CC BY
41
Вестник ТГПУ. 2000. Выпуск 2 (18). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ (СПЕЦВЫПУСК}
А. И. Забарина, Г.Г. Пестов ОБ ОДНОЙ АЛЬТЕРНАТИВНОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Томский госулзпптвенный педагогический университет
" УДК 519,4
Введение
Со времен Кантора фундаментом математики стала теория множеств. Основная идея канторо-вой теории множеств - это идея актуальной бесконечности: бесконечное множество рассматривается как завершенное, существующее со всеми своими элементами. Идее актуальной бесконечности противостоит идея потенциальной бесконечности: бесконечное множество мыслится как строящееся, порождающееся некоторым процессом.
Борьбу этих концепций бесконечного можно проследить на протяжении всей истории математики. Так, Гаусс был решительным противником использования актуальной бесконечности в математике.
Во второй половине нашего века математики предпринимают попытки изменить фундамент математики - теорию множеств. Так возникла теория внутренних множеств, нестандартный анализ во многих вариантах. Сюда же относится и альтернативная теория множеств Вопенки.
Основная установка Вопенки - критика идеи актуальной бесконечности.
Теория множеств Вопенки [1] была задумана как альтернатива канторовой теории множеств с ее актуальной бесконечностью, чем и объясняется ее название. Поэтому построение модели альтернативной теории множеств в рамках теоретико-множественной модели нестандартного анализа Закона-Робинсона [2,4], т.е. в конечном счете средствами классической теории множеств, выглядит несколько парадоксально.
Тем не менее такого рода модели могут быть полезны хотя бы тем, что позволяют использовать интуицию, накопленную в процессе работы с нестандартной моделью теории множеств, для лучшего осмысления альтернативных теорий [5].
Отметим некоторые отличия альтернативной теории множеств Вопенки от канторовой теории множеств.
1. В альтернативной теории различаются совокупности трех видов: множества, классы и полумножества.
2. Все бесконечные множества равномощны.
3. Каждое множество конечно по Кантору (т.е. каждое множество равномощно некоторому начальному отрезку множества натуральных чисел).
В качестве интуитивного оправдания этих понятий своей теории множеств Вопенка приводит такие, возможно шутливые, примеры. Совокуп-
ность человекообразных предков человека (не являющихся, следовательно, людьми) есть полумножество, не являющееся множеством. Они образуют подкласс множества приматов. В альтернативной теории множеств каждое множество, линейно упорядоченное некоторым отношением р (где р, в свою очередь, есть множество), обладает тем свойством, что каждое его непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элементы. Если бы совокупность наших человекообразных предков была множеством, то существовала бы последняя обезьяна, т.е. обезьяна, ребенок которой был бы человеком, что противоречит здравому смыслу. Аналогичные рассуждения применимы и к совокупности всех живущих в данный момент людей.
Существуют аксиоматизации альтернативной теории множеств [2, 3]. Мы, однако, будем исходить из неформального подхода, изложенного в [1]. Нашей целью является построение модели теории множеств, близкой к альтернативной теории множеств Вопенки, средствами нестандартного анализа. В рамках этой модели основные понятия и факты альтернативной теории множеств Вопенки, на наш взгляд, становятся более естественными.
Конструкции универсумов
Обозначим через N множество всех конечных ординалов (по фон Нойману). Каждый элемент этого множества является конечным множеством.
Построим суперструктуру конечных множеств над N. Обозначим через PF(A) множество всех конечных подмножеств множества А. Положим:
JF0(N) = N,..., Wn+] (N) = Wn UPF(Wn), ...
со.
Множество = UWn(N) назовем супер-
Л=1
структурой конечных множеств. Множество W (N) назовем n-тым этажем суперструктуры ЩИ).
Построим обычную суперструктуру над N со своими этажами:
со
F(N) = (JW,
Я=1
где Р(А) есть булеан множества А. Пусть F есть свободный ультрафильтр над N. Если А е F(N) то через *А обозначим ультрастепень А по ультрафильтру F.
00 со
* H4N) = U* КШ * * P(N) = U *Vn(N).
Л=1 Л=1
А.И. Забарина, Г.Г. Пестов. Об одной альтернативной теории множеств
Обозначим;
Построим суперструктуру над - внешний универсум Индукцией по номеру этажа
строим, как обычно [4], вложение у универсума * Р(Ы) во внешний универсум к(*Н). Тем самым мы и получим вложение универсума * ЩИ) во внешний универсум.
