Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения высокого порядка в многосвязной области на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 3, С. 51-58

УДК 517.9

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В МНОГОСВЯЗНОЙ ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ1

А. П. Солдатов

Профессору А. Б. Шаботу в связи с его 80-летием

Для эллиптического уравнения 21 порядка, старшие коэффициенты которого постоянны, в многосвязной области с гладкой границней на плоскости рассмотрена краевая задача с нормальными производными (kj — 1)- порядка, j = 1,..., l, где 1 < ki < ... < kl < 21. При kj = j она переходит в задачу Дирихле, а при kj = j + 1 — в задачу Неймана. В работе даны достаточное условие фредгольмовости этой задачи и формула индекса.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, краевая задача, нормальные производные, многосвязная область, гладкий контур, фредгольмовость, формула индекса.

Рассмотрим в области О на плоскости, ограниченной гладким контуром Г, для эллиптического уравнения 21 порядка

Т.агдх21-гд г + Е агк{-Х)дхк~гдуг =Р

г=0 у 0<т<к<21-1 у

с постоянными старшими коэффициентами аг £ Ж и младшими коэффициентами агк £ краевую задачу

в*~1" =л. ¡^.■■■л, (Ч

г

дикз 1

где п = П1 + Ш2 означает единичную внешнюю нормаль и натуральные ку подчинены условию 1 ^ к1 < ... < к ^ 21. Как обычно, под нормальной производной (д/дп)г порядка г понимается здесь граничный оператор

д д дх1 дх2

Аналогичный смысл имеет и граничный оператор (д/де)г по отношению к единичному касательному вектору е = е1 + 1е2 = 1(п1 + т2).

При ку = ] имеем задачу Дирихле, а в случае ку = ] + 11 ^ ] ^ I, эту задачу естественно назвать задачей Неймана, она была изучена А. В. Бицадзе [1] для полигармонического уравнения. Для однородного уравнения (1) без младших коэффициентов задача (2) была рассмотрена в [2]. Общий случай задачи (1), (2) в классе функций

_ ^ <11 _

и е С2\П) п е (3)

г=0 У

© 2017 Солдатов А. П.

i

был исследован в [3]. В этой работе задача (2) была редуцирована к эквивалентной системе интегральных уравнений в классе С^(Г) х причем уравнения по контуру

были сингулярными. Заметим, что пространство (3) зависит от старших коэффициентов уравнения (1).

В настоящей работе эти результаты распространим на случай обычного пространства С21'^(0). В этом случае система интегральных уравнений, о которых шла речь выше, должна рассматриваться в пространстве С1'^(Г) х С^(О), и ее исследование требует отдельного подхода. Ниже все обозначения [3] сохраняются без изменений.

В дальнейшем предполагается, что Г принадлежит классу СВ случае I = 1 это условие несколько усилим, потребовав Г £ С с некоторым е > 0. Удобно в этой связи под С 1>^+° понимать объединение классов С 1>^+е по всем е > 0. В частности, Г принадлежит этому классу для всех значений ¿. Таким образом, функции щ, П2 и, значит, коэффициенты граничных дифференциальных операторов (2) принадлежат классу С2г_1'^(Г). Решение уравнения (1) ищется в классе соответственно его пра-

вая часть должна принадлежать а функции fj в краевом условии (2) — классу

С 21-к+1>М(Г).

Пусть V*, 1 ^ к ^ то, — все различные корни характеристического уравнения ао + а^ + ... + а21 = 0 в верхней полуплоскости и — кратность к-го корня, так что = ¿. С этими корнями свяжем матрицу В £ £.21х1 следующего специального вида.

Если некоторый п-вектор = (#1(2),... , дп(я)) аналитичен в окрестности точек V!,..., ит, то, исходя из разбиения I = ¿1 + ... + ¿т, можем ввести блочную п х /-матрицу Шд..., = (Шд..., Шд(ит)), где матрица Шд(^) £ £пх1к составлена из векторов-столбцов

Применяя это обозначение к 21-столбцу Д(^) = (1,2,... 21-1), определим теперь 21 х I-матрицу В равенством В = Шь^,..., vто).

Заметим, что квадратная матрица В, составленная из В и В, обратима. Если ¿ х 21-матрицу, образованную строками обратной матрицы В-1, обозначить через В1, то вторые ее ¿-строк образуют комплексно сопряженную матрицу. Поэтому В и В1 связаны соотношением 2Яе ВВ1 = 1, где здесь и ниже 1 означает единичную матрицу (или единичный оператор).

С краевыми условиями (2) свяжем I х 21-матрицу С = (Cjk) £ С^(Г), элементы которой определяются из соотношений

21

^С^ (Ф*-1 = Ы^) + в2 (Ф] ^^ - в2ф + в1 (Ф] к-1, 1 < 3 < ¿, (4) к=1

где е = в1 + гв2 = г(п1 + ¿П2) — единичный касательный вектор к контуру Г. Заметим, что его направление оставляет область О слева.

