вместе с уравнением (3) и системой равенств (4) образуют замкнутую систему относительно элементов двух функций А, В.

2. Матричные модели первого порядка

Рассмотрим вспомогательное уравнение для Т следующего вида:

Т = Н( х, X Т + й( х, X )Т, (7)

где Н( х, X) и <2( х, X) - некоторые заданные матрицы координат и времени. Используя базовые соотношения (1), получаем из этого уравнения следствие в виде уравнения связи:

ВВ = НА + & (8)

Подставляя это соотношение в уравнение связи (3), находим:

А =-д (НА+0 - [А, НА+й]. (9)

дх

Это уравнение полезно преобразовать к следующему виду:

а, - НАх+[А, Н] А+[А, й] - нХА - йх = о.

Такое уравнение является нелинейным уравнением первого порядка относительно матрицы А с квадратичной нелинейностью и произвольными матрицами Н и й как функциями х и X. В частном случае:

Н = Н(х), й = й(х),

уравнение (9) упрощается и принимает такой вид:

а,,- НАх+[ А Н А+[ А й] = 0. (10)

Это уравнение имеет квадратичную нелинейность и может иметь несколько интерпретаций в зависимости от выбора его коэффициентов Н и й , а также матричной размерности. Далее мы будем рассматривать уравнения, соответствующие матричной размерности 2 с матрицами Н и й, зависящими только от X, или постоянными матрицами.

3. Уравнение типа Ландау - Лифшица

В качестве основного примера рассмотрим уравнение (10) в матричной размерности 2 X 2 для выбора его матричных коэффициентов в следующем виде (см. приложение):

Н = р(Х)Оо + (Н,8), й = %(х,Обо + №8). (11)

Здесь введены трехмерные векторы:

Н = (Н (X), Н 2 (X), Нз (X)), Q = (61 (X), й2 (X), йз (X)).

Используя соотношения (32) (см. приложение), можно записать: НАх = °0 (№ a х) + ^0, х) + [H х»х]) + а0, х(H, ^ + P(a, ¿X

[Я, А] = 2/ ^ х (12)

[ А, Н] А = -2/(8, [H х ^)а0 + 2(8", [[H х a] х [А,&] = 2/(5, [а х б]).

В результате (10) приводим к следующей системе уравнений для компонент матрицы А:

|а0 =дх№а) + ра0,х -40,х, (13)

at = /[Hхax]-2[[Hхa]хa] + 2/[Hхa]а0 + Ш0,х - 2/[ахб]-ра. Полагая: а0 = фх, эту систему уравнений можно преобразовать к виду

а0 =Фx, Фг =(H,я)+ра0+4о, (14)

at = / [ H х ax ]-2 [[H х a]х a ] + 2/ ^ х a]фx + Hфxx + 2/ [Q х a]-pa.

Система уравнений (14) представляет собой уравнение типа Ландау -Лифшица [8] для неоднородного магнетика, находящегося в однородном переменном магнитном поле с напряженностью H и с некоторыми дополнительными переменными Q и ф. Физический смысл этих переменных для задач с магнетиками требует отдельного анализа. Хотя это уравнение и отличается от уравнения Ландау - Лифшица для нелинейного магнетика Гейзенбер-га [8], тем не менее оно может быть использовано для анализа других типов магнетиков.

4. Редуцированная система

Для целей данной работы представляет интерес интерпретация системы уравнений (13) с точки зрения их использования в нелинейной волновой динамике. Для преобразования этой системы к нужному виду рассмотрим частный случай, соответствующий выбору:

H = (0,0,с), Q = (41,42,43), (15)

где с,41,42,43, а также р, 40 - комплексные постоянные. Тогда система уравнений (13) может быть записана в такой форме:

Фг - РФх = а3с,

а3,г = 2с(а12 + а2) + Ра3,х + сФхх + 2/(а142 - а2411 (16)

аЦ - Ра1,х = -/са2,х - 2а3а1с - 2/са2Фх + 2/(42а3 - 43а2),

а2,г - Ра2,х = /са1,х - 2а3а2с + 2/са1Фх + 2/с(43а1 - 41а3).

Делая подстановку а3 = (фг - рфх )с-1 и вводя функции А± = а1 ± га^, приходим к следующей системе уравнений:

Фа - 2PФxt - (c2 - p2)Фхх = 2c2A+A + c(r+A - r A+), A± + (c - p) A± + 2 A± (9t + (c - р)фх + ^3) - 2r± ^ - рфx) = 0. (17)

Здесь введено дополнительно обозначение: r± = (qi ±iq2) / c .

