CC BY
25
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4(15). C. 30-35. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-30-35
УДК 517.925.42
ОБ ОДНОЙ ЭРЕДИТАРНОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ ЭФФЕКТА STICK-SLIP
Р.И. Паровик1, 2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, п. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
E-mail: [email protected]
В работе была предложена математическая модель, которая описывает эффект прилипания скольжения (stick-slip) с учетом эредитарности. Была построена явная конечно-разностная схема для соответствующей задачи Коши. Построены на ее основе осциллограммы и фазовые траектории.
Ключевые слова: эредитарность, stick-slip эффект, осциллограммы, фазовая траектория
© Паровик Р.И., 2016
MSC 37C70
ON A HEREDITARITY VIBRATING SYSTEM WITH ALLOWANCE FOR THE EFFECTS STICK-SLIP
R. I. Parovik1, 2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia
E-mail: [email protected]
The work was a mathematical model that describes the effect of the sliding attachment (stick-slip), taking into account hereditarity. explicit finite-difference scheme for the corresponding Cauchy problem was constructed. Built on the basis of its waveform and phase trajectories.
Key words: hereditarity, stick-slip effect, waveform, phase trajectory
© Parovik R.I., 2016
Введение
Эффект stick-slip (прилипания-скольжения) встречается в задачах трибологии, например когда исследуется движение груза на пружине вдоль поверхности. За счет адгезии груз прилипает к поверхности, а за счет натяжения пружины отрывается и скользит вдоль нее при этом происходят его колебания [1, 2, 3, 4]. Эффект stickslip может также быть заложен в основу механической модели землетрясения в зоне субдукции литосферных плит [5], а также модели электромагнитных сигналов литосферного происхождения [6].
В этой работе мы будем исследовать нелинейный эредитарный осциллятор, который характеризует эффект stick-slip. Напомним, что в в работах [4, 7] мы рассматривали модельное уравнение эффекта stick-slip c учетом эредитарности с производными дробных постоянных порядков [8].
В этой работе мы рассмотрим эредитарный осциллятор stick-slip эффекта с дробными производными переменных порядков, которые являются ограниченными функциями. Причем порядки дробных производных могут зависеть не только от переменной t, но и от самой функции смещения x(t). Введение таким образом дробных управляющих параметров в модельное уравнение, обобщает рассмотренный в третьей главе нелинейный эредитарный осциллятор с учетом stick-slip эффектом, что несомненно может привести к новым свойствам или эффектам в результате математического моделирования.
Далее мы построим явную конечно-разностную схему для численного счета решения обобщенной модели stick-slip эффекта с переменными дробными порядками, как работе [9]. Далее рассмотрим некоторые примеры применения этой схемы с различными значениями управляющих параметров, построим и исследуем фазовые траектории, аналогично работе [10].
Постановка задачи и методика решения
Задача. Найти решение x (t) где t g [0, T] следующей задачи Коши:
дв(x(t )'t )x (т) + Âd0rt(x(t )'t)x (T) + (x(t ),t )x (t ) = f (x (t ) , t ) , (1)
x(0)= xo, x(0)= yo, (2)
где d0(x(t),t)x(т) и d0(x(í)/)x (т) — операторы производных Герасимова-Капуто дроб-
<
ных порядков 1 < в (x(t), t) < 2,0 < у(x(t), t) < 1, f (x (t), t) = bt + c £ an sin (nx (t)), b —
n=1
скорость перемещения пружины, c — энергия адгезии, X — коэффициент тре-
ния, ю — частота свободных колебаний, = 2n /-2-dт — коэффициенты
- - -2 /--*
1 cos(пит) О cosh2 (пт)
разложения ряда Фурье.
Замечание. Операторы Герасимова-Капуто, входящие в модельное уравнение (1), могут быть записаны, согласно в виде:
г
дв(Т) _ 1 [ Х(т)ЛТ (3) дог Х(Т)_ Г(2-в (х(г),г)) У (г-т)в(х(г)/)-1' (3)
i
¿г«' ^ (т )= 1 Г x (т)d т
Г (1 - у (x(f), f))J (t - т)^)'
Поэтому фактически, с учетом представления (3), ставится задача Коши (1).
