CC BY
44
2. Ананьев Б.И., Куржанский А.Б., Шелементьев Г.С. Минимаксный синтез в задачах импульсного наведения и коррекции движения // Прикладная математика и механика. 1976. Т. 40. Вып. 1. С. 3-13.
3. Ананьев Б.И., Гредасова Н.В. Многократная коррекция движения линейно-квадратичной управляемой системы // Вестник УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2005. № 4 (56). С. 280-288.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана грантом РФФИ № 13-01-00120 и программой фундаментальных исследований Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при участии УрО РАН (проект 12-П-1-1019).
Ananyev B.I., Gredasova N.V. IMPULSIVE CORRECTION FOR CONTROLLED SYSTEM UNDER UNCERTAINTY
A problem of motion correction of a linearized controlled system is considered by means of impulse controls in the conditions of uncertainty about the phase state. With usage of methods of minimax estimation and control defining relations are received. The moment of passage from observation to control is synthesized. The examples are considered.
Key words: motion correction; impulse control; minimax estimation.
УДК 517.977
ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ В СИСТЕМЕ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ СО СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ФУНКЦИОНАЛОМ
© И.Ю. Андреева
Ключевые слова: линейно-квадратичная задача; импульсное управление; системы с последействием.
С помощью метода динамического программирования для линейно-квадратичной задачи с последействием с функционалом специального вида получены обобщенные уравнения Риккати, описывающие оптимальное управление данной задачи.
Пусть ф — вектор-функция размерности п, V — вектор-функция размерности т, А, АТ — непрерывные матрицы-функции размерности п х п, С — непрерывная п х п -матрица-функция, В — непрерывно дифференцируемая матрица-функция размерности п х т , Фо, Ф1, Ф2, Фз, Ф4 — непрерывные матрицы-функции размерности п х п , причем матрицы Фо, Ф2, Ф4 предполагаются симметричными.
Рассмотрим задачу минимизации функционала
J[<)]= y ('&)Ny(§) + J (y(t) + В(t)v(t)) $o{t){y{t) +
to
0
\T ''
+ B(t)v(t)) + (y(t) + B(t)v(t)) J Фг^,9)(у^ + 9) + В(t + 9)v(t + 9))d9+
— T
0
+ /(y(t + 9) + B(t + 9)v(t + 9))T(t, 9)d9 (y(t) + B(t)v(t)) +
$
2435
и
+ J (у(Ь + в) + В(Ь + в)ь(Ь + в))ТФ2(Ь, в)(у(Ь + в) + В(Ь + в)ь(Ь + в))йв+
— Т
и и
+11+ ^) + В^ + ^)У(^ + ®))тР)(У(Ь + р) + В(Ь + р)у(1 + р))йвйр+
(у (г - т) + в (г - т ^(г - т)) Ф4(г)(у(г - т) + в (г - т ^(и м, (1)
где N — неотрицательно определенная симметричная матрица с постоянными элементами вдоль траекторий системы дифференциальных уравнений
у(ь) = л(ь)у(ь) + Ат(ь)у(ь — т) + ! о(ь,в)у(ь + в)йв + (^А(ь)в(ь) — В(ь)^у(ь) +
—Т
и
+Ат(Ь)В(Ь — т)ь(Ь — т) + J С(Ь,в1)В(Ь + в1)ь(Ь + в1)йв1 (2)
—Т
с начальными условиями
у(Ь) = ф(Ь), у(Ь) = 0, Ьи — т ^ Ь ^ Ьи. (3)
Задачи такого типа возникают при решении вырожденных линейно-квадратичных задач в системах с импульсным управлением. Частный случай такой задачи был рассмотрен в [1].