Как обычно, образ множества при отображении у назовем внутренним универсумом. Каждый элемент из мы отождествляем с
его у'-образом. Это можно сделать, поскольку отображение у отношения равенства и принадлежности по ультрафильтру переводит в отношения равенства и принадлежности в теоретико-множественном смысле.
По построению, имеют место включения;
*к„ (Ы) а *г„(Щ*К(А0 э ♦»'СИ)-
Множества, полумножества, классы
Рассмотрим теперь множество [/(К) всех подмножеств универсума *
Элементы множества * назовем множествами, элементы (М) - классами. Классы, не являющиеся множествами, назовем собственными классами.
Приведем пример множества. Пусть V е N. Обозначим;
[О, V] = {и е N10 < и < V}.
По построению Уу € N([0, V] е . По
принципу переноса: Следо-
вательно, [0, V] есть множество.
Классы А и В назовемравномощными, если существует биекция f:А->& где / е . Если би-екция - внутренняя, т.е. / еТ(!чт), го эти классы назовем внутренне равномощными. Классы рав-номощные, но не внутренне равномощные, назовем внешне равномощными.
Класс, равномощный классу N. назовем, как обычно, счетным.
Для каждого множества А существует такое
V е что А равномощно множеству [0, V].
Каждое множество можно линейно упорядочить с помощью некоторого внутреннего бинарного отношения.
В самом деле, пусть А е ЩИ). Тогда для некоторого натурального к имеем: А е й7^). Обозначим количество элементов множества А через
V е N. Из построения ЩИ) легко следует, что найдется такое 5 е N, что для каждого А е И^ДО) существует биекция /: Л [0, V],/ е ЖДЫ).
Итак, У А е Шк (ЛОЗ V е N3/ е (/ есть биекция А на [0, V]).
Последнее утверждение легко записывается на языке первого порядка. По принципу переноса
получаем: V^e*rt(N)3ve*N3/e!Ws(N) (N) (/есть биекция А на [0, v]).
Отсюда следует, что естественный линейный порядок с [0, v] переносится на А с помощью внутренней биекции, следовательно, на А задается внутренний линейный порядок.
Если множество линейно упорядочено внутренним отношением г, то каждое непустое его подмножество имеет первый и последний элементы относительно этого порядка.
Доказательство получаем, аналогично предыдущему, по принципу переноса.
Никакой счетный класс не является множеством.
Это следует из того факта, что множество [0, v], v G *N или конечно, или несчетно [б].
Приведем пример класса, не являющегося множеством. Имеем: N с W*N следовательно, Ne C/(N), N есть класс. В то же время N не имеет наибольшего элемента. Итак, N не есть множество.
Подкласс множества называется полумножеством. Полумножество называется собственным, если оно не является множеством.
Так как Nc[0, v] и [0, v] есть множество, то N есть собственное полумножество.
Класс, включающий собственное полумножество, называется бесконечным.
Каждое бесконечное множество включает счетное полу множество.
В самом деле, пусть А есть бесконечное множество. Так как А - множество, то для некоторою v е *N имеем: существует биекция fe* H^N) множества А на [0, v]. Ясно, что v е *N\N, иначе А не включало бы собственного полумножества. Но тогда N с [0, v], и прообраз В класса N при отображении /есть счетный подкласс множества А. Значит, В есть счетное полумножество, входящее в А.
Все бесконечные множества внешнеравномощны.
В самом деле, пусть А, В - бесконечные множества. По предыдущему, А равномощно [0, v], В равномощно [0, v^, где v, v,e *N\N. Но все множества [0, v], где ve *N\N, внешне равномощны [6]. Следовательно, равномощны и множества А и В.
Каждый счетный класс есть собственное полумножество.
Пусть А есть счетный (и, следовательно, собственный) класс. Тогда существует биекция /:N AJ е K(*N). Итак, А = /(N) е K(*N). Поэтому существует такое и натуральное, что A<zVn (*N). Так как А-класс, то А с *W (N). Значит, A c*IF,(N).
Итак, А есть полу множество.
Собственный класс, равномощный некоторому множеству, есть полу множество.
Доказательство аналогично предыдущему, только в роли N выступает теперь некоторое множество из универсума * W(N).
Вестник ПНУ. 2000. Выпуск 2 (IS). Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ (СПЕЦВЫПУСК)
Литература
1. Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств. М.: Мир,1983.
