Научная статья на тему 'Об одном уравнении соболевского типа на графе'

Об одном уравнении соболевского типа на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
109
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА / ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО / М- / N-ФУНКЦИИ / ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА ГРАФАХ / SOBOLEV TYPE EQUATIONS / PHASE SPACE / M- / N-FUNCTIONS / DIFFERENTIAL EQUATIONS DEFINED ON GRAPHS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Замышляева А. А.

Изучается начально-краевая задача для уравнения Буссинеска-Лява, определенного на графе. Проводится редукция к абстрактной задаче Коши для уравнения Соболевского типа второго порядка. Получена теорема о фазовом пространстве исходного уравнения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On a Sobolev Type Equation Defined on the Graph

The author considers the initial-boundary value problem for the Boussinesqe-Love equation which is denned on graph by reducing it to the Cauchy problem for the Sobolev type equation of the second order. The author obtains a theorem on the phase space of such equation.

Текст научной работы на тему «Об одном уравнении соболевского типа на графе»

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФЕ

А. А. Замышляева

ON A SOBOLEV TYPE EQUATION DEFINED ON THE GRAPH

A.A. Zamyshlyaeva

Изучается начально-краевая задача для уравнения Буссинеска -Лява, определенного на графе. Проводится редукция к абстрактной задаче Коши для уравнения соболевского типа второго порядка. Получена теорема о фазовом пространстве исходного уравнения.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа, фазовое

пространство, M,N-функции, дифференциальные уравнения на графах

The author considers the initial-boundary value problem for the Boussi-nesqe - Love equation which is defined on graph by reducing it to the Cauchy problem for the Sobolev type equation of the second order. The author obtains a theorem on the phase space of such equation.

Keywords: Sobolev type equations, phase space, M,N-functions, differential equations defined on graphs

Введение

В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. За последние годы тематика теории графов стала еще более разнообразной. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. Здесь можно отметить работы S. Kosugu, С. Cattaneo, G. Medolla,

A.G. Setti, F. Barra. Независимо от этих авторов и впервые в России краевыми и начальнокраевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный [1] со своими учениками. Ими изучены качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, функция Грина, дифференциальные неравенства, разработана теория эллиптических уравнений на ветвящихся многообразиях.

Г.А. Свиридюк [2] рассмотрел начально-краевую задачу для полулинейного уравнения соболевского типа первого порядка на графе, эти результаты были развиты в работе [3]. Данная работа посвящена изучению уравнения Буссинеска - Лява [4]

(А - Д)«и = а(А - \')щ + /3(А - А>, (0.1)

описывающего продольные колебания упругого стержня, где параметры А, А', А" £ М, а >

0, /3 > 0 характеризуют среду, причем отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу задачи. Пусть G = G(V; £) - конечный связный ориентированный

граф, где V = {^} - множество вершин, а £ = {Е^} - множество дуг. Мы предполагаем, что каждая дуга имеет длину > 0 и толщину й3 > 0. На графе (? рассмотрим уравнения

\ujtt - Щххи = хяЛ - Х'и^) + Р{и]ХХ - А"и3) для всех х Е (0,13), t ЕШ. (0.2)

Для уравнений (0.2) в каждой вершине V* зададим краевые условия

^ ' ^и]Х(0, £) — ^ ^ ^кикх{1к^£) = 0; (0-3)

В,-еВ“(У<) ЕкбЕ“(Ц)

и8{0,<) = «7(0,г) = ик(1к,£) = ит(1т,г), для всех Е8,Е) Е Еа(Уг), Ек,Ет е Е^Щ), (0.4)

которые являются аналогами законов Кирхгоффа. Здесь через Еа^ (Уг) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Условие (0.3) означает, что поток через каждую вершину должен равняться нулю, а условие (0.4) - что решение в каждой вершине должно быть непрерывным. В частном случае, когда граф (2 состоит из единственной нециклической дуги, условие (0.4) исчезает, а условие (0.3) превращается в однородное условие Неймана.

