Об одной модели контакта гребня колеса и боковой поверхности рельса Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.3

об одной модели контакта гребня колеса

и боковой поверхности рельса © 2007 г. Г.А. Бузало, О.П. Зарифьян, М.В. Сорока

При движении рельсового экипажа устойчивое положение колесной пары на рельсовой колее обеспечивается возникновением второй точки контакта между гребнем колеса и боковой поверхностью рельса. К главным факторам, определяющим направление экипажа при прохождении кривых, относятся нормальное усилие и сила трения в боковом контакте, угол набегания колеса на рельс, величина «забегания» точки контакта относительно оси, угол наклона плоскости контакта к горизонту [1].

Задача об определении положения точки контакта между гребнем и рельсом является достаточно сложной, так как необходимо учитывать реальную форму поверхностей указанных тел и их взаимное расположение в пространстве при движении.

Будем рассматривать рельс как неподвижное тело, а его податливость учитывать с помощью комбинации силовых и диссипативных элементов, «установленных» между колесом и рельсом. Данное допущение значительно упрощает математическую модель и дает удовлетворительные результаты при моделировании. В такой постановке при фактическом отжа-тии рельса гребень колеса в модели оказывается «внедренным» в рельс, причем именно от величины и расположения точки максимального внедрения зависит силовое взаимодействие, возникающее в контакте. При решении задачи в данной работе главными критериями являлись универсальность полученного алгоритма и его разумная вычислительная сложность.

Параметризация поверхностей гребня колеса и боковой поверхности рельса

Рассмотрим левое относительно направления движения колесо и соответствующую ему левую рельсовую нить. Последующее решение задачи для правой стороны не составит трудностей.

Параметризацию выполним в локальных системах координат колесной пары [Х^] и левой рельсовой нити [Ж] [2]. Пусть профиль гребня бандажа задан некоторой регулярной параметризацией

У = /Ф1(4 г = grpi(i).

(1)

У = Угр1(г),

(2)

Г гр! (U rpiKгр1

(8 гр1(и гр1

) = /гр1(и гр1 )

(8гр1(игр1) -Кк)С05(КГр1)_

где криволинейные координаты игр1 = t, ¥гр1 - угловая координата в плоскости 0x2 системы координат [ХР], Як - радиус колеса по кругу катания.

Параметризация поверхности гребня в векторной форме с учетом профиля (2) имеет вид

L Ipl)(U rpiKгр1

) =

(Uipi -Rk) sin(Vipi)

У ipi(U ipi) (U ipi - Rk )cos(Vipi)

(3)

где криволинейные координаты игр1 = 2, ¥гр1 - угловая координата в плоскости 0x2 системы координат [ХР].

Перейдем к параметризации боковой поверхности левого рельса в собственной системе [Ж]. Профиль может быть задан явным образом

У = Урел1(2), (4)

тогда радиус-вектор точки на поверхности имеет вид

— рел1(ирел1,^рел1) = [^рел1 урел1(^рел1) ^рел1 ] , (5) где ирел1 = x, ^рел1 = 2.

Для дальнейших выкладок нам необходимо перевести параметризацию поверхности (3) в систему координат [Ж]:

(L) _ ЛЬС, (С)

L rpl = A

(г"" - Lf + ACPr (Pi))J

Простейшим выбором параметра является координата 2, в этом случае

однако для случая вогнутых изношенных профилей она не подходит.

Параметризация поверхности гребня в векторной форме с учетом профиля (1) имеет вид

—( ) =(0 q 2 Як + q3) - радиус-вектор центра масс колесной пары в системе координат [ХС]; — Н ) = (0 0 кС )Т - вектор возвышения центра рельсового пути.

Геометрическая модель контакта

Рассмотрим некоторую точку Р с координатами (Цгр1, Кгр1) на поверхности гребня. Уравнение нормали к поверхности в этой точке можно записать как

К(ь = — $ (и гриУр)$ (и т,Ут),

/ ё - единичный вектор

,( L)

где n ipi =

нормали.

д г (L) dr (L)

дr rpl дГ rpl ■X-

dU ^i дК

rpl

Длина d вектора нормали вычисляется по формуле

d =

дг(L) д г(L) - ГР1 .х Г г?1

ди г

dV г

= U ^ - RA М + у Гр1 (U

гр1 гр1

Точку пересечения нормали и боковой поверхно-

сти рельса находим из уравнения

.(L) _а)_

,(L)

Г рей = - Г?1 + КП гр1 •

(6)

Запишем уравнение (6) в координатной форме с учетом выражения (5)

П рел1 = Ггр1)х (П гр1, Угр1 ) + Хп грэ!,х (П гр1, Угр1 ); У рел1 (Vрел1) = (П ф1, У^ ) + Хп $у (П ^, ^ );

Урел1 = Ггри (Uгр1' у гр1^т " гр1,z гр1' ^ гр1 >

+х«гйг (и^д (7)

Очевидно, что первое уравнение из (7) и соответствующую ему криволинейную координату Прел1 можно исключить из рассмотрения. Подставляя выражение для Урел1 из третьего уравнения (7) во второе, получим

У (Х,П гр1,Угр1) = 0, (8)

где

гр1' Vrp1 )

F (К, U г

" y рел1 ГГгр1^

(U гр1, Vгр1) + Кп $ z (U гр1, VГР1)1-

-Кп(L) (U V

А"гр1,y ^ гр1'к гр1

Vгр1) - г$у (U

гр1, V)*

K = K(Uгр1, Vгр1).

