CC BY
5
УДК 514.76
М. Б. Банару1
1 Смоленский государственный университет, Россия mihail.banaru@yahoo.com doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-2
Об одном свойстве Ж4 -многообразий
Доказано, что квазисасакиева структура, индуцированная на вполне омбилической гиперповерхности W4-многообразия, либо гомотетична сасакиевой структуре, либо является косимплектической структурой.
Ключевые слова: почти эрмитово многообразие, Ж4 -многообразие, почти контактная метрическая структура, гиперповерхность.
1. Значение класса W4 почти эрмитовых многообразий
определяется прежде всего тем, что этот класс содержит все локально конформные келеровы (locally conformal Kahlerian, LCK-) многообразия. При этом класс W4 совпадает с классом LCK-многообразий для размерности не ниже шести [1]. Отметим, что W4 -многообразия изучали с разных точек зрения такие известнейшие геометры, как Альфред Грей (США), Изу Вайсман (Израиль) и Вадим Фёдорович Кириченко (Россия).
Данная статья продолжает работу автора, связанную с изучением почти контактных метрических структур на гиперповерхностях W4-многообразий [2—5].
2. Напомним [1], что под почти эрмитовой структурой на чет-номерном многообразии M2п мы понимаем пару J, g = (•,•)},
Поступила в редакцию 12.03.2020 г. © Банару М. Б., 2020
состоящую из почти комплексной структуры / и римановой метрики g = (•, ^ , причем / и g = (•,•) должны удовлетворять условию
/X, /7) = (Х, 7), X,7 еК(М2п), где К(М2п) — модуль гладких векторных полей на многообразии М2п .
Пусть М2п, {/, g = (• ,• )}) — почти эрмитово многообразие. Зафиксируем точку р е М2п . Пусть Тр (М2п ) — пространство,
касательное к многообразию М2п в выбранной точке р, а 3р, gp =(• •, •)} — почти эрмитова структура, порожденная парой {/, g = (• ,• Реперы, адаптированные почти эрмитовой структуре (А-реперы), устроены так:
(p, е £п, ер еп X
где еа — собственные векторы оператора почти комплексной структуры в комплексификации касательного пространства, принадлежащие собственному значению оператора I = лЛ, а еа — собственные векторы, принадлежащие собственному значению -1. Здесь индекс а принимает значения от 1 до п; а = а + п.
Почти эрмитова структура на многообразии М2п принадлежит классу Ж4, если
Ух (Р)(7,г) = -{(X7ЯР(г)-(Х,г)8Р(7)-
-(X,Л)8Р(/г) + (Х,/2)8Р(/7) }, X,7,г еК(М2п).
Здесь Р(X, 7) = (X, /7) — фундаментальная форма почти
эрмитовой структуры; через 8 обозначен оператор кодифференцирования, через У — риманова связность метрики
g = (•,•> [1].
На всякой ориентируемой гиперповерхности N2" 1 почти
эрмитова многообразия M2п индуцируется почти контактная метрическая структура [4; 6], понимаемая как система тензорных полей {ф, г), g}, для которой выполняются следующие условия:
г\(£) = 1; Ф(£) = 0; )оф = 0; ф2 =-id + ффХ,ФУ) = (X, Y) - )(X))(Y), X, Y е К(N).
Здесь Ф — поле тензора типа (1,1), £ — векторное поле, ) — ковекторное поле, g = •j — риманова метрика.
3. Структурные уравнения Картана (в А-репере) почти контактной метрической структуры на ориентируемой гиперповерхности N2" 1 в произвольном W4 -многообразии M2п имеют следующий вид [2; 3; 5]:
та а Р г.ав у I [Z „an ■ а\ р
da = ШрЛа + В уш ЛРр + \у2В р + i^pp Лй +
+ BaPn + шар\юрла; (1)
dPa = —Рр ЛРр + ВарРу Лр + У2BJ — i^P)p р ЛР +
+ — Вав" - ia°BfP Л Р;
dp = [42впар —у[2Впра — 2i^)bp ЛРа + (Впрп + i°npp ЛРВ +
\впВп —
T>ab i Ta D c i та
где B c =— -Jbc, ab = -Jb,c.
Здесь через {юа},{юа} обозначены компоненты форм
смещения (юп = ю), через {ю*} — компоненты форм римано-
вой связности; а через {3!к т} обозначены компоненты У У .
Отметим, что системы функций | и | являются компонентами тензоров Кириченко [6] почти эрмитовой структуры на многообразии М2п . Здесь и далее а,р,у = 1,..., п -1; а,Ь,с = 1,..., п; а = а + п; а — вторая квадратичная форма по-
гружения гиперповерхности N2" 1 в W4 -многообразие M2n.
Гиперповерхность W4 -многообразия является вполне омбилической в том и только том случае, если aps = Ag , 2 - const, при этом гиперповерхность W4 -многообразия является вполне геодезической тогда и только тогда, когда матрица ее второй квадратичной формы будет нулевой. Принимая во
внимание вид матрицы метрического тензора [4; 6]
f
gps ) =
0 Л
0 0
0...0 1 0.0
0
0
0 /
мы можем сделать вывод о том, что «блоки» (СТр) и (стар)
ар'
матрицы второй квадратичной формы погружения вполне ом-
билической гиперповерхности N2n 1 в W4 -многообразие M имеют скалярный вид: аар = iSa .
r2n
Сопоставляя уравнения (1) с известными [1] структурными уравнениями квазисасакиевой структуры
та а в т^а в
аю =ЮрАю + Врю/\ю ;
йю = 2Вар юр л юа, структуры, гомотетичной сасакиевой,
7 а а в . л в
аю =юрлю -глорюлю ;
йюа = -юр лю р+гЛ орр юл юр ;
йю =-2гЛюа люа , а также косимплектической структуры
7 а а в
аю =юрлю ,
dюа=-Ю!PлЮр,
йю = 0 ,
мы приходим к такому результату.
