CC BY
20Об одном свойстве универсумов в моделях реализуемости для интуиционистской теории множеств
В.Х. Хаханян
abstract. We consider the universe of sets for models for intuitionis-tic set theory from [1] and [2] and proved some property of such universe.
Ключевые слова: аксиома, универсум, функция, множество, интуиционизм, экстенсиональность.
Напомним определение универсума множеств неформальным образом (для формального определения см. [1] или [2]). Универсум А определяется индукцией по классу ординалов так же, как универсум фон Неймана (кумулятивная иерархия) или универсум Гёделя конструктивных множеств (для выполнимости аксиомы выбора). А есть объединение Аа, где а — ординал и каждое множество из универсума состоит из пар < натуральное число, множество меньшего ранга уже построенное>. На предельном ординале происходит объединение всех ранее построенных множеств (объединение по меньшим ординалам), а на ординале-последователе берутся подмножества уже постро-еннных к данному шагу множеств, но только такие, которые не разбивают отношения эквивалентности и и для которых существует частично-рекурсивная функция, являющаяся функцией экстенсиональности. Опишем отношение и. Мы говорим, что x и у, если вторые члены упорядоченных пар у x и у одни и те же и если существуют две частично-рекурсивные функции
x у у
x. Мы говорим, что ч-р.ф f (n, m) своди т «у, если для всякой пары < n,z x!f (n, m) (здесь m — функция экстенсиональности для множества z (множество z уже построено ранее и у него существует функция экстенсиональности!)) и < f (n, m), z >£ у.
230
В. X. Хаханян
Мы говорим, что ч-р.ф g(n, m,p) является функцией экстенсиональности для множества z, если для любых множеств м^ (из нашего универсума Д) и ч-р.ф h и q, если < n,u z и u и v с функциями h и q, то !g(n, h,q) и < g(n, h,q),v ><Е z. Конечно, всюду имеем дело не с ч-р.ф, а с Pix гёделевыми номерами. Итак, если множество принадлежит универсуму, то (по построению!) у пего есть функция экстенсиональности.
ЛЕММА 1. Для всякой ч-р.ф f (n, h, q) существует множество x из универсума Д такое, что данная функция не является его функцией экстенсиональности.
СЛЕДСТВИЕ 2. Не существует ч-р.ф) такой, которая была бы функцией экстенсиональности для всех множеств из универ-Д
Доказательство. Рассмотрим три группы функций, которые исчерпывают все ч-р.ф от трех аргументов и для функции из
Д
Мелкие детали обоснования оставляем читателю.
1. 3n,m,p—\f (n, m,p). Тогдa x = < n, 0 >. Заметим, что данное множество имеет функцию экстенсиональности (какую?), т.е. принадлежит универсуму и что пустое множество эквивалентно самому себе с любыми функциями.
2. 3n,m,pf (n,m,p) = n. Тогда требуемое множество x то же самое, что из пункта 1.
3. Vn,m,pf (n,m,p) =n m
pf
тождественной. Требуемое множество таково: x = < 0, z > \z ~ y U < 1, y >, где y = 0 и y принадлежит нашему универсуму (z и y означает, что существуют ч-р.ф, zyyz
x
всех тир g(n,m,p) = 0 в частности, g(1,m,p) = 0 обя-x
исходпая функция f по любым фиксированным второму и третьему аргументам является тождественной.
Об одном свойстве универсумов в моделях реализуемости для.
231
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Данное свойство универсума (А) можно попытаться использовать для получения контрпримера сильного принципа уттиформизации для доказательства независимости этого принципа от тезиса Чёрча с выбором в интуиционистской теории множеств. В записи этого контрпримера формула <р не содержит параметров (раньше удалось доказать независимость сильного принципа уттиформизации от тезиса Чёрча с выбором в интуиционистской теории мттожеств с объемностью для формулы <р с одним параметром ровно). Однако для этого необходимо дать запись этой формулы в языке теории мттожеств.
Литература
[1] Хахапяп В.Х. Теория множеств и тезис Чёрча // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам. М.: ТТаука, 1983. С. 198-208.
[2] Хахапяп В. X. Непротиворечивость интуиционистской теории множеств с принципами Чёрча и униформизации // Вестник Моск. Университета, серия Математика. Механика. 1980. № 5. С. 3-7.
[3] Хахапяп В.Х. ТТевыводимость принципа униформизации из тезиса Чёрча в интуиционистской теории множеств /'/' Математические заметки. 1988. Т. 13. Вып. 5 (май). С. 685-691.
Замечание. В статье «Интуиционистская арифметика с принципами Маркова и Р» (Выпуск 14 «Логических исследований», стр. 283-285) в приведенной автором модели (пттрих-реализуе-мость Клитти) принцип Р НЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ (ттевозможтто доказать выводимость для формулы в заключении принципа Р). Для принципа М доказательство остается верным, верным остается и результат: теория НА I М обладает свойствами дизътоттк-тивттости и экзистетщиальттости, так же как и теория НА I Р. Оба последних утверждения получены в 1971 г. или ранее A.C. Трул-строй. Теория же НА I М I Р совпадает с классической арифметикой и свойствами эффективности НЕ ОБЛАДАЕТ. Все замечания верны и легко следуют из имеющихся фактов.