Сформулируем аналог основной теоремы из [3] применительно к пространству С21'^(0). Некоторое отличие состоит только в том, что контур Г в рассматриваемом случае не предполагается простым.

Теорема 1. Пусть контур Г, ограничивающий область О, принадлежит классу (классу С2>^+° при I = 1) и состоит из простых контуров Го, Г1,..., Гп где Го охватывает все остальные контуры.

Тогда в предположении

ёе^С(г)В] =0, г £ Г, (5)

задача (1), (2) фредгольмова в пространстве С21'^(0) и ее индекс х дается формулой

--[а,щ&е1(СВ)]\г + 1(21-п), (6)

п 11

где приращение на контуре берется в положительном направлении (т. е. в направлении, оставляющем область слева) и п есть число связных компонент контура Г.

Заметим, что в случае простого контура (п = 0) эта теорема согласуется с теоремой 1 из [5], полученной по отношению к пространству (3).

< Как и в [3] в принятых предположениях гладкости относительно Г порядки граничных интегральных операторов в (2) можно выровнять (с сохранением эквивалентности задачи).

Условимся для функции р £ С 1(Г) под р' понимать производную по параметру длины дуги, отсчитываемой в положительном направлении по отношению к О (т. е. в направлении, оставляющем область О слева). Тогда, очевидно, имеем равенство

здесь и ниже символ " + " указывает на граничное значение функции. К сожалению, операция дифференцирования р ^ р' не является обратимой С 1(Г) ^ С (Г). Однако как показано в [3], этим свойством обладает операция

р^р' + J </?(£) сМ,

г

где 5(Г) означает длину контура Г и есть элемент длины дуги. Заметим, что г-ая итерация этой операции действует аналогичным образом:

г

В соответствии с этим (2) можно заменить эквивалентным краевым условием

1

Ж)

Ш) " = + (7,

г г

Аналогично [3] доказывается, что для и £ С21'^(0) и 2 ^ kj ^ 21 — 1 справедливо равенство

_1 \ (21—к*)

дпк*

д \ 21—/ д \ к—1

де) \дп

и+ V ь (дк+'и

г \дхкду

г„. \ +

с некоторыми Ькг £ Ск*—^(Г), которое при А^ =1 следует заменить на

(и+ )(21—1) =

д 21

1

и

де21—1

/ дк+ги \ + г + Е Ца?^) •

Во всех случаях краевое условие (7) можно записать в форме

0 \ 2l-kj de

d_

dn

u

+ ^ bkr

/ gk+r

u

\dxk dyr

+

+

1

s(r) J dnk г

= (8)

где суммирование ведется по 1 ^ k + r ^ 21 — 2, коэффициенты bkr G C^(Г) и

1

f0 = f (2l-kj) fj fj

+

s(r)

fj (t) dit, kj < 21.

При 3 = ^ и кг = 21 ее следует заменить на /° = / Во всех случаях вектор-функция /0 £ С 1'^(Г).

Введем блочно-диагональную I х ¿-матрицу J, составленную из клеток Жордана:

( V* 1 0 ... 0 \

J = diag(Ji,...,Jm), Jk =

0 Vk 1 . .0

0 0 0 . . 1

V 0 0 0 . . Vk

£ Cl

С этой матрицей в дальнейшем связана операция, которая комплексному числу 2 = ж+гу ставит в соответствие I х ¿-матрицу = ж + где ж означает скалярную матрицу. В явном виде = diag(zJ1,..., ), где

/ж + V* у у 0 ... 0 0 ж + ^у у ... 0

zJk

\

\

У

х + Vk У /

Обозначим еще через P2^ 2 класс всех многочленов p(x, y) степени не выше 21 — 2, его

размерность, очевидно, дается равенством dimP2i-2 = 1(21 — 1).

Совершенно аналогично [3] краевая задача (1), (8) редуцируется к эквивалентной задаче для эллиптической системы первого порядка

^-J^ + mV + MW1,

dy дх

(9)

2Ке[(СВ)ф+] + М0 ф + М °р = / °, (10)

где оператор М1 ограничен в оператор М° компактен в С1'^(Г), а линейные

операторы М1 и М° действуют соответственно из Р21-2 ~~^ и Р21-2 ~~^

(точное выражение всех этих операторов для дальнейшего несущественно).

Что касается комплексной ¿-вектор-функции то она принадлежит и опре-

деляется равенством /1 = (В121,..., В1- 21, В12^), где В.^ представляют собой элементы последнего столбца ¿ х В1, введенной выше. Напомним, что вещественная ¿-вектор-функция /0 £ С 1'^(Г).

