CC BY
36
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Л.Г.Файзмамадова
ОБ ОДНОЙ НАИЛУЧШЕЙ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ПЕРВОГО РОДА
Горно-металлургический институт Таджикистана
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.03.2012 г.)
В работе вычислены точные оценки погрешности наилучших квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов дифференцируемых функций.
Ключевые слова: квадратурные формулы - градиент - вектор коэффициентов - вектор узлов.
1. В серии работ [1-3] рассматривается вопрос приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для различных классов функций, определённых на заданной кривой Г, по которой вычисляется криволинейный интеграл. Здесь мы продолжим исследование в этом направлении и для некоторых классов функций и классов кривых находим наилучшие квадратурные формулы. Следуя указанным работам, введём в рассмотрение квадратурную формулу
\ / (М )ф = £ рк/(Мк) + Яы (/ ;Г), (1)
Г к=1
__N
где /(М) = /(х, у), М £Г , к = 1, N. Сумму £ рк/(Мк ) , состоящую из линейной комбинации
к=1
конечного числа значений подынтегральной функции, назовём квадратурной суммой, а Р = {рк , М = {Мк - векторами коэффициентами и векторами узлами, Яы (/;Г) = Яы (/;Г, Р,М) - погрешность квадратурной формулы (1) на функцию /, заданную и определённую вдоль кривой Г .
Если на кривой Г установлено положительное направление так, что положение точки М = М(х, у) на кривой определяется длиною дуги 5 = АМ, отсчитываемой от начальной точки А , то, как хорошо известно, кривая Г параметрически выразится уравнениями
X = Х(5), у = у(5), 0 < 5 < Ь. (2)
Адрес для корреспонденции: Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна. 735730, Республика Таджикистан, Согдийская область, г. Чкаловск, ул. Московская, 6, Горно-металлургический институт Таджикистана. E-mail: lola-0771@mail.ru
В этом случае функция /(х, у) = /(х^), у (я)) и квадратурная формула (1) при помощи разбиения отрезка [0,Ц] точками
0 < ^ < ^ < • • • < ^- < ^ < Ь
запишется в виде
Ь N
|Дх^), у(^ = 2 рк/(х^к),у(^)) + RN (/;Г,(р},К}). (3)
0 к=1
При фиксированном N формула (3) задается векторами-коэффициентами Р = {рк и узлами £ = {як и её остаток
Ь N
RN (/; Г; Р, £) = | / (х(5), у(*))^ - 2 Рк/ (х(^), )), (4)
к=1
имеет вполне определённое числовое значение.
Если M - некоторый класс функций {f ( x(s), y(s)}, определённых в точках кривой Г с параметрическими уравнениями (2) и интегрируемых как сложная функция F (s) := f ( x(s), y(s)) параметра s G [0, L], то за величину, характеризующую точную оценку погрешности на всем классе M на заданной кривой Г, примем величину
RnONР,S) = sup{| RN(f ;Г;Р,S) |: f g ШГ}. (5)
Пусть Шд (L) - класс плоских спрямляемых кривых {Г} с непрерывной кривизной, расположенных в области D = {(x, y) : x2 + y2 < LL }, длина которых не более L.
Обозначим через W(l)(K;Q) := W(1)Lp(K;Q), 1 < p - класс функций {f (x(s),y(s))}, у
n df df
которых почти всюду в области Q существуют частные производные —, — с ограничением
Sx dy
f
L
\\gradf ( x(-), y(.))|| l„oj]= J,
где, как обычно,
0 V
Sf Sx Sf Sy Sx Ss Sy Ss
Y' p
ds
J
< K,
\gradf (x(s), y(s))|| fSf ( x(s),y(s)) ] + (Sf ( x(s),y(s))
Sx
2
Sy
J
( dx Y ( dy Y при условии, что I — I +1 — I = 1.
V ds J v ds J
0
Через W0(1^(K;Q) обозначим множество функций f K;Q), удовлетворяющих усло-
вию f (x(0), y(0)) = 0- Всюду далее под M , подразумевая класс W(1}(K; Q) или W0(1)(K; Q), за величину, характеризующую наибольшую погрешность квадратурной формулы (3) на классе функций M и классе Шд (L), длина которых не превосходит L , следует взять величину
Rn(M;Ш(L);P,S) = supR(M;Г;P,S) :Гс Ш(L)}- (6)
Если A - множество всевозможных векторов (P, S) - коэффициентов и узлов формулы (6), то требуется найти величину
Sn (M; Ш (L)) = inf {Rn (M; Ш (L); P, S) : (P, S) с a} - (7)
Если существуют векторы коэффициентов и узлов (P(0), S(0)) = ^{pl)^=l ,{^i0}N=i ], для которых выполняется равенство
Sn (M; Ш (L)) = Rn (M; Ш (L); P0, S0)
то квадратурная формула (3) с вектором (P°, S0) называется наилучшей (или оптимальной ) квадратурной формулой на классах функций K; Q) , 1 < p < да и кривых (L), а вектор (P ,S0)
называется наилучшим или оптимальным вектором коэффициентов и узлов.
В этой заметке мы приводим решение сформулированной задачи (7) для случая p = 1,2, да.