Теорема 1. Пусть матрицы Р (Ь), Р4 (Ь,в), Р6(Ь,г), Р1(Ь,в1), Р5(Ь,р), Q(t,в), Р2(Ь,в,в1), Я(Ь,в,р) = Кт(Ь,р,в), Р3(Ь,в1,в2) = Р‘Тт (Ь,в2,в1) являются решением системы уравнений
йР(Ь) , ГЛ(± пЛ , глТп гЛ , Т}Ти\ ЛП\ , лТи\ъм , тз п гЛ , л.ЛЛ _ рТ/
+ Q(t, 0) + Q (Ь, 0) + Р (Ь)Л(Ь) + Л (Ь)Р(Ь) + РА(Ь, 0) + Фи(Ь) = Ри (Ь)Н(Ь)Ри(Ь),
( д д (ш — дв№(Ь’ °) + т’ 0’ в) + Р (Ь)°(Ь, °) + лт (ШЬ, в) + Фі(Ь, в) = РТ (Ь)Н (Ь)т, в),
( д д д \
\Ж — дв — др) ^(Ь'в) р) + ^Т(Ь' в')Q(t,р) + °(t, р + фз(Ь,в,р) =
( д д \
= Рі (Ь, в)Н (Ь)Рі(Ь, р), у— — ~дв~] Р1(Ь7 ві)+ Р2(Ь, 0, в1)+Л (Ь)Р1(Ь7 в1)+Р (Ь)С(Ь, в1)В (Ь + в1 ) + +Фі(Ь, ві)В(Ь + ві) = рТ(Ь)Н(Ь)Р2(Ь, ві),
( д д д \
\Ы — дв — дю[) Р*(Ь, в, ві) + О1, (Ь, в)0(Ь, ві)В (Ь + ві) + сТ (ь, в)Рі(Ь, ві)+ +Фз(Ь, в, ві)В(Ь + ві) = рТ(Ь, в)Н(Ь)Р2(Ь, ві),
( д д д \
\ді — дві — дв^у P'i(t, вl, в2) + ВТ(Ь + ві)^Т(t, вl)pl(t, в2) + +РТ(Ь, ві)С(Ь, в2)В(Ь + в2) + ВТ(Ь + ві)Фз(Ь, ві,в2)В(Ь + в2) = рТ(Ь, ві)Н(Ь)Р2(Ь, в2),
( д д \
('дЬ — ді)Р4(Ь,в) + ф2(Ь,в) = 0,
( д д \ ( д д \
— дір)Р5(ь,р) + Ф2(ь,р)В(Ь + р) = 0, (дъ — дї)Рб(ь, г) + ВТ(Ь + г)Ф2(ь, г)В(Ь + г) = 0
2436
и
при граничных условиях
Р(V) = М, О($, в) = Я($, в, р) = Рх($, вг) = = Р2(#,в,в{)= Рз(#,в1,в2)= Р4(#,з)= Р5(#,р)= Р6(#,т)=0, р(г)лт(г) в (г - т) = Рг(г, -т), вт(г - т)Ат(г)О(г,в) = р2[(г, в, -т), Ат(г)Р(г) = от (г, -т), А.т (г) О (г, в) + от (г,в)Ат (г) = кт (г,в, -т) + Е(г, -т, в), Ат (г)Рг(г, вг) = Р2(г, -т,вг), вт (г - т )Ат (г)Рг(г,вг) + Рт (г,вг)Ат (г) в (г - т) = Р. (г,вг, -т) + Р3(г, -т,вг), Ф4(г) = рА(г, -т), Ф4(г)в(г - т) = Р5(г, -т), вт(г - т)Ф4(г)в(г - т) = Р6(г, -т), где г< V , -т ^ в,вг,в2, р,р,т,в ^ 0 .
Пусть, далее, при г € [г0,$] выполнены следующие условия:
1) вт(г)Фо(г)в(г) + Рб(г, о^ =0;
2) матрица
( 1 Фо(г) Фг(г,в) \ V фт(г, в) Ф2(г,в) )
неотрицательно определена при в € [-т, 0];
3) матрица Ф3(г,в,р) имеет структуру
Фз(г,в,р) = ф з(г,в) ф з(г,р);
4) матрица Ф4 (г) неотрицательно определена.
