CC BY
36
$„(Ч>) = КАЧ>)-%^,(<Р). m+\=N р,
. <р(т+1)
(г
. wm. 1) “П -
^, , 2N )
81П 2И
Это мультипликативное свойство функции изображения можно использовать для распознавания симметрий, а именно, если для заданного малого £ > 0 найдутся такие
к е {0,1,...,т} и We{2,3,...,m}, что - K^ N
векторное представление lh N -осесимметричным.
< €, то можно считать
Литература
1. Hecker Y.C., Bolle R.M. On geometric hashing and the generalized Hough transform, IEEE Trans. Syst., Man and Cybem. 24, N9, 1994, p.1328-1338.
2. Dufresne T.E., Dhawan A.P., Chord-tangent transformation for object recognition, Pattern Recogn. 28, N9, 1995, p.1321-1332.
3. Bolles R., Cain R.A., Recognizing and locating partiavisible objects: The local-fcature-focus method, Robot Vision A.Publ. Ed., 1984.
4. Liu H.C., Srinath M.D., Partial Shape Classification Using Contour Matching in Distance Transformer; IEEE Trans. Pattern Anal, and Mach. Intell, 12, N11, p.1072-1079.
5. Zahn C.T., Roskies R.S., Fourier descriptors for plane closed curves, IEEE Trans. Comput. C-21, March, 1972, p.269-281.
6. Pei S.C., Liov L.G., Automatic symmetry determination and normalization for rotationally symmetric 2D shapes and 3D solid objects, Pattern Recogn, 27, N9, 1994, p.l 193-1208.
УДК 007.001.362
Бутенков С.А.
Об одной модели для оптимального выделения наклонных краев изображений.
1 .Введение.
Задача выделения краев на полутоновых изображениях является одной из основных задач предварительной обработки изображений и подготовки к выделению контуров и распознаванию изображения.
Существует достаточно много подходов к решению этой задачи (хороший обзор ссылок приводится в [1]). Наиболее просто задача выделения краев (а также других областей изменения яркости) решается с помощью операторов пространственного дифференцирования [2]. Использование разностных схем увеличивает уровень шумов, содержащихся в исходном изображении, поэтому в методах данного класса применяется усреднение по площади (например, при использовании оператора Собеля). Однако, усреднение нарушает структуру исходного изображения, приводя к "размытию" краев [2].
Более корректное решение задачи выделения краев достигается с помощью оптимальных методов, использующих некоторые идеализированные модели краев изображений и осуществляющих оптимальную (обычно в смысле некоторых квадратичных критериев) фильтрацию шумов изображения. Основы методологии оптимального обнаружения были заложены Саппу [3]. В ряде последующих работ [4,5] предложены кусочно-непрерывные
модели краев, а также исследованы свойства идеализированных моделей краев изображений как участков нарушения непрерывности производных исследуемых функций яркости.
Следуя идеологии оптимального выделения краев изображений, разделим поставленную задачу на следующие подзадачи:
определение идеализированной модели края, соответствующей заданному изображению;
решение задачи оптимальной фильтрации шумов для выбранной модели края; поиск края по фильтрованным значениям функции яркости.
2.Основные положения метода.
При принятых предположениях подзадачи фильтрации шумов изображения и выделения Краев можно свести к понимаемой в широком смысле задаче оптимальной фильтрации [6], когда по данной векторной функции
У(Т) = /(í(T),ñ(T)) (1)
где 1(т) - полезный сигнал, а л (т) - шум, необходимо найти оптимальную в некотором смысле статистическую оценку оператора g(s) от полезного сигнала л(т) Здесь /и g- некоторые известные динамические операторы от функций J(t) и л(т) , определенные при всех значениях параметра t0 < Г < t (чаще всего параметру Т придается смысл времени). В дальнейшем можно рассматривать различные подходы к постановке задачи фильтрации - начиная с линейной оптимальной фильтрации по Винеру [6] до нелинейной [7J (в случае, когда допускаются произвольные преобразования над J(t) и л (т) ).
В рамках данной работы предлагается использовать параметрическое представление линий в виде векторных функций параметра Т, тогда s(t) определяет уравнение края Полутонового изображения, а п(т) - вектор помех, возникающих из-за несовершенства °птической системы, а также физических воздействий, искажающих изображение объекта (взвеси в атмосфере, неравномерности освещения и т.д.). Оператор g(s) в простейшем случае °пределяет возможные аффинные преобразования исходного изображения. Если &(•?) является оператором дифференцирования, то совместно с фильтрацией помех может решаться и задача выделения края.
В работе предлагается использовать теорию фильтрации Калмана-Бьюси, в основе Которой лежит представление сигнала J!(t) как "выхода" некоторой динамической системы.
входе системы при этом действует сигнал, являющийся решением линейного Дифференциального уравнения [7]. Преимуществом предлагаемой модели края является 6°зможность описывать с ее помощью широкий класс функций, в том числе и модели в виде депонент, предлагаемые в [3,4]. Модели подобного класса известны также как экзогенные Модели [8], используемые в технической кибернетике [9].