Как и в [3] введем интегральные операторы по области:

1

(Ilip)(z) = - f(t- *)jV(i) d2t, zgD, пг J

D

{Slv){z) = — f(t- z)j2(p{t) d2t, zgD, пг J

D

kj -1

где d21 означает элемент площади. Последний интеграл здесь сингулярный и понимается в соответствующем смысле. Необходимое условие существования этого интеграла:

е-2 ^ = 0,

т

где Т означает единичную окружность, легко проверяется. Отметим, что в силу четности

функции е -2 выполняется и условие

е-2 d1е = о, (11)

т+

где Т+ означает любую полуокружность.

Как показано в [4], для ср £ 0^(0) функция 11<р непрерывно дифференцируема в области В и справедливы формулы

(12,

с некоторыми матрицами а к £ С1х1, связанными соотнош ением а 2 = Зо\. В частности,

<13>

В силу (11) к сингулярному интегральному оператору Б1 можно применить теорему 3.5.1 из [5], согласно которой этот оператор ограничен в С^(В). С учетом (12) отсюда следует, что оператор I1 ограничен С11 (В) —» С1'11 (И). Введем далее интегральные операторы по контуру

1

= ¿т /(* - г е В

где по отношению к точке t = ¿1 + ¿¿2 на крив ой dt, означает комплексный матричный дифференциал dtl 1 + dt2J и конт ур Г ориентирован положительно по от ношению к В, и сингулярный оператор

1 Л. -

= - /(* - ¿о)71 ¿0 е Г.

Последний интеграл здесь понимается в смысле главного значения по Коши.

По терминологии [6] функция ф = 10ф является /-аналитичной в области В, т. е. удовлетворяет уравнению

ду ^дх ^^

Эта система при / = % переходит в классическую систему Коши — Римана. Как показано в [6], все основные факты теории аналитических функций, связанные с интегральной формулой Коши, распространяются и на решения системы (14).

Очевидно, в случае скалярной матрицы / = ¿оператор Б0 переходит в классический сингулярный оператор Коши, который обозначим через Б. Как показано в [7], разность

5° — Б является оператором, компактным в СВ [7] также установлено, что в предположении (4) основные результаты классической теории сингулярных операторов [8] распространяются и на оператор

№ф = Яе [СВ(^ + 5°V»)], (15)

действующий в пространстве вещественных /-вектор-функций V £ С^(Г). Здесь учтено, что в силу принятых предположение относительно гладкости контура Г матрица-функция С(г) в определении (4) принадлежит классу С 1'^+°(Г).

Таким образом, этот оператор фредгольмов и его индекс дается формулой

(16)

При этом любое решение р £ С^(Г) уравнения Яе[СВ(V + Б°V)] = / с правой частью / £ С ^(Г) принадлеж ит С ^(Г).

Согласно [5] оператор 1° ограничен С1'^(Г) —» и справедлива формула Со-

хоцкого — Племеля

2(1° = V + 5° V- (17)

Утверждается, что любая функция ф £ С1'11 (И) единственным образом представима в виде

ф = IV + 1°р° + £ £ Ж1 (18)

с некоторыми комплексной /-вектор-функцией р1 £ и вещественной функцией

р° £ С^(Г), удовлетворяющей условиям

/ р(г) г = 0, 1 ^ з < п. (19)

В самом деле, положим

^ ^ду ^дх)

и пусть ф° = ф — 11^>1. Тогда в силу (13) функция ф° является /-аналитической в области В, т. е. удовлетворяет уравнению (14), и принадлежит классу С1'11 (И). Поэтому дело сводится к представлению

ф° = IV + £ £ Ж1,

с условиями (19) на вещественную плотность р.

В случае пространств С^ это предложение установлено в [9] (см. также [10]). Таким образом, функция р° является решением уравнения Ие(^ + 5°^) = / с правой частью / = Яе ф°, которая то условию принадлежит классу С^(Г). Как отмечено выше, в этом случае его решение р° также принадлежит С^(Г).

