Об одной модели регулирования остаточных напряжений в изделиях из стеклующихся полимеров Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.373

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ИЗДЕЛИЯХ ИЗ СТЕКЛУЮЩИХСЯ ПОЛИМЕРОВ1

© 2008 О.Ю. Сметанников2

Рассматриваются вопросы регулирования остаточных напряжений, возникающего в изделиях из стеклующихся полимеров в процессе производства, при помощи дополнительного силового и кинематического воздействия. В основу метода положена модель, разработанная ранее для описания термомеханического поведения материалов в условиях релаксационного перехода [1]. На примере численного решения модельной задачи проведена сравнительная оценка эффективности применения различных типов управляющего воздействия для минимизации остаточных напряжений. Проанализировано влияние степени дискретизации кусочно-линейной функции управления на уровень остаточных напряжений и максимальных технологических напряжений.

Ключевые слова: остаточные напряжения, стеклующийся полимер, технологические напряжения.

1. Постановка задачи оптимизации

Одной из проблем при производстве полимерных и полимерно-композитных изделий является наличие остаточных напряжений и деформаций

[2]. Причина их возникновения — несовместность деформирования в различных точках изделия, обусловленная неравномерным нестационарным полем температур и особенностями термомеханического поведения материала [1]. Для снижения остаточных напряжений стремятся удлинить стадию охлаждения, выравнивая температуру по объему изделия и одновременно добиваясь существенной релаксации напряжений. Данная технологическая стадия иногда занимает до нескольких суток, что мало приемлемо в услови-

1 Представлена доктором технических наук, академиком РАН В.П. Матвеенко.

2Сметанников Олег Юрьевич (sou@cpl.pstu.ac.ru), кафедра вычислительной математики и механики Пермского государственного технического университета, 614990, Россия г. Пермь, Комсомольский пр-т, 23.

ях серийного или массового производства. В некоторых случаях остаточные напряжения желательны для компенсации эксплуатационных. Подбор температурных режимов охлаждения для получения необходимого распределения остаточных напряжений затрудняется инерционностью процессов теплопередачи в полимерах и невозможностью полной компенсации несовместности деформирования, обусловленной различием свойств материалов изделия и технологического оборудования. Один из путей решения данной проблемы — приложение на стадии охлаждения полимерного изделия дополнительной, переменной во времени внешней нагрузки. В статье предлагается и анализируется методика расчета оптимального силового регулирования остаточных напряжений аморфных стеклующихся сетчатых полимеров.

Для описания термомеханического поведения материала используются определяющие соотношения в упругом приближении [1], записанные в сокращенной форме

N(t)

«о = (4С, +4с2т). ■ ад -4С2. ■ /ВД<гад, (Ы)

0

где 4С2 = 4С? -4Сх; 4С?, Сх —тензоры упругих констант материала в стеклообразном и высокоэластическом состояниях соответственно; £(г) = £ - £0; £, £0 — тензоры полных и температурных деформаций соответственно; е°. =

Т (г)

= ^ а,-у(т)^Г(т); а,-;- = а6,-у; а — коэффициент температурного растяжения; Т (0)

Ьij — символ Кронеккера; о(г) — тензор напряжений; Т(г) — температура; г, т — время.

Соотношения (1.1) подразумевают существование связи между степенью стеклования N и температурой Т. Для этого, в частности, можно использовать формулу вида [3]

(T-Tg)

1 — Г) Si

N(T) =

1 - 0,5е y , T < Tg;

(T-Tg)

0,5е у , Т ^ т8,

где у — параметр, определяющий ширину интервала стеклования [т^, Т^, Т§—температура стеклования.

