УДК 517.9
ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФЕ
А. А. Замышляева
ON A SOBOLEV TYPE EQUATION DEFINED ON THE GRAPH
A.A. Zamyshlyaeva
Изучается начально-краевая задача для уравнения Буссинеска -Лява, определенного на графе. Проводится редукция к абстрактной задаче Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Получена теорема о фазовом пространстве исходного уравнения.
Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое
пространство, M,N-функции, дифференциальные уравнения на графах
The author considers the initial-boundary value problem for the Boussi-nesqe - Love equation which is defined on graph by reducing it to the Cauchy problem for the Sobolev type equation of the second order. The author obtains a theorem on the phase space of such equation.
Keywords: Sobolev type equations, phase space, M,N-functions, differential equations defined on graphs
Введение
В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. За последние годы тематика теории графов стала еще более разнообразной. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. Здесь можно отметить работы S. Kosugu, С. Cattaneo, G. Medolla,
A.G. Setti, F. Barra. Независимо от этих авторов и впервые в России краевыми и начальнокраевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный [1] со своими учениками. Ими изучены качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, функция Грина, дифференциальные неравенства, разработана теория эллиптических уравнений на ветвящихся многообразиях.
Г.А. Свиридюк [2] рассмотрел начально-краевую задачу для полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка на графе, эти результаты были развиты в работе [3]. Данная работа посвящена изучению уравнения Буссинеска - Лява [4]
(А - Д)«и = а(А - \')щ + /3(А - А>, (0.1)
описывающего продольные колебания упругого стержня, где параметры А, А', А" £ М, а >
0, /3 > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу задачи. Пусть G = G(V; £) - конечный связный ориентированный
граф, где V = {^} - множество вершин, а £ = {Е^} - множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину > 0 и толщину й3 > 0. На графе (? рассмотрим уравнения
\ujtt - Щххи = хяЛ - Х'и^) + Р{и]ХХ - А"и3) для всех х Е (0,13), t ЕШ. (0.2)
Для уравнений (0.2) в каждой вершине V* зададим краевые условия
^ ' ^и]Х(0, £) — ^ ^ ^кикх{1к^£) = 0; (0-3)
В,-еВ“(У<) ЕкбЕ“(Ц)
и8{0,<) = «7(0,г) = ик(1к,£) = ит(1т,г), для всех Е8,Е) Е Еа(Уг), Ек,Ет е Е^Щ), (0.4)
которые являются аналогами законов Кирхгоффа. Здесь через Еа^ (Уг) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Условие (0.3) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.4) - что решение в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф (2 состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.4) исчезает, а условие (0.3) превращается в однородное условие Неймана.
Поток пропорционален ширине дуги и градиенту решения. Однако не это является главной причиной введения в рассмотрение ширины дуги. Оказывается, конечномерное уравнение (0.1), заданное в трубчатой области, можно свести к одномерному (0.2), где х
- натуральный параметр дуги Ej. Поэтому задачу (0.2) - (0.4) можно рассматривать как задачу Неймана для уравнения (0.1), заданного на области, являющейся объединением конечного множества трубчатых областей с диаметром <1Г Если дополнить (0.3), (0.4) начальным условием
щ(х,0) = Щj{x), и^(х,0) = и^(х), для всех х € (0,13), (0.5)
то мы получим задачу Коши - Неймана для уравнения (0.1). Отметим, что данная задача
ранее не рассматривалась даже в случае, когда граф С? состоит из единственной дуги.
1. Редукция к абстрактной задаче
Проведем редукцию задачи (0.3) - (0.5) для уравнений (0.2) к задаче Коши
«(0) = щ, и'(0) = щ (1.1)
для линейного уравнения соболевского типа второго порядка
Аи" = Вщ' + В0и. (1.2)
Через Ьз(О) обозначим множество
Ы&) = {9 = (91,92,-,93,-) ■ 93 6 1я(0,1д)}.
Множество -^(С?) является гильбертовым пространством со скалярным произведением
(9, Л) = 2 Лз Ще£ о
Через Ы обозначим множество и = {м = («1, г/2, •••, ...) : и3 е И/21(0,13) и выполнено
условие (0.4)}. Множество Ы является банаховым пространством с нормой
Ы\и = А3 [(и%(х) +и](х))(1х.
[ д3(х)к3{х)(1х.
В силу теорем вложения Соболева пространство И^О, (?) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит 1Л корректно определено, плотно и компактно вложено В 1/2((3)- Отождествим 1*2(0) со своим сопряженным, и через Т обозначим сопряженное относительно двойственности (■, •) пространство к и. Очевидно, Т - банахово пространство, причем вложение 1А в Т компактно.
где а > 0,и,у ЕЫ, зададим оператор, определенный на пространстве Ы. Поскольку
при всех и,ь Е и и некоторых Ск > 0, к = 1,2,3, то линейный оператор В : 14 -*• Т непрерывен и инъективен. Кроме того, из первой оценки (1.3) вытекает сюръективность сопряженного оператора В* : Т* -» Ы*. В силу рефлексивности пространства Ы и самосопряженности оператора В получаем, что оператор В Е £(Ы]Т) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора В-1 Є С(Т\1Л). Поскольку вложение Ы в Т компактно, то оператор В~1 € С(Т) является компактным. Значит, спектр оператора В вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Теперь фиксируем
а, /3 > 0 и А, А', А" Є I и построим операторы
Из сказанного следует
Теорема 1. Операторы А,В\,Во Е £(Ы;Т), причем спектр а (А) оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо.