Пользуясь представлением (18) и формулой Сохоцкого — Племеля (17), задачу (9), (10) можем эквивалентным образом редуцировать к системе относительно набора (р1,р° £), которая определяется уравнениями

р1 + М1 (IV + 1°р° + г£) + М 1р = /1,

2Яе [СВ(11р1)+ + г£] + ЯеСВ (р° + Б°р°) + М° (11 р1 + 1°р° + ) + М°р = /

г

подчиненной условиям (19). Введем для краткости пространство X = P2i-2 х которое согласно (8) имеет размерность

dimX = l(2l - 1) + l = 2l2, (20)

операторы

N11 = p1 + M 1I V, N10 = M1I0,

N01p1 =2 Re [CB (IV)+] + M0I1p1, (21)

N00 p0 = Re [CB(p0 + S0p)] + M0I0p0,

и, наконец, операторы

T1 (p, Z) = M1p + I0(¿0, T0(p, Z) = M0p - 2 Im(B)Z + M0(iZ). Тогда предыдущую систему можем записать в краткой форме

N (p1 ,p0) + T(p, Z) = (/ 1,f0) (22)

с операторными матрицами

N = ( N11 N10 N T = ( T1 N = N01 N00 , T = T0

Согласно (20) пространство С>Л{В) xC'^f) xX является расширением пространства С11 (В) х C1'it(r) на 212 измерений, поэтому на основании известных свойств фредголь-

( N, T) N

связаны соотношением

ind(N, T) = ind N + 2l2. (23)

С другой стороны, условие (19) выделяет в пространстве C^(Г) замкнутое подпространство коразмерности ln, поэтому из тех же соображений индекс к системы (22),

N

к = ind(N, T) - ln. (24)

Рассмотрим подробнее операторы (21). Условимся писать N1 — N2, если разность N1 - N2

M0

компактен в C^(Г), в обозначениях (15) можем написать

N11 - 1, N10 - 0, N00 - N0

(

10

N0'1 N

N - M = Д70.1 -0 • (25)

Как отмечено выше, оператор N0 фредгольмов и его индекс дается формулой (16). В частности, существует его регуляризатор, т. е. ограниченный в Соператор К со свойством К0N0 ~ N 0К0 ~ 1. Непосредственно проверяется, что оператор

R =1 1 0

R = • -R0N0'1 R0

служит регуляризатором к оператору М и, следовательно, оператор M фредгольмов. Но тогда на основании (25) N — фредгольмов оператор, а вместе с ним и исходная задача (1), (2).

Пусть М(t), 0 ^ t ^ 1, получается заменой N01 на tN01 в определении (25) оператора М. Те же соображения показывают, что оператор М(t) также фредгольмов.

tt ind М = ind М(0) = ind NВ силу (25) ind N = ind N0, что вместе с (16) и (23), (24) завершает доказательство формулы индекса (6) и теоремы. >

Литература

1. Бицадзе А. В. К задаче Неймана для гармонических функций // Докл. АН СССР.—1990.—Т. 311, № 1.—С. 11-13.

2. Малахова Н. А., Солдатов А. П. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения высокого порядка // Диф. уравнения.—2008.—Т. 44, № 8.—С. 1077-1083.

3. Кошанов В., Солдатов А. П. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения на плоскости // Диф. уравнения.—2016.—Т. 52, № 12.—С. 1666-1681.

4. Ващенко О. В., Солдатов А. П. Интегральное представление решений обобщенной системы Бель-трами // Науч. ведомости Белгород, гос. ун-та. Сер. Информатика и прикладная математика.— 2006.—Вып. 6, № 1 (21).-С. 3-6.

5. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи // Современная математика фундаментальные направления.—2016.—Т. 63.—С. 1-179.

6. Soldatov А. P. Hyperanalytic functions and their applications // J. Math. Sei.—2004.—Vol. 17.—P. 1111.

7. Абаполова E. А., Солдатов А. П. К теории сингулярных интегральных уравнений на гладком контуре // Науч. ведомости Белгород, гос. ун-та.—2010.—Т. 5(76), вып. 18.—С. 6-20.

8. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.—М.: Наука, 1968.—512 с.

9. Солдатов А. П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай // Изв. АН СССР. Сер. Математика.-1991.-Т. 55, № 5.-С. 1070-1100.

10. Солдатов А. П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису // Современная математика и ее приложения.—2010.—№ 67.—С. 99-102.

11. Пале Р. Семинар по теореме Атьи — Зингера об индексе.—М.: Мир, 1970.

Статья поступила 6 июля 2017 г.

Солдатов Александр Павлович Белгородский государственный национальный исследовательский университет, заведующий кафедрой математического анализа Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85 E-mail: soldatov®bsu.edu.ru, soldatov480gmail.com

A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR HIGHER ORDER ELLIPTIC EQUATIONS IN MANY CONNECTED DOMAIN ON THE PLANE

Soldatov A. P.

For the elliptic equation of 2ith order with constant (and leading) coefficients boundary value a problem with normal derivatives of the (kj — 1)-order, j = 1,..., I considered. Here 1 < ki < ... < k; < 21. When kj = j it moves to the Dirichlet problem, and when kj = j + 1 it corresponds to the Neumann problem. The sufficient condition of the Fredholm problem and index formula are given.

Key words: elliptic equation, boundary value problem, normal derivatives, many connected domain, smooth contour, Fredholm property, index formula.