Пусть изделие, занимающее область П с границей S, охлаждается от температуры Тн за счет теплообмена с окружающей средой. При остывании на части его границы S а действует внешняя дополнительная нагрузка Р(Х, г), не зависящая от температуры и не влияющая на теплообмен. Приняв допущение об отсутствии источников тепловыделения, можно разделить проблему определения поля остаточных напряжений конструкции на две несвязанных задачи. Первая из них, задача теплопроводности, вклю-

чает следующие уравнения, граничные и начальные условия

„2,

T(x, t) = а AT(x, t), x e П, t e (0, t*]; (1.2)

sup(T(x, t*)) < Tg2 (1.3)

xen

(1.4)

T (x, 0) = Th ;

T(x, t) = TK, t > t*

IdT(x, t)/dn = h(T(x, t) - Ts(t)), x e S3; (1.5)

dT(x, t)/dn = 0, x e S0; (1.6)

где t* — время перехода всего изделия в стеклообразное состояние; а2 =

= X/(cp) — коэффициент температуропроводности; h — коэффициент теплоотдачи; x, n — радиус-вектор и вектор единичной нормали к поверхности

соответственно, Ts —температура окружающей среды. Результаты решения

(1.2)—(1.6) используются в расчете напряженно-деформированного состояния, при этом система уравнений, помимо соотношений (1.1), включает

divo(x, t) = 0, x e П; (1.7)

2 e(x, t) = (Vu(x, t))T + Vu(x, t); (1.8)

o(x, 0) = 0; (1.9)

u(x, t) = U(x, t), x e Su; (1.10)

o(x, t) n = P(x, t), x e Sa, (1.11)

где u — вектор перемещений; U(x, t) — перемещения, заданные на части поверхности Su; P(x, t) — управляющая нагрузка. Будем полагать, что внешнюю нагрузку можно представить в виде произведения функций времени и координат

P(x, t) = Px(x)p(t)h(t* - t), (1.12)

где h — функция Хевисайда; px(x) — заданная функция.

Тогда задача управления формулируется следующим образом: найти управление p(t), сообщающее минимум функционалу

Ф(р(ф = J [F(о* - oR)]2dO ^ min (1.13)

П

при ограничениях (1.1)—(1.11), где o*(x) = o(x, t), t > t* —поле технологических остаточных напряжений (решение (1.1)—(1.11)); oR(x, t) —задаваемое по условиям эксплуатации распределение остаточных напряжений (в частности, отсутствие остаточных напряжений соответствует случаю oR(x, t) = 0); F(o) — некоторая скалярная функция тензора напряжений. В качестве такой функции может выступать один из инвариантов, например, интенсивность напряжений

F(o) = —j= yj(on - 022)2 + (оц - 033)2 + (033 - О22)2 + 6(а22 + а23 + а23).

Покажем, что решение задачи определения НДС (1.1), (1.7)—(1.11) можно представить в виде следующей суперпозиции:

о(х, г) = ор (х, г) + оТ (х, г),

(1.14)

где оТ (х, г) — решение задачи (1.7)—(1.11) при отсутствии внешнего воздействия:

Р(г) = 0; (1.15)

ор(х, г) — решение задачи (1.7)—(1.11) в условиях, когда не учитывается температурная деформация:

(1.16)

-0 = 0.

Для этого преобразуем соотношения (1.1) к более компактному виду

а(0 = ,4С + 4С2лт,„). • ВД - 4С,- • =

0

= 4Сі • • -(г) + 4С2- • J

0

^(х)^-(х) =

= 4Сі- • -(0) + ^ (4Сі + 4С2ВД)- • й-(х) =

(1.17)

тг

= О® + / (4Сх + 4с2 <т)). ■ «ВД.

0

Здесь и далее радиус-вектор х опущен для сокращения записи. С учетом (1.12) и в предположении непрерывности р(г) разложим полный дифференциал ^£(т) по двум независимым переменным — нагрузке р(т) и температуре Т(т)

d-(x) =

д-(т)

д р

, ( л . <9ё(х) йР(ъ) +

Т дТ

д(-(т) - -0(т))

dT (т) =

р

дР

dp(т) +

Т

д-(т)

д -(т)

д р

дТ dp(т) +

dT (т) =

р

д-(т)

(1.18)

дТ

dT (т) =

р

= -р(т^р(т) + d- (т),

где £р (т) — приращение тензора деформаций под действием единичного приращения внешней нагрузки в момент т при отсутствии температурной деформации (а = 0); d-т(т) — полный дифференциал тензора деформаций без учета дополнительного воздействия (р(г) = 0). После подстановки (1.18) в

(1.17) получим следующее соотношение:

°(0 = о<0) + / (4С, + 4С2 ЛТ <т)). ■ ?(T)dp(x)+

0 t (1.19)

+ f (4Ci + 4С2^(х)) ■ • daT(т).

