Об одном устойчивом методе обратной задачи теплопроводности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 5, № 3, 2000

ОБ ОДНОМ УСТОЙЧИВОМ МЕТОДЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

С. А. АТАНБАЕВ Казахский государственный университет им. Аль-Фараби

Алматы, Казахстан e-mail: kainar@ittl.kz

A difference analogue of the quasidiversion method is considered with additional regularization for the solution of the inverse problem of thermal conductivity. The stability of the solution of the difference regularized problem has been proved, the stability estimate has been obtained and the selection method of the regularization parameter has been presented.

1. Постановка задачи

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности ставится следующим образом. Требуется найти решение уравнения теплопроводности

I = % + f

определенное в прямоугольнике П = -^0 < ¿' < Т, 0 < х < 1 ному условию

<^(х, Т) = и(х)

при ¿' = Т и граничным условиям

^(0,0 = 0, р(М') = 0.

(1)

удовлетворяющее началь-

(2)

(3)

В общем случае краевые условия (3) могут быть неоднородными. Однако с помощью некоторого преобразования всегда можно получить однородные краевые условия вида (3).

Задача (1) - (3), называемая обратной задачей теплопроводности (ОЗТ), является классически некорректной: решение <^(х,£') не зависит непрерывно от начального условия (2).

На практике вместо решения задачи (1)-(3) решают следующую прямую задачу для уравнения теплопроводности (ОЗТ):

% = S + f <-')• 0 * ' * T.

<p(x, 0) = С(x), 0 * x * 1,

^(o,i') = o, ^(м') = 0,

(4)

(5)

(6)

© С. А. Атанбаев, 2000.

которая является классически некорректной. Здесь £ (ж) — неизвестная функция. Она определяется из условия

1

3 (ф) = ! [р(х, Т; £(х) - и(х)]2 <1х < е2, (7)

о

где е — заданная точность. Выбрав функцию £(х), удовлетворяющую условию (7), решают корректную задачу (4)-(6) и ее решение р(х,Ь'; £(х)) принимают за приближенное решение исходной некорректной задачи (1) - (3). Такая постановка задачи исследована многими авторами. В частности, в работе [1] доказывается существование такой функции £(ж), которая доставляет минимум функционалу 3(ф). С точки зрения вычислительной математики всевозможный выбор функции £(ж) и далее неоднократное решение корректной задачи (4) - (6) с целью проверки условия (7) не является конструктивным. Поэтому решают задачу (1) - (3) с помощью различных методов регуляризации, которые дают возможность найти функцию, удовлетворяющую условию (7). К таким методам можно отнести методы регуляризации А. Н. Тихонова [2] и Р. Лионса [1]. Метод регуляризации А. Н. Тихонова основан на сведении задачи (1)-(3) к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода и нахождению приближенного решения этого интегрального уравнения с помощью минимизирующих функционалов. А метод Лионса, который называется методом квазиобращения, сохраняет дифференциальный вид уравнения (1), и задача (1) - (3) заменяется семейством регуляризованных задач [2], которое является классически корректным, и его решение при определенных условиях сходится к решению исходной задачи (1)-(3). Метод квазиобращения впервые был применен для решения уравнения теплопроводности с обратным течением времени французским ученым Р. Лионсом, далее он был развит в работах [3-5]. Метод квазиобращения с дополнительной регуляризацией был применен в работе [6] для решения общей некорректной задачи Коши для эволюционного уравнения. В частности, в этой работе вместо решения Коши для эволюционного уравнения

^ = Ар, р(0) = и, 0 < ь < Т (8)

рассматривается решение следующей регуляризованной задачи:

^ = (А - аА2)ра, = ра(Ь), а> 0, (9)

аЬ

ра(0) = и, 0 < Ь < Т,

где — положительно определенный неограниченный самосопряженный оператор, не зависящий от Ь (0 < Ь < Т).