2. Proceedings of the 1s' symposium «Mathematics in the internal Set Theory». Bratislava, 1989.
3. Mattes J. // Axiomatic approaches to nonstandard analysis. Jahrbuch der Kurt Goedel Geselschaft. 1992. P. 61-79.
4. Robinson A., Zakon E. A set-tneoreticai characterization of enlargements, in Applications of Mode! Theory to Algebra, Analysis and probability; W. A. J. Luxemburg (ed.), Holt, Rinehart and Winston. New York, 1969. P. 109-122.
5. Chang S.S., Keisler H.G. Model theory, 3,d edn, North-Holland. Amsterdam, 1990.
6. Галанова Н.Ю. О конфинальности *N. Региональная научно-практическая конференция: Естественные науки. Томск, 1994. С. 74.
В.В. Бордунов*, A.C. Ситников**, В.А. Ситников***, B.C. Дмитриев**, Г.Н. Гладышев**, M.JI. Белявин**, И.А. Соболев*, C.B. Бордунов*, О.Л. Васильева***
БЫТОВЫЕ СИСТЕМЫ ОЧИСТКИ, УВЛАЖНЕНИЯ, ОБЕСПЫЛИВАНИЯ И ОБЕЗЗАРАЖИВАНИЯ ВОЗДУХА
'Институт химии нефти СО РАН "Томский политехнический университет •"Томский государственный педагогический университет
Общеизвестно, что постоянно растущая индустриализация, компьютеризация, использование и переработка огромного количества химических веществ приводят воздушную среду обитания человека в производственных, общественных и домашних условиях к серьезному загрязнению самыми различными веществами антропогенного происхождения и микроорганизмами. Эти загрязнения отрицательно влияют на организм человека, вызывая различные заболевания. Поэтому можно считать состояние воздушной среды обитания человека и животных категорией экономической. Такой подход к ней уже осознали в развитых странах и принимают серьезные меры по очистке воздуха в производственных помещениях и жилье.
В настоящей работе описаны исследования в части разработки, изготовления и реализации размерного ряда устройств для очистки и регулирования сосгава воздуха (очистка, увлажнение, наполнение отрицательными аэроионами, лекарствами. ароматизаторами и т.д.): проанализированы доступные источники по этой проблеме. Приведено в историческом ракурсе становление некоторых биологических и технических решений. Рассмотрены основные конструктивные элементы очистителей воздуха: фильтры, устройства нагнетания воздуха, генераторы отрицательных аэроионов, распылители и компоновка очистителей наиболее известных фирм.
Не выделяя отдельно экономический аспект (стоимость очистителей и их элементов), тем не менее там, где имеется информация о цене продаж, она приводится непосредственно по тексту. Эта информация дает опорные представления о том, сколько стоит очистка воздушной среды обитания человека, с одной стороны, а с другой - сведения о том, что очистители - довольно сложные и дорогостоящие устройства. Проведен-
ный анализ позволил сформулировать выводы и задачи, которые необходимо решить при создании отечественных очистителей воздуха. Состояние воздушной среды обитания человека
В настоящее время в производственных, общественных и жилых помещениях широко используются телевизоры, компьютеры, кондиционеры, нагреватели и другие современные приборы, работа которых приводит к изменению свойств воздуха в среде обитания человека. В помещениях, где работает компьютер или телевизор, резко сокращается количество отрицательно заряженных частиц и увеличивается количество положительных частиц, поскольку они «съедают» остатки целебных отрицательных аэроионов в воздухе. Экраны компьютеров и телевизоров создают в помещениях «смог» вредоносных потожительных аэроионов. Невидимки без вку-с а и запаха проникают в легкие, и альвеолы легких покрываются слизью, слипаются. Это подтверждено целым рядом работ.
Впервые острую необходимость отрицательных аэроионов воздуха для жизни доказал русский биофизик Александр Леонидович Чижевский. Это было в 20-е гг. в СССР. Чижевский ставил такой эксперимент. Помещал мышей в герметичную камеру и пропускал туда воздух сквозь плотный фильтрующий слой ваты. Через 5-10 дней животные становились вялыми, как при авитаминозе. Постепенно болезненное состояние переходило в коматозное, мыши наотрез отказывались от пищи. Наконец агонизировали и гибли. Это явление Чижевский назвал аэроионным голоданием, объясняя, что при фильтрации воздух, проходя через слой ваты, оставляет на ней все свои электрические заряды, в том числе отрицательные аэроионы.
