Об одной игре типа Баше Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ ОДНОЙ ИГРЕ ТИПА БАШЕ

ABOUT A BACHET TYPE GAME

УДК 37.013

Сагомонян Елена Артуровна, кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет

Локшин Александр Александрович, доктор физико-математических наук, доцент, Московский государственный педагогический университет Лаврова Наталья Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент, Московский государственный педагогический университет Sagomonyan Elena Arturovna, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Moscow State University

Lokshin Alexander Alexandrovich, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Moscow State Pedagogical University Lavrova Natalya Nikolaevna, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Moscow State Pedagogical University

Аннотация

Данная заметка посвящена разбору одного нового варианта игры типа Баше, где удается получить точную линейную формулу для периода последовательности выигрышных и проигрышных позиций. Рассмотренная игра может быть использована в качестве примера на уроках информатики и математики в школе.

Abstract

This note is devoted to the analysis of one new version of a Bache-type game, where it is possible to obtain an exact linear formula for the period of a sequence of winning and losing positions. The game considered can be used as an example in the lessons of computer science and mathematics at school.

Ключевые слова: Периодичность, стратегия, выигрышная позиция, длина периода, информатика

Keywords: Strategy, winning position, period length, informatics, periodicity

Данная заметка посвящена разбору одного нового варианта игры типа Баше (см. в этой связи [1], а также [2, c. 111 - 117]), где удается получить точную линейную формулу для периода последовательности выигрышных и

проигрышных позиций. Рассмотренная игра может быть использована в качестве примера на уроках информатики и математики в школе.

1. Итак, рассмотрим следующую ситуацию. Имеется куча из М камней; двое игроков по очереди берут из этой кучи по а, Ь или с камней (0 < а < Ь < с). Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При этом на ходы игроков накладывается следующие условия:

А) нельзя повторять свой собственный предыдущий ход; Б) нельзя повторять непосредственно предшествующий ход противника. Нетрудно видеть, что при таком ограничении последовательность количеств взятых из кучи камней будет иметь один из следующих шести видов:

аЬсаЬсаЬс... ; асЬасЬасЬ...;

ЬасЬасЬас...; (1)

ЬсаЬсаЬса.;

саЬсаЬсаЬ...;

сЬасЬасЬа. .

Это позволяет получить следующее линейное выражение для периода Т последовательности соответствующих выигрышных и проигрышных позиций при оптимальной игре соперников.

Действительно, пусть Х - число камней, оставшихся в куче на некотором

ходу.

Будем писать Х = П, если Х - проигрышная позиция и Х = В, если Х -выигрышная позиция. Следует подчеркнуть, что, в отличие от классической игры Баше, выполнение соотношений Х = П или Х = В зависит от числа М. Действительно, игрок, которому досталась позиция Х, делает свой ход с учетом двух предыдущих ходов (своего и хода соперника), которые, в свою очередь, зависят от предшествовавших им ходов и тем самым от начального числа камней в куче.

Тем не менее, из (1) ясно, что если Х = П, то обязательно Х + (а + Ь + с) = В; если же Х = В, то обязательно Х + (а + Ь + с) = П.

Отсюда немедленно следует, что Х + 2(а + Ь + с) равняется П или В одновременно с Х.

Иными словами, период соответствующей последовательности букв В (выигрышей) и П (проигрышей) равен

Т = 2(а + Ь + с). (2)

Ясно также, что предпериодическая часть в получающейся последовательности проигрышных и выигрышных позиций отсутствует.

Подчеркнем, что знание величины Т периода последовательности выигрышных и проигрышных позиций не позволяет осуществить построение этой последовательности, «решая задачу с конца». Тем не менее, знание величины Т и того очевидного факта, что все позиции, в которых количество оставшихся в куче камней меньше а, - проигрышные, позволяет сразу определить проигрышность всех позиций вида:

пТ, пТ + 1, пТ + 2, ..., пТ + а - 1 (3)

(п - натуральное).

Соответственно, все позиции, в которые из позиций (3) можно перейти, забирая по а, Ь или с камней, будут выигрышными.

Кроме того, в силу сказанного выше, выигрышными будут позиции с номерами вида:

пТ/2, пТ/2 + 1, пТ/2 + 2, пТ/2 + а - 1. (4)

В результате при любом (достаточно большом) заданном М в последовательности возникающих в игре позиций номера заведомо проигрышных и заведомо выигрышных позиций будут расположены «разреженным» образом, соседствуя с номерами таких позиций, о которых мы заранее ничего не можем сказать. Знание этих номеров, безусловно, поможет игроку, но не определяет выигрышную стратегию полностью.