Далее для приближенного решения предложена устойчивая разностная схема

^ = (р + 1)Ара - рАрпа+1 + аА2^1,

<Р°а = и, Ьп = пДЬ, ДЬ = Т (10)

(п = 0,1, 2, ... , М — 1), где р(р > 1) — целое положительное число, которое выбирается из условий аппроксимации и устойчивости схемы (9) и играет наряду с а роль дополнительного параметра регуляризации. Доказано, что (10) аппроксимирует регуляризованную зада-

а

чу (9) с точностью (ОДЬ) в классе решений р(Ь) £ С2[0, Т] и при выборе р = — (ДЬ < а)

разностная схема (9) является более устойчивой схемой, чем другие, которые были преда

ложены в работах [2-5]. Здесь [.] следует понимать как целую часть отношения . Такой метод регуляризации предложен в данной работе для решения некорректной задачи (1)-(3), где доказана устойчивость разностной регуляризованной задачи и указан способ определения регуляризующих параметров.

2. Формулировка регуляризованной задачи

Сначала с помощью замены t = T — t' задачу (1) - (3) сведем к прямой задаче типа (8):

д 2ф

+ f (x,t), 0 < t < T, (11)

öt öx2

<^(x,t) = u(x), (12)

£(0,t) = 0, £(1,t) = 0, (13)

где <^(х,*) = <^(х,Т — *), f (х,*) = f (х,Т — *).

Для преобразованной задачи (11)-(13) оператор А имеет вид

А = — д 2

0Ж2

Он удовлетворяет условиям, которые наложены на А в работе [6], т.е. положительно определенный неограниченный самосопряженный оператор на множестве решений уравнения (11)

м = |^ = ^(х, г): 0 < * < Т, ^(0, г) = ^(1, г) = 0

Тогда семейство регуляризованных задач (9) применительно для задачи (11) — (13) имеет вид

дФа д 2фа д4^« , ^ , п ,

— ^^Г + f (х,г) (14)

dt dx2 dx4

0) = u(x), 0 < x < 1, (15)

£a(0,t) = 0, ^«(1, t) = 0, 0 < t < T. (16)

Для совместности задачи (14)-(16) не хватает двух граничных условий, так как в уравнении (14) участвует производная четвертого порядка по переменной x. Они легко определяются из уравнения (11):

дй?(0,t)=Д0^ ix?(i,t)=ям). (17)

Согласно [1], задача (14)-(17) является семейством регуляризованных задач [2] и ее решение <^a(x,t) при а ^ 0 сходится к решению <^a(x,t) задачи (11)-(13), т.е.

lim </9a(x,t) = ф(x,t).

а^ 0

3. Разностный аналог метода квазиобращения с регуляризацией и его обоснование

В области П=<0 < Ь < Т, 0 < ж < 1 > введем равномерную разностную сетку

(жк,Ьп) •

жк = кк, к

Ьп = пДЬ, ДЬ

Т

' M,

к = 0,1, 2, ..., N;

п = 0,1, 2, ..., М.

Далее на каждом внутреннем узле (жк, Ьп) (к =1, 2, ... , N — /; п =1, 2, ... , М) сеточной области Щд задачу (11)-(13) аппроксимируем следующей разностной краевой задачей:

ФП-1 - ФП

^ - ^ = - (р +1) ф-1 - 2ФП + ФП+1 , рФк+1 - 2ФП+1 + ФП+1

ДЬ

к2

+ р-

-а

ФП+21 - 4ФП+1 + 6ФП+1 - 4ФП+1 + ФП+21

к4

к2

+ /

(к = 1, 2, ..., N - 1, п = 0,1, 2, ..., М - 1), ф0 = и(жк) (к = 0,1, ),

ФП = 0, фП = 0,

фП 1 + Фп к2

/(0,Ьп),

фп-1 + фп - 1 к2

/(1,Ьп) (п = 0,1, ...,м),

где введено обозначение /П = /(ж *.,Ьга), фП = (фа)П, фП+1 = (фа)П+1.

Теорема 1. При условии Р

а

[ДЬ]

(18)

(19)

(20)

(21)

разностная схема (18)-(21) аппроксимирует

регуляризованную задачу (14)-(17) с точностью О(ДЬ + к2) в классе решений С2'Х[П] уравнения (11).