5. Приведение к стандартному виду

Система уравнений (17) представляет собой гиперболическую систему уравнений взаимодействия волн, напоминающую модель генерации второй гармоники в трехволновом взаимодействии [6, 7]. Система уравнений (17) имеет несколько редукций, которые интересны сами по себе. Запишем эти уравнения в новых координатах, полагая ^ = x - ut, n = x - vt и, таким образом приводя систему к каноническому виду гиперболической системы. Условия обращения в ноль коэффициентов при производных и ф^ имеют

без ограничения общности следующий вид:

u = р-1 c |, v = р+1 c |. (18)

Полагая c Ф 0, приводим первое уравнение системы (17) к виду

2ф^п + A+A- + - (r- A+ - r+A") = 0.

Второе уравнение системы (17) при этом оказывается таким: (c + |c| )A± + (c - |c| )Aj± + 2 A± [(c + |c| )T+(c - |c| )ф^+ q3 ] -

-21 c|r ±(ф^-фл) = 0. (19)

Два варианта выбора c > 0 и c < 0 симметричны по отношению к замене переменных и наоборот:

A±+ A± (2фт + q3 /1 c |) - 2r± (ф^-фт) = 0, c > 0, (20)

A± + A± (2ф^ - q3 /1 c |) - 2r± (фт-ф4) = 0, c < 0. (21)

Поэтому достаточно рассматривать только один из этих вариантов. Для определенности будем полагать c > 0 .

5.1. Редукция к уравнению Лиувилля

Полагая r± = 0, полученную систему можно привести к хорошо известному уравнению Лиувилля. При такой редукции второе уравнение системы (17) при c > 0 имеет явное общее решение следующего вида:

lnA + 2ф = -ут + lny(^),

где Y = q3 /1 c | и y(x - ct) - некоторая комплекснозначная функция одного вещественного аргумента. В результате первое уравнение системы (17) (при c > 0) примет такой вид:

Ф^=- 2 е"4фе(22)

В случае, если ф(^,т) - вещественная функция, проводя замену переменных йХ =| у(^)|2 ййТ = т, уравнение (22) приводим к уравнению Лиувилля:

Ф ХТ =- 2 е"4ф

Эта редукция показывает, что полученная система в общем виде подобна уравнениям взаимодействия волн в среде с квадратичной нелинейностью. Для сравнения можно вспомнить уравнения генерации второй гармоники [7]:

р+ирх=8^6, &+=62р2.

Исключая из системы функцию Q с помощью первого уравнения этой системы, приходим к одному уравнению:

фт= е"2Ф.

(и - V)

5.2. Обобщенное уравнение типа Лиувилля

Приведем теперь в общем виде систему (17) к одному уравнению относительно функции ф. Решая пару уравнений (20) при г± Ф 0 при с > 0 отно-

л±

сительно А , находим:

A± =

Г C± © - г ± + г f Лт ^ dq J

е-2ф

здесь C + и C - постоянные интегрирования по переменной т . Подставляя эти соотношения в первое уравнение, приходим к одному уравнению для ф:

2ф^т = (с + (q) - г + + г+R )(c- (q) - г- + г - R ))4ф --(г + (C- (q) - г- + г-R) - г- (C + (q) - г + + г+R)))2ф, (23)

где R = 4 fe2<?dт dq J

Полагая в этом уравнении C± = г± = const, приходим к более упрощенной форме общего уравнения (23):

2фqт= г+г - R 2е~4ф, RT = 2фqi

е2Ф.

6. Построение решений для вспомогательных уравнений первого порядка

Решения системы (13), также как и системы (17), строятся на основе решений уравнения (7). Из (1) и (36) (см. приложение) находим выражение для ау, / = 0,1,2,3. Имеем:

=X

о iTJ

-1

Представим матрицу Т в следующем виде:

3

Т = У0<0 + 2 Уад«'

а=1

(24)

(25)

где У у (х,X), / = 0,1,2,3, - функции, которые следует вычислить. Соответственно матрицу Т-1 можно представить таким образом:

( 3 ^

(26)

т-1 = 1

D

¥000 - 2 ¥а<а

а=1

В результате получаем

( 3 V

т0,х°0 - 2 та,х<а

TxT_1 = —

x D

а=1

т0<°0 + 2 ХР<° в

в=1

1 ' 2D

3 1

Dx00 + 2 а а=1 у

Здесь введены обозначения:

гч 2 2 2 2

D = ¥0-¥1 -¥2

^а = -У0,хУа + Уа,хУ0 +у 2 еавТУрУ Т,х , а = ^ 2,3 .