Итак, редукция задачи (0.2) - (0.5) к задаче (1.1) - (1.2) закончена.
2. Морфология фазового пространства
Из теоремы 1 вытекает, что оператор А - фредгольмов. Обозначим через пучок операторов (Во, В\).
Лемма 1. Пусть параметры а, А, А', А" 6 К \ {0}, исключая случай, когда 0 € а(А) и А = А' = А". Тогда пучок операторов В полиномиально А-ограничен, причем оо является устранимой особой точкой А-резольвенты пучка [5].
Доказательство. (1) Пусть 0 0 &(А), тогда существует оператор А-1 € С(Т\Ы), причем операторы А~1В1,А~1Во Е С.(Ы) по построению. Утверждение леммы очевидно.
Пусть 0 Е о (А). Тогда любой вектор у? Е кегЛ \ {0} имеет вид
Формулой
|(£>«,и)| < СіІНІиІМІм
в силу неравенства Коши - Буняковского и
С2\\и\\1 < \(Ви,у)\ < С3\\ь\\1
(1.3)
А = (А - а)І + В, Ві = а((а - А')/ + В), В0 = 0((а - \")1 + В).
где кегЛ = врап{у?о> • ••, 1Рі}1 I = сІіткегА Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2 [6], достаточно показать отсутствие В-присоединенных векторов у любого вектора <р Є кег А \ {0}.
(іі) Пусть А ф А'. Тогда
і і
Вцр = Вг(£ ак(рк) = а(А - А') ^ акщ 0 ітА. к=1 к=1
Значит, ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов.
(ні) Если 0 Є а(А) и А = А', но А Ф А", то
і і
Во<р = В0(^ ак¥>к) = 0(А _ Х") 53 ак(рк & ітА
/г=1 А:=1
Следовательно, и в этом случае ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов высоты 1. □
Замечание 1. Как нетрудно видеть, в случае 0 Є сг(А) и А = А' = А" пучок операторов не будет полиномиально Л-ограничен.
/<
Замечание 2. В случаях (1) и (ш) имеет место выполнение условия
(ц2А — цВ\ — Во)~г<1ц = 0, (^4)
7
где 7 = {|^| = г > а}, а - константа из определения полиномиальной ^-ограниченности. Это условие является необходимым и достаточным при построении фазового пространства. В случае (11)
' (М2Л - цВх - ВоГ'й» ф 0,
/<
7
поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.
Определение 1. Множество V называется фазовым пространством уравнения (1.2), если
(i) любое решение и = u(t) уравнения (1.2) лежит в V, т.е. u(t) € V при всех t G R. (И) для любых щ, и\ G V существует единственное решение задачи (1.1), (1.2).
Пусть {Afc} — собственные значения оператора -D, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {фк\ ~ соответствующие им ортонормированные в смысле L^iG) функции. Построим проекторы [5]
Г /, 0 #а(АУ,
Р~\1~ Е \-,<Рк)ч>к, 0 G а (А);
К А*,=А—а
( I, 0 ёа(А)-,
Q-S I- Е {■,(Рк)<Рк^ 0 € а(А),
v Afc=A—а
определенные на пространствах U и Т соответственно, и семейство М, iV-функций уравнения (1.2)
M(t) = ~ J(ц2А - цВх - Во)~1(цА - B^e^dfj, =
7
_ ^ / /4(^ ~ (а + ^к)) + ос(Х' — (а + Хк)) \г /л|(А — (а + Хк)) + а(А' — (а + А&)) „р
^ [ (л~ (а + л*))04 -1*1) (Л-(а + А*))(/**-М*)
х (•,¥>*)№
ЛГ(£) = [ Ы2А — 11В1 — Въ^^АецЫц =
2тгг У
7
е^‘ - е**»1 . .
=5:
здесь оА(В) = {/^’2 : А; е М}, а /х^’2 - корни уравнения
(А — (а + А й))//2 + а:^ — (а + А &))£* + — (а + А&)) = О,
а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что А = о + А&. Отсюда справедлива
Теорема 2. Пусть а, А, А', А" £ 1\ {0} и (г) 0 0 ст(Л). Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является все пространство 1А, т. е. для любых щ,щ € Ы существует единственное решение и 6 С2(Ш;Ы) задачи (1.1), (1.2), которое имеет вид и(£) = М(£)ио + Щ$и 1.
(И) 0 € (т(А) и А = А', но А Ф А". Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является подпространство Ы1 = {и е Ы : (и,(рк) = 0, при Хк = А — а}, т.е. для любых щ,щ € Ы1 существует единственное решение и € С2(К; И1) задачи (1.1), (1.2), которое имеет вид и(£) = М(Ь)ио + Ыфщ.
Литература
1. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
2. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.
3. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк,
В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 11. - С. 47 - 52.
4. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.
5. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислит, технологии - 2003.
- Т. 8, № 4. - С. 45 - 54.
6. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.А. Замышляева
- Челябинск, 2003.
Кафедра уравнений математической физики,
Южно-Уральский государственный университет alzam@math.susu.ac.ru
Поступила в редакцию 8 сентября 2008 г.