Первые два слагаемых в (1.19) представляют собой решение задачи (1.15), третье — решение задачи (1.16), что и является подтверждением (1.14). Используя (1.19), преобразуем (1.13) к виду

ф^(ф = J [F(ор* + oT*- oR)]2dO ^ min. (1.20)

П

При этом управляющая нагрузка присутствует только в первом слагаемом. Из (1.12), (1.19) следует

oP*(t) = °р (t)|t>t* =

= о(0) + J (4С1 + 4С2N(т)) ■ ■ еР(тУр(т) - (4С1 + 4С2) ■ ■ ер(г*)р(0 =

0

= 4С1 Ёр(0)Р(0)+

г*

+ J {(4С1 + 4С2^т)) ■ • ёр(т) - (4С1 + 4С2) ■ ■ ёр(г*)} йр(т).

0

(1.21)

Для численного решения (1.20) осуществим дискретизацию по времени и

пространстве. Обозначим через Ме, Мг количество элементов и шагов по

времени соответственно. Под элементом Пк подразумевается часть области

Ме

П, с постоянными деформациями и напряжениями, причем П = и Пк. При-

к=1

меняя левостороннюю формулу прямоугольников для вычисления интеграла в правой части (1.21), с учетом (1.12) получим

м,

оГ = 2>чА*У. к = ТЖ, (1.22)

]=1

где

¥к0 = 4с1' ■ е^; _ ( )

= (4С! + 4С2^у) • • ер - (4С! + 4С2) • • <М(; ^

дру = р]- р^и ] = °> Мг; р-1 = 0; ^ — матрица влияния. Физический смысл

тензорного параметра у к] — аддитивный вклад единичного приращения внешней нагрузки Др] на ]-м шаге по времени в тензор остаточных напряжений в к-ом элементе с учетом снятия нагрузки, содержащегося во втором

слагаемом (1.23). Таким образом,благодаря линейности определяющих соотношений удается в матрице влияния разместить полную информацию об ” управляемости” остаточного НДС дополнительной нагрузкой. Задача (1.20) с учетом (1.12) сводится к решению системы уравнений

Возможны варианты, когда функция управления аппроксимируется одним из известных методов (степенной ряд, кусочно-линейный полином, сплайны). Это позволяет понизить порядок системы (1.24) и добиться большей устойчивости решения. Технология численного расчета оптимального силового воздействия, в соответствии с приведенными выше выкладками, состоит из следующих этапов:

1. Решение задачи (1.15)—определение поля остаточных напряжений

Т* ~ и

ак в конструкции, находящейся в естественных условиях технологического процесса охлаждения без дополнительных внешних воздействий. Остаточные напряжения при этом формируются только за счет неравномерности пространственно-временного распределения температурных деформаций в объеме охлаждаемой конструкции.

2. Расчет матрицы Т. Для этого решается задача охлаждения вида

(1.16), из которой исключены температурные напряжения и деформации. Учитывается лишь влияние температуры, найденное из решения системы

(1.2)—(1.6) на изменение степени стеклования N. На каждом шаге по времени прикладывается дополнительная единичная нагрузка Др(] = 1 и определяется изменение поля напряжений ак] = (4С1 + 4С2^]) ■ ■ (см. (1.23)).

В соответствии с (1.23), элемент матрицы влияния вычисляется по формуле у к] = ак] + акм, где а£м( —изменение поля напряжений от единичного приращения нагрузки в полностью охлажденном изделии.

3. Формирование и решение системы (1.24).