Теорема. Среди всех квадратурных формул вида (3) наилучшей на классах функций (K; Q) при p = 1,2 и p = да и кривых NQ (L)) является формула
L
{ f ( y(s) ) ds
г г
2 N+1
k=1
2kL
V v 2N +1
2kL ^
2 T N
Ef x I-y i2kLr I+ Rn(f) <8>
При этом точная оценка погрешности формулы (8) на указанных классах функций и кривых равна
КЬ
SN (W$(K; Q), Ш-q (L)) =
S, (W0,12)(K ;Q), Ш (L)) = (2N+l)^
Sn (Ok; Q), Ш-q (l)) =
(2N + 1)V3'
KL3'2
KL2
2(2 N +1)
0
Доказательство. Для произвольной функции / е К; О) , 1 < р < да как сложной функции Г(5) := /(х(5), у(5)) переменной 5 е[0, Ь], удовлетворяющей условию /(х(0), у(0)) = 0, справедливо интегральное представление
/(хо хо)=\ {д/(х(5) У(5)) ^+д/(х(5)) У(5) йУл
дх
ду
^ - 5)0
(9)
У
где
(? — 5)° =|1, если ? > 5; 0, если ? < 5^.
Подставляя формулу (9) в квадратурную формулу (3), согласно равенству (4), погрешность формулы представим в виде
RN (/ ;Г) =П
ду(x(5),у(5)) + д/(x(5)),у(5) ^У
дх ё5 ду
Л
• Ф(5)^5,
(10)
где ядро Ф(5) определено равенством
Ф(5) = Ь — 5 — 2 Рк 5 — 5)0.
к=1
Оценивая правую часть равенства (12), согласно неравенству Гёльдера и учитывая тождество (dx / d5)2 О (ё'у / ^5)2 = 1, для произвольной функции / е К; О) , 1 < р <да получаем оценку сверху
Л
RN (/;Г) <
д/ дх д/ ду дх д5 ду д5
\1/р
11 Ф(5)
\1/ч
Л1/р А
|| gradf |р •Ц|Ф(5) 1чё5
\1 /
<
КI | |Ф(5) 1чё5
У
ч1/ч
?
У
<
, —01 = 1, 1 < ч <да.
р ч
(11)
Докажем, что существует функция / е К;О), для которой (11) обращается в равенство. В самом деле, рассмотрим кривую Г* е (Ь) с параметрическими уравнениями Г* : х = 5 / л/2,
у = 5 / ; 0 < 5 < Ь и положим
х ( 5 )
у (5)
/0( х(5), у (5)) = | (р(Х О | (р(Х )Л,
где
0
0
№) =
К I ь \ " ~ -1 ~
к I Г|Ф(5) \q ds -Ф^)^ ®ЕИФ(t)
>/2 I о ,1
______т _____
Ф(®) = Ь-л/2®-£рк(зк ->/25)°, Ф
к=1
.72
Покажем, что функция / е К; 0) . Имеем:
У/о (Х(5), у(5)) = ^ - ^ + - ^ = ИХ(5)) - X(5) + Ср{у(5)у'(®)) =
сХ су
А-1-4-
.>/2J у[2J 72 42Чл/2
= К
/ |Ф(5) \
10
Ф
л/2.
q-l
л/2,
Отсюда получим
ь р
К||Ф(5) |q - |Ф(®)|^^иФф.
10
р
ЬЖЬ]
|У/о(х(5), у(5))Ь[0,] = ||ЕЮ/Ш, у(5))|| = Кр ^| Ф(5) |q ds^ -11 Ф(5) |(q-1)р ds =
= Кр |Ф(5) |q ds^ |Ф(5) |q ds = Кр.
Этим включение / е К;0) доказано.
С другой стороны, с учётом (12) и(13) из равенства (10) будем иметь
Ь
RN (/ ;Г) = /У/0(х(5), у(5))-Ф(^5 =
(12)
(13)
= КЦ|Ф(5) |q ds Таким образом, из равенства (14) сразу следует, что
, 1 < q < да.
(14)
0
у/q
Rn «ЧК Q); Nq (L); P, S) = К j|0(s)|q ds , 1 < q
и задача состоит в отыскании величины
\1/q
Sn «ЧК;Q); Nq(L)) = inf j К J| O(s) |q ds : (P,S) с A
(15)
Вычисляя инфимум равенства (15) при ч = 2,1 в соответствии с результатами из монографии [4] и работы [5] получим утверждение теоремы.
Поступило 27.03.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вакарчук С.Б. - Укр матем. журнал. 1986, т.38, 5, с. 643-645.
2. Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с. 415-419.
3. Сангмамадов Д.С. - ДАН РТ, 2011, т.54, №9, с. 709-714,
4. Никольский С.М. - Квадратурные формулы. - М.:Наука, 1988.
5. Шайдаева Т А. - Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1959, т.53, с. 313-341.
Л.Г.Файзмамадова
ОИД БА ФОРМУЛАМИ КВАДРАТУРИИ БЕ^ТАРИН БАРОИ ХИСОБКУНИИ ТАЦРИБИИ ИНТЕГРАЛ^ОИ КАЧ^АТТАИ ^ИНСИ ЯКУМ
Донишкадаи ку^й-металлургии Тоцикистон
Дар макола бах,ои аники сах,ви формулами квадратурии бех,тарин барои х,исобкунии такрибии интеграли качхаттаи чинси якум барои баъзе синфи функсиях,ои дифференсиронида-шаванда х,исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: формулами квадратуры - градиент - вектори коэффитсиентуо - вектори гиреууо.
L.G.Fayzmamadova
ON THE BEST QUADRATIC FORMULA FOR APPROXIMATE CALCULATION OF CURVILINEAR INTEGRAL OF FIRST KING
Institute of Mining and Smelting of Tajikistan In this paper are calculation an exact estimates of error of quadratic formulas for approximate calculation of curvilinear integrals of first kind for some differential classes of functions. . Key words: quadratic formula - gradient - coefficient's vector - nodus vector.