Замечание. Остается еще открытым вопрос, является ли найденное значение Т наименьшим. Пусть, для определенности, а > 1. Тогда независимо от значения М последовательность выигрышных и проигрышных позиций будет начинаться с двух проигрышных позиций: Х=0 , Х = 1.

Таким образом, длина периода будет заведомо > 2 (так как последовательность, очевидно, не может состоять из одних только проигрышных позиций). Предположим теперь для определенности, что (а + Ь + с) - простое число. Тогда очевидно, что полученное в (2) выражение определяет наименьший период последовательности выигрышных и проигрышных позиций. Действительно, длина наименьшего периода обязательно должна быть делителем значения Т, но при этом, как мы видели выше, в случае а > 1 длина наименьшего периода не может равняться 2. Отсюда и следует справедливость сделанного утверждения.

2. Итак, мы выяснили, что, решая поставленную задачу «с конца», мы смогли установить значение периода в последовательности выигрышных и проигрышных позиций, но не смогли в обозримой форме представить оптимальную стратегию. Нетрудно видеть, однако, что оптимальная стратегия в нашей задаче легко может быть найдена (без построения громоздкого разветвляющегося дерева вариантов), если решать задачу не «с конца», а «с

начала». Действительно, будем теперь рассматривать каждую последовательность из (1) не как последовательность действий игроков, направленную от конца игры к ее началу, а как последовательность действий игроков, направленных от начала игры к ее концу. Иными словами, первую последовательность из (1) понимаем так: первый игрок забирает из кучи а камней, затем второй игрок забирает из кучи b камней, затем первый игрок забирает из кучи с камней, и т.д. Пройдя всю эту (неразветвляющуюся) последовательность до конца, узнаем, кто из игроков выиграл при таком способе действий. При этом знание периода Т, очевидно, позволяет сократить наши вычисления. Аналогичным образом просматриваются остальные последовательности из (1). В результате узнаем, является ли исходная позиция (М камней в куче) выигрышной или проигрышной для первого игрока.

3. На взгляд авторов, полученный результат может быть полезен на уроках математики и информатики при демонстрации действия законов логики, а также при сопоставлении с играми типа Баше, допускающими установление выигрышной стратегии при решении задачи «с конца». Такое сопоставление представляется нам методически вполне оправданным и важным.

Заметим также, что рассмотренная задача допускает следующую модификацию (похожая задача была рассмотрена А.Л.Семеновым в курсе математики и информатики). Из кучи, содержащей М камней, двое игроков по очереди берут a, b или с камней. После двух одинаковых ходов соперников можно брать только, а камней, а после двух различных ходов - только b камней. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Требуется определить, является ли исходная позиция выигрышной для первого игрока. Как и рассмотренная выше задача, эта задача может быть решена без построения разветвляющегося дерева вариантов, если ее решать «с начала», а не «с конца».

Список литературы:

1. Петров Н.Н. Математические игры. - М.: ЛИБРОКОМ, 2011. - 192 с.

2. Локшин А.А., Иванова Е.А. Математическая смесь. Изд.3. - М.: МАКС Пресс, 2016. - 124 с.

3. Копылов И.А. Логические игры. - М.: URSS,2019. - 304 с.

4. Гарднер М. Крестики-нолики. - М.: Мир, 1988. - 352 с.

5. Гик Е.Я. Занимательные математические игры. - М.: Знание, 1987, 160 с.

6. Шень А. Игры и стратегии с точки зрения математики. - М.: МЦМНО, 2008. - 40 с.

List of references:

1. Petrov N. N. Mathematical games. - Moscow: LIBROKOM, 2011. - 192 p.

2. Lokshin A. A., Ivanova E. A. Mathematical mixture. Ed.3. Moscow: MAKS Press, 2016. 124 p.

3. Kopylov I. A. Logical games. - Moscow: URSS, 2019. - 304 p.

4. Gardner M. TIC-TAC-toe. - M.: Mir, 1988. - 352 p.

5. Gik E. Ya. Entertaining mathematical games. - Moscow: Znanie, 1987, 160 p.

6. Shen A. Games and strategies from the point of view of mathematics. 2008. -40 p.