Об одной кубатурной формуле для периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

13. Lothaire М. Algebraic combinatorics on words. Camdridge: Cambridge University Press, 2002.

14. Vuillon L. A characterization of Sturmian words by return words // Eur. J. Comb. 2001. 22, N 2. 263-275.

15. Мищенко С.П., Верёвкин А.Б. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры // Чебышёвский сборник. 2016. 17, № 2(58). 21-55.

16. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.

Поступила в редакцию 01.03.2017

УДК 511.3

ОБ ОДНОЙ КУБАТУРНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В. Н. Чубариков1, М. Л. Шарапова2

Найдены новые многомерные кубатурные формулы для периодических функций, использующие китайскую теорему об остатках. Это позволило учесть "равноправность" всех переменных и "равномерность" распределения точек для формул численного интегрирования.

Ключевые слова: кубатурные формулы, китайская теорема об остатках, ряды Фурье.

New many-dimensional cubature formulas are obtained for periodic functions with the use of the Chinese remainder theorem. This allows us to take into account the "equality" of all variables and the "uniformness" of distribution of nodes in numerical integration formulas.

Key words: cubature formulas, Chinese remainder theorem, Fourier series.

1. Введение. Пусть x = (xi,..., xn) € Rra, m = (mi,..., mn) € Zra, (m, x) = т\Х\ + ... + mnxn, /(x) — функция, имеющая периоды по всем переменным х\,... ,хп, равные единице, и пусть /(х) разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье вида

оо оо

Дх)= Е ••• Е с(т)е2-^),

mi =—оо тп =—оо

где

1 1

с(т) = /•••/ /(х)е"2^(й1'я) dx 1... dxn. о о

Заметим, что

1 1

с(0) =/(/) = J ... J f(xi,... ,хп) dxi... dxn.

о о

Пусть, далее, натуральное число N представляется в виде N = N\... Nn, где N\,..., Nn х Nl/n, (Ns,Nt) = 1 при s ф t, 1 ^ s,t ^ п. Найдем, наконец, для Ms, определяемого условием MSNS = N, вычеты M* из сравнения MSM* = 1 (modiVs), 1 ^ s ^ п (см. китайскую теорему об остатках).

Определим класс Е^ = Е%(С) периодических по каждой переменной с периодом 1 функций вида

/(х) = ^с(т)ехр2тп(т,х),

т

1 Чубариков Владимир Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su, chubarik2009Qlive.ru.

2Шарапова Марина Леонидовна — ст. иреп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: msharapovaQlist .ru.

причем коэффициенты Фурье удовлетворяют условиям

С

|с(т)| <

(т!... тп)с

где а > 1 и С > 0 — абсолютные постоянные, т = тах{1, \ т\}. Рассмотрим кубатурную формулу вида

с 1 ^ {М^Ь М*1п

^ = К Е ••• Е

¿1=0 1„=о

и пусть ДлК/) = — обозначает погрешность формулы ¿>лг(/) при замене интеграла /(/).

Ранее в [1] нами доказаны следующие теоремы.

1) Пусть ряд Фурье функции /(х) сходится абсолют,но. Тогда величина -ЙлК/) стремится к нулю при N —> оо.

2) Пусть / € а > 1. Тогда для, погрешности кубат,урной формулы имеем, оценку

Кми) <

а — 1

Пусть теперь кубатурная формула имеет вид

■-•«(/) = ^ е' ... Е

к=-м 1+1 г„=-мп+1 41 п 7

и пусть = /(/) — 5дг(/) обозначает погрешность кубатурной формулы 5дг(/) для интеграла

/(/). Отсюда находим

г1=_^1+1 г„=-^„+1 4 41 га 7 7

при условии, что

N1-1 N„-1

N

1 Е ••• Е = 1, = (2)

11 = -Л?1 + 1 1„ = -М„+1

Таким образом,

оо оо

яш) = й Е ••• Е сМх

т.1 =—оо тп =—оо |т,1|+...+|т,п|5г1

^ ^ п„ 0 , М*тп1п\ х Е ••• Е ... ,1п) ехр 2т ( ^-+ ... + —^-1. (3)

Отметим, что переменные Ж1,..., хп являются "равноправными". Обеспечение этого требования в ку-батурных формулах производится за счет специального выбора числа узлов N в виде N = N1... где*ЛГ1,..., ЛГга - Лг1/га, = 1, з ^ г, 1 ^ ^ п. Наборы чисел Мь ..., Мп и М{,..., М*

определяются из соотношений

ЛГвМв = ЛГ, = 1 (тоёЛд, 8 = 1,...,п.

Наконец, используя китайскую теорему об остатках, находим, что если переменные к3, 1 ^ 8 ^ п, пробегают независимо полные системы вычетов по модулям соответственно, то

I = М1МЦ1 + • • • + МпМ*1п (тосШ)

пробегает полную систему вычетов по модулю N.

Данное утверждение указывает на "близость" кубатурной формулы с узлами интегрирования

М*11

м*л

Пьп

с квадратурной формулой, отвечающей узлам интегрирования ¿/-/V, 0 ^ I ^ N — 1. Более того, китайская теорема об остатках при выбранном специальном числе N узлов интегрирования также обеспечивает "равномерность" распределения этих узлов в многомерном пространстве.