Тогда оптимальное управление для задачи (1), (2), (3) имеет вид
о о
у(г) = Шо(г)у(г)+ [ Ш\(г,в)у(г + в) йв + [ Ш2(г,в\)у(г + вг) йвг,
где
Wo(t) = -H-i(t) Pi(t, 0) + BT(t)P(t) + P5(t, 0) + BT№o(t)
Wi(t, в) = -H-i(t) BT(t)Q(t, в) + PT(t, в, 0) + BT(t^i(t, в)
W2(t, в() = -H-1(t) B (t)Pi(t, вг) + Pi (t, в1,0) + BT (t^i(t, ei)B(t + вг) H(t) = (BTma(t)B(t) + P6(t, 0)) ,
Bi(t) = A(t)B(t) - B(t),
ЛИТЕРАТУРА
1. Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Вырожденная линейно-квадратичная задача оптимизации с запаздыванием по времени // АиТ. 1997. №. 7. № 5. С. 43-54.
Andreeva I.Y. LINEAR-QUADRATIC OPTIMIZATION PROBLEM IN SYSTEMS WITH DELAY FOR FUNCTIONALS OF SPECIAL FORM
For the linear-quadratic problem with time-delay and with features of a special form the generalized Riccati equation describing the optimal control of this problem are received.
Key words: linear-quadratic problem; impulse control; time-delay system.
2437
УДК 608.2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОИМОСТИ ЖИЗНЕННОГО ЦИКЛА АВИАЦИОННОГО ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ
© М.Р. Асадуллин, П.М. Симонов
Ключевые слова: жизненный цикл авиационного двигателя; математическая модель стоимости опытно-конструкторских работ.
В статье рассмотрено определение информационной модели жизненного цикла авиационного двигателя. Построена математическая модель стоимости опытноконструкторских работ. Показана практическая значимость работы и перспективы развития исследования.
Общепризнанным атрибутом высокоразвитого, независимого государства в наше время является способность создания и производства изделий авиационной техники.
Газотурбинные двигатели (ГТД) — весьма распространенный тип силовой установки, применяемый на транспорте и в энергетике. Современный авиационный ГТД является наукоемким высокотехнологичным продуктом, аналогов которому по уровню напряжений и тепловому состоянию деталей нет среди других изделий машиностроения.
Основными служебными свойствами такого наукоемкого объекта, как авиационный двигатель, являются: конструкционная прочность, ресурс, живучесть, безопасность, экономичность, которые предопределяются совокупностью взаимосвязанных процессов последовательного изменения его состояния от начала разработки — проектирования и до окончания его эксплуатации — утилизации, т. е. жизненным циклом изделия (ЖЦИ) [1].
Информационную модель взаимодействия этапов жизненного цикла авиационного двигателя и их влияние на показатели его качества можно представить в виде двух геометрических спиралей, эквидистантно расположенных относительно друг друга, где внешняя спираль отражает взаимодействия основных этапов ЖЦИ, а внутренняя — охватывает показатели качества [2].
Внешняя геометрическая спираль начинается с маркетинга рынка, экономических исследований и последующих этапов: проектирования, технологической подготовки производства, производства, контроля, испытаний, поставки заказчику, — это первый виток ЖЦИ.
При этом формируется высокий уровень показателей качества. Информационное поле показателей качества расположено во внутреннем контуре первого витка геометрической спирали показателей качества. Второй виток внешней геометрической спирали взаимодействия основных этапов ЖЦИ включает: эксплуатацию, техническое обслуживание, восстановительный ремонт, хранение и утилизацию.
В условиях отсутствия научного подхода к анализу стоимости жизненного цикла авиадвигателя авторами ставится задача построения математической модели зависимости стоимости жизненного цикла от основных параметров авиационного газотурбинного двигателя.
В качестве критерия оптимальности модели было решено использовать квадратичный критерий, определяемый как сумма квадратов отклонений между реальным и модельным значениями целевой функции:
т
С = Е(УГ - утой,р) , р=г
2438