Изложенные выше рассуждения допускают простое обобщение для варианта конечного числа независимых внешних воздействий. Можно показать, что в качестве управляющих объектов, помимо внешней нагрузки Р(х, г) (силовое воздействие, см. (1.11)) могут выступать в том числе и граничные перемещения и(х, г) (кинематическое воздействие, см. (1.10)), а также их комбинации.

2. Иллюстративный пример: минимизация остаточных напряжений в пакете стержней

Как пример практического использования полученных зависимостей при совместном, кинематическом и силовом управляющем воздействии далее приводится решение следующей модельной задачи (рис. 1).

дФ/д(Д р{) = 0;

(1.24)

ме

I

и

Рис. 1.

Пакет совместно деформирующихся полимерных стержней охлаждается от температуры Тн благодаря теплообмену с окружающей средой по границе S3 (х = H, граничные условия III рода (1.5)) до температуры Тк. Граница S0 (х = 0) адиабатическая (граничные условия вида (1.6)). Сосредоточенная сила P(t) и угловое перемещение ф(0 позволяют управлять деформацией пакета в процессе охлаждения. Предполагаем, что трение между слоями пакета, а также напряжения в направлениях, нормальных к продольному, отсутствуют. Данная гипотеза соответствует одноосному напряженному состоянию, для каждого стержня в пакете физические уравнения (1.1) преобразуются к форме

t

о(х,0 = а(х,0) +/№l + E N (х,х»«х, х),

0

где Ei, E2 — модули Юнга материала в высокоэластическом и стеклообразном состояниях соответственно. Будем также полагать, что в начальный момент времени конструкция находится в естественном состоянии, т.е. о(х, 0) = = 0, х е [0, H].

Математически граничные условия задачи об определении НДС, соответствующие показанной на рис. 1 схеме, представляются в виде

н

де( х, t) Г

------ = ср(г), I о(х, t)dx = P(t).

дх J

0

Для получения численного решения проведем пространственно-временную дискретизацию. Обозначим через Me количество стержней. Время охлаждения разобьем на Nt интервалов, в каждом из которых нагрузка P(t) и угло-

вое перемещение ф(0 аппроксимируются кусочно-линейными полиномами, причем Р(0) = ф(0) = 0. Представление управляющих функций в виде ломаных с относительно малым числом узловых точек позволяет избежать появления осцилляций, возникающих в случае, когда неизвестные значения определяются на каждом шаге по времени. В свою очередь, 1-й интервал разбивается на М; подинтервалов Д. Тогда в момент времени г е , г^]

соответствующие функции имеют вид

ь-1

м‘

,ф

.=1

/Г>

1=1

1-1 м?

Р(?) = Ц (СР-) + а 1=1 .=1

J-l

ЕД4 + (? - ^ .=1 J-l

^ + (? - ?5'-1)

Ь=1

ь J

где $ =

Д?.. Будем решать задачу минимизации остаточных напряже-1=1 .=1

ний. Это означает, что, в соответствии с принятыми обозначениями, = 0,

к = 1, Ме. Тогда (1.24) преобразуется к системе 2№? уравнений вида

дФ/д(ДР;) = 0, дФ/д(Дф;) = 0,

где

Ме_

\2-

(2.1)

Ф = £ (Ор" + оф" + о[•- о*)2;

к=1

Др1 = р(М;)_р(4_;)’ Дч* = )_^М;)-

Соответствующие выкладки приводят к решению системы уравнений

[А] {с} = (а)