Теорема легко доказывается с помощью разложения в ряд Тейлора. Теперь переходим к доказательству устойчивости разностной схемы (18)-(21). С этой целью разностное уравнение (18) приведем к виду

афП+21 + ЬфП+1 + сфП+1 + ЬфП+1 + афП+2 = афП-1 + ефП+

+афп+1 + ДЬ/П (к = 1, 2, - 1; п = 0,1, ...,М - 1),

где введены обозначения:

(22)

ДЬ ДЬ ДЬ ДЬ ДЬ ДЬ

а = —, Ь = -4а—, с = -1 + 6а— + 2р—, а = -(р + 1) —, е = 1 + 2(р + 1)-

к4

к4

к4

к4

к2

к2

Разностные уравнения (22) представим в виде системы линейных алгебраических уравнений

Вфп+1 = Сфп + ДЬ/п (п = 0,1, ...,М - 1), (23)

где обозначены фп+1 = (фп+1, фп+1, ... , фП+\), фп = (фп, фп, ... , фМ-1),

п п п п

/ = (/1 , /2 , . . . , /М-1),

в частности, ф 0 = и, где и — вектор с компонентами

(и(ж1),и(ж2), ..., и(жМ-1)), В = [Ьу-1 — пятидиагональная симметричная матрица с элементами

Ьу = |<¿-1 + Ь(^-1 + ^5+1) + а(^-2 + ¿Ы ¡> (г ■ Э = 1, г ■ Э = (г - 1")

N-1

а С = { Сг,^ — трехдиагональная симметрическая матрица с элементами

Су = |е^ + а(^-1 + ¿5+1^ (г ■ э = 1, г ■ j = (г - 1)"),

здесь

( 0 при | г - э |< 2,

1 \ 1 при | г - э |> 2.

Матрица — положительно определена (это покажем позже), поэтому она имеет обратную -1

матрицу -1.

Запишем (23) в виде

фп+1 = в-1Сфп + ДЬВ-1/п (п = 0,1, ...,М - 1). (24)

Далее через С = В -1С обозначим матрицу перехода двухслойной разностной схемы (24).

к2

Теорема 2. При выборе параметров р, а, ДЬ, к из условий а < 4— и р разностной схемы (18)-(21) имеет место условие устойчивости

а

для

II С ||с< 1 + 0 (р). (25)

Доказательство. Для этого сначала вычислим собственные числа матрицы перехода С.

Очевидно, что А«(С) = А«(В-1) ■ А*(С) = ^^ (в = 1, 2, ..., N - 1).

А« (В)

Собственные числа А« (В) и А«(С) матриц С и В определим из следующих спектральных задач:

ВЖ(в) = А«(В (в),

Сй(в) = А«(С(в = 1, 2, ..., N - 1). (26)

Каждую к-ю компоненту и собственных векторов и ищем в виде

= в1п(кпвк), ^ ^ = в1п(кпвк).

1

Подставляя их в (26) и применяя соответствующие тригонометрические формулы, имеем

Л , ,, Ai .о snh Ai . 4 snh

As(B) = 1 + 4p—- sin2--+ 16a— sin4-,

sV ; h2 2 h4 2 '

Ai

As(C) = 1 + 4(p + 1) — sin2 2 (s =1, 2, ..., N — 1).

Все As(B) и As() положительны, поэтому B и C — положительно определенные и неособенные матрицы, т.е. det (B) = 0, det (C) = 0. В результате получим формулу

AS(G) =

, / iч Ai . 2 snh l + 4(p +1) — Sin2 —^

At

snh

1 + 4ph2 Sm" "

At

snh

(s = 1, 2, ..., N — 1),

+ 16a- sin 2

с помощью которой определяются собственные числа As(G) (s = 1, 2, ..., N — 1). Спектральная норма || G ||c матрицы G имеет вид

|| G ||c= p(G) = max As(G).

s

Для оценки || G ||c сначала As(G) представим в виде

snh

As(G) = 1 + At ■

4

Sin-

At

snh

1 - 4ah2 Sin-

. At ,2 snh At , snh'

1 + Sin ~2 +16a Sin "T"

.At 2snh

Если параметры At, h, а выбрать из условия 1 — 4a— Sin - < 0 (s

h 2

1, 2, ..., N — 1),

то каждое число АДО) удовлетворяет неравенству 0 < А5(С) < 1. Тогда || О ||с< 1. В этом случае решение разностной задачи (например, при f (х, г) = 0) (18)-(21) не будет расти при росте П. А это не согласуется с тем, что решение ОЗТ является растущей функцией. Следовательно, норма || О ||с должна быть больше единицы. Поэтому параметры Дг, а выбираем так, чтобы выполнялось условие