Замечание. Задача Коши (1) в случае, когда дробные параметры в и у являются константами, переходит в задачу Коши [4], если эти константы равны в = 2 и у = 1, то приходим к задаче Коши для классического эффекта stick-slip [3].
Задача Коши (1) и (2) в общем случае не имеет явного решения, поэтому мы будет решать эту задачу численно с помощью теории конечно разностных схем [9].
Построим явную конечно-разностную схему, так как ее проще всего реализовать на ЭВМ. Разобьем временной промежуток [0, T] на N равных частей с шагом т = T/N. Тогда функция решения x(f) дифференциальной задачи Коши (1) и (2) перейдет в сеточную функцию x(fj), где fj = jT, j = 0,1,••• ,N — 1, которая будет являться решением соответствующей разностной задачи Коши.
Остановимся более подробно на аппроксимации операторов дробного дифференцирования (3). Следуя определениям из работы [9], получаем следующие их дискретные аналоги для операторов (3):
ш I \ \ T—в (xj ,fj) j—1 .
d0(x(f),f}x (T) - Г (3 — в (x,, f.)} I P (xj—i—1 — 2xj—k + Xj—k+1), (4)
d0Y(x(f),f)x (т) - Г (2T )) I qi (xj—i—1— 2xj—i+xj—i+1), (5)
I (Z — у (Xj, fjJJ i=o
P = (i + 1)2—в(xj,fj) — i2—в(xj,fj), = (i + 1)1— r(xj,fj) — i1—r(xj,fj).
Замечание. В соотношениях (4)-(5) была использована сокращенная запись: x(fj) = xj.
Исходя из соотношений (4)-(5), которые подставим в уравнение (1) с учетом начальных условий (2), мы получаем явную конечно-разностную схему.
x1 = ТУо + xo, j = 0, j—1 .
xj+1 = Ajxj — Bxj—1 — B I p^(xj—i+1 — 2xj—i + xj—i— 1) — (6)
i=1
j—1 j ( ) ( )
—C14i (xj—i+1 — xj—i) — v sin (xj) + fj, j = 1,...,N — 1, i=1
2A1 + B1 — ав (x(fj ),fj) A1 B1 ав (x(fj ),fj)
a. = —-, B =-1—, C =-1—, v =-,
j A1 + B1 ' A1 + B1' A1 + B1 A1 + B1 '
1 т—в (x(fj ),fj) Ят—r (x(fj ),fj)
* = A1 + B1,A1 = Г (3 — в (x (fj),fj)),B1 = Г (2 — Y(x (fj),fj)),
Замечание. Заметим, что явная конечно-разностная схема (6) в случае когда дробные параметры являются константами и имеют значения в = 2 и у = 1, переходят в локальные расчетные явные конечно-разностным схемы для классического эффекта stick-slip.
Результаты численного моделирования
В работе [3] было сказано, что для получения достоверного решения достаточно взять первые семь коэффициентов ak в разложении функции f (x(t),t) (1). Значения этих коэффициентов возьмем из работы [3]: ai = 0.436,a2 = 0.344,a3 = 0.164, a4 = 0.058, a4 = 0.021, a6 = 0.004, a7 = 0.003.
Проведем численное моделирование эредитарного эффекта stick-slip по формулам (6) в зависимости от управляющих параметров. Для сравнения результатов расчеты также проведем по схеме, полученной с помощью аппроксимации дробных операторов по правилу трапеций [11] (кривая 2).
Пример 1. Управляющие параметр: в (t ) = 1.8 — 0.03 sin (nt), Y (t) = 0.6 — 0.04cos (nt), N = 3000,8 = 50, T = 0.05, X = 0.3, b = 1, ю = 1, y0 = 0.3, X0 = 0.
m
Рис. 1. Расчетные кривые, полученные по формулам (6)(кривая 1) и [11] (кривая 2) а) - осциллограмма, б) - скорость осциллятора, в) - фазовая траектория
На рис. 1 представлены расчетные кривые смещения, скорости смещения и фазовая траектория. На рис. 1а приведена осциллограмма для примера 1. Видно, что при отрыве груз испытывает колебания, причем скорость таких осцилляций в потенциальной яме затухает достаточно медленно (рис.1)б. Этот эффект является эреди-тарностью процесса. На фазовой траектории (рис.1)в видно, что потенциальные ямы представляют собой устойчивые фокусы.