Теорема. Квазисасакиева структура, индуцированная на
вполне омбилической гиперповерхности Ы2п— Ж4 -многообразия М2п, является либо гомотетичной сасакиевой структуре, либо косимплектической структурой. При этом структура будет косимплектической в том и только том случае, когда гиперповерхность является вполне геодезическим подмногообразием многообразия М2п .
Учитывая упомянутый выше факт о том, что класс Ж4 почти эрмитовых многообразий содержит все LCK-многообра-зия, мы получаем такое
Следствие 1. Квазисасакиева структура, индуцированная
на вполне омбилической гиперповерхности N2п 1 всякого 18
М. Б. Банару
LCK-многообразия M2n, является либо гомотетичной сасаки-евой структуре, либо косимплектической структурой. При этом структура будет косимплектической в том и только том случае, когда гиперповерхность является вполне геодезическим подмногообразием LCK-многообразия M2n .
С учетом результатов В. Ф. Кириченко о строении косим-плектических многообразий [6] мы приходим еще к одному результату.
Следствие 2. Пусть N2n 1 — вполне геодезическая гиперповерхность W4 -многообразия M2n, на которой индуцирована квазисасакиева структура. Тогда гиперповерхность N2n 1 локально эквивалентна произведению келерова многообразия на вещественную прямую.
Список литературы
1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
2. Банару М. Б. W4 -многообразия и аксиома косимплектических гиперповерхностей // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2015. № 5. 34—37.
3. Банару М. Б. О некоторых почти контактных метрических гиперповерхностях W4 -многообразий // ДГМФ. Калининград, 2018. Вып. 49. С. 12—18.
4. Банару М. Б. О почти контактных метрических гиперповерхностях с малыми типовыми числами в W4 -многообразиях // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. 2018. № 1. С. 67—70.
5. Banaru M.B., Banaru G.A., Melekhina T. L. A note on almost contact metric 2- and 3-hypersurfaces in W4 -manifolds // Известия Академии наук Республики Молдова. Математика. 2019. № 1 (89). P. 103—108.
6. Banaru M. B., Kirichenko V. F. Almost contact metric structures on the hypersurface of almost Hermitian manifolds // Journal of Mathematical Sciences (New York). 2015. Vol. 207, iss. 4. P. 513—537.
M. B. Banaru1 1 Smolensk State University 4 Przhevalsky St., Smolensk, 214000, Russia mihail.banaru@yahoo.com doi: 10.5922/0321-4796-2020-51-2
On a property of W4 -manifolds
Submitted on March 12, 2020
The properties of almost Hermitian manifolds belonging to the Gray — Hervella class W4 are considered. The almost Hermitian manifolds of this class were studied by such outstanding geometers like Alfred Gray, Izu Vaisman, and Vadim Feodorovich Kirichenko.
Using the Cartan structural equations of an almost contact metric structure induced on an arbitrary oriented hypersurface of a W4-manifold, some results on totally umbilical and totally geodesic hypersurfaces of W4-manifolds are presented. It is proved that the quasi-Sasakian structure induced on a totally umbilical hypersurface of a W4-manifold is either homothetic to a Sasakian structure or cosymplectic. Moreover, the quasi-Sasakian structure is cosymplectic if and only if the hypersurface is a totally geodesic submanifold of the considered W4-manifold.
From the present result it immediately follows that the quasi-Sasakian structure induced on a totally umbilical hypersurface of a locally confor-mal Kahlerian (LCK-) manifold also is either homothetic to a Sasakian structure or cosymplectic.
Keywords: almost Hermitian manifold, W4 -manifold, almost contact metric structure, hypersurface.
References
1. Kirichenko, V. F.: Differential-geometric structures on manifolds. Odessa (2013).
2. Banaru, M. B.: The axiom of cosymplectic surfaces and W4-mani-folds // Moscow University Math. Bull., 70:5, 213—215 (2015).
М.E. BaHapy
3. Banaru, M.B.: On some almost contact metric hypersurfaces of W4-manifolds. DGMF. Kaliningrad. 49, 12—18 (2018).
4. Banaru, M.B.: On almost contact metric hypersurfaces with small type numbers in W4-manifolds. Moscow University Math. Bull., 73:1, 38—40 (2018).
5. Banaru, M.B., Banaru, G.A., Melekhina, T.L.: A note on almost contact metric 2- and 3-hypersurfaces in W4-manifolds. Buletinul Acade-miei Çtiinte a Republicii Moldova. Matematica, 1 (89), 103—108 (2019).
6. Banaru, M. B., Kirichenko, V.F.: Almost contact metric structures on the hypersurface of almost Hermitian manifolds. J. Math. Sci. (New York), 207:4, 513—537 (2015).
