Об одной кодовой криптосистеме на основе кода Варшамова Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Решетневские чтения

A. A. Lyuchev, A. M. Igoshin Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

INFORMATION PROTECTION SYSTEM RESEARCH FOR DATABASE TRANSFERRING TO AIRCRAFT ONBOARD VIA VHF AND HF DATA LINK

A problem of information protection at updating of onboard databases of the aircraft via VHF and HF data links, from earth to aircraft, between planes is considered. The analysis of optimal solution of the put problematic, by matching, an estimation ofprofitability and reliability of system is performed.

© ^MneB A. A., HromHH A. M., 2009

УДК 519.72 (075.8)

В. О. Осипян, В. В. Подколзин, А. А. Арджанов Кубанский государственный университет, Россия, Краснодар

ОБ ОДНОЙ КОДОВОЙ КРИПТОСИСТЕМЕ НА ОСНОВЕ КОДА ВАРШАМОВА

Предлагается математическая модель кодовой криптосистемы на основе кодов Варшамова, включающая в себя проблему безопасной передачи информации. Предпринято исследование кодовой конструкции Варшамова и нестандартной системы защиты информации рюкзачного типа в их взаимосвязи.

Основные методы повышения надежности цифровых устройств систем связи, с одной стороны, сводятся к разработке новых методов введения избыточности при кодировании информации, позволяющей синтезировать устройства, в которых с высокой вероятностью автоматически обнаруживаются возникающие канальные ошибки при передаче информации. Исправление этих ошибок производится также автоматически аппаратными и программными средствами. С другой стороны, необходимо разрабатывать методы, средства и мероприятия, предназначенные для предупреждения искажения, уничтожения или несанкционированного использования передаваемой и защищаемой информации.

В настоящее время обеспечение указанных атрибутов систем цифровой связи является важным и необходимым условием при безопасной передаче информации. Поскольку обе эти задачи - передача информации и ее защита - составляющие одной общей проблемы - проблемы ее безопасности, их можно объединить на основе одной математической модели и исследовать эту проблему в целом.

Здесь сделана попытка решить эту проблему на основе математической модели, построенной с помощью следующего сравнения:

К, Р = 2 Р, а,. ° а (mod т),

,=1

где Р, - члены заданной числовой последовательности, а, - могут принимать значения из различных числовых множеств. В частности, совокуп-

ность всех бинарных решений сравнения при Р, = I, т = 2п, а > 0 задает код Варшамова, исправляющий канальные одиночные вставки, выпадения и симметричные ошибки. В то же время, если в качестве Р взять рюкзачный вектор, а а - как спектр некоторого элемента открытого текста, то мы параллельно имеем еще рюкзачную систему защиты информации.

Предпринято параллельное исследование кодовой конструкции Варшамова и нестандартной системы защиты информации рюкзачного типа в их взаимосвязи. Прежде чем перейти к непосредственному моделированию кодовой криптосистемы на основе кода Варшамова, напомним определение этого кода.

Пусть В = { 0, 1, . . . , р - 1 } - алфавит канала передачи информации, а - произвольное целое число, п - длина кодового слова:

Х> Х> 1 Х2 ... Хп, ^Е .

Множество Кп всех слов х = Х] х2 ... хп для которых выполняется сравнение

п

К = 2 а (mod(n +1)),

м

образует код Варшамова, т. е.

п

Кп = {х! х2 ... хп | К = 2а(mod(n +1)),

м

хп е В, а е Z}.

Так, в частности, при р = 3, п = 4, а = 0 из указанного сравнения получаем код К4, состоящий из 17 следующих кодовых слов: 0 0 0 0 1 1 1 1 0 2 1 2 0 1 0 2 0 1 1 0 2 0 1 0 1 0 0 1 2 1 2 0

Методы и средства защиты информации

0 2 2 0 0 0 2 1 1 0 2 2 2 2 0 1 1 2 0 0 2 0 0 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2

Отметим, что код W4 является 3-ичным равномерным нелинейным кодом, и он одновременно обнаруживает и исправляет любые одиночные канальные ошибки.