Пример 2. Управляющие параметр: в (t) = 1.6 — 0.1 sin (nt), Y(t) = 0.6 — 0.2cos (nt),N = 3000, т = 0.05, S = 50, X = 0.3, b = 1, ю = 1, yo = 0.3, xo = 0.
Рис. 2. Расчетные кривые, полученные по формулам (6) и [11] (кривая 2): а) - осциллограмма, б) - скорость осциллятора, в) - фазовая траектория
Необходимо отметить, что численная схема (6) и схема, полученная по методике из работы [11] для первого примера дают одинаковый результат, а для второго
примера результаты несколько отличаются. Это связано с точностью методов, так как схема (6) имеет первый порядок точности, а схема, полученная по методике из работы [11] имеет второй порядок, точности.
Заключение
В этой работе впервые для эредитарного эффекта stick-slip были построены численные схемы. Необходимо дальнейшее исследование этих схем на устойчивость и сходимость.
Список литературы
[1] Batista A. A., Carlson J.M., "Bifurcations from steady sliding to stick slip in boundary lubrication", Physical Review E, 57:5 (1998), 4986-4996..
[2] Daub E.G., Carlson J.M., "Stick-slip instabilities and shear strain localization in amorphous materials", Physical Review E, 80:6 (2009), 066113.
[3] Рехвиашвили С.Ш., Размерные явления в физике конденсированного состояния и нанотехнологиях, КБНЦ РАН, Нальчик, 2014, 250 с., [Rekhviashvili S. Sh., Razmernye yavleniya v fizike kondensirovannogo sostoyaniya i nanotekhnologiyakh (KBNTs RAN, Nal'chik, Russia, 2014) 250 p.].
[4] Паровик Р.И., "Математическое моделирование эффекта stick-slip с учетом эредитар-ности", Доклады Aдыгской (Черкесской) Международной академии наук, 17:3 (2015), 70-77.
[5] Scholz Ch. H., The mechanics of earthquakes and faulting, Cambridge university press, United Kingdom, 2002, 471 pp.
[6] Уваров В. В., "Методы выделения электромагнитных сигналов литосферного происхождения", Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки, 2016, №3(14), 91-97.
[7] Parovik R. I., "Mathematical modeling of the stick-slip considering hereditarity", Actual problems of applied mathematics and physics, PROSEEDINGS INTERNATIONAL RUSSIAN-CHINESE CONFERENCE (v. Tegenekli, Kabardino-Balkaria, 14-18 December 2015), KBSC RAS, Nalchik, 2015, 159-160.
[8] Parovik R. I., "On a credit oscillatory system with the inclusion of stick-slip", E3S Web of Con., 11 (2016), 00018.
[9] Parovik R. I., "Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable-order fractional derivatives", Archives of control sciences, 26:3 (2016), 429-435.
[10] Parovik R. I., "Fractal parametric oscillator as a model of a nonlinear oscillation system in natural mediums", International Journal of Communications, Network and System Sciences, 6:3 (2013), 134-138.
[11] Changpin Li, An Chen, Junjie Ye, "Numerical approaches to fractional calculus and fractional ordinary differential equation", Journal of Computational Physics, 230 (2011), 3352-3368.
Для цитирования: Паровик Р. И. Об одной эредитарной колебательной системы с учетом эффекта stick-slip // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 4(15). C. 30-35. DOI: 10.18454/2079-6641-2016-15-4-30-35
For citation: Parovik R. I. On a hereditarity vibrating system with allowance for the effects stick-slip, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2016, 15: 4, 30-35. DOI: 10.18454/2079-66412016-15-4-30-35
Поступила в редакцию / Original article submitted: 30.09.2016