Отметим также отличие предлагаемой квадратуры от аналогичных, рассмотренных в [2-7] формул, состоящее в том, что в нашем случае требуется только выбор специальных чисел -/V, где N — число узлов квадратуры.

В настоящей работе мы используем идеи и методы работ [1-13; 14, гл. III].

2. Основной результат. Из соотношений (1)-(3) получим следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть при а > 1 функция /(х) € Тогда имеем

С

ъи) 1 = й Е - Е

1

N ' "" ' (т1...тп)с

т\=—оо т„ =—оо 4 '

|«11 | + --- + |«1п

N1-1 N„-1 ,

£ ... £ ад>...Л)ехр2тг<(^1

¿1 = -Л^1 + 1 ¡„=-N„+1 ^ 1

+ ...+

М*тп1п

В качестве примера далее рассмотрим кубатурную формулу вида

N1-1 / ,, ,х N„-1

<*</> = * Е (1-^)- Е (1-Е1)/

N

к=-м 1+1

Ё

¡« = -N„ + 1

11г,

м*1п

и пусть -йдг(/) = /(/) — ¿>дг(/) обозначает погрешность кубатурной формулы для интеграла

/(/). При целом ТУ ^ 1 и вещественном 0 < 5 < 1 имеем (см., например, [5, с. 873]) следующее равенство:

N-1

^ (ЛГ-Ш)е

2ттИ&

М-1 N-1

Е Ее

2ттй&

М-1 к

ЕЕ<

,2ттгг<5

1

N-1

Е - -,4 с- /8т("7гЛ^)

81п(2А; + 1)тг5 = Л к_0 V 81п(7Г<5)

и при 5 = 0 находим

N-1

Е

В результате получим равенство

К(Л =

ДГ2

N-1 N—1 N-1 к

Е Е1 = ЕЕ1 = «2

1=-М+1к=\1\ к=0 1=-к

Е ■■■ Е 4®>Ш Е

т\=—оо тп=—оо |т,1|+...+|т,п|5г1

8=1 чгв=-^в+1

Отсюда приходим к следующиму утверждению.

Теорема 2. Пусть при а > 1 функция /(х) € Е^(С). Тогда имеем

1

= ^ Е ••• Е

1

дт2 • • • /т _ _ _ тп)с

т\=—оо тп=—оо 4 '

|т,1|+...+|т,п|5г1

га ,

п( Е

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00-071.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чубариков В.Н., Шарапова М.Л. Об аналоге квадратуры Гаусса для периодических функций // Вестн. кибернетики. 2017. 28, № 2. 60-65.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987.

4. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: МНИМО. 2004.

5. Hua L.-K. Selected Papers. N.Y.: Springer-Verlag, 1983.

6. Wang Y. Selected Papers. Bejing, 1999.

7. Воронин С.M. Избранные труды. M.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.

8. Архипов Г.И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орлов, гос. ун-та, 2013.

9. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometrie sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics. Vol. 39. Berlin; N.Y., 2004.

10. Чубариков В.H. Показатель сходимости среднего значения полных рациональных арифметических сумм // Чебышёвский сборник. 2015. 16, № 4(56). 303-318.

11. Чубариков В.Н. Арифметические суммы от значений полинома // Докл. РАН. 2016. 466, № 2. 152-153.

12. Чубариков В.Н. Полные рациональные арифметические суммы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 1. 60-61.

13. Виноградов Н.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1980.

14. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостехиздат, 1950.

Поступила в редакцию 13.03.2017

УДК 532.6

ОБ УТОЧНЕНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ НЕМАТИЧЕСКОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА В ОДНОКОНСТАНТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

А. Г. Калугин1

Рассматриваются краевые условия в модели слабого сцепления вектора ориентации с ограничивающей средой для нематического жидкого кристалла в случае общего положения и для одноконстантного приближения энергии Франка упругих искажений поля директора. Показано, что применение одноконстантного приближения является корректным только в одномерном случае, а для двух- и трехмерных задач оно существенным образом упрощает граничные условия и меняет тип краевой задачи.

Ключевые слова: нематические жидкие кристаллы, граничные условия, одноконстант-ное приближение.

The boundary conditions are studied for a nematic liquid crystal in the case of weak anchoring. The cases of the general expression and one-constant approximation are considered for the Frank energy. It is shown that the one-constant approximation is correct for one-dimensional problems only and, for two- and three-dimensional problems, this model significantly simplifies the boundary conditions and changes their type.

Key words: nematic liquid crystals, boundary conditions, one-constant approximation.

1. Нематический жидкий кристалл (НЖК) — среда, молекулы или структурные единицы которой, как правило, имеют сильновытянутую форму и в жидкокристаллическом состоянии их длинные оси в частице сплошной среды располагаются в среднем в одном направлении. Это направление описывается единичным вектором |п| = 1 [1]. С учетом свойств симметрии нематика [2] и гипотезы об эквивалентности направлений п и —n [1, 2] в разложении внутренней энергии Франка упругих

1 Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kalugïnQmech. math, msu.su.