в,7=1

Величины еарт представляют собой полностью антисимметричный символ Леви-Чивита. Общее решение уравнения (7) при условии ^ Ф 0, д2 Ф 0, д0 = ^3 = 0 можно записать в таком виде:

¥0 = J ^0(x, t, o>)dю, ¥1 = J x, t, o>)dю,

C C

¥2 = J^2 x,t,ю)dю, ¥3 = Jx,t,ю)dю,

(27)

(28)

C

C

здесь

= 1 ГM(ю)е™(x+ct)/c-p2(x ct)/4crn

Z(ю) I ' '

+

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион +^(ю)ег'(д2х-'ч1с{)/с - О(ю)е-х-г'^1сГ)/с),

ш = 1 | N(ю)ею(х+сГ)/с-Р2(х-сГ)/4сю + 2 (ю) I

+^ (ю)е'х-дсГ)/с + о (ю)е_г'(92 х-дсГ )/с

= К(Ю)ею(х+сГ)/с-Р2(х-сГ)/сю ¥3 = и(Ю)ею(х+сГ)/с-Р2(х-сГ)/сю (29) Параметры этого решения имеют такой вид:

2(ю) = 16ю4 -8(д2 -д|)ю2 + (д2 + д|)2, р2 = д2 + д|

X(ю) = (16(92 -Щ)ю2 + 4(92 + %)Р2), 7(ю) = (16ю4 + 1б1ю2д1д2 -р2),

М (ю) = К (ю)юХ (ю) + и (ю)У (ю),

N (ю) = 1и (ю)юХ (ю) - ¡V (ю)7 (ю).

Функции и(ю), V(ю), ^(ю), О(ю) комплексного спектрального параметра ю задаются начальными условиями.

Решения для функций а{(х, Г), соответствующие общим решениям (27), можно представить в таком виде:

1 ЭБ( х, Г)

a0 = фх =

2 D( x, t) dx '

a = 1 (m . Э1п(^з/¥2) + . ... dln(¥i/.0

a1 = rs, '.2.3-^-+ .0.1

2 D( x, t) ^ Эх Эх

a = 1 (. . Э1п(Жз/ ¥i) . . d1n(.2/ .о

a2 = J '.2.3-л--.0.2

2D( х, t) ^ Эх Эх

a = 1 (. . д1п(.2/ .1) + . . d1n(.3 / .о

a3 = 1 '.2.1-л-+ .0.3

2В{ х, Г) ^ Эх Эх

Соответственно:

А+ = а + а= —Ц((х), Ф=^(х,0, (30)

и( х, Г) 2

где 0 = а1 + ¡а2 , С = .о-.3.

В случае дополнительной редукции д1 = д2 = 0 система уравнений для компонентов функции Т примет такой вид:

.0,Г = с.3,х, .3,Г = с.0,х, .1,Г = ¡с.2,х, .2,Г =-1с.1,х. Эти уравнения эквивалентны следующим уравнениям:

Хгг = с2Ххх, т3 = ХГ , т0 = сХх,

е+- се+ = 0, 0- + с0- = 0,

где 0+ = т + 712 и 0 = т - 7X2 • Функции % , т и Т2, вообще говоря, комплексные. Как уже отмечалось, в этом случае система уравнений редуцируется к уравнению Лиувилля.

Важным аспектом прикладных применений построенной системы уравнений является возможность находить условия вещественности и несингулярности ее решений относительно функции ф(х, X). Функции Л± могут быть комплексными.

Как показывает первичный анализ частных решений построенной нелинейной системы уравнений, большой набор вещественных решений может быть получен в случае выбора ^ чисто мнимой величиной, а ^ - вещественной. Однако в этом случае решения в большинстве своем оказываются сингулярными. Типичные примеры таких решений для функции ф(х, X) приведены на рис. 1. На рис. 2 приведены соответствующие решения для функции | Л+ (х, X) | . Эти решения получены для функций ф7- (х, X), 7 = 0,1,2,3, следующего вида:

(х, X) = Ф7 (х, X, ю) + Ф7 (х, X, -ю), 7 = 0,1,2,3.