Поток пропорционален ширине дуги и градиенту решения. Однако не это является главной причиной введения в рассмотрение ширины дуги. Оказывается, конечномерное уравнение (0.1), заданное в трубчатой области, можно свести к одномерному (0.2), где х

- натуральный параметр дуги Ej. Поэтому задачу (0.2) - (0.4) можно рассматривать как задачу Неймана для уравнения (0.1), заданного на области, являющейся объединением конечного множества трубчатых областей с диаметром <1Г Если дополнить (0.3), (0.4) начальным условием

щ(х,0) = Щj{x), и^(х,0) = и^(х), для всех х € (0,13), (0.5)

то мы получим задачу Коши - Неймана для уравнения (0.1). Отметим, что данная задача

ранее не рассматривалась даже в случае, когда граф С? состоит из единственной дуги.

1. Редукция к абстрактной задаче

Проведем редукцию задачи (0.3) - (0.5) для уравнений (0.2) к задаче Коши

«(0) = щ, и'(0) = щ (1.1)

для линейного уравнения соболевского типа второго порядка

Аи" = Вщ' + В0и. (1.2)

Через Ьз(О) обозначим множество

Ы&) = {9 = (91,92,-,93,-) ■ 93 6 1я(0,1д)}.

Множество -^(С?) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

(9, Л) = 2 Лз Ще£ о

Через Ы обозначим множество и = {м = («1, г/2, •••, ...) : и3 е И/21(0,13) и выполнено

условие (0.4)}. Множество Ы является банаховым пространством с нормой

Ы\и = А3 [(и%(х) +и](х))(1х.

[ д3(х)к3{х)(1х.

В силу теорем вложения Соболева пространство И^О, (?) состоит из абсолютно непрерывных функций, а значит 1Л корректно определено, плотно и компактно вложено В 1/2((3)- Отождествим 1*2(0) со своим сопряженным, и через Т обозначим сопряженное относительно двойственности (■, •) пространство к и. Очевидно, Т - банахово пространство, причем вложение 1А в Т компактно.

где а > 0,и,у ЕЫ, зададим оператор, определенный на пространстве Ы. Поскольку

при всех и,ь Е и и некоторых Ск > 0, к = 1,2,3, то линейный оператор В : 14 -*• Т непрерывен и инъективен. Кроме того, из первой оценки (1.3) вытекает сюръективность сопряженного оператора В* : Т* -» Ы*. В силу рефлексивности пространства Ы и самосопряженности оператора В получаем, что оператор В Е £(Ы]Т) биективен. Отсюда по теореме Банаха следует существование оператора В-1 Є С(Т\1Л). Поскольку вложение Ы в Т компактно, то оператор В~1 € С(Т) является компактным. Значит, спектр оператора В вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо. Теперь фиксируем

а, /3 > 0 и А, А', А" Є I и построим операторы

Из сказанного следует

Теорема 1. Операторы А,В\,Во Е £(Ы;Т), причем спектр а (А) оператора А вещественен, дискретен, конечнократен и сгущается только к +оо.

Итак, редукция задачи (0.2) - (0.5) к задаче (1.1) - (1.2) закончена.

2. Морфология фазового пространства

Из теоремы 1 вытекает, что оператор А - фредгольмов. Обозначим через пучок операторов (Во, В\).

Лемма 1. Пусть параметры а, А, А', А" 6 К \ {0}, исключая случай, когда 0 € а(А) и А = А' = А". Тогда пучок операторов В полиномиально А-ограничен, причем оо является устранимой особой точкой А-резольвенты пучка [5].

Доказательство. (1) Пусть 0 0 &(А), тогда существует оператор А-1 € С(Т\Ы), причем операторы А~1В1,А~1Во Е С.(Ы) по построению. Утверждение леммы очевидно.

Пусть 0 Е о (А). Тогда любой вектор у? Е кегЛ \ {0} имеет вид

Формулой

|(£>«,и)| < СіІНІиІМІм

в силу неравенства Коши - Буняковского и

С2\\и\\1 < \(Ви,у)\ < С3\\ь\\1

(1.3)

А = (А - а)І + В, Ві = а((а - А')/ + В), В0 = 0((а - \")1 + В).

где кегЛ = врап{у?о> • ••, 1Рі}1 I = сІіткегА Так как оператор А, в силу самосопряженности, фредгольмов, то, в силу теоремы 1.4.2 [6], достаточно показать отсутствие В-присоединенных векторов у любого вектора <р Є кег А \ {0}.