относительно вектора (с), где

Ме _____ _____

^(цгцД г = 1,ЛГ,; ;=1,А^

к=1

ме

2(угМ-Д * = 1.^; ; = ^ + 1,2^

к=1

ме

і = ЛГ( + 1,2ЛГ(; і = 1,Л^

к=1

^ (у.-уД і = ^ЙД; ; = МПЖ

ме _______

£ «£**), г=1,АГ(

к=1

^ (о[Ч0, * = ІУ, + 1,2Л^

к=1

к=1

ь

м‘ м‘

w = 2 <4 v = Z <л4; j=1 j=1

Ci =

cP, i = 1, Nt

1 7 7 1

c', i = Nt + 1,2 • Nt

Далее в работе представлены результаты расчета для материала с физико-механическими свойствами, близкими к характеристикам эпоксидной смолы ЭДТ-10 [1]. Вычисления проводились для трех вариантов дополнительного воздействия: силового ('(t) = 0), кинематического (P(t) = 0) и совместного, при TH = 160°С; TK = 20°C; H = 0.05м; Me = 40; Nt = 10 (вариант 1) и (вариант 2). Общее количество шагов по времени в обоих вариантах Nt

одинаково и равно Ml = 400.

1=1

Результаты расчета представлены в безразмерном виде: Р = Р/(К • Н) — безразмерная внешняя нагрузка, о = о/К — безразмерное напряжение, где К = а(Тн - TK)(Ei + Е2).

F <-•" -КГ1, г:

Рис. 2.

Рис. 3.

На рис. 2, 3 отображены результаты, полученные в первом варианте расчета (p(t) Ф 0, '(t) = 0). На рис. 2 показана зависимость оптимальной внешней нагрузки от времени. Рис. 3. отображает распределение остаточных напряжений в пакете стержней, при этом кривая 1 на рис. 3 соответствует свободному охлаждению пакета; кривые 2,3-охлаждению с регулирующей нагрузкой при силовом воздействии (Nt = 10 и Nt = 20 соответственно). Для лучшей наглядности значения температурных остаточных напряжений стт уменьшены в 10 раз.

Как видно из графиков, относительная невязка по оптимальной нагрузке при увеличении количества интервалов разбиения времени охлаждения с 10 до 20 не превышает 5%, что говорит о хорошей сходимости решения; остаточные напряжения снижаются с 0.9% до 0.05% относительно первоначального уровня (см. таблицу).

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 X, Ч

Рис. 4.

10 15 20

Рис. 5.

Ф, рад

0.25

0.02

0.015 > и о

Щ = ю 0.01 0.005

-0.005 -0.01 Щ = 20

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Т, Ч

Рис. 6.

О 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Т, Ч

Рис. 7.

Рис. 4, 5 иллюстрируют результаты, полученные при кинематическом регулировании напряжений (р(г) = 0, ф(г) Ф 0). Обозначения на рисунках соответствуют использованным на рис. 2, 3. Увеличение N в 2 раза существенно, с 21 до 2% (см. рис. 5, таблицу) снижает уровень остаточных напряжений и сопровождается ’’сглаживанием” кусочно-линейного полинома (рис. 4). Минимизация при тех же степенях дискретизации по времени реализуется гораздо хуже, чем в первом варианте расчета.

Снижение уровня остаточных напряжений ртах! / |°п

Таблица

100%

м, Силовое воздействие Кинематическое Совместное

10 0.886 26.112 0.103

20 0.042 1.604 0.013

На рис. 6-9 показаны результаты, полученные для совместного воздействия силы и углового перемещения. На рис. 6, 7 отображена зависимость оптимальной силы Р(£) и углового перемещения ф(г) от времени. На следующем рис. 8 — распределение остаточных напряжений (обозначения соот-

ветствуют рис. 3). Приведенные данные показывают хорошую сходимость решения и лучшее, по сравнению с двумя первыми вариантами, качество минимизации. Как видно из сравнения рисунков 3, 5, 8, и данных таблицы, наименьший уровень остаточных напряжений достигается при совместном силовом и кинематическом воздействии.

•10

-1

гг

0.02

-0.05

-0.07

— , 0.7 о

2 0.5

о л 0.4 1

1 0.3 0.2 0.1 2

0

10

15

20

25

30

35

40

10

15

20

Рис. 8.

Рис. 9.