At

1 — 4aI2 Sin 2

2 Snh < 0 (s = 1, 2, ..., N — 1).

(27)

т-r /О^Л 1 ,, . 2 snh Д . Ai . 2 snh\

При условии (27) функция Vs = sin - I 1 — 4a— sin - > 0 и достигает своего

2 h2 2

максимума

max Vs = V0 = —,

1

4a'

где s определяется из уравнения Sin2 s0hn

h2

8a'

Таким образом, для As(G) получим следующую оценку:

4

As(G) = 1 +At--

h2

Vs

.At . 2 snh At , snh

1 + 4p— Sin —- + 16a— Sin —-h2 2 h4 2

<

s

1

< 1 + At___< 1 + A

1 . At . 2 snh At . 4 snh 4а

1 + 4p— sin ——+ 16а—— sin

h2 2 h4 2

Если положим p = -—, то имеем

At

G ||с= maxAs(G) < 1 + -1 = 1 + ^(1

4p Vp

s

Очевидно, что при любом в (в =1, 2, ..., N -1) условие (27) выполняется, если параметры

к2

а, ДЬ и к выбрать из условия а < 4Д^. Теорема доказана.

Замечание 1. Можно усилить оценку (25). Знаменатель

, ДЬ 2 впк ДЬ 4 впк . = 1 + 4р— 81п2 — + 16а— 81п4 — (в = 1, 2, ..., N - 1)

формулы для вычисления А«(С) является положительной растущей функцией и достигает своего наименьшего значения при в = 1 :

inf gs = 1 + рп2 + ап4

s

так как при малых h имеем sin —— ~ — - Тогда для нормы || G ||c получим более сильную оценку

11 G ||c- 1 + 4p + 4p2n2 + ап4 = 1 + 0 (p2

т. е. чем больше p, тем ближе норма || G ||c к единице (справа).

Теорема 3. При условиях теоремы 2 для любого n (n < M) справедлива априорная

,, — fT\ ,, -,,

оценка || ^n ||< exp -— + T• || f ||, где

|| f ||= sup || f || .

i

Доказательство. Из векторного равенства (24) для любого n (1 < n < M) получим

V>n = + AtB-1[(B-1)ra-1f° + (B-1)n-2f1 + ... + fn-1]. Оценим это равенство по норме:

n— 1

|| ||<|| G ||n ■ || || +At || B—1 ||G ■ J] || B-1 ||£—1—i ■ || fi || .

i=°

?—1

I c_

Норма || B ||c = maxs As(B) > 1, следовательно, || B 1 ||c< 1. Поэтому

n— 1

|| Vn ||<|| G ||n -|| V0 || +At£ || f || . (28)

Далее из (28) следует

II Г ||<|| С ■ II II +Д£ ■ (п - 1) II / II . (29)

Теперь воспользуемся оценкой (25) и отдельно оценим норму || С

п I с •

С ||С<1 1 + 4р) = 0 + Д)

п

п

п / \ I \ п '

(

1 + а п

\ )

I ^п

< ехр14а

Тогда из неравенства (29) получим

II Г ||< ехр (4а) II ^ ° II +Т II / II< II и II +Т■ II / II,

так как Д£(п — 1) < Т. Теорема доказана.

Замечание 2. Разностная схема (18)-(21) имеет единственное решение, так как

ае1 (В-1) = 0.

Ее решение можно определить пятиточечной прогонкой, которая является устойчивой.

Список литературы

[1] Латтес Р., Лионс Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. Мир, М., 1970.

[2] Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Наука, М., 1986.

[3] Марчук А. Н., Атанбаев С. А. Некоторые вопросы глобальной регуляризации. Докл. АН СССР, 190, №3, 1970.

[4] Музылев Н. В. О методе квазиобращения. ЖВМ и МФ, 3, №3, 1977, 556-561.

[5] Вабишевич П. А. Разностные методы решения некоторых некорректных задач. Изв. вузов. Матем., №8, 1984, 3-9.

[6] Атанбаев С. А. Об одном разностном аналоге метода квазиобращения для эволюционных уравнений. Вестник КазГУ. Сер. матем., №11, 1998, 17-24.

Поступила в редакцию 12 мая 1999 г.