Перейдем к параметрическому представлению линии края на плоскости [10] в виде
(х = х(т)
^Равнений •{ . . , где величина t0 < Т < / трактуется как параметр, определяющий
[у = у(г)
Координаты текущей точки, принадлежащей линии края на плоскости изображения. Текущее Значение яркости изображения f(x,y) теперь можно считать функцией параметра Т f(x,y) = f(x(x),y(%)). Исследуем поведение f{x,y) в окрестности некоторой точки Т0, ^«Надлежащей краю изображения, для чего используем методику линеаризации уравнений Относительно малых отклонений от заданной точки, используемую в теории систем [11]. ^означим х0=х(т0) и Уо=У(Т0 ), а отклонения координат отд^и у0 как^, (т) и
^(т) соответственно. Тогда для функции яркости можно записать
/(КУ) =/^>+£. (*) ,УоН2 (Т) )
и
=/(^0^0 ^ а(*о. Л) § + Р(*0 ,Уо) £ + о(§ 4) •
(3)
Теперь мы можем перейти к построению дифференциальной модели наклонного края, считая что в достаточно малой окрестности точки края (4) представляет собой "выход" некоторой системы линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами относительно переменных £|(т) и£2 (т)
Здесь С|=0£, С2 = Р и р- параметры, у (т) и 1)(т) - случайные функции, моделирующие сигналы шумов. Ф(т) - некоторая неслучайная функция, моделирующая исходный перепад яркостей, например, функция Хевисайда [2].
Параметры линеаризованной модели зависят от выбора точки контура Т0, однако, обычно параметры объекта изменяются медленнее, чем переменные состояния. С учетом этого можно принять гипотезу квазистационарности [11], согласно которой процессы в модели разделяются на "быстрые" (изменение переменных состояния) и "медленные" изменение параметров модели. Тогда в достаточно малой окрестности текущей точки Т0 параметры
модели (5) можно считать постоянными.
Переход между участками постоянства параметров можно обнаруживать с помощью метода методов поиска "разладок" случайных последовательностей [12], например, метода дискриминантных функций [13].
В рамках поставленной в работе задачи необходимо для каждого участка решить задачу определения параметров модели (5), т.е. решить задачу параметрической идентификации модели. В широком смысле идентификация включает в себя также определение по "входу" и "выходу" объекта структуры его математической модели. Поскольку, как показано выше, параметры модели изменяются в зависимости от Т, для идентификации часто используются настраиваемые модели [7], параметры которых подстраиваются в процессе идентификации.
Полученные выше уравнения модели являются одномерными (т.к. величины Ф(т) и у(т) являются скалярными), следовательно, для идентификации можно применить метод пробного сигнала, использующий в качестве испытательного сигнала "достаточно богатую" гармониками функцию (например, функцию Хевисайда), что соответствует принятым выше предположениям о характере исходных изменений яркости объекта.
3.Результаты работы.
В настоящей работе в качестве исходного материала для идентификации модели использовались полутоновые изображения со значительными перепадами яркости (Рис. 1 и 4). Изменение величины у(т) исследовалось при различных положениях сканирующей строки
относительно координатных осей, что соответствует различным векторам с(Т0)
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4 Рис. 5
Рис. 2,3,5 изображают изменение функции яркости вдоль различных направлений в плоскости изображения. Здесь изменения уровня яркости соответствуют краям выделяемых на изображении контуров.
Эти данные служили исходным материалом для решения задачи параметрической Идентификации модели края изображения и определения характеристик случайных процессов, Моделирующих шумы изображения. В результате был разработан алгоритм выявления краевых Участков изображения и идентификации модели.
Ниже приведены полученные в результате моделирования кривые изменения выходной Величины модели для различных участков изображения (Рис. 6 и 7).
Рис. 6 Рис. 7
Графики получены в результате решения уравнений модели вида (S), параметры которой были получены в процессе идентификации, когда в качестве входного воздействия задавалась функция Хевисайда. Рис. 6 и 7 иллюстрируют поведение модели края при выборе различных (по модулю) собственных чисел модели (5). Варьируя собственные числа можно задавать желаемую скорость изменения яркости в области края, что улучшает условия для выделения контуров на изображении.
Полученные результаты открывают возможность построения оптимальных фильтров для различных видов задачи фильтрации (1), а также для построения адаптивных фильтров, решающих те же задачи.
Литература
1. D. Lee "Edge detection, classification and measurement".- in Proc. IEEE Comput. Soc. Conf. Computer Vision and Pattern Recognition, June, 1989, p.2.
2. P. Дуда, П. Харт "Распознавание образов и анализ сцен".- М.: Мир, 1976.
3. J. Саппу "Finding edges and lines in images".- MIT AI Lab., Tec. Rep. 720, 1983.
4. D. Lee "Coping with Discontiniuites in Computer Vision : Their Detection, Classification, and Measurement".- IEEE Trans. On Pat. Anal. And Mac. Int., vol. 12, No 4, April, 1990.
5. C.A. Попов, Г.И. Перетягин "Алгоритм сглаживания зашумленных изображений с сохранением резких перепадов двумерного сигнала".- Автометрия, 1996, №1.
6. A.V. BalaKrishnan "Kalman Filtering Theory".- Optimization Software, Inc., Publications Division, N.Y., 1981.
7. Ю.И. Неймарк, Н.Я. Коган, В.П. Савельев "Динамические модели теории управления".-М. Наука, 1985.
8. W. Wonham "Linear multivariable control a geometric approach" .- HardCover, Berlin, S.-V., 1985.
9. C.A. Бутенков, E.A. Бутенков, Б.Г. Долгопятов "В4§0ёуризованный фильтр",- а.с. СССР №1166275, кл. Н03-Н21/00, 1985 г.
10. А. Фокс, М. Пратт "Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве".-М. Мир, 1982.
11. С. Директор, Р. Роер "Введение в теорию систем",- М. :Мир, 1974.
12. Б.Е. Бродский, Б.С. Дарховский "Непараметрический метод обнаружения моментов переключения двух случайных последовательностей" .- Автоматика и телемеханика, 1989, №1.
13. Броневич А.Г Каркищенко А.Н. "Вероятностные и возможностные модели классификации случайных последовательностей".- Таганрог, изд. ТРТУ, 1996 г.