Далее построим модель MW защиты информации рюкзачного типа, в которой для установления взаимно однозначного соответствия между элементарными сообщениями t и его числовыми эквивалентами е применяется р-ичный код Варша-мова Wn. При этом в отличие от модели классических рюкзачных систем, в которых при определении V для входа (А, V) те или иные компоненты рюкзачного вектора А либо присутствуют, либо нет, здесь мы рассматриваем и случай, когда они могут и повторяться заданное число раз в зависимости от числа р > 2. Кроме того, при установлении взаимно-однозначного соответствия между элементарными сообщениями и его числовыми эквивалентами необходимо учитывать мощность кода Варшамова Wn. Так, например, для двоичного кода Варшамова Wn число его кодовых слов определяется по следующей формуле:

I ф(^)2(п+1)/2.

2(п +1) а\п+\

В качестве рюкзачной функции преобразования открытого текста для данной модели MW определим функцию ¥р (х) = Bp•WХ, где Wx _ шифр Варшамова элементарного сообщения Х, а

вектор Вр некоторый нестандартный рюкзачный вектор - открытый ключ. При этом условие однозначного прямого и обратного преобразований можно сформулировать, например, следующим образом: для любого рюкзачного вектора

Р = (аь а2, ..., ап) (он же секретный ключ) его компоненты должны удовлетворять неравенству

а-1 > а! а! + а2 а2 + ... + аг _1 аг_ 1 для любого г, где а! > р _ 1, р ф 1, р е N.

Одновременно заметим, что в целом детали комбинирования теории защиты информации с теорией кодирования еще недостаточно продуманы, хотя на практике такие модели имеются. Так, например, модель защиты информации, разработанная Мак-Элисом, имеет сходство с моделями рюкзачного типа, основанными на плотных рюкзаках, в которой используются коды Гоппы, обнаруживающие и исправляющие t > 1 ошибок.

Библиографический список

1. Варшамов, Р. Р. К математической теории кодов : дис. ... докт. физ-мат. наук / Р. Р. Варшамов. М., 2005. С. 1-97.

2. Диффи, У. Защищенность и имитостой-кость. Введение в криптографию / У. Диффи, М. Э. Хелман // ТИИЭР. Т. 67. № 3.

3. Мак-Вильянс, Ф. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки / Ф. Дж. Мак-Вильянс, Н. Слоэн ; пер. с англ. ; под ред. Л. А. Бассалыго. М., 1979.

V. O. Osipyan, V. V. Podkolzin, A. A. Аrdzhanov Kuban State University, Russia, Krasnodar

ABOUT ONE CODE CRYPTOSYSTEM ON THE BASIS OF VARSHAMOV'S CODE

In the work the mathematical model of a code cryptosystem on the basis of Varshamov's codes, including a problem of a safe information transfer is offered. The research of Varshamov's code design and non-standard protection system of the knapsack-type information in their interrelation is undertaken.

© Осипян В. О., Подколзин В. В., Арджанов А. А., 2009

УДК 519.72 (075.8)

В. В. Подколзин, В. О. Осипян, А. А. Арджанов Кубанский государственный университет, Россия, Краснодар

ИЗОМОРФИЗМ РЮКЗАЧНЫХ СИСТЕМ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ С ОТКРЫТЫМ КЛЮЧЕМ

Проводится анализ изоморфизма рюкзачных систем. Рассматриваются методы увеличения крипто-стойкости рюкзачных систем защиты информации с открытым ключом.

Пусть А = (а1, а2, ... , ап) _ рюкзачный вектор размерности п (п > 3) из п различных натуральных компонентов а1 г = 1...п (здесь 1...п _ отрезок

натуральных чисел от 1 до п); (А, м>) _ вход задачи о рюкзаке, где ^ _ также некоторое натуральное число; 2р = {0, 1, 2 ,...,р—1} _ множество ко-