(іі) Пусть А ф А'. Тогда

і і

Вцр = Вг(£ ак(рк) = а(А - А') ^ акщ 0 ітА. к=1 к=1

Значит, ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов.

(ні) Если 0 Є а(А) и А = А', но А Ф А", то

і і

Во<р = В0(^ ак¥>к) = 0(А _ Х") 53 ак(рк & ітА

/г=1 А:=1

Следовательно, и в этом случае ни один собственный вектор оператора А не имеет относительно присоединенных векторов высоты 1. □

Замечание 1. Как нетрудно видеть, в случае 0 Є сг(А) и А = А' = А" пучок операторов не будет полиномиально Л-ограничен.

/<

Замечание 2. В случаях (1) и (ш) имеет место выполнение условия

(ц2А — цВ\ — Во)~г<1ц = 0, (^4)

7

где 7 = {|^| = г > а}, а - константа из определения полиномиальной ^-ограниченности. Это условие является необходимым и достаточным при построении фазового пространства. В случае (11)

' (М2Л - цВх - ВоГ'й» ф 0,

/<

7

поэтому он исключается из дальнейших рассмотрений.

Определение 1. Множество V называется фазовым пространством уравнения (1.2), если

(i) любое решение и = u(t) уравнения (1.2) лежит в V, т.е. u(t) € V при всех t G R. (И) для любых щ, и\ G V существует единственное решение задачи (1.1), (1.2).

Пусть {Afc} — собственные значения оператора -D, занумерованные по неубыванию с учетом их кратности, а {фк\ ~ соответствующие им ортонормированные в смысле L^iG) функции. Построим проекторы [5]

Г /, 0 #а(АУ,

Р~\1~ Е \-,<Рк)ч>к, 0 G а (А);

К А*,=А—а

( I, 0 ёа(А)-,

Q-S I- Е {■,(Рк)<Рк^ 0 € а(А),

v Afc=A—а

определенные на пространствах U и Т соответственно, и семейство М, iV-функций уравнения (1.2)

M(t) = ~ J(ц2А - цВх - Во)~1(цА - B^e^dfj, =

7

_ ^ / /4(^ ~ (а + ^к)) + ос(Х' — (а + Хк)) \г /л|(А — (а + Хк)) + а(А' — (а + А&)) „р

^ [ (л~ (а + л*))04 -1*1) (Л-(а + А*))(/**-М*)

х (•,¥>*)№

ЛГ(£) = [ Ы2А — 11В1 — Въ^^АецЫц =

2тгг У

7

е^‘ - е**»1 . .

=5:

здесь оА(В) = {/^’2 : А; е М}, а /х^’2 - корни уравнения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(А — (а + А й))//2 + а:^ — (а + А &))£* + — (а + А&)) = О,

а штрих у знака суммы означает отсутствие слагаемых с номерами к такими, что А = о + А&. Отсюда справедлива

Теорема 2. Пусть а, А, А', А" £ 1\ {0} и (г) 0 0 ст(Л). Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является все пространство 1А, т. е. для любых щ,щ € Ы существует единственное решение и 6 С2(Ш;Ы) задачи (1.1), (1.2), которое имеет вид и(£) = М(£)ио + Щ$и 1.

(И) 0 € (т(А) и А = А', но А Ф А". Тогда фазовым пространством уравнения (1.2) является подпространство Ы1 = {и е Ы : (и,(рк) = 0, при Хк = А — а}, т.е. для любых щ,щ € Ы1 существует единственное решение и € С2(К; И1) задачи (1.1), (1.2), которое имеет вид и(£) = М(Ь)ио + Ыфщ.

Литература

1. Покорный, Ю.В. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. - Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.

3. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк,

В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика. - 2005. - № 11. - С. 47 - 52.

4. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. - М.: Мир, 1977.

5. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислит, технологии - 2003.

- Т. 8, № 4. - С. 45 - 54.

6. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. ... канд. физ.-мат. наук / А.А. Замышляева

- Челябинск, 2003.

Кафедра уравнений математической физики,

Южно-Уральский государственный университет alzam@math.susu.ac.ru

Поступила в редакцию 8 сентября 2008 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.