х

-3 - ~ Х-6 - - Х=9.....1=12

Рис. 1. Решение для ф при с = -1, ^ = 0,57, ^ =1 и ^(ю) = -в(ю) = ю2

На рис. 1 приведены графики ф(х, X) для X = 0,3,6,9,12 при выборе

2 2 2 2 функций и(ю) = ю /2, V(ю) = ю /2, ^(ю) = ю , G(ю-ю и ю = 1, с = -1,

= 0,57, д2 = 1. Как видно из графиков, вблизи нулевых значений функции

ф(х, Г) имеется область, содержащая сингулярности как самой функции

ф(х, Г), так и функции | А+ (х, Г) |. Эта область перемещается как целое в положительном направлении оси х.

а

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

X

— <-12.5|

+ 2 Рис. 2. Решение для | А | при с = -1, д1 = 0,51, д2 =1 и Е(ю) = -О(ю) = ю

Несингулярные решения можно получить, если положить дополнительно Е(ю) = О(ю) = 0 . Типичные несингулярные решения приведены на рис. 3. Они соответствуют тем же значениям всех функций и параметров, что и на рис. 1, но при условии Е(ю) = О(ю) = 0 . Приведенные примеры решений не исчерпывают всех возможных типов решений. Для их анализа требуется отдельная дополнительная работа, которая выходит за пределы данной статьи.

/ / / ■ \

1 1 1 1 1

1 1 11 1 1

1 1 1 1 i 1

1 1 1

1

1 \| к V / f

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

X

-1=0--1=3--1-6- - t-9.....M2

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

X

[= Х=0--1=3--х=6- -t=9 Г=12'|

б)

Рис. 3. Решение для | Л+ | (а) и ф (б) при с = -1, ^ = 0,57, ^ =1 и F(ю) = О(ю) = 0

Заключение

В работе рассмотрены новые примеры применения метода матричных функциональных подстановок к задаче отыскания интегрируемых нелинейных волновых уравнений. Ранее этот метод был описан в работах [1-3]. Построенные уравнения в предельном варианте переходят в уравнение Лиувил-ля и могут применяться в теории взаимодействия волн подобно моделям трехволнового взаимодействия и генерации второй гармоники в нелинейной оптике. В данной работе рассматривался только метод подстановок первого порядка в терминах работы [4], в которой был развит метод многофункциональных подстановок, включающий в себя и стандартный МОЗ в теории со-литонов. Используя результаты указанной работы, можно получить многофункциональное расширение построенных решений при выборе тех же исходных матричных операторов. В работе приведен общий вид решений вспомогательного матричного уравнения. Это позволяет проводить подробные исследования типов решений построенных уравнений. Найденные в работе некоторые решения не исчерпывают всех возможных их типов.

Приложение

Формализм вычислений с матрицами размерности 2 X 2

Для анализа моделей, связанных с трехмерными векторами, полезно рассмотреть общие соотношения с матрицами размерности 2 X 2 . Введем следующие обозначения для матриц Паули са и единичной матрицы:

<1

( 0 1 ^ V1

, <2

( ° -/ ^ v i 0 У

<3

V0 -Ъ

, «0 =

V° 1 У

(31)

Матрицы с у, 7 = 0,1,2,3, удовлетворяют следующим соотношениям: СсС7 = с7<С0 = с7, [<С0, < ] = 0, 7 = 0,1,2,3;

°а°р = -°р° а = i2e«PY<<Y;

7=1

(32)

[<а, <р ] = 2'2£аРт<у а, р, у = 1,2,3,

7=1

здесь еарт - полностью антисимметричный символ Леви-Чивита: £123 = 1,

еРау = -£аРу = -£ауР -

Таким образом, любая матричная функция Т( х, X), заданная на линейной алгебре матриц 2 X 2 ОЬ2 , имеет следующий общий вид:

T = ^Vi (х'1 )<i

i=0

(33)

где ¥г (х, X) - вспомогательные функции, связанные с компонентами матрицы Т соотношениями:

Т11 =¥0 + ¥з, Т11 =¥0Т12 =¥1 -7¥2, Т21 =¥1 + 7¥2.

Для удобства интерпретации полезно ввести трехмерный вектор матриц Паули:

s = (<<1, <<2, <«з)

(34)

и трехмерный вектор у = (¥1, ¥2, ¥3}. Тогда любая матрица 2 X 2 может быть записана в виде

T = (s, у) + У°с°,

(35)

где

(8, t) = ¥1<<1 + ¥2<2 + ¥3<3 -евклидово скалярное произведение векторов. Обратные формулы для вычисления коэффициентов ¥г матриц Т размерности 2 X 2 имеют следующий общий вид:

V,- = Sp(6;T) / 2, i = 0,1,2,3, (36)

где Sp - операция вычисления следа матрицы.

