Об одной формуле суммирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2011. №3

45

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Klyachko A.A. Equations over groups, quasivarieties, and a residual property of a free group //J. Group Theory. 1999. 2. 319-327.

2. Едынак В.В. Отделимость относительно порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 3. 53-56.

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1977.

Поступила в редакцию 26.04.2010

УДК 511

ОБ ОДНОЙ ФОРМУЛЕ СУММИРОВАНИЯ В. А. Кухта1

В статье получен аналог формулы суммирования Эйлера по целым точкам произвольного промежутка.

Ключевые слова: формула суммирования Эйлера.

An analogue of Euler's summation formula over integer points of an arbitrary interval is obtained in the paper.

Key words: Euler's summation formula.

Пусть А обозначает последовательность вещественных чисел {tk, k = 0,1, 2,...}, причем 0 = to < ti <t2 < ..., lim tk = т.е. последовательность А является разбиением промежутка [0, Введем

целую часть [ж]д, дробную часть {x}a числа x и функцию Pa(x) относительно последовательности А следующим образом. Для любого натурального k и любого вещественного x из промежутка tk—i ^ x < tk положим

x

Мд = tk-1, Мд = У—рд(ж) = - - {х}А,аА(х) = / pA(t) dt, tk — tk—i 2 J

0

где 0 ^ {x}a < 1.

Тогда справедлива следующая формула суммирования — аналог формулы Эйлера суммирования значений функции по всем целым точкам произвольного промежутка2.

Теорема 1. Пусть функция f (t) имеет непрерывную производную на отрезке [a, b]. Тогда для любого b > a имеем

b

Е f (tk) - P*(b)f (b) = - f (A(t)f (t) + PA(t)f'(t)) dt - pA(a)f (a). (1)

a<tk ^b a

Доказательство теоремы. Пусть функции F(b) и G(b) обозначают соответственно левую и правую части равенства (1). Для любого t £ А имеем

F'(t) = (-pA(t)f (t))' = -(p'A(t)f (t)+pA(t)f'(t)),

а для G(t) как функции верхнего предела интеграла находим

G'(t) = -(p'A(t)f (t) + pA(t)f '(t)),

т.е. F'(t)= G'(t).

1 Вячеслав Анатольевич Кухта — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: vlagentt@gmail.com.

2См.: Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2008.

46

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2011. №3

Покажем, что F(t) является непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Достаточно проверить ее непрерывность при t Е А. При t = ts имеем

lim F(и) = F(t), lim F(u) = £ f (tk) - p^(ts)f (ts) = F(ts) = F(t).

0<tk <ts

Таким образом, функция F(t) является первообразной от — (pA(t)f (t) + pA(t)f'(t)). Кроме того, F(a) = G(a). Следовательно, для любого t из отрезка [a,b] справедливо равенство F(t) = G(t). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть функция f (t) имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a,b]. Тогда для любого b > a имеем

b b

Е f (tk) = — j Mt)f (t) dt + pA(b)f (b) — pA(a)f (a) — aA(b)f'(b) + aA(a)f'(a) + J aA(t)f"(t) dt. (2)

a<tk ^b a a

Доказательство теоремы. В формуле (1) проинтегрируем по частям интеграл

b

PA(t)f'(t) dt = j f'(t) daA(t).

Подставив найденное выражение, получим искомую формулу (2).

Автор приносит благодарность профессору В.Н. Чубарикову за постановку задачи.

Поступила в редакцию 18.05.2010

b

УДК 512.552.2

ГРАДУИРОВАННЫЕ ВАРИАНТЫ ТЕОРЕМЫ ГОЛДИ

A. Л. Канунников1

Доказываются градуированные варианты теоремы Голди о существовании, строении и совпадении классического и полного правых колец частных полупервичного (первичного) правого кольца Голди (теоремы 10, 11, 13). Основная трудность — существование в каждом gr-существенном правом идеале однородного регулярного элемента — преодолевается наложением дополнительных требований на группу, по которой градуировано кольцо, или на однородные компоненты кольца.

Ключевые слова: градуированные кольца Голди, градуированные кольца частных.

We prove the graded variants of Goldie's theorem of existence, structure and coincidence of right classical and maximal quotient rings of a semiprime (prime) right Goldie's ring (Theorems 10, 11, 13). The main problem, the existence of a homogeneous regular element in each gr-essential right ideal, is solved by posing some additional requirements onto the group grading the ring or onto the homogeneous components of the ring.

Key words: graded Goldie's rings, graded quotient rings.

В классической теории колец известен следующий результат [1, 2].

Теорема 1 (Голди). Для ассоциативного кольца R с единицей следующие условия равносильны:

(1) R — полупервичное правое кольцо Голди;

(2) в R .множество всех существенных правых идеалов совпадает с .множеством всех правых идеалов, содержащих хотя бы один регулярный элемент (т.е. неделитель нуля);

1 Андрей Леонидович Канунников — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ; e-mail: andrew.kanunnikov@gmail.com.