Дополнительные механические усилия, прикладываемые к конструкции в процессе регулирования остаточных напряжений приводят к росту напряжений технологических. Оценить их величину позволяет показанная на рис. 9 зависимость максимальных напряжений в пакете стержней от времени при силовом (кривая 1), кинематическом (кривая 2) и совместном (кривая 3) воздействии. Однако при этом, как и в случае регулирования только внешней силой, уровень максимальных технологических напряжений достаточно высок на всем временном интервале (рис. 9, кривые 2, 3). Наибольшую опасность представляют напряжения в начальной стадии охлаждения, когда основная часть материала конструкции еще находится в высокоэластическом состоянии. При регулировании только внешней силой и совместном воздействии (рис. 9, графики 1, 3) уровень максимальных технологических напряжений достаточно высок на всем временном интервале. С этой точки зрения более предпочтительным является регулирование остаточных напряжений кинематическим воздействием (рис. 9, кривая 2). Однако, как видно из рис. 4, полученное решение недостаточно устойчиво, что, по-видимому, объясняется плохой обусловленностью задачи. Поэтому приведенный алгоритм расчета оптимального угла поворота требует дальнейшего совершенствования. В частности, предполагается постановка проблемы оптимизации остаточного напряженного состояния с ограничением по уровню внешней нагрузки в реальной двумерной конструкции.

Представленное в статье исследование метода регулирования остаточных напряжений в конструкциях из стеклующихся полимеров и композитов на их основе позволяет сделать следующие выводы.

1. К преимуществам метода следует отнести его высокую эффективность с точки зрения затрат машинного времени, требуемого для формирования результирующей системы линейных уравнений задачи оптимизации

2. Полученное в модельной задаче оптимальное силовое управление даже при достаточно грубой кусочно-линейной интерполяции снижает уровень остаточных напряжений на 3 порядка. В то же время аналогичное кинематическое воздействие гораздо менее эффективно как в плане устойчивости, так и по качеству полученного результата. Это говорит о высокой чувствительности предлагаемой методики к выбору типа управления, необходимости численного анализа каждого из возможных его вариантов.

3. Требуются дополнительные исследования по применимости метода и проверке его эффективности в многомерных задачах, а также введение в постановку ограничений, связанных с технологической прочностью конструкции.

Литература

[1] Сметанников, О.Ю. Об одной модели термомеханического поведения полимерных материалов с релаксационным переходом / О.Ю. Сметанников // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2007. -№9/1(59). - С. 216-231.

[2] Бугаков, И.И. Об остаточных напряжениях в охлаждаемых полимерных телах / И.И. Бугаков // Теоретична и приложна механика: Труды 111 Болгарского национ. конгресса по теорет. и приклад. механике (Варна, 1977). Кн.1. - София, 1977. - С. 326-331.

[3] Сметанников, О.Ю. Определяющие соотношения термомеханического поведения полимерных материалов в условиях стеклования и размягчения / О.Ю. Сметанников, Н.А. Труфанов, И.Н.Шардаков // Известия РАН. Механика твердого тела. - 1997. - №3. - С. 106-114.

Поступила в редакцию 17/V7/2008; в окончательном варианте — 17/VT/2008.

ON A MODEL OF RESIDUAL STRESSES CONTROL IN VITRIFYING POLYMERIC ARTICLES3

© 2008 O.Yu. Smetannikov4

The paper is devoted to a method of optimization of residual strain-stress state in vitrifying polymeric and composite articles after manufacture, by means of additional force and kinematic loading. This method based on the physical model [1] developed earlier for the indicated class of materials. As an example, the numerical solution of simple 1D problem is obtained to compare the various types of control action for minimization of residual stresses. The effect of discretization order of piecewise linear control function to a level of the residual stresses and the maximum technological stresses is analyzed.

Keywords and phrases: residual stresses, vitrifying polymer, technological stresses.

Paper received 17/V7/2008. Paper accepted 17/V7/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Tech), Acad. V.P. Matveenko.

4Smetannikov Oleg Yurievich (sou@cpl.pstu.ac.ru), Dept. of Numerical Mathematics and Mechanics, Perm State Technical University, Perm, 614990, Russia.