Пусть теперь имеются две матрицы A и В, которые могут быть представлены в виде

3 3

A = 2 a, (t )< i, ВВ = 2 bi (х> t )< i. (37)

i=0 i=0

При введении векторов a = (öj, a2,03) и b = (bj, b2, ¿3) эти матрицы можно записать так:

A = (s, a) + öo<Jo , ВВ = (s, b) + bo<Jo.

Согласно свойствам матриц Паули (31) имеем теперь следующие общие соотношения:

A В = i([a х b], s) + a0 (b, s) + b0 (a, s) + (a, b)G0,

[A,B] = AB - BA = 2i([aхb],s). (38)

здесь [a х b] - векторное произведение векторов a и b .

Библиографический список

1. Журавлев, В. М. Нелинейные уравнения, связанные с уравнениями теплопроводности и Д'Аламбера с помощью подстановок типа Коула - Хопфа /

B. М. Журавлев, А. В. Никитин // Нелинейный мир. - 2007. - Т. 5, № 9. -

C. 603-611.

2. Журавлев, В. М. Метод обобщенных подстановок Коула - Хопфа и новые примеры линеаризуемых нелинейных эволюционных уравнений / В. М. Журавлев // Теоретическая и математическая физика. - 2009. - Т. 158, № 1. - С. 58-71.

3. Журавлев, В. М. Солитонные решения уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера и функциональные подстановки / В. М. Журавлев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2018. - № 1. - С. 147-163.

4. Журавлев, В. М. Многофункциональные подстановки и солитонные решения интегрируемых нелинейных уравнений / В. М. Журавлев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2019. -№ 3. - С. 93-119.

5. Журавлев, В. М. Нелинейные интегрируемые модели физических процессов /

B. М. Журавлев // Метод функциональных подстановок. - Ульяновск : Изд-во УлГУ, 2019.

6. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В. Е. Захаров, С. В. Манаков,

C. П. Новиков, Л. П. Питаевский. - Москва : Наука, 1980. - 319 с.

7. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Ж. Гиббон, Х. Моррио. - Москва : Мир, 1988. - 694 с.

8. Гуревич, А. Г. Магнитные колебания и волны / А. Г. Гуревич, Г. А. Мелков. -Москва : Физматлит, 1973. - 464 с.

References

1. Zhuravlev V. M., Nikitin A. V. Nelineynyy mir [Nonlinear world]. 2007, vol. 5, no. 9, pp. 603-611. [In Russian]

2. Zhuravlev V. M. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 2009, vol. 158, no. 1, pp. 58-71. [In Russian]

3. Zhuravlev V. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 1, pp. 147-163. [In Russian]

4. Zhuravlev V. M. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2019, no. 3, pp. 93-119. [In Russian]

5. Zhuravlev V. M. Metod funktsional'nykhpodstanovok [Functional substitution method]. Ulyanovsk: Izd-vo UlGU, 2019. [In Russian]

6. Zakharov V. E., Manakov S. V., Novikov S. P., Pitaevskiy L. P. Teoriya solitonov: Metod obratnoy zadachi [Soliton Theory: inverse scatter method]. Moscow: Nauka, 1980, 319 p. [In Russian]

7. Dodd R., Eylbek Dzh., Gibbon Zh., Morrio Kh. Soli tony i nelineynye volnovye uravneniya [Solitons and nonlinear wave equations]. Moscow: Mir, 1988, 694 p. [In Russian]

8. Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnitnye kolebaniya i volny [Magnetic vibrations and waves]. Moscow: Fizmatlit, 1973, 464 p. [In Russian]

Журавлев Виктор Михайлович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Самарский национальный исследовательский университет, (Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34); профессор, кафедра теоретической физики, Ульяновский государственный университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Льва Толстого, 42)

E-mail: [email protected]

Zhuravlev Viktor Mikhaylovich Doctor of physical and mathematical sciences, leading researcher, Samara National Research University (34 Moskovskoye highway, Samara, Russia); professor, sub-department of theoretical physics, Ulyanovsk State University (42 L'va Tolstogo street, Ulyanovsk, Russia)

Образец цитирования:

Журавлев, В. М. Об одной нелинейной интегрируемой модели взаимодействия волн / В. М. Журавлев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2020. - № 2 (54). -С. 94-108. - DOI 10.21685/2072-3040-2020-2-9.