ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2011. №3
45
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Klyachko A.A. Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group //J. Group Theory. 1999. 2. 319-327.
2. Едынак В.В. Отделимость относительно порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 3. 53-56.
3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.
Поступила в редакцию 26.04.2010
УДК 511
ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ СУММИРОВАНИЯ В. А. Кухта1
В статье получен аналог формулы суммирования Эйлера по целым точкам произвольного промежутка.
Ключевые слова: формула суммирования Эйлера.
An analogue of Euler's summation formula over integer points of an arbitrary interval is obtained in the paper.
Key words: Euler's summation formula.
Пусть А обозначает последовательность вещественных чисел {tk, k = 0,1, 2,...}, причем 0 = to < ti <t2 < ..., lim tk = т.е. последовательность А является разбиением промежутка [0, Введем
целую часть [ж]д, дробную часть {x}a числа x и функцию Pa(x) относительно последовательности А следующим образом. Для любого натурального k и любого вещественного x из промежутка tk—i ^ x < tk положим
x
Мд = tk-1, Мд = У—рд(ж) = - - {х}А,аА(х) = / pA(t) dt, tk — tk—i 2 J
0
где 0 ^ {x}a < 1.
Тогда справедлива следующая формула суммирования — аналог формулы Эйлера суммирования значений функции по всем целым точкам произвольного промежутка2.
Теорема 1. Пусть функция f (t) имеет непрерывную производную на отрезке [a, b]. Тогда для любого b > a имеем
b
Е f (tk) - P*(b)f (b) = - f (A(t)f (t) + PA(t)f'(t)) dt - pA(a)f (a). (1)
a<tk ^b a
Доказательство теоремы. Пусть функции F(b) и G(b) обозначают соответственно левую и правую части равенства (1). Для любого t £ А имеем
F'(t) = (-pA(t)f (t))' = -(p'A(t)f (t)+pA(t)f'(t)),
а для G(t) как функции верхнего предела интеграла находим
G'(t) = -(p'A(t)f (t) + pA(t)f '(t)),
т.е. F'(t)= G'(t).
1 Вячеслав Анатольевич Кухта — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: vlagentt@gmail.com.
2См.: Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2008.
46
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2011. №3
Покажем, что F(t) является непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Достаточно проверить ее непрерывность при t Е А. При t = ts имеем
lim F(и) = F(t), lim F(u) = £ f (tk) - p^(ts)f (ts) = F(ts) = F(t).
0<tk <ts
Таким образом, функция F(t) является первообразной от — (pA(t)f (t) + pA(t)f'(t)). Кроме того, F(a) = G(a). Следовательно, для любого t из отрезка [a,b] справедливо равенство F(t) = G(t). Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть функция f (t) имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a,b]. Тогда для любого b > a имеем
b b
Е f (tk) = — j Mt)f (t) dt + pA(b)f (b) — pA(a)f (a) — aA(b)f'(b) + aA(a)f'(a) + J aA(t)f"(t) dt. (2)
a<tk ^b a a
Доказательство теоремы. В формуле (1) проинтегрируем по частям интеграл
b
PA(t)f'(t) dt = j f'(t) daA(t).
Подставив найденное выражение, получим искомую формулу (2).
Автор приносит благодарность профессору В.Н. Чубарикову за постановку задачи.
Поступила в редакцию 18.05.2010
b
УДК 512.552.2
ГРАДУИРОВАННЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРЕМЫ ГОЛДИ
A. Л. Канунников1
Доказываются градуированные варианты теоремы Голди о существовании, строении и совпадении классического и полного правых колец частных полупервичного (первичного) правого кольца Голди (теоремы 10, 11, 13). Основная трудность — существование в каждом gr-существенном правом идеале однородного регулярного элемента — преодолевается наложением дополнительных требований на группу, по которой градуировано кольцо, или на однородные компоненты кольца.
Ключевые слова: градуированные кольца Голди, градуированные кольца частных.
We prove the graded variants of Goldie's theorem of existence, structure and coincidence of right classical and maximal quotient rings of a semiprime (prime) right Goldie's ring (Theorems 10, 11, 13). The main problem, the existence of a homogeneous regular element in each gr-essential right ideal, is solved by posing some additional requirements onto the group grading the ring or onto the homogeneous components of the ring.
Key words: graded Goldie's rings, graded quotient rings.
В классической теории колец известен следующий результат [1, 2].
Теорема 1 (Голди). Для ассоциативного кольца R с единицей следующие условия равносильны:
(1) R — полупервичное правое кольцо Голди;
(2) в R .множество всех существенных правых идеалов совпадает с .множеством всех правых идеалов, содержащих хотя бы один регулярный элемент (т.е. неделитель нуля);
1 Андрей Леонидович Канунников — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: andrew.kanunnikov@gmail.com.