(9)

Функции профилей (2) и (4) получены путем аппроксимации реальных профилей колеса и рельса (рис. 1). г е [-30.. - 2], уровень ъ = 0 соответствует уровню головки рельса на центральной линии (обратим внимание, что на рис. 1 ось г направлена вправо).

о.оц

-0.01

-0.02

0.775

у, м 0,770 0,765 0,760 0,755 0,750 0,745 0,740

-0,03

-0,02

-0,01

Уравнение (8) неявно задает расстояние от поверхности гребня до боковой поверхности рельса как функцию криволинейных координат

Рис. 1. Профили боковой поверхности рельса урел1(г) и гребня угр1(г)

Исследуем вид функции (9) графически для ряда частных случаев.

1. Центральная установка. Как следует из рис. 2, при X < 0 контакта гребня и рельса нет, возрастание функции при г = Пгр1 > - 0,003 м соответствует приближению к основному контакту колеса и рельса.

2. Примем, что боковой относ колесной пары равен +0,013 м (^2 = 0,013 м) (рис. 3). В точке локального максимума X > 0 - гребень колеса «внедряется» в боковую поверхность рельса.

Точка максимального «внедрения» расположена на расстоянии Пгр1 = 0,012 м вниз от уровня круга катания и не имеет радиального смещения, Угр1 = 0. Более подробно этот случай иллюстрируется зависимостями, показанными на рис. 4.

3. Произведем расчет для угла виляния колесной

пары ф 3Р) =+0,03 рад, а затем ф 3Р) =-0,03 рад при постоянной величине бокового относа из предыдущего примера. Результаты представлены на рис. 5.

а б

Рис. 2. Центральная установка: а - взаимное расположение поверхностей гребня и рельса; б - расстояние от гребня до рельса как функция криволинейных координат

z, м

О'

г -0.01 -0.02

а б

Рис. 3. Смещение колесной пары: а - взаимное расположение поверхностей гребня и рельса; б - расстояние от гребня до рельса как функция криволинейных координат

а б

Рис. 4. Зависимость расстояние от гребня до рельса: а - как функция координаты Кгр1; б - как функция координаты и^

Ф 3р) = 0

ф 3р) = 0,03 pag = 0,03 pag = - 0,03 pag

Ф 3р) =-0,03 pag

-0.2

! / '

/V

/ / 0.002

f /

-0.002

-0.004 lambda, м

-0.006 -0.008

Рис. 5. Исследование зависимости положения точки контакта от угла виляния

Виляние колесной пары приводит к радиальному смещению точки максимального «внедрения», этот эффект обычно называют «предварением набегания» или «забегом» точки контакта. Виляние колесной пары не изменяет криволинейную координату игр1 точки максимального внедрения.

4. Рассмотрим случай движения в кривой с возвышением левой рельсовой нити 0,011 м (рис. 6). Боковой относ оставим неизменным, возвышение оси рельсового пути Нс = 0,055 м, угол у с = 0,07 рад, возвышение центра масс колесной пары q 3 = 0,0575 , угол боковой качки ) = 0,073 рад.

поиске экстремума неявной функции (9) применена комбинация численных методов, не требующих нахождения производных [3].

Представленная уточненная модель используется в составе разработанного при участии авторов «Пакета программ моделирования комплексной электромеханической системы электровозов». Она позволила получить адекватные результаты при исследовании движения по горным участкам пути [4]. Разумная вычислительная сложность модели и сопутствующего алгоритма позволяет проводить серии из большого числа расчетов по выбору оптимальных конструкционных параметров локомотива.

0.03

lambda, м, 0.02 0.01

0 -0.01

ф1 = 0,073 рад

^.025" -0.02 -0.015 -0.01 -0.005

, м

Угреб! = 0 рад

а б

Рис. 6. Исследование влияния возвышения рельса на положение точки контакта

Из рис. 6 следует, что при возвышении одной из рельсовых нитей происходит значительное вертикальное смещение точки контакта на поверхности гребня. Данный результат свидетельствует о неприменимости моделей контакта гребня и рельса, в которых вертикальное положение точки контакта считается фиксированным (обычно 10 мм от уровня головки рельса), при исследовании движения по пути с возвышениями рельсовых нитей. Представленная модель лишена указанного недостатка.

Нахождение точки максимального внедрения сводится к максимизации функции (9) при ограничениях на допустимые значения криволинейных координат

Литература

U

гр1 ? ^ гр!

Угр1. Если локальный максимум функции (9)

меньше нуля, то контакта гребня с рельсом нет. При

1. Вериго М. Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава / Под ред. М.Ф. Вериго. М., 198б.

2. Сорин Л.Н., Бузало Г.А., Зарифьян А.А. Макрогеометрия оси рельсового пути // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. № 3. С. 83-88.

3. Numerical recipes in C: The art of scientific computing. ISBN 0-521-43108-5) / William H. Press ...: [et al.]. Cambridge university press: 2nd ed., 1992.

4. Бахвалов Ю.А., Бузало Г.А. и др. Динамические процессы в асинхронном тяговом приводе магистральных электровозов / Под ред. A.A. Зарифьяна. М., 200б.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

5 июля 200? г.